時間序列第一章緒論

1、第一章第一章 緒緒 論論通過本章的學(xué)習(xí)，理解時間序列的概念，特別是隨機時間序列的概念，掌握時間序列的建立過程，掌握確定性時序分析方法，掌握隨機過程的概念，深刻理解平穩(wěn)性和白噪聲。 第一節(jié)第一節(jié) 時間序列分析的一般問題時間序列分析的一般問題 時間序列的含義 時間序列是指被觀察到的以時間為序排列的數(shù)據(jù)序列。 時間序列可以以表格的形式或圖形的形式表現(xiàn)。例： 上海180指數(shù)某時間段的變化日期收盤日期收盤日期收盤2003-1-21320.632003-1-291499.822003-3-61498.342003-1-31319.862003-2-101480.172003-3-71493.092003-

2、1-61334.682003-2-111492.762003-3-101468.922003-1-71332.062003-2-121510.672003-3-111469.552003-1-81372.072003-2-131504.342003-3-121475.012003-1-91397.382003-2-141510.952003-3-131464.652003-1-101384.862003-2-171496.522003-3-141466.052003-1-131386.312003-2-181496.462003-3-171469.272003-1-141466.852003-

3、2-191510.82003-3-181459.892003-1-151459.922003-2-201509.482003-3-191469.962003-1-161485.622003-2-211478.872003-3-201464.542003-1-171478.682003-2-241481.942003-3-211474.662003-1-201482.682003-2-251511.282003-3-241477.772003-1-211454.892003-2-261513.182003-3-251462.42003-1-221460.532003-2-271513.72003

4、-3-261456.272003-1-231450.622003-2-281511.932003-3-271499.352003-1-241479.072003-3-31525.482003-3-281491.942003-1-271496.162003-3-41524.32003-3-311510.582003-1-281500.642003-3-51517.18130013501400145015001550510152025303540455055國際航運乘客資料（單位：千人）1949:01:001121181321291211351949:07:00148148136119104118

5、1950:01:001151261411351251491950:07:001701701581331141401951:01:001451501781631721781951:07:001991991841621461661952:01:001711801931811832181952:07:002302422091911721941953:01:001961962362352292431953:07:002642722372111802011954:01:002041882352272342641954:07:003022932592292032291955:01:002422332672

6、692703151955:07:003643473122742372781956:01:002842773173133183741956:07:004134053553062713061957:01:003153013563483554221957:07:004654674043473053361958:01:003403183623483634351958:07:004915054043593103371959:01:003603424063964204721959:07:005485594634073624051960:01:004173914194614725351960:07:0062

7、2606508461390432010020030040050060070049505152535455565758596019461970美國各季生產(chǎn)者耐用品支出（單位：十億美元）年度和季度 耐用品支出 年度和季度 耐用品支出 年度和季度 耐用品支出1946:01:007.51955:01:0020.91964:01:0037.91946:02:008.91955:02:00231964:02:00391946:03:0011.11955:03:0024.91964:03:00411946:04:0013.41955:04:0026.51964:04:0041.61947:01:0015.5

8、1956:01:0025.61965:01:0043.71947:02:0015.71956:02:0026.11965:02:0044.41947:03:0015.61956:03:00271965:03:0046.61947:04:0016.71956:04:0027.21965:04:0048.31948:01:00181957:01:0028.11966:01:0050.21948:02:0017.41957:02:00281966:02:0052.11948:03:0017.91957:03:0029.11966:03:00541948:04:0018.81957:04:0028.3

9、1966:04:00561949:01:0017.61958:01:0025.71967:01:0053.91949:02:00171958:02:0024.51967:02:0055.61949:03:0016.11958:03:0024.41967:03:0055.41949:04:0015.71958:04:0025.51967:04:0056.21950:01:0015.91959:01:00271968:01:0057.91950:02:0017.91959:02:0028.71968:02:0057.31950:03:0020.31959:03:0029.11968:03:0058

10、.81950:04:0020.41959:04:00291968:04:0060.41951:01:0020.21960:01:0029.61969:01:0063.11951:02:0020.51960:02:0031.21969:02:0083.51951:03:0020.91960:03:0030.61969:03:0064.81951:04:0020.91960:04:0029.81969:04:0065.71952:01:0021.11961:01:0027.61970:01:0064.81952:02:0021.41961:02:0027.71970:02:0065.61952:0

