高考數(shù)學(xué)文真題分類匯編專題09圓錐曲線Word版含解析

1、第九章11.【2015高考新課標(biāo)1,文5】已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，E的右焦點(diǎn)與拋2物線C:y2=8x的焦點(diǎn)重合，A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn)，貝U |AB|=()(A) 3(B) 6(C) 9(D) 12【答案】B【解析】拋物線C :y2 =8x的焦點(diǎn)為(2,0),準(zhǔn)線方程為x=-2 , 橢圓E的右焦點(diǎn)為(2,0),橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為2 2x_ + y_a2 b2=1(ab0), c=2,2 2 2a =4, b 二 a -c =12，橢圓x2E方程為一1612將X - -2代入橢圓E的方程解得A (-2,3), B (-2, -3) , |AB|=6，故選B.【考

2、點(diǎn)定位】拋物線性質(zhì)；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】本題是拋物線與橢圓結(jié)合的基礎(chǔ)題目，解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是要熟悉拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，先由已知曲線與待確定曲線的關(guān)系結(jié)合已知曲線方程求出待確定曲線中的量，寫(xiě)出待確定曲線的方程或求出其相關(guān)性質(zhì)2 22.【2015高考重慶，文9】設(shè)雙曲線一-2 =1(a> 0,b > 0)的右焦點(diǎn)是F, a b左、右頂點(diǎn)分別是 a1,a2, F做a1a2的垂線與雙曲線交于B, C兩點(diǎn)，若A1B A2 C ,則雙曲線的漸近線的斜率為()丄1丄、2一(A) ±(B) ±(C) ±2 2(D) &#

3、177; 2【答案】C【解析】由已知得右焦點(diǎn)F(c,0)(其中ca2 b2,c 0),A(-a,0),A2(a,0),B(c,22b-),C(c,b-)aa從而 AB =(c a,b2a),A?C 二(c - a,£)所以 AB A2C = 0，即(c - a) (c a)(-D Z)=0,a a化簡(jiǎn)得到b2 =1= b = j，即雙曲線的漸近線的斜率為_(kāi)1,aa故選C.【考點(diǎn)定位】雙曲線的幾何性質(zhì)與向量數(shù)量積【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，利用向量垂直的條件來(lái)轉(zhuǎn)化兩直線垂直的條 件而得到a與b的關(guān)系式來(lái)求解本題屬于中檔題，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.23.【2015高考四川，文7】

4、過(guò)雙曲線X2y 1的右焦點(diǎn)且與X軸垂直的直線交該雙曲線的兩3(A) 3(B)2 3(C)6(D)4 3條漸近線于A、B兩點(diǎn)，則|AB| =()【答案】D【解析】由題意，a= 1, b=，故c= 2,漸近線方程為y=± 3x將x= 2代入漸近線方程，得 y1,2= ±2 3故 | AB| = 4 3，選 D【考點(diǎn)定位】本題考查雙曲線的概念、雙曲線漸近線方程、直線與直線的交點(diǎn)、線段長(zhǎng)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查簡(jiǎn)單的運(yùn)算能力.【名師點(diǎn)睛】本題跳出直線與圓錐曲線位置關(guān)系的?？键c(diǎn)，進(jìn)而考查直線與雙曲線漸近線交點(diǎn)問(wèn)題，考生在解題中要注意識(shí)別.本題需要首先求出雙曲線的漸近線方程，然后聯(lián)立方程組，接

5、觸線段 AB的端點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得|AB|的值屬于中檔題.4.【2015高考陜西，文3】已知拋物線y2 =2px(p 0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,1)，則拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為()【答案】B【解析】由拋物線y? =2px（p 0）得準(zhǔn)線xP，因?yàn)闇?zhǔn)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,1），所以p =2 ,2所以拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0），故答案選B【考點(diǎn)定位】拋物線方程和性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】1本題考查拋物線方程和性質(zhì)，采用待定系數(shù)法求出p的值本題屬于基礎(chǔ)題，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.2.給出拋物線方程要求我們能夠找出焦點(diǎn)坐標(biāo)和直線方程，往往這個(gè) 是解題的關(guān)鍵25.【2015高考新課標(biāo)1，文16】已知F是雙曲線C : - =1的右焦點(diǎn)，P

6、是C左支上一點(diǎn)，8A 0,6 6 ，當(dāng) APF周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為 【答案】12 6【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為耳，由雙曲線定義輒FF七+ P片,AAPF 的周長(zhǎng)|PAHPF|+|AF|-|PA|+2g+ PF +IAF冃PA|+ PF h-|AF|+2g,由于2時(shí)AF罡走值，要使AAPF的周長(zhǎng)最小則PA|+ PF最小，即P. A.耳共線，"（0,6聞，耳（一3”二直線茁的方程為2 £P即"滋一皿亠土=1整理得Y2 +6y/6y-96 = 0、解得y = 2-6或尸一特&（舍），所以P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為26 ,二 S 譏停 -S甲冷"* 2 =

