彈塑性力學(xué)第四章彈性本構(gòu)關(guān)系

1、彈性本構(gòu)關(guān)系第四章 彈性本構(gòu)方程4-1 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的一般表達(dá)4-2 各向異性線彈性體4-3 各向同性線彈性體4-4 彈性應(yīng)變能與彈性應(yīng)變余能4-1 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 從靜力學(xué)的角度對應(yīng)力進(jìn)行了分析從靜力學(xué)的角度對應(yīng)力進(jìn)行了分析從幾何學(xué)的角度對應(yīng)變進(jìn)行了分析從幾何學(xué)的角度對應(yīng)變進(jìn)行了分析平衡微分方程平衡微分方程幾何方程和變形協(xié)調(diào)方程幾何方程和變形協(xié)調(diào)方程上述方程適用于任意連續(xù)物體，包括彈性力學(xué)和塑上述方程適用于任意連續(xù)物體，包括彈性力學(xué)和塑性力學(xué)。性力學(xué)。這些方程還不能解決彈塑性力學(xué)問題。這些方程還不能解決彈塑性力學(xué)問題。需要研究應(yīng)力與應(yīng)變之間的物理關(guān)系，即本構(gòu)關(guān)系。需要研究應(yīng)力與應(yīng)變之間的物理關(guān)

2、系，即本構(gòu)關(guān)系。對應(yīng)的函數(shù)方程稱為物理方程，或本構(gòu)方程。對應(yīng)的函數(shù)方程稱為物理方程，或本構(gòu)方程。一一、本構(gòu)方程本構(gòu)方程 材料的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系需通過實驗確定的。材料的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系需通過實驗確定的。 本構(gòu)方程實際是應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系實驗結(jié)果的數(shù)學(xué)本構(gòu)方程實際是應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系實驗結(jié)果的數(shù)學(xué)描述。描述。 由于實驗的局限性，通常由簡單載荷實驗獲得由于實驗的局限性，通常由簡單載荷實驗獲得應(yīng)應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系結(jié)果力與應(yīng)變關(guān)系結(jié)果，建立描述相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，建立描述相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再將數(shù)學(xué)模型用于復(fù)雜載荷情況的分析。（用一再將數(shù)學(xué)模型用于復(fù)雜載荷情況的分析。（用一定實驗驗證結(jié)果）定實驗驗證結(jié)果） 例如：材料單軸拉伸應(yīng)

3、力例如：材料單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線：應(yīng)變曲線：e es ss se e非線彈性線彈性塑形變形塑形變形 由材料力學(xué)已知，Hooke定律可表示為： Ese單向拉壓純剪切eeE為拉壓彈性模量；橫向與縱向變形關(guān)系GG為剪切彈性模量為泊松比)1 (2EG二. 各向同性材料的廣義Hooke定律（本構(gòu)方程）對復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，在彈性力學(xué)假設(shè)條件下，應(yīng)用疊加原理：對復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，在彈性力學(xué)假設(shè)條件下，應(yīng)用疊加原理：考慮x方向的正應(yīng)變：xs產(chǎn)生的x方向應(yīng)變：Exxse1ys產(chǎn)生的x方向應(yīng)變：Eyxse2zs產(chǎn)生的x方向應(yīng)變：Ezxse3疊加321xxxxeeee)(1zyxEsss同理：)(1xzyyEssse)(

4、1yxzzEssse剪應(yīng)變：物理方程：GxyxyGzxzxGyzyzGyzyzGzxzxGxyxy)(1yxzzEssse)(1zyxxEssse)(1xzyyEssse說明：1.方程表示了各向同性材料的應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，稱為廣義Hooke定義。也稱為本構(gòu)關(guān)系或物理方程。2.方程組在線彈性條件下成立。三. 體積應(yīng)變與體積彈性模量)(21zyxzyxEssseee令：zyxeee)(zyxsssE21則：令：3)(zyxmsssssm稱為平均應(yīng)力; 稱為體積應(yīng)變KEmmss)21 (3稱為體積彈性模量)21 (3EKsKm四. 物理方程的其他表示形式物理方程：xyxyxyG：e2令EExs1)(

5、1zyxxEssse)(1zyxxxEsssssxyxyxyEe12xyxyxyEe12EEyyse1EEzzse1yzyzyzEe12zxzxzxEe12EExxse1用下標(biāo)記法可將廣義虎克定律表示為用下標(biāo)記法可將廣義虎克定律表示為 1332ijijijmijmijEEGEsess s 由上式可驗證由上式可驗證 3(1 2 )xyzmEeees(12 )3mmEes令令3(1 2 )EKK稱為體積彈性模量，簡稱體積模量稱為體積彈性模量，簡稱體積模量。 (4.35)(4.36)(4.37)(4.38),3mmmKKsse因此1311()32xxmxmmxesEEKGeesss12yymyesG

