第1章_1位置矢量 位移

1、1.1.1 參考系和坐標(biāo)系參考系和坐標(biāo)系1.1 位置矢量和位移位置矢量和位移1.1.2 位置位置矢量矢量1.1.3 位移位移1.1.1 參照系和坐標(biāo)系參照系和坐標(biāo)系 宇宙中的所有物體都處于永不停止的運(yùn)宇宙中的所有物體都處于永不停止的運(yùn)動中，這就是動中，這就是運(yùn)動的絕對性運(yùn)動的絕對性. . 為描述物體的運(yùn)動而選擇的標(biāo)準(zhǔn)物叫做參考系為描述物體的運(yùn)動而選擇的標(biāo)準(zhǔn)物叫做參考系.1 1 參考系參考系 選取的參考系不同，對物體運(yùn)動情況的描述不選取的參考系不同，對物體運(yùn)動情況的描述不同，這就是運(yùn)動描述的同，這就是運(yùn)動描述的相對性相對性.2. 坐標(biāo)系坐標(biāo)系 在確定了參照系之后，為了確切地、在確定了參照系之后，

2、為了確切地、定定量量地說明一個(gè)地說明一個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對于所選參照系的位置質(zhì)點(diǎn)相對于所選參照系的位置，就得在此參照系上就得在此參照系上固結(jié)固結(jié)一個(gè)坐標(biāo)系一個(gè)坐標(biāo)系. . 最常見的是笛卡兒直角坐標(biāo)系：最常見的是笛卡兒直角坐標(biāo)系： xyzo),(zyxP1.1.2 位置矢量位置矢量1 位置位置矢量矢量r*Pxyzxzyokzj yi xr222rxyrz位矢位矢 的的值值為為r 確定質(zhì)點(diǎn)確定質(zhì)點(diǎn)P某一時(shí)刻某一時(shí)刻在在坐標(biāo)系坐標(biāo)系里的里的位置位置的物理量稱的物理量稱位置矢量位置矢量, 簡稱位矢簡稱位矢 .r式中式中 、 、 分別為分別為x、y、z 方向的方向的單位矢量單位矢量.ijkikjrxcosrzco

3、srycos位矢位矢 的的方向余弦方向余弦rPPrxzyoxzyo2 運(yùn)動方程運(yùn)動方程ktzjtyitxtr)()()()()(txx )(tyy )(tzz 分量式分量式從中消去從中消去參數(shù)參數(shù) 得得軌跡方程軌跡方程 0),(zyxft)(tr)(tx)(ty)(tz1.1.3 位移位移xyoBBrArArArBBrArxyoBxAxABxx ByAyAByy 經(jīng)過時(shí)間經(jīng)過時(shí)間間隔間隔 后后, 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)位置矢量發(fā)生變化位置矢量發(fā)生變化,把把 由始點(diǎn)由始點(diǎn) A 指向終點(diǎn)指向終點(diǎn) B 的的有向線段有向線段 稱為點(diǎn)稱為點(diǎn) A 到到 B 的的位移矢量位移矢量 , 簡稱簡稱位移位移. ABrrrtr

4、222zyxr位移的位移的大小大小為為ArBBrArxyoBxAxABxx ByAyAByy jyixrAAAjyixrBBBjyyixxABAB)()( ABrrr位移位移若質(zhì)點(diǎn)在若質(zhì)點(diǎn)在三維三維空間中運(yùn)動空間中運(yùn)動kzzjyyixxrABABAB)()()(4 路程（路程（ ）: 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)實(shí)際運(yùn)動軌跡的長度實(shí)際運(yùn)動軌跡的長度.s222zyxrrr212121zyx222222zyxr位移位移的物理的物理意義意義確切反映物體在空間位置的確切反映物體在空間位置的變化變化, 與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)，只決定于，只決定于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的始末位置始末位置.s),(1111zyxP),(2222zyxP)(1

5、tr1P)(2tr2Pr注意注意xyOzrkzj yi xr位矢長度的變化位矢長度的變化位置矢量與位移及路程的異同位置矢量與位移及路程的異同位置矢量位置矢量狀態(tài)量狀態(tài)量r位位 移移過程量過程量 位位 移移矢矢 量量路路 程程標(biāo)標(biāo) 量量 位置矢量與位移都是矢量位置矢量與位移都是矢量. .位移與路程都是過程量位移與路程都是過程量; ;位移與過程無關(guān)，位移與過程無關(guān)，路程與過程有關(guān)路程與過程有關(guān)1.2.1 速度速度1.2 速度和加速度速度和加速度1.2.2 加速度加速度1.2.3 例題分析例題分析1.2.1 速度速度1 平均速度平均速度)()(trttrr 在在 時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi), 質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A

