第三章初等函數(shù)第1講函數(shù)概念

1、3.1 3.1 函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念1. 函數(shù)概念的發(fā)展函數(shù)概念的發(fā)展 （1）函數(shù)相關(guān)術(shù)語與記號(hào)的引入 函數(shù)這一名詞德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(Leibniz 16461716)所首先采用的 在最初，萊布尼茲用函數(shù)一詞表示變量x的冪，即x2，x3，其后萊布尼茲還用函數(shù)一詞表示曲線上的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線的長度、垂線的長度等所有與曲線上的點(diǎn)有關(guān)的量 歐拉(Euler 17071783)發(fā)明了函數(shù)的記號(hào)：f(x)柯西(Cauchy 17891857)引入了術(shù)語“自變量、因變量” 一、一、 函數(shù)概念發(fā)展與定義函數(shù)概念發(fā)展與定義對(duì)于x 的每一個(gè)值，如果y都有完全確 定的值與之對(duì)應(yīng)，不論x, y所建立的

2、對(duì) 應(yīng)方式如何，y都叫做x 的函數(shù) 變變 量量 函函 數(shù)數(shù)19世紀(jì)函數(shù)概念1837年, 德國數(shù)學(xué)家：黎曼20世紀(jì), 美國數(shù)學(xué)家：維布侖近代函數(shù)概念映映 射射 函函 數(shù)數(shù)在變量y的集合與另一個(gè)變量x的集合之間,如果存在著對(duì)于x 的每一個(gè)值, y有確定的值與之對(duì)應(yīng)這樣的關(guān)系，那么,變量y叫做變量x的函數(shù)18世紀(jì)函數(shù)概 念1734年, 瑞士數(shù)學(xué)家：歐拉解析函數(shù)解析函數(shù)是指由一個(gè)變量與一些常量通過任何方式形成的解析表達(dá)式，用f(x)表示x的函數(shù)抽象早期函數(shù)概念自然函數(shù)自然函數(shù)公元前300年左右：古巴比倫依一定規(guī)律依賴于一個(gè)變量的另一個(gè)變量（2）函數(shù)概念的演變）函數(shù)概念的演變 17世紀(jì)函數(shù)概念代數(shù)函數(shù)代

3、數(shù)函數(shù)1667年，蘇格蘭數(shù)學(xué)家：格雷戈里它是從一些其它的量經(jīng)過一系列代數(shù)運(yùn)算而得到拓展運(yùn)算種類拓展數(shù)量區(qū)間為任意數(shù)學(xué)對(duì)象的集合舍棄用數(shù)字表達(dá)的限制2. 函函數(shù)的定義數(shù)的定義定義定義1 1 如果兩個(gè)變量按照某一確定的規(guī)律聯(lián)系著如果兩個(gè)變量按照某一確定的規(guī)律聯(lián)系著, , 當(dāng)當(dāng) 第一變量變化時(shí)，第二變量也隨著變化，就把第一變量變化時(shí)，第二變量也隨著變化，就把 第二個(gè)變量叫做第一個(gè)變量（自變量）的函數(shù)第二個(gè)變量叫做第一個(gè)變量（自變量）的函數(shù)定義定義2 2設(shè)設(shè) 和和 是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則，是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則， 對(duì)于集合對(duì)于集合 中的中的任何一個(gè)任何一個(gè)元素，在集合元素，在集合

4、中都有中都有 唯一唯一的元素的元素和它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)叫做從集和它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)叫做從集 合合 到集合到集合 的函數(shù)的函數(shù), ,記作記作 定義定義3 3設(shè)設(shè) 和和 是兩個(gè)集合，是兩個(gè)集合， 是一個(gè)非空子集是一個(gè)非空子集, 如果滿足如果滿足 對(duì)于任意對(duì)于任意 , ,存在唯一的存在唯一的 使使 則則 稱為稱為 到到 的一個(gè)函數(shù)的一個(gè)函數(shù)ABABAB:f ABABABaAbBfAB( , ),a bf 定義定義4 4 設(shè)設(shè) 、 為非空集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)為非空集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則法則 ，對(duì)于，對(duì)于 中中任一元素任一元素 ， 中都有且僅有中都有且僅有一個(gè)元素一個(gè)元素 與之對(duì)應(yīng)與之對(duì)應(yīng)，就稱，

