2019年數(shù)學周報杯試題答案

1、中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會“數(shù)學周報杯”2019 年全國初中數(shù)學競賽試題參考答案一、選擇題（共 5 小題，每小題 7 分，共 35 分 .其中有且只有一個選項是正確的 . 請將正確選項的代號填入題后的括號里 ，不填、多填或錯填都得 0 分）1若 a20， b10 ，則 ab 的值為（）bcbc（A） 11（ ）21（C） 110（D） 21021B112111aba1201210解： D由題設得bbcc11111b102若實數(shù) a， b 滿足 1aabb220 ，則 a 的取值范圍是（）2（ A）a 2（ B） a 4（C） a 2 或 a4（D） 2 a4解 C因為 b 是實數(shù)，所以

2、關于 b 的一元二次方程 b2ab1a 2012的判別式 (a)241(a2) 0, 解得 a2 或 a 423如圖， 在四邊形 ABCD 中，B135°，C 120°，AB= 2 3 ，BC= 4 22 ，CD 4 2 ，則 AD 邊的長為（）（ A）2 6（B）46（C） 46（D）2 2 6（第 3題）解： D如圖，過點 A，D 分別作 AE，DF 垂直于直線 BC，垂足分別為 E，F(xiàn)由已知可得BE=AE=6 ，CF 22，DF26 ，（第3題）于是 EF46過點 A 作 AG DF，垂足為 G在 RtADG 中，根據(jù)勾股定理得AD(46) 2(6) 2(224)2

3、226 4在一列數(shù) x1， x2， x3，中， 已知 x11，且當 k2 時， xkxk 1 14k 1k244（取整符號a 表示不超過實數(shù)a 的最大整數(shù)，例如 2.6 2， 0.20），則 x2010等于（）(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4解： B由 x11k1k 2可得和 xk xk 1 1 444x11， x22 ， x33 ， x44 ，x51 ， x62 ， x73 ， x84 ，因為 2019=4×502+2，所以 x2010 =25如圖，在平面直角坐標系xOy 中，等腰梯形ABCD 的頂點坐標分別為A（ 1， 1），B（ 2， 1）， C（ 2， 1），D（ 1

4、，1） y 軸上一點P（ 0，2）繞點 A 旋轉(zhuǎn) 180°得點 P1，點 P1繞點 B 旋轉(zhuǎn) 180°得點 P2，點 P2 繞點 C 旋轉(zhuǎn) 180°得點 P3，點 P3繞點 D 旋轉(zhuǎn) 180°得點 P4，重復操作依次得到點P1，P2，則點 P2019 的坐標是（）（ A）（ 2019，2） （B）（2019， 2 ）（C）（2019， 2 ）（D）（0，2）（第 5題）解： B 由已知可以得到，點P1 ， P2 的坐標分別為（ 2，0），（2， 2 ）記 P（2a2，b2 ) ，其中 a22, b22根據(jù)對稱關系，依次可以求得：P3 ( 4 a2， 2

5、b2 ) ， P4 (2a2 ，4b2 ) ， P5 ( a2 ， 2 b2 ) ， P6 (4a2 ，b2 ) 令 P6 (a6 , b2 ) ，同樣可以求得，點 P10的坐標為（ 4 a6 ,b2 ），即 P10（ 42 a2 , b2 ），由于 2019=4 502+2，所以點 P2010 的坐標為（ 2019，2 ）二、填空題6已知 a5 1，則 2a3 7a2 2a 12 的值等于解： 0由已知得(a1)2 5，所以 a22a 4，于是2a3 7a2 2a122a34a23a22a 123a26a12 07一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛在某一時刻，

6、客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間過了10 分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5 分鐘，小轎車追上了客車；再過t 分鐘，貨車追上了客車，則t解： 15設在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離均為 S 千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為 a，b，c （千米 /分），并設貨車經(jīng) x 分鐘追上客車，由題意得10 abS ，15 ac2S ，x bcS由，得 30（ bc） S ，所以，x=30故 t3010515（分）8如圖， 在平面直角坐標系xOy 中，多邊形 OABCDE 的頂點坐標分別是O（ 0，0），A（ 0，6）， B（ 4， 6）， C（ 4， 4）， D（ 6， 4）， E（

7、 6， 0）若直線l 經(jīng)過點 M （ 2， 3），且將多邊形 OABCDE 分割成面積相等的兩部分，則直線l 的函數(shù)表達式是解： y1 x+1133（第8題（第 8題）如圖，延長 BC 交 x 軸于點 F；連接 OB，AF ；連接 CE，DF ，且相交于點 N由已知得點 M（2，3）是 OB， AF 的中點，即點 M 為矩形 ABFO 的中心，所以直線 l 把矩形 ABFO 分成面積相等的兩部分 又因為點 N（5，2）是矩形 CDEF的中心，所以，過點 N（5，2）的直線把矩形CDEF 分成面積相等的兩部分于是，直線 MN 即為所求的直線 l 設直線 l 的函數(shù)表達式為 y+，kx b ，則

8、2k b 35kb，2k1，1 x+ 11 解得3,故所求直線 l 的函數(shù)表達式為 yb11 .3339如圖，射線AM ， BN 都垂直于線段AB，點 E 為 AM 上一點，過點A作 BE的垂線 AC分別交 BE ，BN 于點 F， C，過點 C 作 AM 的垂線 CD，垂足為D若 CD CF ，則AEAD解：512見題圖，設 FC m, AFn （第 9題）因為 RtAFBRt ABC，所以AB 2AFAC 又因為 FC DC AB，所以m2n( n，即(n 2n，m)10mm解得 n51 ，或 n51 （舍去）m2m2又 Rt AFE Rt CFB ，所以 AEAEAFn51 ，即AE=

