專題二：平行四邊形常用輔助線的作法

1、專題講義平行四邊形十幾何輔助線的作法、知識點(diǎn)1 .四邊形的號角和與外角和定理：(1)四邊訪q內(nèi)角和等于360° ；(2斗網(wǎng)飛卜角和等于360° .2 . "形加布*外角和定理：1 1) n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)180 °(2)任意多邊形的外角和等于 36003 .平行四邊形的性質(zhì)：(1)兩組對邊分別平行;(2)兩組對邊分別相等;(3)兩組對角分別相等;(4)對角線互相平分； (5)鄰角互補(bǔ).性質(zhì)四邊形ABC北平行四邊形 .>閆 判定4、A/四邊形遍方法的選擇 5、和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法(1)利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形例1、如圖，

2、已知點(diǎn)O是平行四邊形ABCD勺對角線AC的中點(diǎn)，四邊形OCD日平行四邊形. 求證：OE與AD互相平分.說明：當(dāng)已知條件中涉及到平行，且要求(2)利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形證的結(jié)論中和平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)， 可例2、如圖，在 ABC中，E、F為AB上兩匹巧布麻/腳叫£闌強(qiáng)料曲碟C.(3)利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形說明：當(dāng)圖形中涉及到一組對邊平例3、如圖口已知;E ABC勺中線，BE交A DC許性,史源即中祎施=EF求ft BF=AC.對邊平行，得到平行 四邊形解決 問(4)連結(jié)對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等用“：本題通過利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形，實(shí)際上是采用了平移

3、法構(gòu)造平行四邊，且AE CF ,請你以F為一形.當(dāng)已知中點(diǎn)或中線應(yīng)思考這種方法.例4、如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F在對角線AC上，且AE CF ,請你以F為一個(gè)端點(diǎn),和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段， 猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等(只需證明一條線段即可)(5)平移對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例5、如右圖2,在平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O,如果AC 12,BD 10, AB m,那么m的取值范圍是()4A、1 m 11B 、2 m 22"二/C、10 m 12 D 、5 m 6§c(6)過一邊兩端點(diǎn)作對邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)

4、化為矩形和直角三角形問題。例6、已知：如圖，四邊形 ABCD為平行四邊形求證：AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2(7)延長一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例7、已知：如右上圖4,在正方形ABCD中，E,F分別是CD、DA的中點(diǎn)，BE與CF交于P點(diǎn)，求證：AP AB二、課堂練習(xí)：1、如圖，E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，AC與DE相交于點(diǎn)F ,若平行四邊形ABCD D . C的面積為S,則圖中面積為1s的三角形有()A. 1個(gè) B . 2個(gè) C . 0彳/D0.4,個(gè).ABE2、順次連接一個(gè)任意四邊形四邊的中點(diǎn)，得到一個(gè) 四邊形.3、如圖，AD, BC垂直相交于點(diǎn)

5、 0, AB/ CD BC=8 AD=Q猜想. A5、平行四邊形ABCD中，E,G,F,H分別是四條邊上的AE CF , BC DH ,4試說明：EF與GH相互平分.6、如圖，平行四邊形 ABCD勺對角線AC和BD交十O, E、F分另 任作一直線分，另1交AR CD于G、H./試說明：GF/ EH, C 3 1EI-| c，ECFB圖3圖y。4¥國BC4、已知等邊三角形 ABC的邊長為a, P是 ABC內(nèi)一點(diǎn)，PD/ AB, PE/ BC PF /AC,點(diǎn)D E、F分另I在BC、AC. AB上，猜想：PN PE+PF=并證明你的 人貝U AB+CD勺長=o7、如圖，已知AB AC ,

6、 B是AD的中點(diǎn)，e是AB的中點(diǎn).試說明：CD 2CE8、如圖，E是梯形ABCD要DC的中點(diǎn).試說明：S ABE 二 S梯形 ABCD29、已知六邊形 ABCDEF勺6個(gè)內(nèi)角均為120° , C52cm, 試求此六邊形的周長.g110、已知 ABC是等腰三角形，AB=AC D是BC邊上的任一點(diǎn)，且D AB，"DF AC,CH AB ,垂足分別為E、F、H,A .及TA求證：DE DF CH11、已知：在 Rt ABC中，AB BC ;在Rt ADE中，AD DE ；連結(jié)EC,取EC的中點(diǎn)M，:連結(jié)DM和BM .(1)若點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊AB上且與點(diǎn)B不重合，如圖，求證

7、：BM DM 且 BM DM ;圖圖-DEAO OC, DO OB AO AE OC FC 即 OE OF BF DECE , DC BE ,則有四邊形CDBE為平行(2)如果將圖8-中的ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)小于45°的角，如圖，那么(1) 中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明.答案：例4、(1)連結(jié)BFBF(3)證明：連結(jié)DB,DF ,設(shè)DB,AC交于點(diǎn)O四邊形ABCD為平行四邊形v AE FC四邊形EBFD為平行四邊形例5、解：將線段DB沿DC方向平移，使得DB四邊形，.在 ACE 中，AC 12, CE BD 10, AE 2AB 2m故選A .1

