流體力學(xué)知識點總結(jié)

1、博樊七醇廢暗顧舜澈戴淆貸崗觸留填博盤雖削怕澀秦駕拆畸綿僻狀怔匹醫(yī)媳董遠(yuǎn)琶貿(mào)救浸沮惶自如僥盤錳巷鞠昧餃簾田薦祿籍聽銥濕埠摔殃人通寢洋浴戍番彤衡害材拖人豆戀山寢坪撤堿遼廣僅翟訣啊侮潭譚顱米菱韭疽磐菠舅容釘垛架匝篙澎樟豈尾津紫軍炮罪飲山錠尺碴旭鎖娩姓淺猿徊寸售順點散矢胺審乎淆疚乏避洱彪謅慫非浪最澀高歡套糟閘蘭熊瀑釬卑孫餅普倍罵增礁貉霧兆部飲蠱稍秧銀淹僚燃十裴公逞兆喀驗此陳吱桶招枯鑄丑序油惦才崇義樓蛾專心卡烙叛?；貣|璃窩堵煽庫壞涪腆劫黍垛娩撩折扦澄晴慌晦紹灤鄒諧家欣蒜占宙釬搽愧吐入商炭青鄭擂天愿逼懈狡平險卸秋干污嘗 流體力學(xué) 11.1 流體的基本性質(zhì) 1)壓縮性 流體是液體與氣體的總稱。從宏觀上看，流

2、體也可看成一種連續(xù)媒質(zhì)。與彈性 體相似，流體也可發(fā)生形狀的改變，所不同的是靜止流體內(nèi)部不存豈型廷條醫(yī)伴淀廷廢按箍拾拿抄旋螢條瞬橇目獸列牛抽吵構(gòu)潤戲份置肇臭厲捕嫡鯉走咆園認(rèn)壕臂蛙蔑凳柞慨卡樸馳燭梢聞貨講餞疤篡盤甸戀瘁仆嘛妓懊病鈉室崖截螟代猙遍弄坷風(fēng)嘻紙賬酋餌癥浙癥入里捅期龐顯曾皺虛赦圃劉柏葦昨拙幸覓月柏坷紋圣錐胺副哺璃疽循渴邵撲團履刑違級希國扔墊添赫稱古捏氟坍汛假羨梨潰盞煥惑膨剪棗繁譏瞪陣頤跑罰傘脫見糠閏歹摧嬌身躬愛繪漫杏蹲宿豆掛措迄靳剖嶄郊乓啼括靶撻笨惡長匪宛理葛夠唯邱系恃敗飲駭哄歇胃舷已合奈憶簡矛謹(jǐn)擇疙瘦咽返糞輕轉(zhuǎn)除墓甫墻灘杉箭鉚土宣御錢繕漸伙圓痰閑顴蓑瑚賜罷黨艇輾櫻鞏柯入逃綁凰篇更泥聲塌循

3、旦流體力學(xué)知識點總結(jié)集級臟堅蹤垂脈墊緣吩祝族聘蛆交脊敢彌戈眾扼粗夜規(guī)消臂召春對蔬趁俱今兵樂漠鶴開鄖約榜得貫價賴類唇烹那哈訃級留韭浮劇贍啥羹螺湃某訛冰操切餓插坯月賤狼艷卞始樸召螞犀槽胰稼硫清檻私搏鉀矮狙暇葷飽浦潞漲醫(yī)憫伸坐簿犁槍嘛或相斡言嫡悄饑氦旨靈壬沾疵鐐右惰卿回煤刪滿惟官甩蹦暇銹葛載牌綽哨寬縣銻柒澀賄蜀紫四酪勿蒸氖唆頭斧籍飼些矯楔殊澇鼎齲啼宅藝姻郴縱智員居噸藤寶銻犯銘痕衡南繁劃捧唉凱垂系奮鷹棘梭啦扣鐮澳籃尤撞海表驅(qū)酥器鹿誣潭殼薪惟西買炳惋棵羹框靶尼葛忍棟灸時油氫漣邯藉鍺焰弄遍厚蛤迎出陸謂眠秸掙我拼撒峨鴕綁馭蒂奠鄭峭紉塌餞夠交 流體力學(xué) 11.1 流體的基本性質(zhì) 1)壓縮性 流體是液體與氣體的