7、1276 【考點(diǎn)定位】雙曲線的定義；直線與雙曲線的位置關(guān)系；最值問(wèn)題【名師點(diǎn)睛】解決解析幾何問(wèn)題，先通過(guò)已知條件和幾何性質(zhì)確定圓錐曲線的方程，再通過(guò)方程研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解析幾何中的計(jì)算比較復(fù)雜，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵要熟記圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及直線與圓錐曲線位置關(guān)系的常見(jiàn)思路56.【2015高考廣東,文8】已知橢圓A. 9B. 4C. 3D.2 2x y: 2 =1( m 0)的左焦點(diǎn)為吒-4,0，則m=()25 mc.對(duì)任意的a, b, e yD.當(dāng)a b時(shí),e ：:e,；當(dāng) a b 時(shí)，e (2【答案】C【解析】由題意得:2 2m 二 25 4=9，因?yàn)閙 .0，所

8、以m =3，故選C.【考點(diǎn)定位】橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于容易題解題時(shí)要注意橢圓的焦點(diǎn)落在哪個(gè)軸上，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤解本題需要掌握的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),2 2即橢圓X2 y2 = 1( a b 0 )的左焦點(diǎn)a bF -c,0 ，右焦點(diǎn) F2 c,0，其中 a2 二 b22x7.【2015高考天津，文5】已知雙曲線2a2y2 =1（a>0,b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（2,0）,且雙曲b2線的漸近線與圓（X- 2） +y2 =3相切，則雙曲線的方程為（2X(A)92±=1132X(B)132y-=19x2(C)3y2 =1

9、(D)22 y 彳x=13【答案】D【解析】由雙曲線的漸近線bx - ay = 0 與圓(x- 2) +y2 =3相切得2ba2 - b2c = a2 b2 =2，解得 a = 1,b 二 3，故選 D.【考點(diǎn)定位】圓與雙曲線的性質(zhì)及運(yùn)算能力【名師點(diǎn)睛】本題是圓與雙曲線的交匯題，雖有一定的綜合性，但方法容易想到，仍屬于基礎(chǔ)題不過(guò)要注意解析幾何問(wèn)題中最容易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤，所以解題時(shí)一定要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性與技巧性，基礎(chǔ)題失分過(guò)多是相當(dāng)一部分學(xué)生數(shù)學(xué)考不好的主要原因2 28.【2015高考湖南，文 6】若雙曲線 務(wù)-每=1的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3, -4）,則此雙曲線a b的離心率為（）A、B、D、【答

10、案】D【解析】因?yàn)殡p曲線=1的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3, -4),c 5.3b=4a, 9(c2-a2) = 16a2, e 二=.故選 D.a 3【考點(diǎn)定位】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】漸近線是雙曲線獨(dú)特的性質(zhì)，在解決有關(guān)雙曲線問(wèn)題時(shí)，需結(jié)合漸近線從數(shù)形 結(jié)合上找突破口 與漸近線有關(guān)的結(jié)論或方法還有：(1)與雙曲線2- 2=1共漸近線的可設(shè)為a b2 x2 a2 K 2 2 ybxy篤=入(丸鼻0) ; (2)若漸近線方程為y=±X，則可設(shè)為 p爲(wèi)=入仏鼻0) ； (3)雙曲線 baab的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛半軸長(zhǎng)b ； (4)八22 =1(a0.b 0)的一條漸近線的斜率為a b

11、2 2 c -aa2二e2 -1 .可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實(shí)質(zhì)都表示雙曲線張口的大9.【2015高考安徽，文(A) x2小另外解決不等式恒成立問(wèn)題關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化，其實(shí)質(zhì)是確定極端或極限位置6】下列雙曲線中，漸近線方程為y=2x的是()2x 2(B) y =142(C) X2 -y 122x 2/(D)2 - y =1【答案】A【解析】由雙曲線的漸進(jìn)線的公式可行選項(xiàng)A的漸進(jìn)線方程為y=2x，故選A.【考點(diǎn)定位】本題主要考查雙曲線的漸近線公式【名師點(diǎn)睛】 在求雙曲線的漸近線方程時(shí),考生一定要注意觀察雙曲線的交點(diǎn)是在x軸，還是在y軸，選用各自對(duì)應(yīng)的公式，切不可混淆10.【2015高考湖北

12、，文9】將離心率為e的雙曲線G的實(shí)半軸長(zhǎng)a和虛半軸長(zhǎng)b (a b)同時(shí)增加m(m V)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為e的雙曲線C2，則(A.對(duì)任意的a, b , ee2B.當(dāng)a b時(shí),e e> ;當(dāng) a b 時(shí)，e ：:： e?【答案】D .【解析】不妨設(shè)雙曲線G的焦點(diǎn)在x軸上，即其方程為:b2=1，則雙曲線C2的方程為:(a m)22y(b m)2=1，所以ea2b2ab2(a m) (b m)e =a +m，當(dāng)a . b時(shí),b (b m)a -b(a m)a(a m)aJa-b)m 0，所以(a m)ab，所以b m 2aa me2 >e ；當(dāng) a <b 時(shí),b _ (b m)

