空間向量及其加減運(yùn)算時(shí)PPT課件

1、AB用字母 等或者用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母 表示ABba、定義：既有大小又有方向的量叫向量 幾何表示法：用有向線段表示； 字母表示法：相等的向量： 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量 ABCD 復(fù)習(xí)第1頁(yè)/共59頁(yè)2.平面向量的加減法與數(shù)乘運(yùn)算（1）向量的加法：平行四邊形法則三角形法則ba baba a 復(fù)習(xí)第2頁(yè)/共59頁(yè)（2）向量的減法三角形法則ba ba3. 平面向量的加法運(yùn)算律)(cbacba ）（加法交換律：加法結(jié)合律：abba 復(fù)習(xí)第3頁(yè)/共59頁(yè)平面向量概念加法減法運(yùn)算運(yùn)算律定義 表示法 相等向量減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量的加法、減法運(yùn)算空間向量具有大小和方

2、向的量)()(cbacbaabba加法交換律加法結(jié)合律abba加法交換律加法:三角形法則或平行四邊形法則減法:三角形法則加法結(jié)合律成立嗎？第4頁(yè)/共59頁(yè)ababab+OABbCOCOACAABOAOB空間向量的加減法第5頁(yè)/共59頁(yè)abOABba 結(jié)論：空間任意兩個(gè)向量都是共面向量，所以它們可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示. 因此凡是涉及空間任意兩個(gè)向量的問(wèn)題，平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們. 第6頁(yè)/共59頁(yè)平面向量概念加法減法運(yùn)算運(yùn)算律定義 表示法 相等向量減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量的加法、減法運(yùn)算空間向量具有大小和方向的量)()(cbacbaabba加法交

3、換律加法結(jié)合律abba加法交換律加法:三角形法則或平行四邊形法則減法:三角形法則加法結(jié)合律成立嗎？第7頁(yè)/共59頁(yè))()(cbacba abcab+c+()OABCab+abcab+c+()OABCbc+加法結(jié)合律第8頁(yè)/共59頁(yè)abba )(cbacba ）（1）加法交換律：（2）加法結(jié)合律：abca + b + c abca + b + c a + b b + c 空間向量的加法、減法運(yùn)算第9頁(yè)/共59頁(yè)對(duì)空間向量的加法、減法的說(shuō)明 空間向量的運(yùn)算就是平面向量運(yùn)算的推廣 兩個(gè)向量相加的平行四邊形法則在空間 仍然成立 空間向量的加法運(yùn)算可以推廣至若干個(gè) 向量相加 說(shuō)明第10頁(yè)/共59頁(yè)（1）

4、首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量即：nnnAAAAAAAAAA114332211A2A3A4A1nAnA 推廣第11頁(yè)/共59頁(yè)（2）首尾相接的若干向量構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量即：011433221AAAAAAAAAAnnn1A2A3A4AnA1nA 推廣第12頁(yè)/共59頁(yè)ABCDABCDa平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形，每個(gè)面的邊叫做平行六面體的棱平行四邊形ABCD平移向量 a 到 的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體記作ABCD A B C D A B C D 平行六面體第13頁(yè)/共59頁(yè)化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：列向量表達(dá)式，并標(biāo)出

5、列向量表達(dá)式，并標(biāo)出，化簡(jiǎn)下，化簡(jiǎn)下已知平行六面體已知平行六面體DCBAABCD ；BCAB ；AAADAB ABCDABCD例 例題第14頁(yè)/共59頁(yè)化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：列向量表達(dá)式，并標(biāo)出列向量表達(dá)式，并標(biāo)出，化簡(jiǎn)下，化簡(jiǎn)下已知平行六面體已知平行六面體例例DCBAABCD ；BCAB 解：ABCDABCDBCAB AC；AAADABAAADABAAAC CCAC AC 例題第15頁(yè)/共59頁(yè)ABMCGD)(21 )2()(21 )1(ACABAGBDBCAB 空間四邊形ABCD中,M、G分別是BC、CD邊的中點(diǎn),化簡(jiǎn)： 練習(xí)第16頁(yè)/共59頁(yè)ABMCGDAGMGBMAB 原式原

