初中數(shù)學定理證明(共15頁)

1、 初中數(shù)學定理證明 三角形三條邊的關系 定理：三角形兩邊的和大于第三邊 推論：三角形兩邊的差小于第三邊 三角形內(nèi)角和 三角形內(nèi)角和定理 三角形三個內(nèi)角的和等于180° 推論1 直角三角形的兩個銳角互余 推論2 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和 推論3 三角形的一個外角大雨任何一個和它不相鄰的內(nèi)角 角的平分線 性質(zhì)定理 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等 幾何語言： OC是AOB的角平分線(或者AOC=BOC) PEOA，PFOB 點P在OC上 PE=PF(角平分線性質(zhì)定理) 判定定理 到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上 幾何語言： PEOA，PFOB

2、PE=PF 點P在AOB的角平分線上(角平分線判定定理) 等腰三角形的性質(zhì) 等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩底角相等 幾何語言： AB=AC B=C(等邊對等角) 推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊 幾何語言： (1)AB=AC，BD=DC 1=2，ADBC(等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊) (2)AB=AC，1=2 ADBC，BD=DC(等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊) (3)AB=AC，ADBC 1=2，BD=DC(等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊) 推論2 等邊三角形的各角都相等，并且每一個角等于60° 幾何語言： AB=AC=BC A=B=C=

3、60°(等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°) 等腰三角形的判定 判定定理 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等 幾何語言： B=C AB=AC(等角對等邊) 推論1 三個角都相等的三角形是等邊三角形 幾何語言： A=B=C AB=AC=BC(三個角都相等的三角形是等邊三角形) 推論2 有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形 幾何語言： AB=AC，A=60°(B=60°或者C=60°) AB=AC=BC(有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形) 推論3 在直角三角形中，如果一個銳角等于

4、30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半 幾何語言： C=90°，B=30° BC= AB或者AB=2BC(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半) 線段的垂直平分線 定理 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等 幾何語言： MNAB于C，AB=BC，(MN垂直平分AB) 點P為MN上任一點 PA=PB(線段垂直平分線性質(zhì)) 逆定理 和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上 幾何語言： PA=PB 點P在線段AB的垂直平分線上(線段垂直平分線判定) 軸對稱和軸對稱圖形 定理1 關于某條之間對稱的

5、兩個圖形是全等形 定理2 如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線 定理3 兩個圖形關于某直線對稱，若它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上 逆定理 若兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那這兩個圖形關于這條直線對稱 勾股定理 勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和，等于斜邊c的平方，即 a2 + b2 = c2 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a、b、c有關系，那么這個三角形是直角三角形 四邊形 定理 任意四邊形的內(nèi)角和等于360° 多邊形內(nèi)角和 定理 多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n - 2)·180

6、° 推論 任意多邊形的外角和等于360° 平行四邊形及其性質(zhì) 性質(zhì)定理1 平行四邊形的對角相等 性質(zhì)定理2 平行四邊形的對邊相等 推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等 性質(zhì)定理3 平行四邊形的對角線互相平分 幾何語言： 四邊形ABCD是平行四邊形 ADBC，ABCD(平行四邊形的對角相等) A=C，B=D(平行四邊形的對邊相等) AO=CO，BO=DO(平行四邊形的對角線互相平分) 平行四邊形的判定 判定定理1 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形 幾何語言： ADBC，ABCD 四邊形ABCD是平行四邊形 (兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形) 判定定理2 兩組對角分別

7、相等的四邊形是平行四邊形 幾何語言： A=C，B=D 四邊形ABCD是平行四邊形 (兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形) 判定定理3 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 幾何語言： AD=BC，AB=CD 四邊形ABCD是平行四邊形 (兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形) 判定定理4 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 幾何語言： AO=CO，BO=DO 四邊形ABCD是平行四邊形 (對角線互相平分的四邊形是平行四邊形) 判定定理5 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 幾何語言： ADBC，AD=BC 四邊形ABCD是平行四邊形 (一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形) 矩形 性質(zhì)

