反比例函數(shù)圖象中的等角模型及其在中考題中的應用

1、反比例函數(shù)圖象中的等角模型及其在中考題中的應用 原先自己研究反比例函數(shù)圖象，得到了以下三條結(jié)論，當時以為解決反比例函數(shù)圖象難題，用好這三條就足夠了。三條結(jié)論分別是：結(jié)論一：過反比例函數(shù)一支上兩點分別向x軸和y軸作垂線段，則垂足連線與原兩點連線平行。如圖，即ABCD。證明：根據(jù)平行線帶來的等面積轉(zhuǎn)換，SACD=SACO=k/2=SBDO=SBDC，即A，B兩點到直線CD的距離相等，且位于CD同側(cè)，故ABCD。結(jié)論二：三頂點分別在原點、x軸上，y軸上的矩形，若反比例函數(shù)圖象經(jīng)過其兩邊，則兩邊被分出的兩條線段之比對應相等。 如圖，即EA：AC=EB：BD證明：連AB，CD，由結(jié)論

2、一有ABCD，根據(jù)相似知識顯然結(jié)論二成立。結(jié)論三：過雙曲線一支上兩點作直線與坐標軸相交，則每點與其相鄰坐標軸交點構(gòu)成的線段長相等。如圖，即AE=BF證明：過A作y軸垂線段垂足為C，過B作x軸垂線段垂足為D。連接CD，由結(jié)論一有ABCD，則四邊形ACDF與BDCE均為平行四邊形，得到AC=DF，CE=DB，再通過全等得到ACEFDB，AE=BF。至于設點坐標用代數(shù)證，一來略超綱，二來繁瑣，最重要是沒有美感，反正我沒有這個習慣。 這三個結(jié)論還有一些小的變形，比如一支上的兩點變兩支上的兩點，作垂線的順序改變等，基本都是結(jié)論相同，證明類似，且這些不是今天要講的重點內(nèi)容而只是鋪墊，因此不再贅述

3、只是給出幾張圖。今天要講的內(nèi)容：后來才發(fā)現(xiàn)， 反比例函數(shù)圖象還有一些模型和結(jié)論，不能由前三個結(jié)論直接解決，但可以以前三個結(jié)論為基礎推出結(jié)果間接解決。有如下結(jié)論（個人稱為等角模型）：結(jié)論四：雙曲線一支上任取兩點A，B，在圍著雙曲線該支所在象限的坐標軸上再取兩點C，D，使ABCD構(gòu)成平行四邊形。則有：DCO=BCx，CDO=ADy證明：過A向y軸作垂線段垂足E，過B向x軸作垂線段垂足F，連接EF。由結(jié)論一，有EFCD，則CO：OD=CF：ED。由全等知AEDCFB，ED=BF，即有CO：OD=CF：BF，CODCFB，DCO=BCx，CDO=ADy。結(jié)論五：雙曲線一支上任取兩點A，B，在在圍著雙曲

4、線該支所在象限對頂?shù)南笙薜淖鴺溯S上再取兩點C，D，使ABCD構(gòu)成平行四邊形。則有：ADO=CDO，BCO=DCO，若AD交y軸于F，BC交x軸于E，則四邊形CDFE為菱形。證明：過A作x軸平行線，過D作y軸平行線，兩者交于G，AG交y軸于I；過C作x軸平行線，過B作y軸平行線，兩者交于H，BH交x軸于J；連接IJ。易知AGDCHB，DG=BH。根據(jù)結(jié)論一，有CDIJ，則OD：OC=OJ：OI=CH：DG=CH：BH，則ODCHCBDCO=CBH=BCO，ADO=CDO。有等角后易證CDFE是菱形，略。結(jié)論六：雙曲線一支上任取A，B兩點，BO直線交雙曲線另一支于C，則AB直線，AC直線關(guān)于x軸和

5、y軸的夾角都相等，即ADE=AED，AFG=AGF。由此還有一堆線段相等，如AF=AG=DC=BE，AB=DG等。證明：過A作y軸垂線段垂足為H，過C，B作x軸垂線段垂足分別為I，J。連IH，JH。由雙曲線中心對稱性質(zhì)知CO=OB，則CIOBJO，CI=BJ。由結(jié)論一知，四邊形ICHG與BJHF均為平行四邊形，則CI=HG，BJ=FH，又CI=BJ，HG=HF，AFG=AGF，ADE=AED，進而推出一系列等邊關(guān)系。有意思的是，結(jié)論四五和結(jié)論六可以統(tǒng)一在一個圖里，能挖掘出許多有意思的東西。篇幅關(guān)系不再詳細描述。我們來看一看結(jié)論四五六在中考中的應用：2011年武漢中考填空16題（填空壓軸題）解：先用面積思想得到AD=3AE。再用結(jié)論五知DAO=BAO，AE=AB，過D作DF垂直x軸，ADFABO，AF=3AO=3，DF=3OB=6，直接得到D坐標（2,6）及k值12.2013年武漢中考數(shù)學填空15題解：作C關(guān)于y軸垂線段CE，根據(jù)結(jié)論四，ABO=CBE，ABOCBE，則BE=2BO=4，CE=2AO=2，則C（-2,6),k=-12。2015年常州中考數(shù)學28題（壓軸題）解：（1）略。（2）