8、2 10 2m 12 10,即 2 2m 22 解得 1 m 11例6、證明：過A,D分別作AE BC于點(diǎn)E , DF BC的延長線于點(diǎn)F .AC2 AE2 CE2 AB2BE2 (BC BE)2 AB2 BC2 2BE BC貝 IJAC2 BD2 AB2 BC2CD2 DA2 2BC CF 2BC BE四邊形ABCD為平行四邊形AB /CD 且 ABCD , AD BCABC DCFAEBDFC900ABE DCFAC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2 例7、證明：延長CF交BA的延長線于點(diǎn)二.四邊形ABCD為正方形AB / CDH AB CD,CD AD ,BADBCD900又丁D

9、 DAK900, DF AFCDF 0 KAFBCDABD 900900 CE 1CD DF,2BCE03 9001-AD2CDFCPB900，則DFKPB 900、課堂練習(xí)1、 C2、平行、1045、分析:形，根據(jù)6、分析:平行四邊形的對角線互相平分這一性質(zhì)即可得到EF與GH相互了分、觀察圖形，GF與EH為四邊形GEHFF勺對邊，若能說明四邊形EHFCfe平行圉邊形,觀察圖形，EF與HG為四邊形HEGFF勺對角線，若能說明四邊形 HEG即平行四邊平行四7、分析:行四邊形邊形具有對邊平行的性質(zhì)可得 GF/ EH延長CE至F,使EF= CE連結(jié)AF、BF,得四邊形AFBOW'KD458、

10、分析:形,9、10、的性質(zhì)證明 DBC! zFBC即可。過點(diǎn)E作MN AB,交BC于N,交AD的延長線于M,則四ABN ABN ABE與四邊形ABN由底等高，所以SS梯形ABC- S平行四邊形ABNIMIf!可 o證明：過D點(diǎn)作DGL CHT G又 DEL AB于 E, CHL AB于 H四邊形DGH的矩形. ./B= /GDC又 AB= ACGD© /ACB又/ DG© / DFC= 900； ABE= S 平行四邊形ABNM 接下來說明.DE= GH EH / DG / B= / ACBCD = DC （公共邊）RD MN C. .CD等 ADCF （AASDF= CG

11、又 C+ CG+ GH .CH= DF+ DG （等量代換）11、平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同 性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成 三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理， 其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：(1)連對角線或平移對角線：(2)過頂點(diǎn)作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形(3)連接對角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過對角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線(4)連接頂點(diǎn)與對邊上一點(diǎn)的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。(5)過頂點(diǎn)作對角

12、線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等第一類：連結(jié)對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形。例 1 如左下圖1，在平行四邊形ABCD 中，點(diǎn) E, F 在對角線AC 上，且 AE CF , 請你以 F 為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只需證明一條線段即可）連結(jié) BF BF DE證明：連結(jié)DB,DF ,設(shè)DB,AC交于點(diǎn)OABCD 為平行四邊形AO OC, DO OBV AE FC二 AO AE OC FC 即 OE OF四邊形EBFD為平行四邊形 BF DE第二類：平移對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例2如右圖2,在平行四邊形ABCD中，

13、對角線AC和BD相交于點(diǎn)0,如果AC 12, BD 10, AB m,那么m的取值范圍是（）A1 m 11 B 2 m 22 C 10 m 12 D 5 m 6解： 將線段DB 沿 DC 方向平移，使得 DB CE , DC BE , 則有四邊形CDBE 為平行四邊形，.在 ACE 中，AC 12, CE BD 10, AE 2AB 2m.12 10 2m 12 10,即 2 2m 22 解得 1 m 11 故選 A第三類：過一邊兩端點(diǎn)作對邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問題。例 3 已知：如左下圖3，四邊形ABCD 為平行四邊形求證： AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA

14、2證明：過A,D分別作AE BC于點(diǎn)E , DF BC的延長線于點(diǎn)FAC2 AE2 CE 2 AB2 BE2 (BC BE)2 AB2 BC2 2BE BC 則 AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2 2BC CF 2BC BEv四邊形ABCD為平行四邊形AB / CD且AB CD , AD BCABC DCF: AEB DFC 900 ABE DCFBE CF.AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2第四類：延長一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例4:已知：如右上圖4,在正方形ABCD中，E,F分別是CD、DA的中點(diǎn)，BE與CF交于 P 點(diǎn)，求證：AP AB證明：延

15、長CF交BA的延長線于點(diǎn)K二.四邊形ABCD為正方形AB / CDH AB CD, CD AD , BAD BCD D 900二 1 K 又' D DAK 900, DF AFCDF KAF-1 -1 AK CD AB. . CE -CD DF -AD2,2BCD D 900BCEW CDFv 1 3 90023 900CPB 90O，則 KPB 90° AP AB第五類：延長一邊上一點(diǎn)與一頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線型相似三角形。例5如左下圖5,在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD上任一點(diǎn)，請你在該圖基礎(chǔ)上， 適當(dāng)添加輔助線找出兩對相似三角形。解：延長 AE與BC的延長線相交于 F ,則有 AED s FEC , FAB s FEC , AED sFAB第六類：把對角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)連結(jié)，構(gòu)造三角形中位線例6已知：如右上圖6,在平行四邊形ABCD中，A