競賽輔導(dǎo)班函數(shù)極限PPT課件

1、一、一、 歷年試題分類統(tǒng)計及考點分布歷年試題分類統(tǒng)計及考點分布 第1頁/共61頁1.極限定義與性質(zhì)與結(jié)論機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.極限的計算二、考點綜述與主要解題方法與技巧3.連續(xù)性與間斷點夾逼準則與單調(diào)有界準則兩個重要極限無窮小代換泰勒公式（拉格朗日中值定理）導(dǎo)數(shù)定義及定積分定義羅必達法則第2頁/共61頁1.1.極限定義極限定義, ,性質(zhì)性質(zhì), ,與結(jié)論與結(jié)論定義,0,0當(dāng)),(0 xx時, 有 Axf)(Axfxx)(lim0(1)充要條件Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim000 x0 xAAAx0 xy)(xfy 性質(zhì)第3頁/共61頁(2)局部有界

2、性(3)局部保號性 若,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0時使當(dāng)xx. 0)(xf)0)(xf則存在( A 0 )M,)(lim0Axfxx,),(0時使當(dāng)xxMxf)(則存在正常數(shù) 若),(0 x第4頁/共61頁結(jié)論000010(1) lim arctan, lim arctan;22(2) lim, lim;(3) lim, lim0;(4) lim1;(5)lim1;(0)(6)0, lim0; lim0;(7)lim;limsxxxxxxxxxxnnaaxxxxxxxxInxInxeexaaxax Inxee 對任意下列極限不存在：00in ;limcos ;limsin ;

3、limcos ;xxxxxxx第5頁/共61頁例例1. 設(shè)設(shè)a,2arctan ,2arctan)1arctan1(lim210 xaeexxx存在，求a機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為常數(shù)，且的值，并計算極限.注.： （）左右極限與極限的關(guān)系 （）結(jié)論, e第6頁/共61頁 練習(xí)練習(xí):. 求求解:xxeeexxxxsin12lim43401xxeexxxsin12lim410 xxeexxxsin12lim4101原式 = 1 (2000考研真題)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁/共61頁)(xf使得（）,0)0( f設(shè)函數(shù)連續(xù)，且, 0則存在例例2.）上單調(diào)增加，在（0)(

4、)(xfA）上單調(diào)增加在（0 ,)()(xfB機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注：保號性的應(yīng)用與極限與單調(diào)性極值的關(guān)系第8頁/共61頁設(shè)函數(shù)例例.無界)()(xfA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注：極限與有界性的關(guān)系，以及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)則在定義域上（）有界)()(xfB第9頁/共61頁2 2 極限的計算極限的計算(a)七種未定式的極限計算1 ,0 ,0 ,0000計算步驟：化簡判定類型選擇方法方法與技巧：無窮小代換，洛必達法則，泰勒公式，根號有理化，極限存在準則，導(dǎo)數(shù)與積分定義等第10頁/共61頁主要結(jié)論（1）：主要推論（1）：則有)()(1limxvxu,0)(limxu,

5、)(limxv第11頁/共61頁)1(102)(coslimxInxx1 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 析.（）判定類型：（） 選擇方法：重要極限，洛比達法則，（） 利用結(jié)論：(例1.2003年真題4分). ( )()(1limxvxu第12頁/共61頁求極限求極限 baeC.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 析.（）判定類型：冪指函數(shù)（） 選擇方法：取對數(shù)，洛比達法則或第二重要極限（） 主要結(jié)論：)()(1limxvxu(例2.201年真題分). （）1 . AabeD.第13頁/共61頁主要結(jié)論（2）：)(0! 3sin) 1 (33xxxx)(03tan)2(33xxxx)(0!

6、 3arcsin) 3(33xxxx)(03arctan)4(33xxxx)(02)1 ()5(22xxxxIn)(0! 3! 21)6(332xxxxex主要推論（2）：)(02sintan) 1 (33xxxx)(06sin)2(33xxxx)(02)1 ()6(22xxxInx第14頁/共61頁例例3. (2004年真題年真題)求極限求極限 00 xxxxxtansinarctanarcsinlim0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 析.（）判定類型：（） 選擇方法：洛比達法則，無窮小代換，泰勒公式（） 利用結(jié)論：)(03tan)2(33xxxx)(0! 3arcsin) 3(33xx

7、xx)(03arctan)4(33xxxx)(0! 3sin) 1 (33xxxx第15頁/共61頁例例. 求極限求極限 1 210)tan(limxxxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 析.（）判定類型：冪指函數(shù)（） 選擇方法：取對數(shù)，洛比達法則或第二重要極限（） 主要結(jié)論：則有)()(1limxvxu,0)(limxu,)(limxv第16頁/共61頁(a) 和差取大規(guī)則: 若 = o() , (b) 和差代換: 例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則,limlim且.時此結(jié)論未必成立但例如,11sin2tanlim0 xxxxxx

