高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)解三角形4.6正弦定理和余弦定理學(xué)案理北師大版05

1、§4.6正弦定理和余弦定理最新考綱考情考向分析掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.以利用正弦、余弦定理解三角形為主，常與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角恒等變換、三角形中的幾何計算交匯考查，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識題型多樣，中檔難度.1正弦定理、余弦定理在abc中，若角a，b，c所對的邊分別是a，b，c，r為abc外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容2ra2b2c22bccos a；b2c2a22cacos b；c2a2b22abcos c變形(1)a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c；(2)sin a，sin b，sin c；(3)abcsin

2、asin bsin c；asin bbsin a，bsin ccsin b，asin ccsin a(4)cos a；cos b；cos c2.在abc中，已知a，b和a時，解的情況a為銳角a為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin absin a<a<baba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解3.三角形常用面積公式(1)sa·ha(ha表示邊a上的高)；(2)sabsin cacsin bbcsin a；(3)sr(abc)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)知識拓展1三角形內(nèi)角和定理在abc中，abc；變形：.2三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(ab)sin c；(2)cos(ab)c

3、os c；(3)sin cos ；(4)cos sin .3三角形中的射影定理在abc中，abcos cccos b；bacos cccos a；cbcos aacos b.題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉?#215;”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個內(nèi)角之比(×)(2)在abc中，若sin asin b，則ab.()(3)當(dāng)b2c2a2>0時，三角形abc為銳角三角形(×)(4)在abc中，.()(5)在三角形中，已知兩邊和一角就能求三角形的面積()題組二教材改編2在abc中，acos abcos b，則這個三角形的形狀為 答案等腰三

4、角形或直角三角形解析由正弦定理，得sin acos asin bcos b，即sin 2asin 2b，所以2a2b或2a2b，即ab或ab，所以這個三角形為等腰三角形或直角三角形3在abc中，a60°，ac4，bc2，則abc的面積為 答案2解析，sin b1，b90°，ab2，sabc×2×22.題組三易錯自糾4在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，若c<bcos a，則abc為()a鈍角三角形 b直角三角形c銳角三角形 d等邊三角形答案a解析由已知得sin c<sin bcos a，sin(ab)<sin bcos a

5、，sin a·cos bcos a·sin b<sin b·cos a，又sin a>0，cos b<0，b為鈍角，故abc為鈍角三角形5(2018·桂林質(zhì)檢)在abc中，已知b40，c20，c60°，則此三角形的解的情況是()a有一解 b有兩解c無解 d有解但解的個數(shù)不確定答案c解析由正弦定理得，sin b>1.角b不存在，即滿足條件的三角形不存在6(2018·包頭模擬)設(shè)abc的內(nèi)角a，b，c所對邊的長分別為a，b，c.若bc2a,3sin a5sin b，則角c .答案解析由3sin a5sin b，得3

6、a5b.又因?yàn)閎c2a，所以ab，cb，所以cos c.因?yàn)閏(0，)，所以c.題型一利用正、余弦定理解三角形1(2016·山東)abc中，角a，b，c的對邊分別是a，b，c，已知bc，a22b2(1sin a)，則a等于()a. b. c. d.答案c解析在abc中，由余弦定理得a2b2c22bccos a，bc，a22b2(1cos a)，又a22b2(1sin a)，cos asin a，tan a1，a(0，)，a，故選c.2在abc中，角a，b，c所對的邊分別是a，b，c.已知8b5c，c2b，則cos c等于()a. b c± d.答案a解析8b5c，由正弦定理

7、，得8sin b5sin c.又c2b，8sin b5sin 2b，8sin b10sin bcos b.sin b0，cos b，cos ccos 2b2cos2b1.3設(shè)abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c.若a，sin b，c，則b .答案1解析因?yàn)閟in b且b(0，)，所以b或b.又c，bc<，所以b，abc.又a，由正弦定理得，即，解得b1.思維升華 (1)解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到(2)三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，

8、該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷題型二和三角形面積有關(guān)的問題典例 在abc中，內(nèi)角a，b，c所對的邊分別為a，b，c.已知bc2acos b.(1)證明：a2b；(2)若abc的面積s，求角a的大小(1)證明由正弦定理得sin bsin c2sin acos b，故2sin acos bsin bsin(ab)sin bsin acos bcos asin b，于是sin bsin(ab)又a，b(0，)，故0ab，所以b(ab)或bab，因此a(舍去)或a2b，所以a2b.(2)解由s，得absin

