初中數(shù)學競賽專項訓練--找規(guī)律題(共9頁)

1、觀察歸納猜想找規(guī)律 給出幾個具體的、特殊的數(shù)、式或圖形，要求找出其中的變化規(guī)律，從而猜想出一般性的結(jié)論.解題的思路是實施特殊向一般的簡化；具體方法和步驟是：（1）通過對幾個特例的分析，尋找規(guī)律并且歸納；（2）猜想符合規(guī)律的一般性結(jié)論；（3）驗證或證明結(jié)論是否正確,下面通過舉例來說明這些問題.一、數(shù)字類基本技巧 （一）標出序列號：例如，觀察下列各式數(shù)：0，3，8，15，24，。我們把有關(guān)的量放在一起加以比較： 給出的數(shù)：0，3，8，15，24，。 序列號： 1，2，3， 4， 5，。 容易發(fā)現(xiàn)，已知數(shù)的每一項，都等于它的序列號的平方減1。因此，第n項是-1（二）公因式法：每位數(shù)分成最小公因式相乘

2、，然后再找規(guī)律，看是不是與n,或2n、3n有關(guān)。例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n項為（ ），1，2，3，4，5。，從中可以看出n=2時，正好是2×2-1的平方,n=3時，正好是2×3-1的平方，以此類推。 （三）增副A： 2、9、28、65.增幅是7、19、37.，增幅的增幅是12、18答案與3有關(guān)且是n的3次冪，即：n+1B：2、4、8、16.增幅是2、4、8. .答案與2的乘方有關(guān)即： （四）有的可對每位數(shù)同時減去第一位數(shù)，成為第二位開始的新數(shù)列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位數(shù)與位置的關(guān)系。再在找出的規(guī)律上加上第一位數(shù)，恢復到原來。例：

3、2、5、10、17、26，同時減去2后得到新數(shù)列： 0、3、8、15、24，序列號：1、2、3、4、5，從順序號中可以看出當n=1時，得1*1-1得0，當n=2時，2*2-1得3，3*3-1=8，以此類推，得到第n個數(shù)為。再看原數(shù)列是同時減2得到的新數(shù)列，則在的基礎(chǔ)上加2，得到原數(shù)列第n項 （五）有的可對每位數(shù)同時加上，或乘以，或除以第一位數(shù)，成為新數(shù)列，然后，在再找出規(guī)律，并恢復到原來。例 ： 4，16，36，64，？，144，196， ？（第一百個數(shù)）同除以4后可得新數(shù)列：1、4、9、16，很顯然是位置數(shù)的平方，得到新數(shù)列第n項即n，原數(shù)列是同除以4得到的新數(shù)列，所以求出新數(shù)列n的公式后再

4、乘以4即，4 n，則求出第一百個數(shù)為4*100=40000(一)等差數(shù)列例題：2，5，8，( )。例題5： 12，15，18，( )，24，27。A.20 B.21 C.22 D.23 (二)等比數(shù)列例題1： 2，1，1/2，( )。A.0 B.1/4 C.1/8 D.-1例題2： 2，8，32，128，( )。 (三)平方數(shù)列1、完全平方數(shù)列：正序：1，4，9，16，25逆序：100，81，64，49，362、一個數(shù)的平方是第二個數(shù)。1)直接得出：2，4，16，( 256 )解析：前一個數(shù)的平方等于第二個數(shù)，答案為256。2)一個數(shù)的平方加減一個數(shù)等于第二個數(shù)：1，2，5，26，(677)

5、前一個數(shù)的平方加1等于第二個數(shù)，答案為677。3、隱含完全平方數(shù)列：1)通過加減一個常數(shù)歸成完全平方數(shù)列：0，3，8，15，24，( 35 )前一個數(shù)加1分別得到1，4，9，16，25，分別為1，2，3，4，5的平方，答案352)相隔加減，得到一個平方數(shù)列：例：65，35，17，( 3 )，1A.15 B.13 C.9 D.3解析：不難感覺到隱含一個平方數(shù)列。進一步思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律是：65等于8的平方加1，35等于6的平方減1，17等于4的平方加1，再觀察時發(fā)現(xiàn)：奇位置數(shù)時都是加1，偶位置數(shù)時都是減1，所以下一個數(shù)應(yīng)該是2的平方減1等于3，答案是D。* (四)立方數(shù)列立方數(shù)列與平方數(shù)列類似。例題1