8、xx2102lim2主要結(jié)論主要結(jié)論（）：,且lim存在 , 則lim lim第17頁/共61頁.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例1. 求解: 原式 (c)乘積代換:界, 則例如,01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx第18頁/共61頁(d) 冪指型代換:則, 若11lim(1)lim(1)第19頁/共61頁)cos1 ()1 (lim0 xxxInx2cos12xx00機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 析.（）判定類型：（） 選擇方法：洛比達法則，無窮小代換，泰勒公式（） 利用結(jié)

9、論：例5(2006年真題3分). ( )0( ,)1 (xxxIn第20頁/共61頁例例6. 求極限求極限 )1 (lim1xInxInx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 析.（）判定類型（） 選擇方法：無窮小代換（） 注意細節(jié)：時當(dāng)孫水晶孫水晶孫水晶0,)1 (In推廣第21頁/共61頁1 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 析.（）判定類型：（） 選擇方法：無窮小代換（） 利用結(jié)論：例7121 cos0lim(1).xxxx e11lim(1)lim(1)第22頁/共61頁lim(1)nnn11lim(1)lim(1)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 析.（）判定類型：（） 選擇方法：

10、無窮小代換，拉格朗日中值定理（） 利用結(jié)論：例8.設(shè)求極限 01,第23頁/共61頁1lim,nnnaqa機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 lim0;nna1q 主要結(jié)論主要結(jié)論（4）：設(shè)若, 則lim;nna 若, 則設(shè)若, 則lim;nna 1q 若, 則lim,nnnaq第24頁/共61頁lim()21nnnn1 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 析.（）判定類型：（） 選擇方法：重要極限，根值法（） 利用結(jié)論：例10設(shè)若, 則lim;nna 1q 若, 則lim,nnnaq第25頁/共61頁lim!nnqn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用結(jié)論：例101lim,nnnaqal

11、im0;nna1q 設(shè)若, 則lim;nna 若, 則第26頁/共61頁(b)綜合計算題綜合計算題已知極限反求參數(shù)無窮小比階的問題利用收斂準則求極限與其他知識結(jié)合的綜合題利用中值定理求極限第27頁/共61頁例例1. 求極限求極限 0020)1 (sin1tan1limxxxInxxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 析.（） 判定類型ba （） 選擇方法：根號有理化，無窮小代換第28頁/共61頁例例. 求極限求極限 )100(lim2xxxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 析.（） 判定類型（） 選擇方法：根號有理化（） 注意細節(jié)：才行分子分母同除以xx , 0第29頁/共61頁例例3.

12、 求極限求極限 復(fù)雜分母簡單分子00100102limxexx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 析.（）判定類型：（） 選擇方法：洛比達法則（） 技巧：變量倒代換，將簡單分母復(fù)雜分子第30頁/共61頁例例4. 當(dāng)當(dāng) 時，0 x1)()(lim0 xgxfx)(0! 3arcsin33xxxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 析.（）判定類型：（） 選擇方法：洛比達法則，無窮小代換，泰勒公式（） 利用結(jié)論：)(03arctan33xxxxxaxxfarctanarcsin)()1 ()(2bxInxxg與是等價無窮小，求a,b00第31頁/共61頁例例5. 若若00cxgxfx)()(lim

13、0; 0)(lim0)(lim, 0)()(limxgxfcxgxf則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 析.（）判定類型：（） 選擇方法：洛比達法則，無窮小代換，泰勒公式（） 利用結(jié)論：求a,b第32頁/共61頁例例6. 確定常數(shù)確定常數(shù)a,b,c的值，使得的值，使得00cxgxfx)()(lim0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 析.（）判定類型：（） 選擇方法：洛比達法則，無窮小代換，泰勒公式（） 注意細節(jié)：保號性與變上限積分的求導(dǎo)第33頁/共61頁例例7. 2lim(arctanarctan)1xaaxxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 析.（）判定類型：（） 選擇方法：拉格朗日

14、中值定理，洛比達法則（） 注意細節(jié)：無窮小代換的靈活運用求極限0第34頁/共61頁例例6. 設(shè)設(shè)21lim()nnnnaa機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 析.（）判定類型：（） 選擇方法：拉格朗日中值定理，乘積無窮小代換（） 注意細節(jié)：無窮小代換的靈活運用0.a 求極限0第35頁/共61頁例例9. 設(shè)設(shè) nx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 析.（）判定類型：數(shù)列極限（） 選擇方法：單調(diào)有界數(shù)列收斂準則（） 相關(guān)結(jié)論：證明數(shù)列的極限存在，并求此極限第36頁/共61頁例例10. 設(shè)設(shè) nx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 析.（）判定類型：數(shù)列極限（） 選擇方法：單調(diào)有界數(shù)列收斂準則（）