9、 c，故有sin bsin csin asin 2bsin bcos b，由sin b0，得sin ccos b.又b，c(0，)，所以c±b.當(dāng)bc時，a； 當(dāng)cb時，a.綜上，a或a.思維升華 (1)對于面積公式sabsin cacsin bbcsin a，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化跟蹤訓(xùn)練 (1)(2018·承德質(zhì)檢)若ab2，acbc，則sabc的最大值為()a2 b. c. d3答案a解析設(shè)bcx，則acx.根據(jù)三角形的面積公式，得sabc·ab·bcsin bx.根據(jù)

10、余弦定理，得cos b.將代入，得sabcx .由三角形的三邊關(guān)系，得解得22<x<22，故當(dāng)x2時，sabc取得最大值2，故選a.(2)在abc中，內(nèi)角a，b，c所對的邊分別是a，b，c.若c2(ab)26，c，則abc的面積是 答案解析c2(ab)26，c2a2b22ab6.c，c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab60，即ab6.sabcabsin c×6×.題型三正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用命題點(diǎn)1判斷三角形的形狀典例 (1)在abc中，cos ，則abc一定是()a等腰三角形 b直角三角形c等腰直角三角形 d無法確定答案a解析由已知得cos2

11、，2cos21cos b，cos acos b，又0<a，b<，ab，abc為等腰三角形(2)設(shè)abc的內(nèi)角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，若bcos cccos basin a，則abc的形狀為()a銳角三角形 b直角三角形c鈍角三角形 d不確定答案b解析由正弦定理得sin bcos csin ccos bsin2a，sin(bc)sin2a，即sin(a)sin2a，sin asin2a.a(0，)，sin a>0，sin a1，即a，abc為直角三角形引申探究1本例(2)中，若將條件變?yōu)?sin acos bsin c，判斷abc的形狀解2sin acos bsin

12、 csin(ab)，2sin acos bsin acos bcos asin b，sin(ab)0.又a，b為abc的內(nèi)角ab，abc為等腰三角形2本例(2)中，若將條件變?yōu)閍2b2c2ab，且2cos asin bsin c，判斷abc的形狀解a2b2c2ab，cos c，又0<c<，c，又由2cos asin bsin c得sin(ba)0，ab，故abc為等邊三角形命題點(diǎn)2求解幾何計算問題典例 (1)如圖，在abc中，b45°，d是bc邊上一點(diǎn)，ad5，ac7，dc3，則ab .答案解析在acd中，由余弦定理可得cos c，則sin c.在abc中，由正弦定理可得

13、，則ab.(2)(2018·吉林三校聯(lián)考)在平面四邊形abcd中，abc75°，bc2，則ab的取值范圍是 答案(，)解析如圖所示，延長ba與cd相交于點(diǎn)e，過點(diǎn)c作cfad交ab于點(diǎn)f，則bf<ab<be.在等腰三角形cbf中，fcb30°，cfbc2，bf.在等腰三角形ecb中，ceb30°，ecb75°，bece，bc2，be×.<ab<.思維升華 (1)判斷三角形形狀的方法化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，此時要注意應(yīng)用abc這個結(jié)論(2)求解幾何計算問題

14、要注意：根據(jù)已知的邊角畫出圖形并在圖中標(biāo)示；選擇在某個三角形中運(yùn)用正弦定理或余弦定理跟蹤訓(xùn)練 (1)(2018·安徽六校聯(lián)考)在abc中，cos2(a，b，c分別為角a，b，c的對邊)，則abc的形狀為()a等邊三角形b直角三角形c等腰三角形或直角三角形d等腰直角三角形答案b解析cos2，cos2，(1cos b)·cac，acos b·c，2a2a2c2b2，a2b2c2，abc為直角三角形(2)如圖，在abc中，已知點(diǎn)d在bc邊上，adac，sinbac，ab3，ad3，則bd的長為 答案解析因?yàn)閟inbac，且adac，所以sin，所以cosbad，在bad

15、中，由余弦定理，得bd.二審結(jié)論會轉(zhuǎn)換典例 (12分)在abc中，內(nèi)角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，已知acb，sin bsin c.(1)求cos a的值；(2)求cos的值(1)(2)規(guī)范解答解(1)在abc中，由及sin bsin c，可得bc，2分又由acb，有a2c，4分所以cos a.7分(2)在abc中，由cos a，可得sin a.8分于是cos 2a2cos2a1，9分sin 2a2sin a·cos a.10分所以coscos 2acos sin 2asin ××.12分1(2017·長沙模擬)在abc中，角a，b，c所對的邊分