6、ee12zzmzesGee1122xyxyxyxyesGGe1122yzyzyzyzesGGe1122xzxzxzxzesGGe整理以上六個式子，得整理以上六個式子，得12ijijesG因為因為 110,0JJ,所以以上六個式子中獨立變量只有所以以上六個式子中獨立變量只有5個個 (4.40)因此應(yīng)力因此應(yīng)力偏張量形式的廣義虎克定律偏張量形式的廣義虎克定律，即，即 1213ijijmmesGKes(4.41)整理以上六個式子，得整理以上六個式子，得用應(yīng)變表示應(yīng)力：xyxyzzzxzxyyyzyzxxEEEEEEeseses)1 (2,211)1 (2,211)1 (2,211或：xyxyxyzz

7、zxzxzxyyyzyzyzxxGGGGGGGGGeeseesees2,22,22,2 各種彈性常數(shù)之間的關(guān)系各種彈性常數(shù)之間的關(guān)系)21 ( 3,)21)(1 (,)1 (2EKEEG 彈性條件下，應(yīng)力與應(yīng)變有唯一確定的對應(yīng)關(guān)系，三維應(yīng)力狀態(tài)下，一點的應(yīng)力取決于該點的應(yīng)變狀態(tài)，應(yīng)力是應(yīng)變的函數(shù)（或應(yīng)變是應(yīng)力的函數(shù)）) 1 (),(),(),(),(),(),(654321zxyzxyzyxzxzxyzxyzyxyzzxyzxyzyxxyzxyzxyzyxzzxyzxyzyxyzxyzxyzyxxffffffeeeeeeeeeeeeseeeseees6個應(yīng)力分量可表述為個應(yīng)力分量可表述為6個應(yīng)

8、變分量的函數(shù)。個應(yīng)變分量的函數(shù)。4-2 4-2 線彈性體本構(gòu)方程的一般表達(dá)式線彈性體本構(gòu)方程的一般表達(dá)式 當(dāng)自變量(應(yīng)變)很小時，式（）中的各表達(dá)式可用泰勒級數(shù)展開略去二階及以上的高階微量，則式（）中的第一式展開為：zxzxyzyzxyxyzzyyxxxfffffffeeeeees01010101010101)(01)( f表示應(yīng)變分量為零時的值，由基本假設(shè)，初始應(yīng)力為零故0)(01f01ijf表示函數(shù)f1對應(yīng)變分量的一階偏導(dǎo)數(shù)在應(yīng)變分量為零時的值，等于一個常數(shù)故, 式（）可用一個線性方程組表示（線彈性體）)2(66656463626156555453525146454443424136353

9、4333231262524232221161514131211zxyzxyzyxzxzxyzxyzyxyzzxyzxyzyxxyzxyzxyzyxzzxyzxyzyxyzxyzxyzyxxaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaeeeeeeeeeeeeseeeseees式（）是純數(shù)學(xué)推導(dǎo)結(jié)果，實際上與虎克定律線性關(guān)式（）是純數(shù)學(xué)推導(dǎo)結(jié)果，實際上與虎克定律線性關(guān)系一致，是在彈性小變形條件下彈性體內(nèi)任一點的應(yīng)力與應(yīng)系一致，是在彈性小變形條件下彈性體內(nèi)任一點的應(yīng)力與應(yīng)變的一般關(guān)系式變的一般關(guān)系式式（）中的系數(shù)稱為彈性常數(shù)，共式（）中的系數(shù)稱為彈性常數(shù)，共有個有個)6

10、, 5 , 4 , 3 , 2 , 1,(jiaij由均勻性假設(shè)，彈性體各點作用同樣應(yīng)力時，必產(chǎn)生同樣的應(yīng)變，反之亦然因此為常數(shù)，其數(shù)值由彈性體材料的性質(zhì)而定ija式（）推導(dǎo)過程未引用各向同性假設(shè)，故可適用于極端各向異性體、正交各向異性體、二維各向同性體以及各向同性體等式(3)可用簡寫為 esD D稱為彈性矩陣. 式（）可用矩陣表示式（）可用矩陣表示) 3(666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211zxtzxyzyxzxyzxyzyxaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

11、aaaaaaeeesss 物體內(nèi)的任一點, 沿各個方向的性能都不相同, 則稱為極端各向異性體. (這種物體的材料極少見)nmmnaa三、. 彈性常數(shù)1. 極端各向異性體: 由能量守恒定律和應(yīng)變能理論可證明,彈性常數(shù)之間存在關(guān)系 即使在極端各向異性條件下, 式(2)中的36個彈性常數(shù)也不是全部獨立. 36個彈性常數(shù)減少到21個. 彈性矩陣是對稱矩陣. )4(665655464544363534332625242322161514131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD稱對 彈性矩陣為 極端各向異性體的特點: zyxeee,(1) 當(dāng)作用正應(yīng)力當(dāng)作用正應(yīng)力 時時, 不僅會產(chǎn)生正應(yīng)變