9、5 1ADBCFCm2AD210對于i=2， 3， k，正整數(shù)n除以 i 所得的余數(shù)為i 1若 n 的最小值 n0 滿足2000n03000 ，則正整數(shù) k 的最小值為解：因為為， ，的倍數(shù)，所以 n 的最小值n滿足9n12 3k0n012，3， ， k ，其中2，3， ， k 表示 2，3， ， k 的最小公倍數(shù)由于2，3， ，8840，2，3， ，92520，2，3， ，102520，2，3， ，1127720，因此滿足2000n03000 的正整數(shù) k 的最小值為9 三、解答題（共4 題，每題 20 分，共 80 分）11如圖， ABC 為等腰三角形，AP 是底邊 BC 上的高，點D 是

10、線段 PC 上的一點，BE 和 CF 分別是 ABD 和 ACD 的外接圓直徑，連接EF . 求證： tan PADEFBC（第 11 題）證明：如圖，連接 ED，F(xiàn)D . 因為 BE 和 CF 都是直徑，所以ED BC，F(xiàn)D BC，因此 D，E，F(xiàn) 三點共線 .（ 5 分）連接 AE， AF，則AEFABCACBAFD ，所以， ABC AEF.（ 10 分）（第 11 題）作 AH EF，垂足為 H ，則 AH=PD. 由 ABC AEF 可得）EFAH ，BCAP從而E FP DB C，A P所以P DE F（ 20 分）t a n PAD.APBC12如圖，拋物線yax2bx （ a0

11、）與雙曲線yk相交于點A， B.已知點A 的坐標x為（ 1，4），點B 在第三象限內(nèi)，且AOB的面積為3（ O為坐標原點）.（ 1）求實數(shù) a， b， k 的值；（ 2）過拋物線上點 A 作直線 AC x 軸，交拋物線于另一點 C，求所有滿足 EOC AOB 的點 E 的坐標 .解：（ 1）因為點 A（1，4）在雙曲線 yk上，（第 12 題）x所以 k= 4.故雙曲線的函數(shù)表達式為4y.設點 B（ t， 4 ）， tx0 ， AB 所在直線的函數(shù)表達式為ymx n ，則有t4m，n44(t1)4，解得 m， nmttt.tn于是，直線 AB 與 y 軸的交點坐標為0, 4(t1)，故tS A

12、OB1（）1 t3 ，整理得 2t23t20 ，4 t12t解得 t2，或 t 1 （舍去）所以點 B 的坐標為（2 ，2）2因為點 A，B 都在拋物線 yax2bx （a 0）上，所以a，a，b 4解得1（ 10 分）4a2b，b3.2（ 2）如圖，因為 AC x 軸，所以 C（4 ，4），于是 CO42. 又BO=22 ，所以 CO2.BO設拋物線 yax 2bx（a0）與 x 軸負半軸相交于點D ，則點 D 的坐標為（3， 0）.（第 12 題）因為 COD BOD 45，所以 COB= 90 .（ i）將 BOA繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn) 90，得到 B OA1 .這時，點 B (2 ，2)

13、是 CO 的中點，點 A1 的坐標為（4，1） .延長 OA1 到點 E1 ，使得 OE1 = 2OA1 ，這時點 E1 （ 8，2 ）是符合條件的點.（ ii ）作 BOA關于 x 軸的對稱圖形B OA2 ，得到點 A2（1， 4 ）；延長 OA2 到點 E2 ，使得 OE2 2OA2 ，這時點 E（ 2，8 ）是符合條件的點所以，點 E 的坐標是（ 8，2），或（ 2，8 ） .（ 20 分）13求滿足 2 p2p8m22m 的所有素數(shù)p 和正整數(shù) m.解： 由題設得 p(2 p1)(m 4)( m2) ，所以 p (m4)(m2) ，由于 p 是素數(shù)，故 p (m 4) ，或 p (m2

14、). （ 5分）（ 1）若 p (m4) ，令 m4kp ， k 是正整數(shù)，于是 m 2kp ，3 p2p(2 p1) (m4)( m2)k 2 p2 ，故 k23 ，從而 k1 .m4，p，所以p解得5（ 10 分）m22 p，m9.1（2）若 p (m2) ，令m2kp ， k 是正整數(shù) .當 p5 時，有 m4kp6kp pp(k1) ，3p2p(2 p 1) (m 4)( m 2) k (k 1) p2 ，故 k(k1)3 ，從而 k1，或 2.由于 p(2 p1)( m4)( m 2)是奇數(shù)，所以 k2 ，從而 k1 .m42 p，于是1m2，p這不可能 .當 p5 時， m22m63 ， m 9 ；當 p 3 ， m22m29 ，無正整數(shù)解；當p 2 時， m22m 18 ，無正整數(shù)解 .綜上所述，所求素數(shù)p=5，正整數(shù)m=9.（ 20 分）14從 1，2，2019 這 2019 個正整數(shù)中，最多可以取出多少個數(shù)，使得所取出的數(shù)中任意三個數(shù)之和都能被33 整除？解： 首先，如下61 個數(shù)： 11， 1133 ， 11233 ， 116033 （即 1991）滿足題設條件.（5 分）另一方面，設a1a2an 是從1，2， 2019 中取出的滿足題設條件的數(shù)，對于這 n 個數(shù)中的任意4 個數(shù) ai， a j， ak， am ，因為3