6、式)1()(21 ACABMGBMAB (2)原式)(21 ACABMGBM MG MBMGBM 練習(xí)參考答案第17頁(yè)/共59頁(yè)共線向量與共面向量共線向量與共面向量第18頁(yè)/共59頁(yè)平面向量概念加法減法數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算律定義 表示法 相等向量減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量具有大小和方向的量數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零bkakbak )()()(cbacbaabba加法交換律加法結(jié)合律數(shù)乘分配律abba加法交換律bkakbak )(數(shù)乘分配律)()(cbacba加法結(jié)合律類比思想 數(shù)形結(jié)合思想數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零aa)()(回回 顧顧第19頁(yè)/共59頁(yè)回回 顧顧

7、aOBb結(jié)論結(jié)論：空間任意兩個(gè)向量都可：空間任意兩個(gè)向量都可平移平移到同到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的向量一個(gè)平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的向量. .ba第20頁(yè)/共59頁(yè)一、空間向量數(shù)乘運(yùn)算一、空間向量數(shù)乘運(yùn)算1.1.實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) 與空間向量與空間向量 的乘積的乘積 仍然仍然是一個(gè)是一個(gè)向量向量. .當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 與向量 方向相同； 與向量 方向相同； 是零向量.aa00aaaa當(dāng) 時(shí)，0a（1）方向：方向：（2）大?。海┐笮。?的長(zhǎng)度是 的長(zhǎng)度的 倍.a|a第21頁(yè)/共59頁(yè)2.2.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律 即： （）()( )()a baba

8、aaaa 第22頁(yè)/共59頁(yè)問(wèn)題：平面向量中，) 0(/bba.ab的充要條件是：存在唯一的充要條件是：存在唯一的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù) ，使，使能否推廣到空間向量中呢？能否推廣到空間向量中呢？零向量與任意向量共線零向量與任意向量共線. .二、共線向量共線向量: :如果表示空間向量的有向如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合線段所在直線互相平行或重合, ,則這些向量則這些向量叫做叫做共線向量共線向量( (或或平行向量平行向量),),記作記作ba/第23頁(yè)/共59頁(yè))0(/bba)0(bba)0(/bba作用：作用：由此可判斷空間中兩直線平行或三點(diǎn)共線問(wèn)題由此可判斷空間中兩直線平行或三點(diǎn)共線問(wèn)題

9、共線向量定理共線向量定理: : 對(duì)空間任意兩個(gè)向量對(duì)空間任意兩個(gè)向量 ， 。 存在實(shí)數(shù)存在實(shí)數(shù), ,使使a(0).ab b )0(/bba)0(bba)0(bb第24頁(yè)/共59頁(yè)如圖，如圖，l 為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行已知非零向量且平行已知非零向量 的直線，的直線，aal/atAP 對(duì)空間任意一點(diǎn)對(duì)空間任意一點(diǎn)O,OAOPAP所以a tOAOPa tOAOP即 若在若在l上取上取 則有則有ABtOAOP和都稱為空間直線的向量表示式，空間任意直線由空間和都稱為空間直線的向量表示式，空間任意直線由空間一點(diǎn)及直線的方向向量唯一決定一點(diǎn)及直線的方向向量唯一決定.由此可判斷空間任意三點(diǎn)共線由此可

10、判斷空間任意三點(diǎn)共線。.alABPO若點(diǎn)若點(diǎn)P P是直線是直線l上任意一點(diǎn)，則上任意一點(diǎn)，則 由由 知存在唯一的知存在唯一的t, 滿足滿足aAB第25頁(yè)/共59頁(yè)因?yàn)橐驗(yàn)?,BBOAOA所以所以 )A( tAOPOOBOOBtOAt)1 (特別的，當(dāng)特別的，當(dāng)t = 時(shí)，時(shí)，21)B(21OPOOA則有則有aABPOABtOAOP進(jìn)一步進(jìn)一步，OBOAOP_還可表示為：OPt1-tP點(diǎn)為點(diǎn)為A,B 的中點(diǎn)的中點(diǎn)第26頁(yè)/共59頁(yè)練習(xí)練習(xí)1.對(duì)于空間任意一點(diǎn)對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，下列命題正，下列命題正確的是：確的是：A.若，則若，則P、A、B共線共線B.若，則若，則P是是AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)C.若，則

