復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第一頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法呢？復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法呢？這主要是對(duì)于沒有具體給出式子的所謂抽象函數(shù)這主要是對(duì)于沒有具體給出式子的所謂抽象函數(shù)如如),(22xyyxfz 它是由它是由),(vufz xyvyxu ,22及復(fù)合而成的復(fù)合而成的由于由于 f 沒有具體給出沒有具體給出時(shí)時(shí)在求在求yzxz , 一元復(fù)合函數(shù)的微分法則就無能為力了，為一元復(fù)合函數(shù)的微分法則就無能為力了，為此還要介紹多元復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的此還要介紹多元復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法。微分法。第1頁/共33頁第二頁，編輯于星期一：

2、十五點(diǎn) 十分。一、鏈?zhǔn)椒▌t一、鏈?zhǔn)椒▌t證證第2頁/共33頁第三頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。第3頁/共33頁第四頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況.如如以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為稱為dtdz 上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：元函數(shù)的情況：第4頁/共33頁第五頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。鏈?zhǔn)椒▌t如圖示鏈?zhǔn)椒▌t如圖示zuv第5頁/共33頁第六頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。 uz vz稱為標(biāo)準(zhǔn)法則或稱為標(biāo)準(zhǔn)法則或 這個(gè)公式的特征：這個(gè)

3、公式的特征：函數(shù)函數(shù)有兩個(gè)自變量有兩個(gè)自變量 x 和和 y故法則中包含故法則中包含兩個(gè)公式；兩個(gè)公式；第6頁/共33頁第七頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。由于在復(fù)合過程中有兩個(gè)中間變量由于在復(fù)合過程中有兩個(gè)中間變量 u 和和 v故法則中每一個(gè)公式都是兩項(xiàng)之和，這兩故法則中每一個(gè)公式都是兩項(xiàng)之和，這兩項(xiàng)分別含有項(xiàng)分別含有 每一項(xiàng)的構(gòu)成與一元復(fù)合函數(shù)的鏈導(dǎo)法則類似，每一項(xiàng)的構(gòu)成與一元復(fù)合函數(shù)的鏈導(dǎo)法則類似，即即“函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)量的導(dǎo)數(shù)”多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則簡言之即：多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則簡言之即：“分道相加，連線相乘分道相加，

4、連線相乘” 第7頁/共33頁第八頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。zwvuyx第8頁/共33頁第九頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。特殊地特殊地其其中中即即令令兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別區(qū)別類區(qū)別類似似第9頁/共33頁第十頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。注注 此公式可以推廣到任意多個(gè)中間變量和任意多此公式可以推廣到任意多個(gè)中間變量和任意多個(gè)自變量的情形個(gè)自變量的情形如如則則 從以上推廣中我們可以得出：所有公式中兩兩從以上推廣中我們可以得出：所有公式中兩兩乘積的項(xiàng)數(shù)等于中間變量的個(gè)數(shù)，而與自變量的個(gè)乘積的項(xiàng)數(shù)等于中間變量的個(gè)數(shù)，而與自變量的個(gè)數(shù)無關(guān)數(shù)無關(guān)第10頁/共33頁第十一頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十

5、分。關(guān)于多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問題關(guān)于多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問題這是一項(xiàng)基本技能，要求熟練掌握，尤其是求二階這是一項(xiàng)基本技能，要求熟練掌握，尤其是求二階偏導(dǎo)數(shù)，既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)。對(duì)求導(dǎo)公式不求強(qiáng)記偏導(dǎo)數(shù)，既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)。對(duì)求導(dǎo)公式不求強(qiáng)記，而要切實(shí)做到徹底理解。注意以下幾點(diǎn)將會(huì)有助，而要切實(shí)做到徹底理解。注意以下幾點(diǎn)將會(huì)有助于領(lǐng)會(huì)和理解公式，在解題時(shí)自如地運(yùn)用公式于領(lǐng)會(huì)和理解公式，在解題時(shí)自如地運(yùn)用公式用圖示法表示出函數(shù)的復(fù)合關(guān)系用圖示法表示出函數(shù)的復(fù)合關(guān)系函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu)函數(shù)對(duì)某個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu)（項(xiàng)數(shù)及項(xiàng)的構(gòu)成）（項(xiàng)數(shù)及項(xiàng)的構(gòu)成）第11頁/共33頁第十二頁，編輯于星期一：十五點(diǎn)

6、 十分。 的結(jié)構(gòu)是求抽象的復(fù)的結(jié)構(gòu)是求抽象的復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵 ),(),(vufvufvu弄清弄清 ),(),(vufvufvu仍是復(fù)合函仍是復(fù)合函數(shù)數(shù)且復(fù)合結(jié)構(gòu)與原來的且復(fù)合結(jié)構(gòu)與原來的 f ( u , v ) 完全相同完全相同即仍是以即仍是以 u , v 為中間變量，以為中間變量，以 x , y 為自變量的為自變量的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)因此求它們關(guān)于因此求它們關(guān)于 x , y 的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)必須使鏈?zhǔn)椒▌t的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)必須使鏈?zhǔn)椒▌t第12頁/共33頁第十三頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。在具體計(jì)算中最容易出錯(cuò)的地方是對(duì)在具體計(jì)算中最容易出錯(cuò)的地方是對(duì) ),( vufu

