本科經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)附錄B第4版

1、附錄附錄b b概率分布的特征概率分布的特征附錄b2b.1 期望：集中趨勢(shì)的度量期望：集中趨勢(shì)的度量b.2 方差：離散程度的度量方差：離散程度的度量b.3 協(xié)方差協(xié)方差b.4 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)b.5 條件期望條件期望b.6 偏度和峰度偏度和峰度b.7 從總體到樣本從總體到樣本b.8 小結(jié)小結(jié)附錄b3 離散型隨機(jī)變量的期望值用符號(hào)離散型隨機(jī)變量的期望值用符號(hào)e e（x x）表示。）表示。 定義為：定義為：()( )()xxe xxf xxp xx例例3-1 3-1 擲一個(gè)骰子若干次。隨機(jī)變量擲一個(gè)骰子若干次。隨機(jī)變量x表示正面朝表示正面朝上的數(shù)字，求上的數(shù)字，求x的期望值。的期望值。（下表）（下表

2、）附錄b4表表3-1 3-1 隨機(jī)變量（正面朝上數(shù)字）的期望值隨機(jī)變量（正面朝上數(shù)字）的期望值正面朝上的數(shù)字正面朝上的數(shù)字 概率概率 數(shù)字?jǐn)?shù)字* *概率概率 x f(x) xf(x) 1 1/6 1/6 2 1/6 2/6 3 1/6 3/6 4 1/6 4/6 5 1/6 5/6 6 1/6 6/6 e(x) = 21/6 =3.5附錄b5概率分布概率分布1/6圖3-1 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量(例例3-1)的期望值的期望值,e(x)f(x)x附錄b6？ 在上例中，打印機(jī)銷售量的期望值是多少？在上例中，打印機(jī)銷售量的期望值是多少？我們?nèi)钥蓮奈覀內(nèi)钥蓮?表表2-4中得到。中得到。 例例3-

3、2 在例在例2-17中，電腦銷售量的期望值是多少？中，電腦銷售量的期望值是多少？我們可從我們可從 中得到。把變量中得到。把變量x的各可能值與其相對(duì)的各可能值與其相對(duì)應(yīng)的概率之積累加即得電腦銷售量的期望值。應(yīng)的概率之積累加即得電腦銷售量的期望值。 0(0.08)+1(0.12)+2(0.24) +3(0.24)+4(0.32)=2.6 因此，電腦每天的平均銷售量為因此，電腦每天的平均銷售量為2.6臺(tái)。臺(tái)。表2-4 0(0.11)+1(0.16)+2(0.23) +3(0.27)+4(0.23)=2.35即每天打印機(jī)的平均銷售量為即每天打印機(jī)的平均銷售量為2.35臺(tái)。臺(tái)。附錄b7 0 0.08 0

4、 0.11 1 0.12 1 0.16 2 0.24 2 0.23 3 0.24 3 0.27 4 0.32 4 0.23總計(jì)總計(jì) 1.00 總計(jì)總計(jì) 1.00 x f(x) y f(y) 表表2-4 2-4 個(gè)人電腦售出數(shù)量個(gè)人電腦售出數(shù)量x和打印機(jī)售出數(shù)量和打印機(jī)售出數(shù)量y的的邊緣分布邊緣分布附錄b81.1.若若b b為常數(shù)，則有為常數(shù)，則有： e（b）= b2.給定隨機(jī)變量給定隨機(jī)變量x x和和y y，有，有 e e（x+yx+y）=e=e（x x）+e+e（y y）3.)()()|(yexeyxe 4.)()()(yexexye5.5.若若a a為常數(shù)，則有：為常數(shù)，則有：)()(xa

5、eaxe ：bxaebaxe)()(b.1.1 期望的性質(zhì)期望的性質(zhì)除非兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立。除非兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立。附錄b9方差定義為：方差定義為：表明了隨機(jī)變量表明了隨機(jī)變量x的各取值與其期望值的偏離程度。的各取值與其期望值的偏離程度。如圖如圖3-23-2。22)( )var(xexexx若若x x為離散型隨機(jī)變量，通常用下列公式計(jì)算方差為離散型隨機(jī)變量，通常用下列公式計(jì)算方差xxfxexx)()()var(2標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation, s.d)：方差的正的方根。方差的正的方根。附錄b103-2附錄b11例例3-4： 接例接例3-1，求隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量x（表

