多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用第一頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。過(guò)點(diǎn) M 與切線垂直的平面稱為曲線在該點(diǎn)的法平面法平面.置.空間光滑曲線在點(diǎn) M 處的切線切線為此點(diǎn)處割線的極限位點(diǎn)法式可建立曲線的法平面方程利用點(diǎn)向式可建立曲線的切線方程第1頁(yè)/共29頁(yè)第二頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。M設(shè)空間曲線 的參數(shù)方程為：(1), 假設(shè) (1) 的三個(gè)函數(shù)都在上可導(dǎo)，在上取對(duì)應(yīng)于0tt的一點(diǎn)000,M xy z及對(duì)應(yīng)于的鄰近一點(diǎn)第2頁(yè)/共29頁(yè)第三頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。則得曲線 在點(diǎn) M 處的法平面方程法平面方程 切線方程切線方程當(dāng)M沿趨于M時(shí)，割線的

2、極限位置就是曲線M在點(diǎn)處的切線用除上式各分母得令M趨于M（此時(shí) ）0t 第3頁(yè)/共29頁(yè)第四頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。切線的方向向量稱為曲線的切向量.就是曲線 在點(diǎn)M處的一個(gè)切向量.所以第4頁(yè)/共29頁(yè)第五頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。在點(diǎn) M (1, 1, 1) 處的切線 方程與法平面方程. 解：解：點(diǎn)(1, 1, 1) 對(duì)應(yīng)于故點(diǎn)M 處的切向量為)3, 2, 1 (T因此所求切線方程為 法平面方程為即第5頁(yè)/共29頁(yè)第六頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。取x為參數(shù)，則可表為參數(shù)方程的形式若空間曲線 的方程為)()(xzxy法平面方程為為處的在故曲線 ),(000zyxM切

3、線方程第6頁(yè)/共29頁(yè)第七頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。例例2. 求曲線在處的切線和法平面方程。解：兩個(gè)方程左右兩端分別對(duì) x 求導(dǎo)得，所以切向量切線：法平面：即第7頁(yè)/共29頁(yè)第八頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。光滑曲線曲線上一點(diǎn), 且有 可表示為處的切向量為 )(, )(, 100 xxT第8頁(yè)/共29頁(yè)第九頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。則在點(diǎn)切線方程切線方程法平面方程法平面方程有MzyGF),(),(MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(第9頁(yè)/共29頁(yè)第十頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。第10頁(yè)/共29頁(yè)第十一頁(yè)，編輯于星期一：十六

4、點(diǎn) 三十五分。在點(diǎn)M ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程. 解解 方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得曲線在點(diǎn) M(1,2, 1) 處有:切向量解得MMxzxyTdd,dd,1第11頁(yè)/共29頁(yè)第十二頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。切線方程法平面方程即點(diǎn) M (1,2, 1) 處的切向量)1,0, 1(T第12頁(yè)/共29頁(yè)第十三頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。設(shè) 有光滑曲面通過(guò)其上定點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn) M,切線方程為不全為0 . 則 在且點(diǎn) M 的切向量切向量為任意引一條光滑曲線下面證明:此平面稱為 在該點(diǎn)的切平面切平面. 上過(guò)點(diǎn) M 的任何曲線在該點(diǎn)的切線都在同一平面上. )(, )(, )

5、(000tttTMT第13頁(yè)/共29頁(yè)第十四頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。T在 上,得)(, )(, )(000tttT),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量由于曲線 的任意性 , 表明這些切線都在以為法向量n的平面上 ,從而切平面存在 .n第14頁(yè)/共29頁(yè)第十五頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。曲面 在點(diǎn) M 的法向量法向量: 法線方程法線方程),(000zyxFx),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 過(guò)M點(diǎn)且垂直于切平面的直線 稱為曲面 在點(diǎn) M 的法線法線. MTn第15頁(yè)/共29頁(yè)第十

6、六頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。曲面時(shí), 則在點(diǎn)故當(dāng)函數(shù) 法線方程法線方程令在點(diǎn)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí), 切平面方程切平面方程法向量法向量) 1),(),(0000yxfyxfnyx第16頁(yè)/共29頁(yè)第十七頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。在點(diǎn)(1 , 2 , 3) 處的切平面及法線方程. 解解: 令所以球面在點(diǎn) (1 , 2 , 3) 處有:切平面方程切平面方程 即法線方程法線方程法向量)2,2,2(zyxn )6,4,2()3, 2, 1(n第17頁(yè)/共29頁(yè)第十八頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。例例5. 求曲面在點(diǎn)(2 , 1 , 4) 處的切平面及法線方程. 解解:所以曲面在點(diǎn) (

7、2, 1 , 4) 處有:切平面方程切平面方程 即法線方程法線方程法向量第18頁(yè)/共29頁(yè)第十九頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。法向量法向量用將表示法向量的方向角,并假定法向量方向分別記為則向上,) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx復(fù)習(xí) 第19頁(yè)/共29頁(yè)第二十頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。1. 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 切線方程法平面方程1) 參數(shù)式情況.空間光滑曲線切向量)(, )(, )(000tttT第20頁(yè)/共29頁(yè)第二十一頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。切線方程法平面方程空間光滑曲線切向量)(0 xx)(0yy 0)(0 zzT第2

8、1頁(yè)/共29頁(yè)第二十二頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分?？臻g光滑曲面0),(:zyxF曲面 在點(diǎn)法線方程法線方程1) 隱式情況 .的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx第22頁(yè)/共29頁(yè)第二十三頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。空間光滑曲面切平面方程切平面方程法線方程法線方程法線的方向余弦方向余弦法向量法向量) 1 ,(yxffn第23頁(yè)/共29頁(yè)第二十四頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。 作業(yè)作業(yè)P45 1，4，5, 8 第24頁(yè)/共29頁(yè)第二十五頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。1. 如果平面與橢球面相切,提示提示: 設(shè)切點(diǎn)為則(二法向量平行) (切點(diǎn)在平面上)(切點(diǎn)在橢球面上)第25頁(yè)/共29頁(yè)第二十六頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。證明 曲面上任一點(diǎn)處的切平面都通過(guò)原點(diǎn).提示提示: 在曲面上任意取一點(diǎn)則通過(guò)此第七節(jié) 證明原點(diǎn)坐標(biāo)滿足上述方程 .點(diǎn)的切平面為第26頁(yè)/共29頁(yè)第二十七頁(yè)，編輯于星期一：十六點(diǎn) 三十五分。與定直線平行,證證: 曲面上任一點(diǎn)的法向量取定直線的方向向量為則(定向量)故結(jié)論成立 .的所有切平面恒(n(l,0nl第27頁(yè)/共29頁(yè)第二十八頁(yè)，編輯于星期一：十六