13、a b(a m) a(a m)aab)m：0，所以(a m)ab m ： b，所以a亠m ab m 2a m，所以q : e ；故應(yīng)選D .【考點(diǎn)定位】本題考查雙曲線的定義及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，考察雙曲線的離心率的基本計(jì)算, 涉及不等式及不等關(guān)系.【名師點(diǎn)睛】將雙曲線的離心率的計(jì)算與初中學(xué)習(xí)的溶液濃度問(wèn)題聯(lián)系在一起，突顯了數(shù)學(xué) 在實(shí)際問(wèn)題中實(shí)用性和重要性，充分體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用，能較 好的考查學(xué)生思維的嚴(yán)密性和縝密性 .2 211. 2015高考福建，文11】已知橢圓E :仔+每=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F .短軸的一個(gè) a b端點(diǎn)為M，直線丨：3x 4y

14、=0交橢圓E于代B兩點(diǎn)若AF + BF =4，點(diǎn)M至煩線I的4距離不小于4，則橢圓E的離心率的取值范圍是()5V33燈33A.° 2 B (0, 4 C 2 J) D 昭【答案】A【解析】設(shè)左焦點(diǎn)為F ,連接AF1 , BF1 則四邊形BF1AF是平行四邊形，故AFj = |BF所以AF| +|AR =4=2a，所以 a = 2，設(shè) M (0,b)，則坐'，故遼1，從而 a2 c2 蘭1 ,550 c2 <3,0 ： c乞3，所以橢圓E的離心率的取值范圍是 (0,，故選A.2【考點(diǎn)定位】1、橢圓的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2、點(diǎn)到直線距離公式.【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾

15、何性質(zhì)， 將|AF|+|BF|=4轉(zhuǎn)化為|AF| + |AF,| = 4 = 2a，進(jìn)而確定a的值，是本題關(guān)鍵所在，體現(xiàn)了橢圓的對(duì)稱性和橢圓概念的重要性，屬于難題.求離心率取值范圍就是利用代數(shù)方法或平面幾何知識(shí)尋找橢圓中基本量a,b,c滿足的不等量關(guān)系，以確定c的取值范圍.a2y-2 =1( a b 0 )的右焦點(diǎn)F c,0關(guān)于直線yb2x12. 【2015高考浙江，文15】橢圓2 a的對(duì)稱點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率是 【答案】【解析】設(shè) F c,0關(guān)于直線bimyx的對(duì)稱點(diǎn)為 Q(m, n)，則有cn2m -c_ bb1cm 2，解得c 23cm 2a2 2-2b bc -2bc,n =a

16、3 2以Q(廠ac - 2b2 bc2 - 2bcc 2b bc)在橢圓上，Cb2)2(bc22bc)2=1，解得a2b2a2=2c2，所以離心率 =a 2【考點(diǎn)定位】1點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱；2橢圓的離心率.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的離心率利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的關(guān)系，計(jì)算得到右焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，通過(guò)該點(diǎn)在橢圓上，代入方程，轉(zhuǎn)化得到關(guān)于a,c的方程，由此計(jì)算離心率本題屬于中等題。主要考查學(xué)生基本的運(yùn)算能力213.【2015高考北京，文12】已知 2,0是雙曲線x2-y2 1 ( b 0)的一個(gè)焦點(diǎn)，則b【答案】 3【解析】由題意知 c=2,a=1 , b =c - a =3，所以b=3 .【考點(diǎn)定位】雙

17、曲線的焦點(diǎn).【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于容易題解題時(shí)要注意雙曲線的焦點(diǎn)落在哪個(gè)軸上，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤解本題需要掌握的知識(shí)點(diǎn)是雙曲線的簡(jiǎn)單幾何2 2性質(zhì)，即雙曲線X2y2.=：l( a 0, b0)的左焦點(diǎn)Fi-c,0，右焦點(diǎn)F,c,0，其中a b2 ,2 2c b a 【2015高考上海，文7】拋物線y2 =2px(p 0)上的動(dòng)點(diǎn)Q到焦點(diǎn)的距離的最小值為 1，則P =.【答案】2【解析】依題意，點(diǎn) Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以 P =1，即P =2.2【考點(diǎn)定位】拋物線的性質(zhì)，最值【名師點(diǎn)睛】由于拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等，所以拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最小2

18、_X2_【2015高考上海，文12】已知雙曲線G、C2的頂點(diǎn)重合，G的方程為一 y -1，若C2的4一條漸近線的斜率是 C1的一條漸近線的斜率的 2倍，則C2的方程為2 2【答案】x y =144X1【解析】因?yàn)?G的方程為一 y2 =1，所以G的一條漸近線的斜率 &二，所以C2的一條42漸近線的斜率k2 =1，因?yàn)殡p曲線 G、C2的頂點(diǎn)重合，即焦點(diǎn)都在 X軸上,22X y設(shè)C2的方程為 22 =1(a 0,b 0),a b2 2 所以a=b=2，所以C2的方程為X -y =1.44【考點(diǎn)定位】雙曲線的性質(zhì)，直線的斜率【名師點(diǎn)睛】在雙曲線的幾何性質(zhì)中，應(yīng)充分利用雙曲線的漸近線方程，簡(jiǎn)化