6、示正面朝上的數(shù)（表示正面朝上的數(shù)字）的方差。字）的方差。正面朝上的數(shù)字正面朝上的數(shù)字 概率概率 x f(x) (x-(ex)2*f(x) 1 1/6 (1-3.5)2(1/6) 2 1/6 (2-3.5)2(1/6) 3 1/6 (3-3.5)2(1/6) 4 1/6 (4-3.5)2(1/6) 5 1/6 (5-3.5)2(1/6) 6 1/6 (6-3.5)2(1/6) 總計(jì)總計(jì)2.9167 var(x) = 2.9167附錄b121. 1. 常數(shù)的方差為零。常數(shù)的方差為零。2. 2. 若若x x與與y y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，那么：是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，那么： var(x+y)

7、=var(x)+var(y)var(x+y)=var(x)+var(y) var(x-y)=var(x)+var(y) var(x-y)=var(x)+var(y)3. 3. 若若b b是常數(shù)，則是常數(shù)，則 var(x+b)=var(x)var(x+b)=var(x)4. 4. 如果如果a a是常數(shù)，則是常數(shù)，則)var()var(2xaax 5. 5. 如果如果a,ba,b是常數(shù)，則是常數(shù)，則)var()var(2xabax)var()var()var(22ybxabyax6. 6. 如果如果x x與與y y相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，a,ba,b是常數(shù)，則是常數(shù)，則附錄b13如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變

8、量x的均值和方差分別為的均值和方差分別為 ，那么，那么對(duì)任意給的正數(shù)對(duì)任意給的正數(shù)c，有：，有：2,xx21(|)1xxpxcc 例例3-5：一個(gè)油炸圈餅店每天上午：一個(gè)油炸圈餅店每天上午8點(diǎn)到點(diǎn)到9點(diǎn)平均賣出油點(diǎn)平均賣出油炸圈餅炸圈餅100個(gè)，方差為個(gè)，方差為25。那么，某天在。那么，某天在8到到9點(diǎn)間賣出點(diǎn)間賣出90110個(gè)油炸圈餅的概率至少是多少？個(gè)油炸圈餅的概率至少是多少？21(|100| 2*5)12px 附錄b14變異系數(shù)變異系數(shù)(coefficient of variation,v)度量相對(duì)變動(dòng)，度量相對(duì)變動(dòng)，定義為：定義為：100 xxv例例3-6：某講師講授兩個(gè)班的初級(jí)經(jīng)濟(jì)計(jì)

9、量學(xué)課程，每班：某講師講授兩個(gè)班的初級(jí)經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)課程，每班各各15名學(xué)生。在期中考試中，名學(xué)生。在期中考試中，a班平均班平均83分，標(biāo)準(zhǔn)差為分，標(biāo)準(zhǔn)差為10，b班平均班平均88分，標(biāo)準(zhǔn)差為分，標(biāo)準(zhǔn)差為16。哪個(gè)班的成績(jī)更好？。哪個(gè)班的成績(jī)更好？181.181008816,048.121008310bavv 由于由于a班的相對(duì)變動(dòng)小，所以說班的相對(duì)變動(dòng)小，所以說a班成績(jī)的總體情況班成績(jī)的總體情況好于好于b班。班。附錄b15令隨機(jī)變量令隨機(jī)變量x和和y的期望分別為的期望分別為 其協(xié)方差為：其協(xié)方差為：， ,yxuu ue(xy)-uuyuxeyxyxyx )(),cov( 假定假定x和和y是離散型