16、別為a，b，c.若a，b3，a60°，則邊c等于()a1 b2 c4 d6答案c解析a2c2b22cbcos a，13c292c×3×cos 60°，即c23c40，解得c4或c1(舍去)2在abc中，角a，b，c對應(yīng)的邊分別為a，b，c，若a，a2，b，則b等于()a. b.c.或 d.答案d解析a，a2，b，由正弦定理，可得sin bsin a×.a，b.3(2017·哈爾濱模擬)在abc中，ab，ac1，b30°，abc的面積為，則c等于()a30° b45° c60° d75°

17、答案c解析sabc·ab·ac·sin a，即××1×sin a，sin a1，由a(0°，180°)，a90°，c60°.故選c.4abc的三個內(nèi)角a，b，c所對邊的長分別為a，b，c，asin asin bbcos2aa，則等于()a2 b2c. d.答案d解析(邊化角)由asin asin bbcos2aa及正弦定理，得sin asin asin bsin bcos2asin a，即sin bsin a，所以.5在abc中，角a，b，c所對的邊長分別為a，b，c，sin a，sin b，s

18、in c成等比數(shù)列，且c2a，則cos b的值為()a. b.c. d.答案b解析因?yàn)閟in a，sin b，sin c成等比數(shù)列，所以sin2bsin asin c，由正弦定理得b2ac，又c2a，故cos b.6(2017·鄭州模擬)在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，若，則cos b等于()a b.c d.答案b解析由正弦定理知1，即tan b，由b(0，)，所以b，所以cos bcos，故選b.7(2016·全國)abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c，若cos a，cos c，a1，則b .答案解析在abc中，由cos a，cos c，可得si

19、n a，sin c，sin bsin(ac)sin acos ccos a·sin c，由正弦定理得b.8(2018·成都模擬)在abc中，角a，b，c的對邊分別為a，b，c.若(a2c2b2)tan bac，則角b的值為 答案或解析由余弦定理，得cos b，結(jié)合已知等式得cos b·tan b，sin b，又0<b<，b或.9abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知b2，b，c，則abc的面積為 答案1解析b2，b，c.由正弦定理，得c2，a，sin asinsin cos cos sin .則sabcbc·sin a×

20、2×2×1.10(2018·長春質(zhì)檢)e，f是等腰直角三角形abc斜邊ab上的三等分點(diǎn)，則tanecf .答案解析如圖，設(shè)ab6，則aeeffb2.因?yàn)閍bc為等腰直角三角形，所以acbc3.在ace中，a45°，ae2，ac3，由余弦定理可得ce.同理，在bcf中可得cf.在cef中，由余弦定理得cosecf，所以tanecf.11(2018·珠海模擬)設(shè)abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c，abtan a.(1)證明：sin bcos a；(2)若sin csin acos b，且b為鈍角，求a，b，c.(1)證明由正弦定理知2r，

21、a2rsin a，b2rsin b，代入abtan a得sin asin b·，又a(0，)，sin a0，1，即sin bcos a.(2)解由sin csin acos b知，sin(ab)sin acos b，cos asin b.由(1)知，sin bcos a，cos2a，由于b是鈍角，故a，cos a，a.sin b，b，c(ab).12(2017·全國)abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知abc的面積為.(1)求sin bsin c；(2)若6cos bcos c1，a3，求abc的周長解(1)由題設(shè)得acsin b，即csin b.由正弦定理，

22、得sin csin b，故sin bsin c.(2)由題設(shè)及(1)，得cos bcos csin bsin c，即cos(bc).所以bc，故a.由題意得bcsin a，a3，所以bc8.由余弦定理，得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故abc的周長為3.13(2018·銀川模擬)在abc中，三個內(nèi)角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，若sabc2，ab6，2cos c，則c等于()a2 b4c2 d3答案c解析2cos c，由正弦定理，得sin acos bcos asin b2sin ccos c，sin(ab)sin c2sin ccos c，由于0<c<，sin c0，cos c，c，sabc2absin cab，ab8，又ab6，解得或c2a2b22abcos c416812，c2，故選c.14(2018·大理模擬)在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，且滿足asin bbcos a若a4，則abc周長的最大值為 答案12解析由正弦定理，可將asin bbcos a轉(zhuǎn)化為sin asin bsin