12、不僅會產(chǎn)生正應(yīng)變 , 還會引起剪應(yīng)變還會引起剪應(yīng)變 。(2) 當(dāng)作用剪應(yīng)力時當(dāng)作用剪應(yīng)力時, 不僅會產(chǎn)生剪應(yīng)變不僅會產(chǎn)生剪應(yīng)變, 也會引起正也會引起正應(yīng)變。應(yīng)變。xszxyzxy,2.正交各向異性體 如在均勻體內(nèi), 任意一點都存在著一個對稱面, 在任意兩個與此面對稱的方向上, 材料的彈性性質(zhì)都相同。 稱為具有一個彈性對稱面的各向異性體。該對稱面稱為彈性對稱面, 垂直于彈性對稱面的方向稱為物體的彈性主方向。 具有一個彈性對稱面的各向異性體, 彈性常數(shù)有13個。單斜晶體(如正長石)具有這類彈性對稱。 如果在物體內(nèi)的任意一點有三個互相正交的彈性對稱面, 這種物體稱為正交各向異性體。如: 煤塊、均勻的

13、木材、疊層膠木、復(fù)合材料等正交各向異性體有正交各向異性體有9個彈性常數(shù)。其彈性矩陣為個彈性常數(shù)。其彈性矩陣為 )5(000000000000665544332322131211aaaaaaaaaD稱對3.橫觀各向同性體 如物體內(nèi)任意一點, 在平行于某一平面的所有各個方向都有相同的彈性性質(zhì), 這類正交異性體為橫觀各向同性體。如不同層次的土壤、復(fù)合板材等。橫觀各向同性體只有五個橫觀各向同性體只有五個彈性常數(shù)彈性常數(shù), 彈性矩陣為彈性矩陣為 )6(000200000000055551211331311131211aaaaaaaaaaD稱對 物體內(nèi)任意一點, 沿任何方向的彈性性質(zhì)都相同。4.各向同性體

14、 各向同性體只有兩個獨立的彈性常數(shù), 彈性矩陣為: )7(202002000000000121112111211111211121211aaaaaaaaaaaaD稱對zxzxyzyzxyxyzyxzzyxyzyxxaaaaaaaaaaaaaaaeeeseeeseees)(21)(21)(21121112111211111212121112121211zxzxyzyzxyxyzzyyxxaaaaaaaaaaaaaaaeseses)(21)(21)(21)()()(121112111211121112121112121112可見:Gaaa2,121111xyxyxyzzzxzxzxyyyzyzyz

15、xxGGGGGGGGGeeseesees2,22,22,2比較:4-3 彈性應(yīng)變能 彈性體受外力作用后產(chǎn)生變形，外力在其作用位置的變形上做功。忽略速度、熱交換和溫度等因素，則外力所做的功全部轉(zhuǎn)換為應(yīng)變能儲存在物體的內(nèi)部。 變分法是研究泛函求極值的方法。彈性力學(xué)問題的變變分法是研究泛函求極值的方法。彈性力學(xué)問題的變分法，也稱為能量法，是和彈性體的應(yīng)變能或應(yīng)變余能分法，也稱為能量法，是和彈性體的應(yīng)變能或應(yīng)變余能密切相關(guān)的，是有限元法的基礎(chǔ)。密切相關(guān)的，是有限元法的基礎(chǔ)。 單位體積中具有的應(yīng)變能，稱為應(yīng)變能密度或比能。一、一維狀態(tài)細(xì)長直桿，長度為L，橫截面積為S，兩端受拉力P作用。產(chǎn)生的伸長量為DL

16、，外力作的功為：0()LUPdLDD/,/,xxPSLLVSLse D00()xxxUdese單位體積的應(yīng)變能U0為：單位體積的應(yīng)變能U0代表應(yīng)力-應(yīng)變曲線中陰影部分的面積。0 xcxxUdses單位體積的應(yīng)變余能U0為：對線彈性材料，xxEse00021122xxcxxxxxxxUUdEdEeeseeees e0 xUe對求偏導(dǎo)0 xxUse 三向應(yīng)力狀態(tài)下，六個應(yīng)力分量和六個應(yīng)變分量。由能量守恒原理，各應(yīng)力分量的合力只在其對應(yīng)的應(yīng)變分量所引起的變形位移上做功。一、三維狀態(tài) 總的應(yīng)變能為各應(yīng)力分量對應(yīng)的應(yīng)變能之和，即：000()ijijxxyyzzxyxyyzyzzxzxijijUddddd

17、ddeeseseseeeese0()xxyyzzxyxyyzyzzxzxijijdUdddddddseseseeeese000ijUdUe令：00ijijUdUdee000()ijijUUUee是應(yīng)變分量的函數(shù)，0U對彈性體，是應(yīng)變狀態(tài)的單值函數(shù)，其全微分0ijijdUdse比較：0ijijUse 滿足上式的彈性材料稱為超彈性材料。特點：在任意加載-卸載循環(huán)下，材料不發(fā)生能量耗散。本構(gòu)方程能量形式對線彈性材料，利用本構(gòu)方程022222221()21()()2(1) 122xxyyzzxyxyyzyzzxzxxyzxyzxyyzzxUEs es es e eeeeee22202221()()21()2xyzxyyzzxxyyzzxUEEGssss ss ss s0()ijcxxyyzzxyxyyzyzzxzxUddddddseseses應(yīng)變余能U0為：cijijUes 本章重點：GyzyzGzxzxGxyx