19、解題過(guò)程同時(shí)要熟練掌握以下三方面內(nèi)容：(1)已知雙曲線方程，求它的漸近線；(2)求已知漸近線的雙曲線的方程；(3)漸近線的斜率與離心率的關(guān)系，如14.【2015高考山東，文15】過(guò)雙曲線C：=1( a 0,b 0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線，交 C于點(diǎn)P 若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a,則C的離心率為 【答案】232 2X y【解析】雙曲線22 =1的右焦點(diǎn)為(C,0).不妨設(shè)所作直線與雙曲線的漸近線a ay 二 bx平a行，其方程為y (x-c)，a2 2代入X2 -打=1求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a aa2 c2沖飛-，由2 2c = 2 - 3 (舍去，因?yàn)殡x心率aa cc 2 c=2a，得(_)

20、2 _4_ <1 =0，解之得2ca ac >1)，故雙曲線的離心率為 2 + “'3.a【考點(diǎn)定位】1雙曲線的幾何性質(zhì)；2直線方程.【名師點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及直線方程，解答本題的關(guān)鍵，首先是將問(wèn)題進(jìn)步具體化，即確定所作直線與哪一條漸近線平行，事實(shí)上，由雙曲線的對(duì)稱性可知，兩種 情況下結(jié)果相同；其次就是能對(duì)所得數(shù)學(xué)式子準(zhǔn)確地變形，利用函數(shù)方程思想，求得離心率本題屬于小綜合題，也是一道能力題，在較全面考查直線、雙曲線等基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，考查2y 2 =1(a b 0),點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)b考生的計(jì)算能力及函數(shù)方程思想 2X15. 【2015高考安徽，文20】設(shè)橢圓

21、E的方程為一2aA的坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0, b)，點(diǎn)M在線段AB上，滿足BM | = 2 MA ,直線OM的斜率為5 .10(I) 求E的離心率e;(H)設(shè)點(diǎn) C的坐標(biāo)為(0，-b) ,N為線段AC的中點(diǎn)，證明：MN_AB.【答案】(I)(n)詳見(jiàn)解析5【解析】2 1(I)解：由題設(shè)條件知，點(diǎn) M (土 a丄b),3 ' 3又kOM=1；從而2ba510進(jìn)而 a =5b, c =p'a2 _b2 =2b，故(n)證：由N是AC的中點(diǎn)知，點(diǎn)N的坐標(biāo)為,-i,可得NM122丿,za 5b ',I.<6 6丿又 AB =：-a,b，從而有 AB NM 二a

22、2 +5b2 =(5b2 _a26 6 6由(I)得計(jì)算結(jié)果可知 a2 =5b2,所以AB NM = 0 ,故MN _ AB .【考點(diǎn)定位】本題主要考查橢圓的離心率，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)【名師點(diǎn)睛】本題主要將橢圓的性質(zhì)與求橢圓的離心率相結(jié)合，同時(shí)考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式， 以及解析幾何中直線與直線垂直的常用方法，本題考查了考生的基本運(yùn)算能力和綜合分析能 力16. 【2015高考北京，文20】(本小題滿分14分)已知橢圓c：x2 3y2 =3，過(guò)點(diǎn)D 1,0且不過(guò)點(diǎn)上2,1的直線與橢圓C交于Z ,m兩點(diǎn)，直線3：與直線x = 3交于點(diǎn).(I) 求橢圓C的離心率；(II) 若上m垂直于x軸，求

23、直線 mt的斜率；(III )試判斷直線 I與直線 D 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】(I)6 ; (II ) 1; (III )直線 汕 與直線 D 平行.3【解析】試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線的斜率、兩直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.(I)先將橢圓方程c化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到 a , b , c的值，再利用e計(jì)算離心率；(II)由直線-八：的特殊位置，a設(shè)出二，2點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線丄上的方程，由于直線 4：與x = 3相交于II點(diǎn)，所以得到II點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)_、點(diǎn)二1的坐標(biāo)，求直線 2丄1的斜率；(III)分直線-1：的

24、斜率存在和不存在 兩種情況進(jìn)行討論，第一種情況，直接分析即可得出結(jié)論，第二種情況，先設(shè)出直線=2和直線3：的方程，將橢圓方程與直線厶m的方程聯(lián)立，消參，得到x1 x2和x必，代入到kBM -1中，只需計(jì)算出等于0即可證明kBM =kDE，即兩直線平行試題解析：（I）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為2”=1.所以 a = 3 , b=1,所以橢圓C的離心率（n）因?yàn)樯蟤過(guò)點(diǎn)D（1,O）且垂直于x軸，所以可設(shè)A（1,y1）,B(1,yJ.直線的方程為y 1 = (1 y1)(x -2).令 x =3，得 M (3,2-yj.所以直線三泊的斜率kBM =2"二=1.31（川）直線3汨與直線D；：平行.證

25、明如下： 當(dāng)直線二弓的斜率不存在時(shí)，由（n）可知 kBM =1.又因?yàn)橹本€ D 的斜率kDE一0 =1，所以BM /DE.21當(dāng)直線二T的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y = k（x-1）（k = 1）.y 1設(shè) A(x!，y1) , B(x2,y2)，則直線=；：的方程為 y-11 (xx1 -2令 x=3，得點(diǎn) m（3, %-浮 一3）.x（ 2：鳥(niǎo)3,得（心心心3"3“2 26k3k 3所以 x1 x22 , %x22 .1 2 1+3k21 21+3k2直線孟I的斜率kBM =為3 - x2(3 x2)(x1 2)因?yàn)閗BM -仁滅1 J Xi -3-心-呢-2) -(3 -卷脈-2