10、隨機(jī)變量，協(xié)方差用下式計(jì)算是離散型隨機(jī)變量，協(xié)方差用下式計(jì)算 u-uyxxyfyxfuyuxyxyxxyxyyx),( ),()(),cov( 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量可用積分符號(hào)代替求和符號(hào)。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量可用積分符號(hào)代替求和符號(hào)。附錄b161.若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量x，y獨(dú)立，協(xié)方差為零。獨(dú)立，協(xié)方差為零。2. 其中，其中，a,b,c,d為常數(shù)。為常數(shù)。 ),cov(),cov(yxbddycbxa3. cov(x,x)=var(x)協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差的性質(zhì)附錄b17例例3-7：再次回到個(gè)人電腦：再次回到個(gè)人電腦/打印機(jī)銷售一例，現(xiàn)利用協(xié)方打印機(jī)銷售一例，現(xiàn)利用協(xié)方差的計(jì)算公式計(jì)算電腦銷售量差

11、的計(jì)算公式計(jì)算電腦銷售量x和打印機(jī)銷售量和打印機(jī)銷售量y的協(xié)方的協(xié)方差。差。已知：已知：35. 2, 6 . 2yx06. 715. 0*4*403. 0*1*003. 0*0*0)(xye 0.03 0.03 0.02 0.02 0.010.03 0.03 0.02 0.02 0.01 0.02 0.05 0.06 0.02 0.01 0.02 0.05 0.06 0.02 0.01 0.01 0.02 0.10 0.05 0.05 0.01 0.02 0.10 0.05 0.05 0.01 0.01 0.05 0.10 0.10 0.01 0.01 0.05 0.10 0.10 0.01

12、0.01 0.01 0.05 0.15 0.01 0.01 0.01 0.05 0.15 0.08 0.12 0.24 0.24 0.320.08 0.12 0.24 0.24 0.32 0 1 2 3 4 總計(jì)f(x) 出售個(gè)人電腦的數(shù)量（x） 0 1 2 3 40 1 2 3 4表表2-3 2-3 個(gè)人電腦售出數(shù)量個(gè)人電腦售出數(shù)量x x和打印機(jī)售出數(shù)量和打印機(jī)售出數(shù)量y y的二元概率分布的二元概率分布總計(jì)f(y) 0.11 0.16 0.23 0.27 0.231.00出售打印機(jī)的數(shù)量 (y) ue(xy)-uyxyx95. 035. 2*6 . 206. 7),cov(附錄b18相關(guān)系數(shù)

13、定義如下相關(guān)系數(shù)定義如下yxyx),cov(11b.4.1 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1. 相關(guān)系數(shù)與協(xié)方差同號(hào)相關(guān)系數(shù)與協(xié)方差同號(hào)2. 相關(guān)系數(shù)度量了兩變量間的線性關(guān)系相關(guān)系數(shù)度量了兩變量間的線性關(guān)系3. 相關(guān)系數(shù)是一個(gè)純數(shù)值，且滿足：相關(guān)系數(shù)是一個(gè)純數(shù)值，且滿足：4. 如果兩變量獨(dú)立，則協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)都為如果兩變量獨(dú)立，則協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)都為0，但如，但如果兩變量的相關(guān)系數(shù)為果兩變量的相關(guān)系數(shù)為0，并不意味著這兩個(gè)變量相互，并不意味著這兩個(gè)變量相互獨(dú)立。獨(dú)立。5. 相關(guān)并不一定意味著存在因果關(guān)系。相關(guān)并不一定意味著存在因果關(guān)系。附錄b193-3附錄b20例例3-8 繼續(xù)個(gè)人電腦繼續(xù)個(gè)人

14、電腦/打印機(jī)一例，現(xiàn)計(jì)算兩變量的相打印機(jī)一例，現(xiàn)計(jì)算兩變量的相關(guān)系數(shù)。關(guān)系數(shù)。已知兩個(gè)變量的協(xié)方差為已知兩個(gè)變量的協(xié)方差為0.95，根據(jù)表，根據(jù)表2-4中的數(shù)據(jù)可中的數(shù)據(jù)可以得到以得到4124. 1,2649. 1yx5317. 04124. 1*2649. 195. 0),cov(yxyx即兩變量存在一定的正相關(guān)關(guān)系，這也是很容易理解的。即兩變量存在一定的正相關(guān)關(guān)系，這也是很容易理解的。附錄b21),cov(2)var()var()var(22yxabybxabyax特別地：特別地：yxyxyxyxyxyx2)var()var()var(2)var()var()var(附錄b22)|()|(