6、： 1，8，27，64，( 125 )解析：數(shù)列中前四項為1，2，3，4的立方，顯然答案為5的立方，為125。例題2：0，7，26，63 ，( 124 )解析：前四項分別為1，2，3，4的立方減1，答案為5的立方減1，為124。 (五)、加法數(shù)列數(shù)列中前兩個數(shù)的和等于后面第三個數(shù)：n1+n2=n3例題1： 1，1，2，3，5，( 8 )。 A8 B7 C9 D10解析：第一項與第二項之和等于第三項，第二項與第三項之和等于第四項，第三項與第四項之和等于第五項，按此規(guī)律3 +5=8答案為A。例題2： 4，5，( 9 )，14，23，37A 6 B 7 C 8 D 9解析：與例一相同答案為D例題3：

7、 22，35，56，90，( 145 ) 99年考題A 162 B 156 C 148 D 145解析：22 +35-1=56， 35+ 56-1=90 ，56+ 90-1=145，答案為D (六)、減法數(shù)列前兩個數(shù)的差等于后面第三個數(shù)：n1-n2=n3例題1：6，3，3，( 0 )，3，-3 A 0 B 1 C 2 D 3解析：6-3=3，3-3=0 ，3-0=3 ，0-3=-3答案是A。(提醒您別忘了：“空缺項在中間，從兩邊找規(guī)律”) (七)、乘法數(shù)列1、前兩個數(shù)的乘積等于第三個數(shù)例題1：1，2，2，4，8，32，( 256 )前兩個數(shù)的乘積等于第三個數(shù)，答案是256。例題2：2，12，3

8、6，80，( ) (2007年考題)A.100 B.125 C.150 D.175解析：2×1， 3×4 ，4×9，5×16 自然下一項應(yīng)該為6×25150 選C，此題還可以變形為：，.,以此類推，得出2、兩數(shù)相乘的積呈現(xiàn)規(guī)律：等差，等比，平方等數(shù)列。例題2：3/2， 2/3， 3/4，1/3，3/8 ( A ) (99年海關(guān)考題) A 1/6 B 2/9 C 4/3 D 4/9解析：3/2×2/3=1 2/3×3/4=1/2 3/4×1/3=1/4 1/3×3/8=1/8 3/8×?=1/16

9、 答案是 A。 (八)、除法數(shù)列與乘法數(shù)列相類似，一般也分為如下兩種形式：1、兩數(shù)相除等于第三數(shù)。2、兩數(shù)相除的商呈現(xiàn)規(guī)律：順序，等差，等比，平方等。 (九)、質(zhì)數(shù)數(shù)列由質(zhì)數(shù)從小到大的排列：2，3，5，7，11，13，17，19 (十)、循環(huán)數(shù)列幾個數(shù)按一定的次序循環(huán)出現(xiàn)的數(shù)列。例：3，4，5，3，4，5，3，4，5，3，4以上數(shù)列只是一些常用的基本數(shù)列，考題中的數(shù)列是在以上數(shù)列基礎(chǔ)之上構(gòu)造而成的，下面我們主要分析以下近幾年考題中經(jīng)常出現(xiàn)的幾種數(shù)列形式。 1、二級數(shù)列這里所謂的二級數(shù)列是指數(shù)列中前后兩個數(shù)的和、差、積或商構(gòu)成一個我們熟悉的某種數(shù)列形式。例1：2 6 12 20 30 ( 42

10、)A.38 B.42 C.48 D.56解析：后一個數(shù)與前個數(shù)的差分別為：4，6，8，10這顯然是一個等差數(shù)列，因而要選的答案與30的差應(yīng)該是12，所以答案應(yīng)該是B。例2：20 22 25 30 37 ( ) A.39 B.45 C.48 D.51解析：后一個數(shù)與前一個數(shù)的差分別為：2，3，5，7這是一個質(zhì)數(shù)數(shù)列，因而要選的答案與37的差應(yīng)該是11，所以答案應(yīng)該是C。例3：2 5 11 20 32 ( 47 )A.43 B.45 C.47 D.49解析：后一個數(shù)與前一個數(shù)的差分別為：3，6，9，12這顯然是一個等差數(shù)列，因而要 選的答案與32的差應(yīng)該是15，所以答案應(yīng)該是C。例4：4 5 7