6、運(yùn)動到點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn) B, 其位移為其位移為tt時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi), 質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的平均速度平均速度平均速度平均速度 與與 同方向同方向.rvjtyitxtrv平均速度大小平均速度大小22)()(tytxvjiyxvvv或或r)(ttrB)(trAxyos2 瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度 當(dāng)當(dāng) 時(shí)平均速度的時(shí)平均速度的極限值極限值叫做瞬時(shí)速度，叫做瞬時(shí)速度，簡稱速度簡稱速度0tjtyitxtt00limlimvtrtrtddlim0vxyov222ddd()()()dddxyztttvv瞬時(shí)瞬時(shí)速率速率：速度：速度 的大小稱為速率的大小稱為速率vyvxvjiyxvvvjtyitxddddv 若質(zhì)點(diǎn)在若質(zhì)點(diǎn)在三維三維空

7、間中運(yùn)動空間中運(yùn)動,其其速度速度為為ktzjtyitxddddddv討論討論 一運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)在某一運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)瞬時(shí)位于矢徑位于矢徑 的端點(diǎn)的端點(diǎn)處，其速度大小為處，其速度大小為),(yxrtrddtrdd（A）（B）（B）（B）trdd22)dd()dd(tytx（C）（D）1） 平均加速度平均加速度BvBAvBvv與與 同方向同方向 .va（反映速度變化快慢的物理量）（反映速度變化快慢的物理量）xyOatv 單位時(shí)間內(nèi)的速度增單位時(shí)間內(nèi)的速度增量即平均加速度量即平均加速度2）（瞬時(shí)）加速度）（瞬時(shí)）加速度0dlimdtatt vv1.2.2 加速度加速度AvAxyzaa ia ja k222

8、222ddddddddddddxxyyxattyattattzzvvvz加速度大小加速度大小222xyzaaaa22ddddrattv加速度加速度jtityxddddvv加速度大小加速度大小220limyxtaatav質(zhì)點(diǎn)作三維運(yùn)動時(shí)加速度為質(zhì)點(diǎn)作三維運(yùn)動時(shí)加速度為)(ta)(tr求導(dǎo)求導(dǎo)求導(dǎo)求導(dǎo)積分積分積分積分( ) tv質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)兩類基本問題質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)兩類基本問題 一一 由質(zhì)點(diǎn)的由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程運(yùn)動方程可以求得質(zhì)點(diǎn)在可以求得質(zhì)點(diǎn)在任一任一時(shí)刻的位矢、速度和加速度時(shí)刻的位矢、速度和加速度； 二二 已知質(zhì)點(diǎn)的加速度以及已知質(zhì)點(diǎn)的加速度以及初始速度和初始初始速度和初始位置位置, 可求質(zhì)點(diǎn)速度及其

9、運(yùn)動方程可求質(zhì)點(diǎn)速度及其運(yùn)動方程 .運(yùn)動學(xué)的問題一般可以分為如下兩類。（1 1）已知）已知運(yùn)動方程求速度、加速度運(yùn)動方程求速度、加速度的問題（在曲線的問題（在曲線運(yùn)動中還可以求運(yùn)動軌跡）。這類問題的求解是運(yùn)動中還可以求運(yùn)動軌跡）。這類問題的求解是非常非常簡單簡單的，根據(jù)在前面學(xué)習(xí)的公式，大家可以看到對運(yùn)的，根據(jù)在前面學(xué)習(xí)的公式，大家可以看到對運(yùn)動方程動方程求求時(shí)間的一階時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)就得到速度，再求一次導(dǎo)數(shù)就得到速度，再求一次導(dǎo)數(shù)就得到加速度。再將就得到加速度。再將具體的時(shí)間代入具體的時(shí)間代入到速度和加速到速度和加速度公式中就可以求得任意時(shí)刻的速度和加速度。度公式中就可以求得任意時(shí)刻的速度

10、和加速度。（2 2）已知）已知加速度和初始條件求速度、運(yùn)動方程加速度和初始條件求速度、運(yùn)動方程的的問題（在曲線運(yùn)動中還可以求運(yùn)動軌跡）。這類問題問題（在曲線運(yùn)動中還可以求運(yùn)動軌跡）。這類問題在數(shù)學(xué)上看是典型的在數(shù)學(xué)上看是典型的積分問題積分問題。積分常數(shù)的確定常常。積分常數(shù)的確定常常需要一些已知條件，即需要一些已知條件，即初始條件初始條件。初始條件是指問題。初始條件是指問題給定時(shí)刻（通常是給定時(shí)刻（通常是t t為零的時(shí)刻，但也有為零的時(shí)刻，但也有t t不為零的情不為零的情況）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的速度和位置（常用況）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的速度和位置（常用 和和 來表示）。來表示）。0v0 x1.2.3 例題分析例題分析