11、3:0018.21961:03:00291970:03:0067.21952:04:0020.11961:04:0030.31970:04:0062.11953:01:0021.41962:01:00311953:02:0021.31962:02:0032.11953:03:0021.91962:03:0033.51953:04:0021.31962:04:0033.21954:01:0020.41963:01:0033.21954:02:0020.41963:02:0033.81954:03:0020.71963:03:0035.51954:04:0020.71963:04:0036.802

12、0406080464850525456586062646668701952年1994年我國社會消費品零售總額（單位：億元）年消費品總額年消費品總額1952262.71974967.41953328.819751046.41954356.119761099195536419771174.3195642419781264.91957441.6197914761958481.2198017941959556.619812002.51960595.419822181.51961537.719832426.11962543.7198428991963544.819853801.41964572.7198

13、643741965590.1198751151966632.819886534.61967679.119897074.21968649.219907250.31969698.219918245.71970728.819929074.81971776.9199312462.11972853.5199416264.71973917.7050001000015000200005560657075808590時間序列分析的目的：(1)建模弄清楚數(shù)據(jù)序列的結(jié)構(gòu)和生成機制。(2)預(yù)測外推預(yù)測未來值。(3)控制實現(xiàn)最優(yōu)控制。時間序列的特征：觀測值有序排列，且前后觀測值之間有一定的相關(guān)性。4.按序列的分布規(guī)律

14、來分： 高斯型時間序列和非高斯型時間序列。時間序列的主要分類：1.按所研究的對象的多少分： 一元時間序列和多元時間序列。2.按時間的連續(xù)性分： 離散時間序列和連續(xù)時間序列。3.按序列的統(tǒng)計特性分： 平穩(wěn)時間序列和非平穩(wěn)時間序列。第二節(jié)第二節(jié) 時間序列的建立時間序列的建立 我們把獲取時間序列以及對其進行檢查、整理和預(yù)處理等工作，稱為時間序列的建立。 時間序列數(shù)據(jù)的采集 相應(yīng)于時間的連續(xù)性，系統(tǒng)在不同的時刻上的響應(yīng)常常是時間t的連續(xù)函數(shù)。為了數(shù)字計算處理上的方便，往往只按照一定的時間間隔對所研究系統(tǒng)的響應(yīng)進行記錄和觀察，我們稱之為采樣。相應(yīng)地把記錄和觀察時間間隔稱為采樣間隔。 通常采樣采用等間隔采

15、樣。 離群點（Outlier） 離群點（Outlier）是指一個時間序列中，遠離序列一般水平的極端大值和極端小值。 對時間序列離群點分析的方法，有時也被稱作穩(wěn)健估計（Robust Estimation），該方法最早由Box和Anderson于1955年提出。 1.離群點（Outlier）產(chǎn)生的原因：（1）采樣誤差；（2）系統(tǒng)各種偶然非正常因素影響。2.離群點的數(shù)理描述： (1)它們是既定分布中的極端點（extreme point），它們雖與數(shù)據(jù)主體來自同一分布，但本身應(yīng)以極小的概率出現(xiàn)； (2)這種點與數(shù)據(jù)集的主體并非采自同一分布，而是在采集數(shù)據(jù)過程中受到其他分布的“污染”，致使現(xiàn)有數(shù)據(jù)集摻入

16、不應(yīng)有的“雜質(zhì)”。 3.離群點（Outlier）的類型： （1）加性離群點（Additive Outlier），造成這種離群點的干擾，只影響該干擾發(fā)生的那一個時刻T上的序列值，而不影響該時刻以后的序列值。（2）更新離群點（Innovational Outlier），造成離群點的干擾不僅作用于XT，而且影響T時刻以后序列的所有觀察值。（3）水平移位離群點（Level Shift Outlier）,造成這種離群點的干擾是在某一時刻T，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，并持續(xù)影響T時刻以后的所有行為，在數(shù)列上往往表現(xiàn)出T時刻前后的序列均值發(fā)生水平位移。（4）暫時變更離群點(Temporary Change Ou