11、1l 19 ( 35 ) A.27 B.31 C.35 D.41解析：后一個數(shù)與前一個數(shù)的差分別為：1，2，4，8這是一個等比數(shù)列，因而要 選的答案與19的差應(yīng)該是16，所以答案應(yīng)該是C。例5：3 4 7 16 ( 43 ) A.23 B.27 C.39 D.43解析：后一個數(shù)與前一個數(shù)的差分別為：1，3，9這顯然也是一個等比數(shù)列，因而要選的答案與16的差應(yīng)該是27，所以答案應(yīng)該是D。例6：32 27 23 20 18 ( 17 ) A.14 B.15 C.16 D.17解析：后一個數(shù)與前一個數(shù)的差分別為：-5，-4，-3，-2這顯然是一個等差數(shù)列，因而要 選的答案與18的差應(yīng)該是-1，所以答

12、案應(yīng)該是D。例7：1， 4， 8， 13， 16， 20， ( 25 )A.20 B.25 C.27 D.28解析：后一個數(shù)與前一個數(shù)的差分別為：3，4，5，3，4這是一個循環(huán)數(shù)列，因而要 選的答案與20的差應(yīng)該是5，所以答案應(yīng)該是B。例8：1， 3， 7， 15， 31， ( 63 )A.61 B.62 C.63 D.64解析：后一個數(shù)與前一個數(shù)的差分別為：2，4，8，16這顯然是一個等比數(shù)列，因而要 選的答案與31的差應(yīng)該是32，所以答案應(yīng)該是C。例9：( 69 )，36，19，10，5，2A.77 B.69 C.54 D.48解析：前一個數(shù)與后一個數(shù)的差分別為：3，5，9，17這個數(shù)列中

13、前一個數(shù)的2倍減1得后一個數(shù)，后面的數(shù)應(yīng)該是17*2-1=33，因而33+36=69答案應(yīng)該是 B。例10：1，2，6，15，31，( 56 )A.53 B.56 C.62 D.87解析：后一個數(shù)與前一個數(shù)的差分別為：1，4，9，16這顯然是一個完全平方數(shù)列，因而要選的答案與31的差應(yīng)該是25，所以答案應(yīng)該是B。例11：1，3，18，216，( 5184 )A.1023 B.1892 C.243 D.5184解析：后一個數(shù)與前一個數(shù)的比值分別為：3，6，12這顯然是一個等比數(shù)列，因而要選的答案與216的比值應(yīng)該是24，所以答案應(yīng)該是D：216*24=5184。例12： -2 1 7 16 (

14、28 ) 43A.25 B.28 C.3l D.35解析：后一個數(shù)與前一個數(shù)的差值分別為：3，6，9這顯然是一個等差數(shù)列，因而要選的答案與16的差值應(yīng)該是12，所以答案應(yīng)該是B。例13：1 3 6 10 15 ( )A.20 B.21 C.30 D.25解析：相鄰兩個數(shù)的和構(gòu)成一個完全平方數(shù)列，即：1+3=4=22，6+10=16=42，則15+？=36=62呢，答案應(yīng)該是B。例14：102，96，108，84，132，( 36 ) ，（228）解析：后項減前項分別得-6，12，-24，48，是一個等比數(shù)列，則48后面的數(shù)應(yīng)為-96，132-96=36，再看-96后面應(yīng)是96X2=192，19

15、2+36=228。二、設(shè)計類【例1】在數(shù)學活動中，小明為了求的值（結(jié)果用n表示），設(shè)計如圖a所示的圖形。（1）請你利用這個幾何圖形求的值為          。（2）請你利用圖b，再設(shè)計一個能求的值的幾何圖形。三、動態(tài)類【例3】右圖是一回形圖，其回形通道的寬與OB的長均為1，回形線與射線OA交于點A1，A2，A3，。若從O點到A1點的回形線為第1圈（長為7），從A1點到A2點的回形線為第2圈，依此類推。則第10圈的長為       &#