5、就稱 是一個(gè)從集合是一個(gè)從集合 到到集合集合 的映射，記的映射，記 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) ， 都是實(shí)數(shù)集合時(shí)，則稱從都是實(shí)數(shù)集合時(shí)，則稱從 到到 的映射的映射 為函數(shù)為函數(shù) 函數(shù)通常記作函數(shù)通常記作 ，當(dāng)，當(dāng) 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) 時(shí)稱時(shí)稱 是是 的函數(shù)值，或的函數(shù)值，或 是是 的函數(shù)值，或的函數(shù)值，或 是是 的象，的象， 記為記為 ，這時(shí)稱，這時(shí)稱 是是 的原象的原象aABfBbfABf ABABABfbf ABabbaaba)ba abA二、函數(shù)的三要素二、函數(shù)的三要素 定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域 在研究函數(shù)的抽象定義時(shí)，不妨把函數(shù)在研究函數(shù)的抽象定義時(shí)，不妨把函數(shù)比喻為一個(gè)比喻為一

6、個(gè)“機(jī)器機(jī)器”加工的過程，輸入加工的過程，輸入 輸出輸出 ，而這關(guān)鍵的加工機(jī)制就是，而這關(guān)鍵的加工機(jī)制就是 定義定義5 5 （函數(shù)相等）（函數(shù)相等） 函數(shù)的相等函數(shù)的相等 要求輸入的要求輸入的 相同，加工相同，加工 機(jī)制相同，輸出的機(jī)制相同，輸出的 也相同也相同 xyxy x yx)三、函數(shù)的表示法三、函數(shù)的表示法 解析法（公式法） 列表法 圖像法定義定義6 6 設(shè)設(shè) 、 是是 的子集，的子集， 是是 到到 的函數(shù)，的函數(shù)， 則稱則稱 的子集的子集 是函數(shù)是函數(shù) 的圖像的圖像ABR:ABABAB( , ),Ga b aA b ): AB 例例2 2 設(shè)設(shè)f(x)是以實(shí)數(shù)集是以實(shí)數(shù)集 為定義域的

7、函數(shù)，為定義域的函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y，均滿足，均滿足求證：求證： 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，R()( )( )xyxy (0)0;()()xx mZ()()m xmxrQ()( )rxrx(1)(2)(3)四、反函數(shù)及其圖像四、反函數(shù)及其圖像 滿射： 單射： 一一映射（雙射）： 逆映射：1.1. 逆映射和反函數(shù)：逆映射和反函數(shù)：1: BA 定義定義 如果函數(shù)如果函數(shù) 是定義域是定義域 到值到值 域域 上的一一映射，那么由它的逆映上的一一映射，那么由它的逆映 射射 所確定的函數(shù)，叫做函所確定的函數(shù)，叫做函 數(shù)的反函數(shù)數(shù)的反函數(shù) 反函數(shù)的習(xí)慣表示為反函數(shù)的習(xí)慣表示為:()yx

8、AB: BA1:yBA2. 2. 反函數(shù)的圖像反函數(shù)的圖像 定理定理1 1 函數(shù)函數(shù) 的圖像和它的反函的圖像和它的反函 數(shù)數(shù) 的圖像關(guān)于直線的圖像關(guān)于直線 對(duì)稱對(duì)稱)y = fx()-1y =xyx1( )yx()yx 思考：為什么函數(shù) 的反函數(shù) 的圖像關(guān)于 對(duì)稱？yx3.3.互反函數(shù)間的辯證關(guān)系互反函數(shù)間的辯證關(guān)系 定理定理2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 是一一映射，是一一映射， 是它的逆映射（反函數(shù)），則是它的逆映射（反函數(shù)），則 （1 1） （表示（表示B B上的恒等射）；上的恒等射）； （2 2） 是一一映射的；是一一映射的； （3 3） 是唯一的；是唯一的； （4 4） 的逆映射就是的逆映射就是 : AB1: BA1BI1AI 111例例2 2 設(shè)設(shè) ， 的圖像與的圖像與 的像關(guān)于的像關(guān)于 直線直線 對(duì)稱，求對(duì)稱，求 23()1xxx()ygx1(1)y