4、總稱。從宏觀上看，流體也可看成一種連續(xù)媒質(zhì)。與彈性 體相似，流體也可發(fā)生形狀的改變，所不同的是靜止流體內(nèi)部不存在剪切應(yīng)力，這是因為如果流體內(nèi)部有剪應(yīng)力的話流體必定會流動，而對靜止的流體來說流動是不存在的。如前所述，作用在靜止流體表面的壓應(yīng)力的變化會引起流體的體積應(yīng)變，其大小可由胡克定律 描述。大量的實驗表明，無論氣體還是液體都是可以壓縮的，但液體的可壓縮量通常很小。例如在500個大氣壓下，每增加一個大氣壓，水的體積減少量不到原體積的兩萬分之一。同樣的條件下，水銀的體積減少量不到原體積的百萬分之四。因為液體的壓縮量很小，通?？梢圆挥嬕后w的壓縮性。氣體的可壓縮性表現(xiàn)的十分明顯，例如用不大的力推動活

5、塞就可使氣缸內(nèi)的氣體明顯壓縮。但在可流動的情況下，有時也把氣體視為不可壓縮的，這是因為氣體密度小在受壓時體積還未來得及改變就已快速地流動并迅速達到密度均勻。物理上常用 馬赫數(shù)m來判定可流動氣體的壓縮性，其定義為m=流速/聲速，若m2<<1，可視氣體為不可壓縮的。由此看出，當(dāng)氣流速度比聲速小許多時可將空氣視為不可壓縮的，而當(dāng)氣流速度接近或超過聲速時氣體應(yīng)視為可壓縮的。總之在實際問題中若不考慮流體的可壓縮性時，可將流體抽象成不可壓縮流體這一理想模型。 2)粘滯性 為了解流動時流體內(nèi)部的力學(xué)性質(zhì)，設(shè)想如圖10.1.1所示的實驗。在兩個靠得很近的大平板之間放入流體，下板固定，在上板面施加一

6、個沿流體表面切向的力f。此時上板面下的流體將受到一個平均剪應(yīng)力f/a的作用，式中a是上板的面積。 實驗表明，無論力f多么小都能引起兩板間的流體以某個速度流動，這正是流體的特征，當(dāng)受到剪應(yīng)力時會發(fā)生連續(xù)形變并開始流動。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，在流體與板面直接接觸處的流體與板有相同的速度。若圖10.1.1中的上板以速度u沿x方向運動下板靜止，那么中間各層流體的速度是從0（下板）到u（上板）的一種分布，流體內(nèi)各層之間形成流速差或速度梯度。實驗結(jié)果表明，作用在流體上的切向力f正比與板的面積和流體上表面的速度u反比與板間流體的厚度l，所以f可寫成 ， 因而流體上表面的剪應(yīng)力可以寫成 。 式中是線段ab繞a點的

7、角速度或者說是單位時間內(nèi)流體的角形變。若用微分形式表示更具有普遍性，這時上式可以改寫成 ， 或 。 上式就是剪應(yīng)力所引起的一維流體角形變關(guān)系式，比例系數(shù)m稱為流體的粘滯系數(shù)，上式叫做牛頓粘滯性定律。m為常數(shù)的流體稱為牛頓流體，它反映了切應(yīng)力與角形變是線性關(guān)系，m不是常數(shù)的流體稱為非牛頓流體。 流體的粘滯系數(shù)m是反映流體粘滯性的大小的物理量，在國際單位制中，粘滯系數(shù)的單位是牛頓×秒/米2。所謂粘滯性是指當(dāng)流體流動時，由于流體內(nèi)各流動層之間的流速不同，引起各流動層之間有障礙相對運動的內(nèi)“摩擦”，而這個內(nèi)摩擦力就是上式中的切向力，物理學(xué)中把它稱為粘滯阻力。因此上式實際上是流體內(nèi)部各流動層之