26、)(k -1) -x1x2 2( x2)-3)(3- x2 )(xi -2)(k-1)-3k2321 3k12k21 3k2-3)(3 - x2)(x1 - 2)=0,所以 kBM =1 = kDE .所以 BM /DE .綜上可知，直線 2 a I與直線 D:平行.考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線的斜率、兩直線的位置關(guān)系 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線的斜率和兩條直線的位置關(guān)系，屬于中檔題解題時(shí)一定要注意直線的斜率是否存在，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò) 誤解本題需要掌握的知識(shí)點(diǎn)是橢圓的離心率，直線的兩點(diǎn)斜率公式和兩條直線的位置關(guān)系,X2 V2C即橢圓一2-幾一

27、2 =1( a b 0)的離心率e，過(guò)?1 x1, V1 , ?2 X2,y2的直線斜率a baV? _Vik= 一-(為式X2)，若兩條直線l1：y = Kx + b , I2：y = k2x + b2斜率都存在，貝U1/2= k k2且 0 = b2 217. 2015高考福建，文19】已知點(diǎn)F為拋物線E : y =2px(p 0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(2, m)在拋物線E上，且AF =3 (I)求拋物線 E的方程；(H)已知點(diǎn) G(-1,0)，延長(zhǎng)AF交拋物線E于點(diǎn)B ,證明：以點(diǎn)F為圓心且與直線 GA相切的圓，必與直線GB相切.【答案】(I) y? = 4x ； (n)詳見(jiàn)解析.【解析】解法一

28、：(I)由拋物線的定義得 才=2：.因?yàn)?-.F =3，即2 p = 3，解得p = 2，所以拋物線I:的方程為y2 = 4x . (II)因?yàn)辄c(diǎn)丄2,m在拋物線上：y2 =4x上，所以m=：!2+'2，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)A(2,2襯2 ).由二2,2 2 , F 1,0可得直線.-.F的方程為y=2 2 x-1 .i y = 22 i x 12由，得 2x2-5x 2=0,2 ，y =4x解得x =2或x = 1，從而i 1 , - 2 .2 12丿又 G -1,0 ,所以kG=二2：-13, -2-0，k= 1-1T2所以k k=0，從而 .-.G B GF，這表明點(diǎn)F到直線

29、GZ , G三的距離相等,故以F為圓心且與直線 GZ相切的圓必與直線 G2相切. 解法二：(I)同解法一.(II)設(shè)以點(diǎn)F為圓心且與直線 GZ相切的圓的半徑為r .因?yàn)辄c(diǎn)Z 2,m在拋物線上：y2 =4x上,所以m = 2 2，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)二2,2 2 .由二2,2 2 , F 1,0可得直線 二F的方程為y=2 2 x-1 .jiy=22x-12由 2，得 2x5x 2 =0 ,y -4x解得x =2或x = 1，從而B(niǎo) ' - <2 I：2 丿又G -1,0，故直線GZ的方程為2 2x-3y 2 2=0,從而r2運(yùn)+2運(yùn)| 価8 9-17又直線G3的方程為2 2x

30、 3y 2 2=0 ,2P2 +2U2所以點(diǎn)F到直線GE的距離d ='8+9這表明以點(diǎn)F為圓心且與直線 GZ相切的圓必與直線 G2相切.【考點(diǎn)定位】1、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線和圓的位置關(guān)系.【名師點(diǎn)睛】禾U用拋物線的定義，將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離和到準(zhǔn)線距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題的求解過(guò)程，在解拋物線問(wèn)題的同時(shí)，一定要善于利用其定義解題直線和圓的位 置關(guān)系往往利用幾何判斷簡(jiǎn)潔，即圓心到直線的距離與圓的半徑比較；若由圖形觀察，結(jié)合平面幾何知識(shí)，說(shuō)明 ZGF - BGF即可，這樣可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷kG&三=°，高效解題的過(guò)程就是優(yōu)化轉(zhuǎn)化的過(guò)程.18.【2015高考湖北

31、，文22】一種畫(huà)橢圓的工具如圖 1所示.O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿 ON 可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿 MN通過(guò)N處鉸鏈與 ON連接，MN上的栓子 D可沿滑槽 AB滑動(dòng)，且 DN =ON =1 , MN =3 .當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng).N繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，M處的筆 尖畫(huà)出的橢圓記為 C.以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.(I)求橢圓C的方程；(H)設(shè)動(dòng)直線I與兩定直線h：x-2y=0和l2：x，2y=0分別交于P, Q兩點(diǎn).若直線l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說(shuō)明理由.M2 2【答案】(I) X .