11、（5）質(zhì)點(diǎn)的加速度質(zhì)點(diǎn)的加速度. . 2218,2tytx 1. 已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為其中其中x、y以以m計(jì)，計(jì)，t 以以s計(jì)計(jì). . 求：求：（1）質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的軌道方程軌道方程并畫出其軌道曲線；并畫出其軌道曲線；（2）質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的位置矢量位置矢量；（3）質(zhì)點(diǎn)的速度；質(zhì)點(diǎn)的速度；（4）前前2s內(nèi)的平均速度；內(nèi)的平均速度；（2）質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為xyo（1）將質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程消去時(shí)間參數(shù)將質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程消去時(shí)間參數(shù)t，得，得質(zhì)點(diǎn)軌道方程為質(zhì)點(diǎn)軌道方程為2182xy 質(zhì)點(diǎn)的軌道曲線如圖所示質(zhì)點(diǎn)的軌道曲線如圖所示)18, 0()0 , 6(jti tr)218(2

12、2 （3）質(zhì)點(diǎn)的速度為質(zhì)點(diǎn)的速度為j tirv42 02)0()2( rrv jji18)2218(22212 )sm(421 ji（5）質(zhì)點(diǎn)的加速度為質(zhì)點(diǎn)的加速度為)sm(42 jra （4）前前2s內(nèi)的平均速度為內(nèi)的平均速度為2.已知質(zhì)點(diǎn)在已知質(zhì)點(diǎn)在 時(shí)刻位于時(shí)刻位于 點(diǎn)點(diǎn)處，且以初速處，且以初速 加速度加速度 運(yùn)動運(yùn)動. . 試求：試求：（1）質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度；質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度；（2）質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程. . 0 t)m(320jir , 00 v)sm(432 jia解解 （1）由題意可知由題意可知 jidtvd43 dtjivd43 即即對其兩邊取積分有對其兩邊取積

13、分有 0034vvtdvij dt所以質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度為所以質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度為j ti tv43 j ti tv43 （2）因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)的速度為因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)的速度為j ti tdtrd43 即即 dtj ti trd43 亦亦即即對其兩邊取積分有對其兩邊取積分有 trrdtj ti trd0430202322rt ijrt所以jir320 代代入入故質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為故質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為2232232rtitj1.3.1 直線運(yùn)動的定義直線運(yùn)動的定義1.3 直線運(yùn)動直線運(yùn)動1.3.2 直線運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)公式直線運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)公式1.3.3 例題分析例題分析xo1.3.1 直線運(yùn)動的定義直線運(yùn)動的定義)

14、(xP 質(zhì)點(diǎn)在一條確定的直線上的運(yùn)動稱之為質(zhì)點(diǎn)在一條確定的直線上的運(yùn)動稱之為直線運(yùn)動直線運(yùn)動. . 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)P 的位置矢量為的位置矢量為 i xr 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)P 的位移為的位移為 i xr 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)P 的速度為的速度為 idtdxv 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)P 的加速度為的加速度為 idtxda22 矢量矢量標(biāo)量？標(biāo)量？1.3.2 直線運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)公式直線運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)公式 假定質(zhì)點(diǎn)沿假定質(zhì)點(diǎn)沿x 軸作軸作勻加速勻加速直線運(yùn)動，加直線運(yùn)動，加速度速度a 不隨時(shí)間變化，初位置為不隨時(shí)間變化，初位置為 ，初速度，初速度為為 ，則，則 0 x0vdtdva adtdv tvvadtdv00atvv 0atvdtdx 0

15、又又 dtatvdx 0 txxdtatvdx00020021attvxx )(20202xxavv 由直線運(yùn)動速度公式和位移公式由直線運(yùn)動速度公式和位移公式消去時(shí)消去時(shí)間參數(shù)間參數(shù)可得可得例例5、設(shè)某質(zhì)點(diǎn)、設(shè)某質(zhì)點(diǎn)沿沿x軸運(yùn)動軸運(yùn)動，在，在t=0時(shí)的速度為時(shí)的速度為v0，其加速度與速，其加速度與速度的大小成正比而度的大小成正比而方向相反方向相反，比例系數(shù)為，比例系數(shù)為k(k0)，試求速度隨，試求速度隨時(shí)間變化的關(guān)系式。時(shí)間變化的關(guān)系式。 解：由題意及加速度的定義式，可知解：由題意及加速度的定義式，可知 dtdvkva 因而因而 kdtvdv 積分積分 tvvkdtvdv00得得 ktvv 0ln所以所以 ktevv 0速度的方向保持不變，速度的方向保持不變，但大小隨時(shí)間增大而減但大小隨時(shí)間增大而減小，直到速度小，直到速度等于零等于零為止（反向？）為止（反向？）。 例題分析例題分