17、tlier),造成這種離群點的干擾是在T時刻干擾發(fā)生時具有一定初始效應(yīng)，以后隨時間根據(jù)衰減因子的大小呈指數(shù)衰減。（請大家觀看四種離群點的演示試驗） （1）直接進行剔除； （2）對數(shù)據(jù)模型進行修正處理分析。 4.離群點（Outlier）的處理方法： 缺損值（Missing value）的補足 依據(jù)系統(tǒng)運動軌跡或變化趨勢，運用一定的方法對缺損值進行估計、推測，以補足缺損的數(shù)值。第三節(jié)第三節(jié) 確定性時序分析方法概述確定性時序分析方法概述 一個時間序列往往是以下幾類變化形式的疊加或耦合：長期趨勢變動（T）季節(jié)變動（S） 循環(huán)變動（C） 不規(guī)則變動（R） 常見的確定性時間序列模型：() 混合模型tttt

18、tyT SCR . .tttttyT S C R.ttttyT SR.tttttyST C R() 加法模型() 乘法模型確定性時序分析方法：1.移動平均法 設(shè)觀測序列為,正整數(shù)NT。一次移動平均值計算公式為：(1)1211(1)11(.)11(.)()1()tttt Ntt Ntt Nttt NMyyyNyyyyNNMyyN 二次移動平均值計算公式為：(2)1(1)1(2)(1)(1)11(.)1()ttt Nttt NMMMMMMMN 移動平均模型的特點： (1)等加權(quán)； (2)與Random Walk相比，對反轉(zhuǎn)的反應(yīng)滯后，平均滯后(N+1)/2期； (3)無現(xiàn)成統(tǒng)計理論用于預(yù)測區(qū)間的推

19、導(dǎo)，要根據(jù)樣本的數(shù)據(jù)計算標準差做經(jīng)驗估計。 移動平均模型在數(shù)據(jù)處理中常用作預(yù)處理，用于消除周期波動（取N為周期長度）和減弱隨機干擾的影響。2.指數(shù)平滑法 ,為加權(quán)系數(shù)，01，設(shè)觀測序列p次指數(shù)平滑公式為：1,.,Tyy一次指數(shù)平滑公式為：(1)(1)(1)(1)111(1)()ttttttSySSyS二次指數(shù)平滑公式為：(2)(1)(2)1(1)tttSSS( )(1)( )1(1)ppptttSSS一次指數(shù)平滑模型（Simple Exponential Smoothing,SES）的特點： 非等加權(quán)，距離越近權(quán)數(shù)越大； 平滑指數(shù)為連續(xù)變量，可以通過最小均方誤（mean squared err

20、or）計算出最最佳的平滑系數(shù)； 對反轉(zhuǎn)平均滯后1/； 預(yù)測區(qū)間比Random Walk窄； ARIMA模型的特例，ARIMA(0,1,1),MA的系數(shù)為1-。 二次指數(shù)平滑模型（Linear(double) Exponential Smoothing,LES）常用于含線性趨勢數(shù)據(jù); 三次指數(shù)平滑模型（Quadratic(triple) Smoothing Modle）常用于含曲線趨勢的數(shù)據(jù)。 3.時間回歸法 (1)線性方程:(2)二次曲線：(3)指數(shù)曲線：(4)修正指數(shù)曲線：tyabt2tyabtctabttyettykab(5)Gompertz（龔帕茲）曲線：(6)Logistic（邏輯斯諦

21、）曲線：(7)振動曲線：expexp() ( ,0,)tyt /1exp()( ,0,)tyt ( )cos()tyf tAtf(t)為多項式4.季節(jié)周期預(yù)測法 (1)乘法型季節(jié)模型(2)加法型季節(jié)模型12sin ()sincostyAtbtbt12( )sincostyf tbtbt( ).tjyftF看一個實例季度年份第一季度第二季度第三季度第四季度200120022003200420052.33.23.63.95.24.04.85.56.06.55.56.66.97.78.73.84.04.35.96.9一個實際案例一個實際案例 表表1是大華乳制品公司是大華乳制品公司A產(chǎn)品銷量數(shù)據(jù)產(chǎn)品銷