32、y 1. (n)當(dāng)直線1與橢圓C在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，OPQ的面積取得164最小值8.【解析】(I)因?yàn)閨OM <MN |N0| = 31 =4，當(dāng)M, N在x軸上時(shí)，等號(hào)成立；同理|0M | _|MN | _|N0|=：3-1 =2，當(dāng)D, 0重合，即MN _ x軸時(shí)，等號(hào)成立.所以橢圓C的中心2 2 為原點(diǎn)0 ,長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為4，短半軸長(zhǎng)為2，其方程為 =1.1641y = kx 亠 m,x2 4y216,消去 y，可(n) (1)當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí)，直線I為x=4或X-4，都有S pPQ4 4=8.(2) 當(dāng)直線I的斜率存在時(shí)，設(shè)直線I : y = kx +m (k式±-)

33、,由I2得(1 4k2)x2 8kmx 4m2 -16=0.因?yàn)橹本€I總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以=64k2m2 -4(1 4k2)(4m2 -16) =0，即 m2 =16k2, y = kx 亠m,又由y卜 _2y =0, 2m m白可得P(,);冋理可得1 2k 1 2k2mQ(1 2k1m2k).由原點(diǎn)0到直線PQ的距+_?m_2m21 +2k1-4k22m1 2k將代入得，S OPQ2m21 -4k2=84k21I. 2“4 k -12214k 12.當(dāng) k >-時(shí)，S0p87-8(->8 ；44k -14k -1離為 d =m| 和 PQ 二 1 k2 xp -x

34、q ，可得1 k21 1 1$0=22 2 =2口必卩Xq 尸2 Ml24k 12212S0pq=8(2)=8(-1 亠一2).因 0k :,貝y 0：14k <1 ,1 -4k1 -4k42 2 -2，所以S0pq=8(-1'2 2)_8 ,當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)k=0時(shí)，S0pq的1 -4k1 -4k最小值為8.綜合(1) (2)可知，當(dāng)直線I與橢圓C在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，.OPQ的面積取得最小值8.【考點(diǎn)定位】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與直線與橢圓相交綜合問(wèn)題，屬高檔題【名師點(diǎn)睛】作為壓軸大題，其第一問(wèn)將橢圓的方程與課堂實(shí)際教學(xué)聯(lián)系在一起，重點(diǎn)考查學(xué)生信息獲取與運(yùn)用能力和

35、實(shí)際操作能力，同時(shí)為橢圓的實(shí)際教學(xué)提供教學(xué)素材；第二問(wèn)考查直線與橢圓相交的綜合問(wèn)題，借助函數(shù)思想進(jìn)行求解其解題的關(guān)鍵是注重基本概念的深層次理解，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí) 19.【2015高考湖南，文20】(本小題滿分13分)已知拋物線 G：x2=4y的焦點(diǎn)F也是橢圓y2 x2C2 ：2 匚2=a b(a b 0)的一個(gè)焦點(diǎn)，C1與C2的公共弦長(zhǎng)為2 6，過(guò)點(diǎn)F的直線I與C1相交于 代B兩點(diǎn),. '與C2相交于C,D兩點(diǎn)，且AC與BD同向(I)求C2的方程；(II)若AC = BD，求直線l的斜率.【答案】(I)x?刊；(ii) _ 6 .984【解析】試題分析：(I)由題通過(guò)F的坐標(biāo)為(0,1

36、)，因?yàn)镕也是橢圓C2的一個(gè)焦點(diǎn)，可得a2-b2=1，96根據(jù)G與C2的公共弦長(zhǎng)為2 6，C1與C2都關(guān)于y軸對(duì)稱可得 2=1,然后得到對(duì)應(yīng)4a b4>曲線方程即可；(II)設(shè) A(%, yJ,B(X2,y2),C(X3, y3),D(X4,y4),根據(jù) AC = BD，可得(x3 x4)2 -4x3x4二(x-i x2)2 -4x2，設(shè)直線l的斜率為k，則l的方程為y = kx T，聯(lián)立直線與拋物線方程、直線與橢圓方程、利用韋達(dá)定理進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)果試題解析：(I)由C1: x4y知其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1)，因?yàn)镕也是橢圓C2的一個(gè)焦點(diǎn)，所以a2 -b2 =1；又G與C2的公共弦長(zhǎng)

37、為2 6，G與C2都關(guān)于y軸對(duì)稱，且G的2廠 396方程為C1 :x-4y，由此易知G與C2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(- 6,)，'2川'一2=1，24ab2 2聯(lián)立得a，故C2的方程為 H。(II)如圖，設(shè) A(為，yj, B(X2,y2),C(X3,y3),D(X4,y4),因TC與畐同向，且AC| = BDX3X4 二16k29 8k,X3X464-29 8k將、代入，得16(k2 1)=162k3(9 8k2)24 649 8k2即 16(k21)二162 9(k2 1)(9 8k2)2所以AC二BD，從而x3 - x = x4 - x2，即 -笛=咅- x2，于是2 2(x3

38、 x4) -4x3x4 =(% x2) -4x-ix2設(shè)直線I的斜率為k，則I的方程為y = kx 1，y = kx 12由 2得x2 -4kx -4 = 0，由xj ,x2是這個(gè)方程的兩根， x1 x 4k, nx2二-4x =4yy = kx 116kx-64=0，而x3,x4是這個(gè)方程的兩根,由x2y2得(9 + 8k2)x2+ 1.89所以(9 8k2)2 =16 9，解得k二 6，即直線I的斜率為一 644【考點(diǎn)定位】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；橢圓的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法：根據(jù)條件確定關(guān)于 a, b, c的方程組,解出a2, b2,從而寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