8、定理1 矩形的四個角都是直角 性質(zhì)定理2 矩形的對角線相等 幾何語言： 四邊形ABCD是矩形 AC=BD(矩形的對角線相等) A=B=C=D=90°(矩形的四個角都是直角) 推論 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 幾何語言： ABC為直角三角形，AO=OC BO= AC(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半) 判定定理1 有三個角是直角的四邊形是矩形 幾何語言： A=B=C=90° 四邊形ABCD是矩形(有三個角是直角的四邊形是矩形) 判定定理2 對角線相等的平行四邊形是矩形 幾何語言： AC=BD 四邊形ABCD是矩形(對角線相等的平行四邊形是矩形) 菱形 性質(zhì)定理1

9、 菱形的四條邊都相等 性質(zhì)定理2 菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角 幾何語言： 四邊形ABCD是菱形 AB=BC=CD=AD(菱形的四條邊都相等) ACBD，AC平分DAB和DCB，BD平分ABC和ADC (菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角) 判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形 幾何語言： AB=BC=CD=AD 四邊形ABCD是菱形(四邊都相等的四邊形是菱形) 判定定理2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 幾何語言： ACBD，AO=CO，BO=DO 四邊形ABCD是菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形) 正方形 性質(zhì)定理1 正方形的四個角都是直角，四

10、條邊都相等 性質(zhì)定理2 正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角 中心對稱和中心對稱圖形 定理1 關于中心對稱的兩個圖形是全等形 定理2 關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分 逆定理 如果兩個圖形的對應點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱 梯形 等腰梯形性質(zhì)定理 等腰梯形在同一底上的兩個角相等 幾何語言： 四邊形ABCD是等腰梯形 A=B，C=D(等腰梯形在同一底上的兩個角相等) 等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形 幾何語言： A=B，C=D 四邊形ABCD是等腰梯形(在同一底上的兩個角

11、相等的梯形是等腰梯形) 三角形、梯形中位線 三角形中位線定理 三角形的中位線平行與第三邊，并且等于它的一半 幾何語言： EF是三角形的中位線 EF= AB(三角形中位線定理) 梯形中位線定理 梯形的中位線平行與兩底，并且等于兩底和的一半 幾何語言： EF是梯形的中位線 EF= (AB+CD)(梯形中位線定理) 比例線段 1、 比例的基本性質(zhì) 如果ab=cd，那么ad=bc 2、 合比性質(zhì) 3、 等比性質(zhì) 平行線分線段成比例定理 平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例 幾何語言： lpa (三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例) 推論 平行與三角形一邊的直線截其

12、他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例 定理 如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例，那么這條直線平行與三角形的第三邊 垂直于弦的直徑 垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧 幾何語言： OCAB，OC過圓心 (垂徑定理) 推論1 (1) 平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧 幾何語言： OCAB，AC=BC，AB不是直徑 (平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧) (2) 弦的垂直平分線過圓心，并且平分弦所對的兩條弧 幾何語言： AC=BC，OC過圓心 (弦的垂直平分線過圓心，并且平分弦所對的兩條弧)

13、 (3) 平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 幾何語言： (平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧) 推論2 圓的兩條平分弦所夾的弧相等 幾何語言：ABCD 圓心角、虎弦、弦心距之間的關系 定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距也相等 推論 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條虎兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等 圓周角 定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半 推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等 推論2 半圓(或

14、直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直角 推論3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形 圓的內(nèi)接四邊形 定理 圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角 幾何語言： 四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形 A+C=180°，B+ADB=180°，B=ADE 切線的判定和性質(zhì) 切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 幾何語言：l OA，點A在O上 直線l是O的切線(切線判定定理) 切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點半徑 幾何語言：OA是O的半徑，直線l切O于點A l OA(切線性質(zhì)定理)

15、 推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直徑必經(jīng)過切點 推論2 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心 切線長定理 定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角 幾何語言：弦PB、PD切O于A、C兩點 PA=PC，APO=CPO(切線長定理) 弦切角 弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對的圓周角 幾何語言：BCN所夾的是 ，A所對的是 BCN=A 推論 如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等 幾何語言：BCN所夾的是 ，ACM所對的是 ， = BCN=ACM 和圓有關的比例線段 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被焦點分成的兩條線段長的積相等 幾何語言：弦AB、CD交于點P PA·PB=PC·PD(相交弦定理) 推論：如果弦與直徑垂直相交