11、若，則P、A、B不共線不共線D.若，則若，則P、A、B共線共線 OPOAtAB3 OPOAAB OPOAtAB OPOAABA、B、P三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線ABtOAOPABtAP ) 1(APyxOByOxOAOABP第27頁(yè)/共59頁(yè)三、共面向量三、共面向量: :1.1.共面向量共面向量: :平行平行于同一平面的向量于同一平面的向量, ,叫做叫做共面向量共面向量. .注意：空間任意兩個(gè)向量是共面的，但空間注意：空間任意兩個(gè)向量是共面的，但空間任意三個(gè)向量任意三個(gè)向量既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面dbac第28頁(yè)/共59頁(yè) 如果空間向量如果空間向量 與兩不共線向量與兩不共線向量

12、， 共共面，那么可將三個(gè)向量平移到同一平面面，那么可將三個(gè)向量平移到同一平面 ，則，則有有 byxppb那么什么情況下三個(gè)向量共面呢？那么什么情況下三個(gè)向量共面呢？2211eeaaa1e2e第29頁(yè)/共59頁(yè)反過(guò)來(lái)，對(duì)空間任意兩個(gè)不共線的向量反過(guò)來(lái)，對(duì)空間任意兩個(gè)不共線的向量 ， ，如，如果果 ，那么向量，那么向量 與向量與向量 , 有什么位有什么位置關(guān)系？置關(guān)系？abbyxpab共線，分別與 bbya, a x確定的平面內(nèi)，都在 bbya, ax確定的平面內(nèi)，并且此平行四邊形在 ba共面，與即確定的平面內(nèi)，在bbbyap,aaxpabABPp Cp第30頁(yè)/共59頁(yè)2.共面向量定理：如果兩個(gè)

13、向量共面向量定理：如果兩個(gè)向量 ， 不共線不共線，byaxpabpab 則向量則向量 與向量與向量 ， 共面的充要共面的充要條件是條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)存在實(shí)數(shù)對(duì)x, ,y使使abABPp 推論推論:空間一點(diǎn)空間一點(diǎn)P P位于平面位于平面ABCABC內(nèi)的充要條件是存在有內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)序?qū)崝?shù)對(duì)x, y,使使ACyABxAPC第31頁(yè)/共59頁(yè)OOCOBOAOP(_)(_)(_)abABPp 對(duì)空間任一點(diǎn)對(duì)空間任一點(diǎn)O,O,有有填空：填空：1-1-x- -yxyACyABxOAOPC 式稱為空間平面式稱為空間平面ABC的向量表示式，空間中任意平面的向量表示式，空間中任意平面由空由空 間一點(diǎn)

14、及兩個(gè)不共線的向量唯一確定間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線的向量唯一確定.作用：作用：由此可判斷空間任意四點(diǎn)共面由此可判斷空間任意四點(diǎn)共面第32頁(yè)/共59頁(yè)P(yáng)與與A,B,C共面共面ACyABxAPACyABxOAOP) 1(0zyxOCzOByOAxOP第33頁(yè)/共59頁(yè)ACyABxAPACABAPAPACABAPOAOCOAOBOAOPOAOCOB3131,33)()(332) 1 (所以所以即共面，因?yàn)镺AOPOCOB3) 1 (例例1.已知已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面ABC外外的任一點(diǎn)的任一點(diǎn)O，確定在下列各條件下，點(diǎn)，確定在下列各條件下，點(diǎn)P是否與是否與A、B、C一定共面？

15、一定共面？OCOBOAOP 4)2() 1(0zyxOCzOByOAxOP第34頁(yè)/共59頁(yè)例例2.如圖，已知平行四邊形如圖，已知平行四邊形ABCD，過(guò)平，過(guò)平面面AC外一點(diǎn)外一點(diǎn)O作射線作射線OA、OB、OC、OD，在四條射線上分別取點(diǎn)在四條射線上分別取點(diǎn)E、F、G、H，并且使，并且使求證：求證：四點(diǎn)四點(diǎn)E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.,OEOFOGOHkOAOBOCODOBAHGFECD第35頁(yè)/共59頁(yè) 共線向量共線向量 共面向量共面向量定義定義向量所在直線互相平向量所在直線互相平行或重合行或重合平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫叫做共面向量做共面向量.定