22、量數(shù)據(jù),試對其進行分析和預(yù)試對其進行分析和預(yù)測。測。表表1 2001-2005年大華公司年大華公司A產(chǎn)品銷量時間序列產(chǎn)品銷量時間序列 單位：萬箱單位：萬箱圖圖1 大華公司大華公司A產(chǎn)品銷量時間序列產(chǎn)品銷量時間序列分析過程：分析過程：通過圖通過圖1可以發(fā)現(xiàn)，可以發(fā)現(xiàn)，A產(chǎn)品銷量時間序列中包含長期增長趨勢和產(chǎn)品銷量時間序列中包含長期增長趨勢和季節(jié)變動，因此應(yīng)將兩者進行分離。季節(jié)變動，因此應(yīng)將兩者進行分離。一、將季節(jié)變動從時間序列中分離出來一、將季節(jié)變動從時間序列中分離出來季節(jié)變動常通過季節(jié)指數(shù)測度，最常用方法為移動平均比率法，季節(jié)變動常通過季節(jié)指數(shù)測度，最常用方法為移動平均比率法，具體步驟如下：具

23、體步驟如下：首先，對原始序列進行移動平均，移動平均的期數(shù)應(yīng)為季節(jié)變動首先，對原始序列進行移動平均，移動平均的期數(shù)應(yīng)為季節(jié)變動的周期，大華公司的周期，大華公司A產(chǎn)品的數(shù)據(jù)為季度數(shù)據(jù)，所以采用產(chǎn)品的數(shù)據(jù)為季度數(shù)據(jù)，所以采用4期移動期移動平均。平均。其次，對移動平均列進行中心化移動平均處理，將移動平均列的其次，對移動平均列進行中心化移動平均處理，將移動平均列的值與原始列相應(yīng)的值對齊。值與原始列相應(yīng)的值對齊。再次，計算原始列數(shù)值與中心化移動平均列對應(yīng)值的比率。再次，計算原始列數(shù)值與中心化移動平均列對應(yīng)值的比率。最后，根據(jù)上面求出的所有比率值，計算季節(jié)指數(shù)。最后，根據(jù)上面求出的所有比率值，計算季節(jié)指數(shù)。

24、時時期期 代代碼碼 t 銷銷售售 量量 Y 移移動動 平平均均列列 MA 中中心心 化化移移動動平平均均列列CMA 季季節(jié)節(jié) 比比率率YCMA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2.3 4 5.5 3.8 3.2 4.8 6.6 4 3.6 5.5 6.9 4.3 3.9 6 7.7 5.9 5.2 6.5 8.7 6.9 3.900 4.125 4.325 4.600 4.650 4.750 4.925 5.000 5.075 5.150 5.275 5.475 5.875 6.200 6.325 6.575 6.825 4

25、.013 4.225 4.463 4.625 4.700 4.838 4.963 5.038 5.113 5.213 5.375 5.675 6.038 6.263 6.450 6.700 1.371 0.899 0.717 1.038 1.404 0.827 0.725 1.092 1.350 0.825 0.726 1.057 1.275 0.942 0.806 0.970 表表2 大華公司大華公司A產(chǎn)品銷量時間序列季節(jié)指數(shù)計算表（一）產(chǎn)品銷量時間序列季節(jié)指數(shù)計算表（一） 上表中不同年份同一季度的季節(jié)比率很接近但并不相等，這是由于季節(jié)比率中還包含有不規(guī)則變動的影響。為了將不規(guī)則變動從季節(jié)比

26、率中剔除，可以采用對不同年份同一季度的季節(jié)比率進行算術(shù)平均的方法，求出的每個季度季節(jié)比率就是未調(diào)整的季節(jié)指數(shù)。表表3 大華公司大華公司A產(chǎn)品銷量時間序列季節(jié)指數(shù)計算表（二）產(chǎn)品銷量時間序列季節(jié)指數(shù)計算表（二）年份年份季度季度12340.7170.7250.7260.8061.0381.0921.0570.9701.3711.4041.3501.2750.8990.8270.8250.942算術(shù)平均算術(shù)平均（未調(diào)整的（未調(diào)整的季節(jié)指數(shù)）季節(jié)指數(shù)）0.7441.0391.3500.873 在乘法模型中要求季節(jié)指數(shù)的平均數(shù)等于1，也就是說季度數(shù)據(jù)的季節(jié)指數(shù)之和應(yīng)為4，但在實際中，由于計算過程中小數(shù)取