7、再求偏導(dǎo)數(shù)這一步再求偏導(dǎo)數(shù)這一步 是與是與 f ( u , v ) 具有相同結(jié)構(gòu)的復(fù)合函數(shù)易被誤認(rèn)為僅是具有相同結(jié)構(gòu)的復(fù)合函數(shù)易被誤認(rèn)為僅是 u 的函數(shù)，從而導(dǎo)致漏掉的函數(shù)，從而導(dǎo)致漏掉),(vufu這這一一項(xiàng)項(xiàng)uvf原因就是不注意原因就是不注意 求抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，一定要設(shè)中間變量求抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，一定要設(shè)中間變量注意引用這些公式的條件注意引用這些公式的條件外層函數(shù)可微（偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)）外層函數(shù)可微（偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)） 內(nèi)層函數(shù)可導(dǎo)內(nèi)層函數(shù)可導(dǎo) vuuvff ,的合并問題的合并問題視題設(shè)條件視題設(shè)條件第13頁/共33頁第十四頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。解解 xz uzxu vzxv yz u

8、zyu vzyv 第14頁/共33頁第十五頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。解解例例3 設(shè)設(shè)),(),(),(),(),( ryyrxxyxvvyxuuvufw 均滿足復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的條件均滿足復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的條件 計(jì)算計(jì)算 wrw,（兩重復(fù)合問題）（兩重復(fù)合問題）解解由鏈?zhǔn)椒▌t由鏈?zhǔn)椒▌t第15頁/共33頁第十六頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。故故同理可得同理可得第16頁/共33頁第十七頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。解解令令記記同理有同理有第17頁/共33頁第十八頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。于是于是 zxw2二、全微分形式不變性二、全微分形式不變性第18頁/共33頁第十九頁，編輯于星期

9、一：十五點(diǎn) 十分。全微分形式不變形的實(shí)質(zhì)全微分形式不變形的實(shí)質(zhì)： 無論無論 是自變量是自變量 的函數(shù)或中間變量的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.zvu、vu、第19頁/共33頁第二十頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。 利用全微分形式不變性，在逐步作微分運(yùn)算的利用全微分形式不變性，在逐步作微分運(yùn)算的過程中，不論變量間的關(guān)系如何錯(cuò)綜復(fù)雜，都可過程中，不論變量間的關(guān)系如何錯(cuò)綜復(fù)雜，都可以不加辨認(rèn)和區(qū)分，而一律作為自變量來處理以不加辨認(rèn)和區(qū)分，而一律作為自變量來處理且作微分運(yùn)算的結(jié)果對(duì)自變量的微分且作微分運(yùn)算的結(jié)果對(duì)自變量的微分 來說是線性的來說是線性的從而

10、為解題帶來很多方便，而且也不易出錯(cuò)從而為解題帶來很多方便，而且也不易出錯(cuò)第20頁/共33頁第二十一頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。uxyxx例例5 設(shè)設(shè)各函數(shù)滿足求導(dǎo)條件各函數(shù)滿足求導(dǎo)條件求求解一解一變量間的關(guān)系如下圖所示變量間的關(guān)系如下圖所示第21頁/共33頁第二十二頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。這里變量間的關(guān)系比較混亂這里變量間的關(guān)系比較混亂用全微分來解用全微分來解由全微分定理由全微分定理注意到注意到 x , z 是獨(dú)立自變量是獨(dú)立自變量 解二解二第22頁/共33頁第二十三頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。由全微分定義由全微分定義注注解法二在實(shí)際計(jì)算中顯得十分靈便且不易出錯(cuò)解法二在實(shí)際計(jì)算

11、中顯得十分靈便且不易出錯(cuò)故故 第23頁/共33頁第二十四頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。三、小結(jié)三、小結(jié)1、鏈?zhǔn)椒▌t、鏈?zhǔn)椒▌t（分三種情況）（分三種情況）（特別要注意課中所講的特殊情況）（特別要注意課中所講的特殊情況）2、全微分形式不變性、全微分形式不變性（理解其實(shí)質(zhì)）（理解其實(shí)質(zhì)）第24頁/共33頁第二十五頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。思考題思考題第25頁/共33頁第二十六頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。思考題解答思考題解答第26頁/共33頁第二十七頁，編輯于星期一：十五點(diǎn) 十分。練練 習(xí)習(xí) 題題一、填空題一、填空題: : 1 1、設(shè)、設(shè)xyyxzcoscos , ,則則 xz_； yz_. . 2 2、 設(shè)設(shè)22)23ln(yyxxz , ,則則 xz_； yz_._. 3 3、設(shè)、設(shè)32sinttez , ,則則 dtdz_._. 二二、設(shè)設(shè)uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz , . . 第27頁