16、理定理推論推論運(yùn)用運(yùn)用判斷三點(diǎn)共線，或兩判斷三點(diǎn)共線，或兩直線平行直線平行判斷四點(diǎn)共線，或直線平判斷四點(diǎn)共線，或直線平行于平面行于平面) 0(/ababap，a，bbyaxpABtOAOPACyABxOAOP小結(jié)小結(jié)共面共面ABtAP ACyABxAP第36頁(yè)/共59頁(yè)第37頁(yè)/共59頁(yè)第38頁(yè)/共59頁(yè)第39頁(yè)/共59頁(yè)第40頁(yè)/共59頁(yè)1.回顧平面向量向量知識(shí)：平行向量或共線向量？怎樣判定向量b與非零向量a是否共線？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一組平行向量都可以平移到同一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使b=a ,

17、稱平面向量共線定理.第41頁(yè)/共59頁(yè)2. 必修平面向量，平面向量的一個(gè)重要定理平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使a1e12e2.其中不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底第42頁(yè)/共59頁(yè)結(jié)結(jié)論論：1 1）空空間間任任意意兩兩個(gè)個(gè)向向量量都都是是共共面面向向量量。2）涉及空間任意兩個(gè)向量問(wèn)題，平2）涉及空間任意兩個(gè)向量問(wèn)題，平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用它們。面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用它們。第43頁(yè)/共59頁(yè)1）實(shí)數(shù) 與空間向量a的乘積 a仍然是一個(gè)向量（1）當(dāng) 時(shí)， a與向量a方向相同；（2）當(dāng)

18、 時(shí)， a與向量a方向相同；（3）當(dāng) 時(shí)， a是零向量。例如: a3 a3 a2.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算第44頁(yè)/共59頁(yè)2. 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律()( )() a babaaaaa 即即： （） FEDCBA961231P（）、（ ）、（） 練練習(xí)習(xí) 第45頁(yè)/共59頁(yè)OaLAPaB如圖：L為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)且平行非零向量a的直線，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，1 ， （）tROPOAta 2 ，（ ）tROPOAt AB 非零向量a叫做直線L的方向向量。（1）、（2）都稱為空間直線的向量表示式。即即：空空間間直直線線由由空空間間一一點(diǎn)點(diǎn)及及直直線線的的方方向向向向量量唯唯一一

19、確確定定點(diǎn)P在直線L上點(diǎn)P在直線L上第46頁(yè)/共59頁(yè) 問(wèn)題；如圖；已知空間四邊形ABCD中，向量AB = a， AC = b， AD =c，若M為BC的中點(diǎn)，G為BCD的重心，試用a、 b、 c表示下列向量：（1） DM （ 2） AGAMCGDB1)-2abc（1)3abc（第47頁(yè)/共59頁(yè) 已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿足下列各式的x的值.ABCDA1B1C1D111(3)ACABAD 解 11() () ()AD ABAAABAAAD 12()ADABAA 12AC 111(3)ACABADxAC 2.x第48頁(yè)/共59頁(yè)在正方體AC1中,點(diǎn)E是面AC 的中心,若 ，

20、求實(shí)數(shù)x,y.AEAAxAByAD ABCDDCBAE第49頁(yè)/共59頁(yè)共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.OAaa第50頁(yè)/共59頁(yè) 共面向量定理:如果兩個(gè)向量 不共線,則向量P與向量 共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì) 使ba,ba,yx,ybxaP 推論:空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y使 OP=xAB+yAC或?qū)臻g任一點(diǎn)O,有 OP=OA+xAB+yAC第51頁(yè)/共59頁(yè) 已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點(diǎn)O引向量 ， ， ，求證： (1) 四點(diǎn)E、F、G、H共面； (2)平面EG平面AC .OAkOE OBkOF OCkOG ODkOH HGFEODCBA第52