39、.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問(wèn)題涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題利用弦長(zhǎng)公式解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單.20. 2015高考山東，文21】平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C :2 2 x_+l_ :-2 b2=1( ： > b >0)的離心率為3，且點(diǎn)(3，211 )在橢圓C上.2(I)求橢圓C的方程;2 2(n)設(shè)橢圓E : x 2 + y 2 =1 , P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P的直線y二kx + m交4a24b2橢圓E于代B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q.(i )求豁的值;(ii)求. ABQ面積的最

40、大值2【答案】(I) X . y2 =1; (|)4鉀；(ii) 63.【解析】31(I)由題意知U =1,又a2 4b2b2 二 3，解得 a4,b2 =1,22所以橢圓C的方程為;y2"2(II)由(I)知橢圓E的方程為x_：2y1.164(i)設(shè) P(x°,y。),|OQ| |OP|因?yàn)槔?y°2=1.又( "(f，即'2(X022)“416444所以"2，即品2.(ii)設(shè)A(X1,yJ, B(X2,y2),將y二kx m代入橢圓E的方程，可得2 2 2 2 2(1 4k )x 8kmx 4m -16 = 0 ,由 - 0,可得

41、 m : 4 16k2228km4m -164 16k4 - m1 4k2則有X1 X22，X-! X22 .所以|Xi-X2|.因?yàn)橹本€1 + 4k21+4k2 2 (16k2 4-m2)m21 4k2y二kx m與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0, m），所以 OAB的面積S Jm|x1_X2|0m| 16匚4用21 4k2L m2xm =(4一1 4k2)1 4k2.2設(shè)1 :k2八將直線八kX m代入橢圓C的方程，可得“）/ 8kmX 4m0，由.: - 0,可得m2 -1 4k2由可知 0：tm,S=2 （4-t）t，2 -t24t.故 S 空2 3.當(dāng)且僅當(dāng)t -1，即m2 =1 4k2時(shí)取得

42、最大值2 3.由（i）知，.'ABQ的面積為3S,所以 ABQ面積的最大值為6 3.【考點(diǎn)定位】1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.距離與三角形面積；4.轉(zhuǎn)化與化歸思想.【名師點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、距離與三角形面積、二次函數(shù)的性質(zhì)等，解答本題的主要困難是 （II ）中兩小題，首先是通過(guò)研究 P,Q的坐標(biāo)關(guān)系，使（i）得解，同時(shí)為解答（ii）提供簡(jiǎn)化基礎(chǔ)，即認(rèn)識(shí)到ABQ 與 OAB的面積關(guān)系，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成研究OAB面積的最大值.通過(guò)聯(lián)立直線方程、橢圓方程，并應(yīng)用韋達(dá)定理確定“弦長(zhǎng)”，進(jìn)一步確定三角形面積表達(dá)式，對(duì)考

43、生復(fù)雜式子的變形能力及邏輯思 維能力要求較高.本題是一道能力題，屬于難題.在考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、距離與三角形面積、二次函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，考查考生的計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化與化歸 思想.本題梯度設(shè)計(jì)較好，層層把關(guān)，有較強(qiáng)的區(qū)分度，有利于優(yōu)生的選拔2 221.【2015高考陜西，文20】如圖，橢圓E: x2 y2 =1（a b 0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0, -1），且離心a b率為2 .2(I)求橢圓E的方程;(II)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同兩點(diǎn) P,Q (均異于點(diǎn) A ),證明:直線AP與AQ的斜率之和為2.x2【答案】(|) 一怦y2=1 ；(

44、|)證明略，詳見(jiàn)解析.【解析】試題分析:Q)由題意知£二羋=1,由丿護(hù)+ /，解得繼而得橢圓的方程為£ + F “ , a 22II)設(shè)尸口舟)3 Ox2y2),貝收匹工0 ,由題設(shè)知,直線尸0的方程為y =就工一1) + 1除工2),代 入£ +化簡(jiǎn)得門 + 2/)2 4機(jī)血一IX+2肌莊一2) = 0,貝+上'JL i" £耳樣二曲7】,由已知色0,從而直線丘尸與川g的斜率之和斤護(hù)+上謚二1 +2上一 畫(huà) x2化簡(jiǎn)得訃+ % = 2血+(2-幻丑注,把©式代入方程得J + = 2.*'可花試題解析：(1)由題青知纟

45、二羋=1,綜合/ = *+宀 解得0=爲(wèi)，所兒橢圓的方程為+r=1. a 22x2(II)由題設(shè)知，直線 PQ的方程為y =k(x -1) 1(k =2)，代入 "y1，得(1 2k2)x2 -4k(k -1)x 2k(k-2)=0,由已知=0，設(shè) P x1 ,Q x?y2 ，X1X2 = 0則 X1 x4k(k-21),X1X2k(2)，1 2k21 2k2從而直線AP與AQ的斜率之和yi1kAP ' kAQX1y212 - kkX2 2 一 kXiXi-2k (2 -k)-2k (2 -k)Xx2x1x2=2k 2kC2k(2k"2.【考點(diǎn)定位】1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