15、)|()|(xxyyfxxyeyyxxfyyxe例例3-9：在個(gè)人電腦：在個(gè)人電腦/打印機(jī)一例中，計(jì)算打印機(jī)一例中，計(jì)算e(y|x=2)，即在，即在每天售出每天售出2臺(tái)個(gè)人電腦的條件下銷售打印機(jī)的條件期望。臺(tái)個(gè)人電腦的條件下銷售打印機(jī)的條件期望。)2()2, 1()2| 1(875. 1)2|4(4)2|3(3)2|2(2)2| 1()2|()2|(xfxyfxyfxyfxyfxyfxyfxyyfxye附錄b23b.6 偏度偏度(skewness)與峰度與峰度(kurtosis) 偏度與峰度是用于描述概率密度函數(shù)形狀的數(shù)偏度與峰度是用于描述概率密度函數(shù)形狀的數(shù)字特征。偏度字特征。偏度s是是對(duì)稱

16、性對(duì)稱性的度量，峰度的度量，峰度k是一個(gè)概率是一個(gè)概率密度函數(shù)密度函數(shù)高低或胖瘦高低或胖瘦的度量。的度量。33422()()()xxxxexusexukexu三 階 中 心 矩標(biāo) 準(zhǔn) 差 的 立 方四 階 矩二 階 矩 的 平 方偏度大于偏度大于0，稱其為正偏或右偏，偏度小于，稱其為正偏或右偏，偏度小于0為負(fù)偏或?yàn)樨?fù)偏或左偏。可以計(jì)算得到正態(tài)分布的左偏。可以計(jì)算得到正態(tài)分布的s0，k3。附錄b24附錄b25b.7 b.7 從總體到樣本從總體到樣本 如果我們想考察如果我們想考察我國(guó)我國(guó)20歲女性的身高情況歲女性的身高情況，我們，我們知道，若設(shè)其為知道，若設(shè)其為x，這是一個(gè)，這是一個(gè)隨機(jī)變量隨機(jī)變

17、量。描述該隨機(jī)。描述該隨機(jī)變量，可以用概率密度函數(shù)或用期望、方差等數(shù)字特變量，可以用概率密度函數(shù)或用期望、方差等數(shù)字特征。但這些都是未知的。征。但這些都是未知的。 現(xiàn)在，我們可以把我國(guó)現(xiàn)在，我們可以把我國(guó)所有所有20歲女性身高值構(gòu)成歲女性身高值構(gòu)成的集合的集合看成是一個(gè)看成是一個(gè)總體總體,我們來考察這一總體的情況。我們來考察這一總體的情況。 考察方法之一是從總體中抽取考察方法之一是從總體中抽取一個(gè)樣本一個(gè)樣本，通過樣本，通過樣本的特征來反映總體的情況。的特征來反映總體的情況。 所以我們必須知道所以我們必須知道樣本矩樣本矩(sample moments)的計(jì)算的計(jì)算方法。方法。附錄b261. 樣本均值樣本均值niinxx12. 樣本方差樣本方差niixnxxs1221)()( )(11),cov(yyxxnyxii3. 樣本協(xié)方差樣本協(xié)方差4. 樣本相關(guān)系數(shù)樣本相關(guān)系數(shù)yxiissyyxxn)( )(11樣本從總體中抽取的樣本設(shè)為：從總體中抽取的樣本設(shè)為：nxxx,21附錄b275. 樣本偏度與樣本峰度樣本偏度與樣本峰度對(duì)照下公式對(duì)照下公式總體偏度總體偏度s總體峰度總體峰度k 樣本三階矩與樣本四階矩為：樣本三階矩與樣本四階矩為： 33422()()()xxxxexusexukexuniinxx131)(niinxx1