27、舍的原因，未調(diào)整季節(jié)指數(shù)常常并不滿足這個要求，這時需要對未調(diào)整季節(jié)指數(shù)進行調(diào)整。調(diào)整的方法是用每個未調(diào)整季節(jié)指數(shù)除以所有未調(diào)整季節(jié)指數(shù)的均值。上例中調(diào)整后的各季度季節(jié)指數(shù)為：0.744=0.7420.744 1.039 1.3500.8734第一季度季節(jié)指數(shù)1.039=1.0380.744 1.039 1.3500.8734第二季度季節(jié)指數(shù)1.350=1.3480.744 1.039 1.3500.8734第三季度季節(jié)指數(shù)0.873=0.8720.744 1.039 1.3500.8734第四季度季節(jié)指數(shù)圖圖2 大華公司大華公司A產(chǎn)品銷量時間序列季節(jié)指數(shù)變化圖產(chǎn)品銷量時間序列季節(jié)指數(shù)變化圖YT

28、SRTRSS利用公式利用公式在原始序列中剔除季節(jié)變動，下圖為剔除季節(jié)變動后的序列與原始序列在原始序列中剔除季節(jié)變動，下圖為剔除季節(jié)變動后的序列與原始序列的對比圖形。的對比圖形。圖圖3 剔除季節(jié)變動的剔除季節(jié)變動的A產(chǎn)品銷售時間序列圖產(chǎn)品銷售時間序列圖二、對剔除季節(jié)變動的序列擬合趨勢方程二、對剔除季節(jié)變動的序列擬合趨勢方程利用最小二乘法得到線性趨勢方程為：3.290.19tTt3.290.19 217.28tT 3.290.19 227.47tT 3.290.19 237.66tT 3.290.19 247.85tT 三、預(yù)測三、預(yù)測先利用線性趨勢方程，對下一年四個季度的趨勢值進行預(yù)測。第1季度

29、趨勢預(yù)測值為：第2季度趨勢預(yù)測值為：第3季度趨勢預(yù)測值為：第4季度趨勢預(yù)測值為：7.28 0.7425.40tY 7.47 1.0387.75tY 7.66 1.34810.33tY 7.85 0.8726.85tY 上述預(yù)測值是不含季節(jié)變動的預(yù)測值，最終的預(yù)測值還應(yīng)將上述預(yù)測值乘以相應(yīng)季度的季節(jié)指數(shù)。第1季度預(yù)測值為：第2季度預(yù)測值為：第3季度預(yù)測值為：第4季度預(yù)測值為：圖圖4 A產(chǎn)品來年四個季度銷售量預(yù)測圖產(chǎn)品來年四個季度銷售量預(yù)測圖第四節(jié) 隨機時間序列分析的幾個基本概念 隨機過程(Stochastic Process) 隨機過程是一簇隨機變量Xt,tT，其中T表示時間t的變動范圍，對每個

30、固定的時刻t而言，Xt是一普通的隨機變量，這些隨機變量的全體就構(gòu)成一個隨機過程。 當t=0,1,2,時，即時刻t只取整數(shù)時，隨機過程Xt,tT可寫成如下形式，Xt,t=0,1,2,。此類隨機過程Xt是離散時間t的隨機函數(shù)，稱它為隨機序列或時間序列。 對于一個連續(xù)時間的隨機過程的等間隔采樣序列，即Xt,t=0,1,2,就是一個離散隨機序列。時間序列的概率分布和數(shù)值特征 1.時間序列的概率分布 一個時間序列的概率分布可以用它有限維分布簇來描述 時間序列所有的一維分布是： ，F(xiàn)-1()，F(xiàn)0()，F(xiàn)1(),所有二維分布是： Fij(，)， i，j=0,1,2,(ij)一個時間序列的所有有限維分布簇的

31、全體，稱為該序列的有限維分布簇。 2.時間序列的均值函數(shù) 一個時間序列的均值函數(shù)是指：其中：EXt表示在t固定時對隨機變量Xt的求均值，它只一維分布簇中的分布函數(shù)Ft()有關(guān)。()ttttEXX dF X3.時間序列的協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù) 協(xié)方差函數(shù)：,( , )()()(, )ttssttsst st sE XXXYdFX Y其中Ft,s(X,Y)為（Xt，Xs）的二維聯(lián)合分布。 自相關(guān)函數(shù)：( , )( , )/( , ) ( , )t st st ts s時間序列的自協(xié)方差函數(shù)有以下性質(zhì)：對稱性： 非負定性：( , )( , )t ss t 11121m21222mm1m2mmk ,kk ,kk ,kk ,kk ,kk ,kk ,kk ,kk ,km 為對稱非負定矩陣。自相關(guān)函數(shù)同樣也