15、 相關(guān)結(jié)論：證明數(shù)列的極限存在，并求此極限第37頁/共61頁0, 2)1 ()21 ()cos1 (tanlim2202caedxcInxbxaxx其中機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (例11 年真題分). 析.（）判定類型：？（） 利用結(jié)論：同除以分子分母最低階無窮小的等價無窮小（） 選擇方法：？則必有（）caC4. 第38頁/共61頁. . 歷年真題解析歷年真題解析1 (2011年真題分). 求極限110)1 (limxexxxIn析.（）判定類型：（） 選擇方法：重要極限，洛比達法則，無窮小代換（） 相關(guān)結(jié)論：)()(1limxvxu)(02)1 ()5(22xxxxIn第39頁/共

16、61頁 當(dāng)當(dāng) 時，0 x1)()(lim0 xgxfx)(0! 3sin33xxxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 析.（）判定類型：（） 選擇方法：洛比達法則，無窮小代換，泰勒公式（） 利用結(jié)論：axxxfsin)()1 ()(2bxInxxg與是等價無窮小，求a,b00(2009年真題分). 第40頁/共61頁機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 析.（）判定類型：討論左右極限（） 選擇方法：重要極限，代入法（） 利用結(jié)論：(200年真題分). 第41頁/共61頁)1 ()cos1 (1cossin3lim20 xInxxxxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (年真題分). 00析.

17、（）判定類型：)0( ,)1 (xxxIn（） 選擇方法：洛比達法則，無窮小代換，重要極限（） 利用結(jié)論：同除以分子分母最低階無窮小的等價無窮小第42頁/共61頁 設(shè)設(shè) nx), 2 , 1( ,6,1011nxxxnn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 析.（）判定類型：數(shù)列極限（） 選擇方法：單調(diào)有界數(shù)列收斂準則（） 相關(guān)結(jié)論：的極限存在，并求此極限(年真題分). 試證明第43頁/共61頁機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (年真題分). 析.（）判定類型：（） 利用結(jié)論：（） 選擇方法：洛比達法則，重要極限求a值)()(1limxvxu第44頁/共61頁機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

18、 (年真題分). 析.（）判定類型：（） 利用結(jié)論：（） 選擇方法：洛比達法則，重要極限（）)()(1limxvxu第45頁/共61頁xxxx)1cos2(sinlim機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (年真題分). 析.（）判定類型：（） 利用結(jié)論：（） 選擇方法：洛比達法則，重要極限（）)()(1limxvxu第46頁/共61頁三、三、 連續(xù)與間連續(xù)與間斷斷1. 函數(shù)連續(xù)的等價形式)()(lim00 xfxfxx0lim0yx2. 函數(shù)間斷點第一類間斷點第二類間斷點可去間斷點跳躍間斷點無窮間斷點振蕩間斷點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 有界定理 ;最值定理 ;零點定理 ;介值定理 .

19、3. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第47頁/共61頁例1. 設(shè)函數(shù))(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b = .提示:20)cos1 (lim)0(xxafxblnbaln122e機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第48頁/共61頁例2. 求的間斷點, 并判別其類型.解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx x = 1 為第一類可去間斷點 x = 1 為第二類無窮間斷點, 1)(lim0 xfx x = 0 為第一類跳躍間斷點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第

20、49頁/共61頁) 1)()(xaxbexfx有無窮間斷點0 x及可去間斷點, 1x解:為無窮間斷點,0 x) 1)(lim0 xaxbexx所以bexaxxx) 1)(lim0ba1為可去間斷點 ,) 1(lim1xxbexx極限存在0)(lim1bexxeebxx1lim例例3. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)試確定常數(shù) a 及 b .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第50頁/共61頁例例4. 設(shè)設(shè) f (x) 定義在定義在區(qū)間區(qū)間上 , 若 f (x) 在連續(xù),0 x提示:)(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx)0()(fxf)0( xf閱讀與練習(xí)且對任意實數(shù)證明 f (x) 對一切 x

21、都連續(xù) .P64 題2(2), 4; P73 題5機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第51頁/共61頁證:例例5. 證明證明: 若若 令則給定當(dāng)Xx 時,有AxfA)(又, ,)(XXCxf根據(jù)有界性定理,01M, 使,)(1XXxMxf取1,maxMAAM則在內(nèi)連續(xù),)(limxfx存在, 則)(xf必在內(nèi)有界.)(xfXXA1My機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第52頁/共61頁 例例6. 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，對于上連續(xù)，對于以及12,0,t t , ca b112212()()() ( )t f xt f xttf c證明：存在使得第53頁/共61頁 例例7. 有一張形狀怪異的餅放在方形的餐桌上，能有一張形狀怪異的餅放在方形的餐桌上，能否否 一刀將這張餅切成面積相等的兩半，而刀口平行