16、160;    ?！纠?】已知甲運動方式為：先豎直向上運動1個單位長度后，再水平向右運動2個單位長度；乙運動方式為：先豎直向下運動2個單位長度后，再水平向左運動3個單位長度。在平面直角坐標系內(nèi)，現(xiàn)有一動點P第1次從原點O出發(fā)按甲方式運動到點P1，第2次從點P1出發(fā)按乙方式運動到點P2，第3次從點P2出發(fā)再按甲方式運動到點P3，第4次從點P3出發(fā)再按乙方式運動到點P4,。依此運動規(guī)律，則經(jīng)過第11次運動后，動點P所在位置P11的坐標是           &

17、#160;         。解析：【例3】我們從簡單的情形出發(fā)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第1圈的長為1+1+2+2+1，第2圈的長為2+3+4+4+2，第三圈的長為3+5+6+6+3，第四圈的長為4+7+8+8+4，歸納得到第10圈的長為10+19+20+20+1079?！纠?】（3，4）四、計算類【例10】觀察下列等式：        ， 則第n個等式可以表示為        

18、60;            。解析：【例10】【例11】觀察下列各式：，根據(jù)前面的規(guī)律，得：                     。（其中n為正整數(shù)）解析：【例11】【例12】觀察下列等式：觀察下列等式：41=3，9-4=5，16-9=7，25-16=9，36-25=11，這些等式反

19、映了自然數(shù)間的某種規(guī)律，設(shè)n（n1）表示了自然數(shù)，用關(guān)于n的等式表示這個規(guī)律為                     。解析：【例12】（n1，n表示了自然數(shù)）五、 圖形類【例13】在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標都為整數(shù)的點稱為整點。觀察圖中每一個正方形（實線）四條邊上的整點的個數(shù)，請你猜測由里向外第10個正方形（實線）四條邊上的整點共有    

20、60;                個。解析：【例13】第一個正方形的整點數(shù)為2×4-44，第二個正方形的 正點數(shù)有3×448，第三個正方形的整點數(shù)為4×4412個，故第10個正方形的整點數(shù)為11×4-440，【例14】“”代表甲種植物，“”代表乙種植物，為美化環(huán)境，采用如圖所示方案種植。按此規(guī)律，第六個圖案中應(yīng)種植乙種植物       

21、;              株?！纠?4】第一個圖案中以乙中植物有2×24個，第二個圖案中以乙中植物有3×39個，第三個圖案中以乙中植物有4×416個，故第六個圖案中以乙中植物有7×749個.練 習一、數(shù)字排列規(guī)律題1、 觀察下列各算式： 1+3=4=221+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42 按此規(guī)律（1） 試猜想：1+3+5+7+2005+2007的值？（2）推廣： 1+3+5+7+9+（2n-1)+（2n+1

22、)的和是多少 ？ 2、下面數(shù)列后兩位應(yīng)該填上什么數(shù)字呢？2 3 5 8 12 17 _ _ 3、 請?zhí)畛鱿旅鏅M線上的數(shù)字。 1 1 2 3 5 8 _ 214、有一串數(shù)，它的排列規(guī)律是1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、聰明的你猜猜第100個數(shù)是什么？5、有一串數(shù)字 3 6 10 15 21 _ 第6個是什么數(shù)？6、觀察下列一組數(shù)的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、，那么第2005個數(shù)是（ ）.A1B2C3D47、100個數(shù)排成一行，其中任意三個相鄰數(shù)中，中間一個數(shù)都等于它前后兩個數(shù)的和，如果這100個數(shù)的前兩個數(shù)依次為1，0，那么這100個數(shù)中“0”的個數(shù)為 _個二、幾何圖形變化規(guī)律題1、觀察下列球的排列規(guī)律(其中是實心球，是空心球)： 從第1個球起到第2004個球止，共有實心球 個2、觀察下列圖形排列規(guī)