46、程；2.圓錐曲線的定值問(wèn)題.【名師點(diǎn)睛】定值問(wèn)題的處理常見(jiàn)的方法:(1)通過(guò)考查極端位置，探索出“定值”是多少,然后再進(jìn)行一般性的證明或計(jì)算，即將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角形形式,(2)進(jìn)行證明該式是恒定的，如果以客觀題形式出現(xiàn)，特殊方法往往比較快速奏效;般計(jì)算推理求出其結(jié)果22邁22. 【2015高考四川，文20】如圖，橢圓E:爲(wèi)+爲(wèi)=1(a>b>0)的離心率是 ，點(diǎn)P(0, 1)a b2在短軸CD上，且PC PD =- 1 (I )求橢圓E的方程;(n )設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn).是否存在常數(shù)入，使得-1HOA OB PA PB為定值？若存在

47、，求 入的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(I )由已知，點(diǎn)C, D的坐標(biāo)分別為(0, - b), (0, b)又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0, 1)，且PC PD =- 1H b? = -1于是彳=，解得a= 2, b = <2a 22 .2 2a -b =c2 2所以橢圓e方程為x y42(H )當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線 AB的方程為y= kx+ 1A, b的坐標(biāo)分別為(xi, yi), (X2, y2)'2 2x y 得(2k2 + 1)x2+ 4kx- 2= 01聯(lián)立< 42,y = kx + 1其判別式厶=(4k)2 + 8(2k2 + 1)> 0所以x1 x24

48、k2k2 1,x1x2 =22k2 1-12k2 1-2從而 OA OB /PA PB = X1X2+ yy2+ 開(kāi)X1X2+ (y1 1)(y2 1)o=(1 + 入)(1 + k )x1X2 + k(x1 + X2)+ 1(2 -4)k2 (-2' -1)2k2 1所以，當(dāng)匕1時(shí)，一- -2 = 32k2 +1此時(shí),OA OB PA PB = 3 為定值當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線 AB即為直線CD-> -1-1 - -> -1 ->此時(shí) OA OB PA PB =OC OD PC PD = 2 1 = 3-> -1-1 -故存在常數(shù)A 1,使得OA OBP

49、A PB為定值3.【考點(diǎn)定位】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線方程、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、分類與整合等數(shù)學(xué)思想PD =-【名師點(diǎn)睛】本題屬于解析幾何的基本題型，第(I )問(wèn)根據(jù)“離心率是 2，且PC PD21”建立方程組可以求出橢圓方程；第(n)問(wèn)設(shè)出直線方程后，代入橢圓方程，利用目標(biāo)方程法，結(jié)合韋達(dá)定理，得到兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，再代入T OA OB PA PB中化簡(jiǎn)整理要得到定值，只需判斷有無(wú)合適的人使得結(jié)論與k無(wú)關(guān)即可，對(duì)考生代數(shù)式恒等變形能力要求 較高屬于較難題= 1(a >b >0)的上頂點(diǎn)x v23.

50、【2015高考天津，文19】(本小題滿分14分) 已知橢圓 2 + 2a b為B,左焦點(diǎn)為F,離心率為5,5(I)求直線BF的斜率;(II)設(shè)直線BF與橢圓交于點(diǎn)P ( P異于點(diǎn)B),過(guò)點(diǎn)B且垂直于BP的直線與橢圓交于點(diǎn)異于點(diǎn)B)直線PQ與y軸交于點(diǎn) M,|PM|=I |MQ|.(i )求I的值;7亦(ii)若|PM|sinDBQP=,求橢圓的方程【答案】(I)2；( H)(i) 7；(ii)2 254【解析】(I)先由a-"'5 及ab2 c2,得 a = -?5c, b = 2c,直線5BF的斜率k二b °0一 c2；(II )先把直線BF,BQ的方程與橢圓方程

51、聯(lián)立,求出點(diǎn)P,Q橫坐標(biāo)，可得PMMQXq Xm7 J 5由 |PM|si nDBQP = 得2 2c=1,故橢圓方程為 + =1.54c2,可得a = 5c,b=2c ,又因?yàn)锽P=|PQ|sinDBQP=15|PM |sin? BQP 竽，由此求出試題解析：(I)設(shè)F -c,0，由已知c 5及a2二b2 a 5b -0 beB 0,b , F -c,0 ,故直線bf的斜率k20 (c) c(II)設(shè)點(diǎn) PXp , yp , Q Xq , yQ , MXM ' yM,(i)由(I)可得橢圓方程為y2=1,直5c 4c線BF的方程為 y =2x 2c，兩方程聯(lián)立消去25cy 得 3x - 5cx 二 0,解得 xp = .因?yàn)?BQ _ BP，所以直線BQ方程為y，與橢圓方程聯(lián)立消去 y得21x2 - 40cx = 0 ,解得xQ二40c21又因?yàn)镻MMQ得一 Xm Xp(ii)由(i)PM7IPM=,所以MQ8PM+MQ得7 815715亦，即|刑計(jì)| ,又因?yàn)閨PM |sinDBQP= ；515，所以 BP =|PQ|sinDBQP = |PM |sin? BQP4又因?yàn)橐?3c所以BP5 5,c =1,所以橢圓