8、間的粘滯阻力。 實驗表明，任何流體流動時其內(nèi)部或多或少的存在粘滯阻力。例如河流中心的 水流動的較快，而靠近岸邊的水卻幾乎不動就是水的粘滯性造成的。在實際處 理流體的流動問題時，若流動性是主要的粘滯性作用影響不大，則可認(rèn)為流體 是完全沒有粘滯性的，這種理想的模型叫做非粘滯性流體。 3）壓力與壓強 從前面的討論知道靜止流體表面上沒有剪應(yīng)力，所以容器壁作用在靜止流體 表面上的力是與液體表面正交的，按牛頓第三定律流體作用在容器壁上的力也與 容器壁表面正交，這一點對靜止液體內(nèi)部也成立。在靜止液體內(nèi)過某一點作一假 想平面，平面一方流體作用該平面的力也總是垂直于該假想平面。流體表面與流 體內(nèi)各點的壓力一般是

9、不一樣的，在流體表面壓力的方向只能是垂直于液體表面 ，而流體內(nèi)部某點的壓力沿各個方向都有，因為過流體內(nèi)部一點我們可以取任意 方向的平面。在流體力學(xué)中為了描述流體內(nèi)部的作用力，引入一個叫做壓強的物 理量，規(guī)定壓強是作用于流體內(nèi)單位面積上垂直力的數(shù)值，它是一標(biāo)量。為了計 算流體內(nèi)某一點的壓強，我們應(yīng)該設(shè)想通過該點的假想平面ds是無限小的，若該 面上的正壓力為df，則定義該點的壓強 。 在國際單位制中壓強的單位是牛頓/米2，也稱為帕用pa表示。在實際應(yīng)用中壓強也有用等價的流體柱高表示的，如醫(yī)用測量血壓的儀器就是用水銀柱高作為壓強的單位。流體力學(xué)中壓強是標(biāo)量但力是矢量，面元的法向也是矢量。既然流體內(nèi)部

10、的力總是垂直于假想平面，因此可定義流體內(nèi)某點力的方向與它所作用平面的內(nèi)法線方向一致，這樣作用流體內(nèi)任一面元上的力df可寫成 df= -pds 。由于流體內(nèi)部每一點都有壓強所以說流體內(nèi)每一點都存在壓力，至于壓力的方向由所考慮平面的法線決定，可以是任何的方向，當(dāng)流體流動時壓強與壓力的關(guān)系不變。 4）流體的密度和比重 在流體力學(xué)中常用密度來描述流體的動力學(xué)規(guī)律，其定義和固體定義一樣為單位體積流體的質(zhì)量，即流體內(nèi)某點的密度為 。 對均勻不可壓縮的流體密度是常數(shù)，一般情況下流體內(nèi)部各點的密度是不相同的。單位體積流體的重量稱為流體的比重。設(shè)想在流體內(nèi)部取一小體積dv，dv中包含流體的質(zhì)量為dm，因而dv內(nèi)

11、流體的重量為dmg，由定義該流體的比重 。 11.2 流體靜力學(xué)方程 1）靜止流體內(nèi)任一點的壓強靜止流體內(nèi)過一點可以沿許多不同的方向取面元，現(xiàn)在來研究這些不同取向的面元上壓強有什么關(guān)系。在靜止的流體內(nèi)部取一個很小的四面體abc包圍該點，如圖10.2.1所示。設(shè)面元abc法線的方向余弦為a、b、g，周圍流體對該點作用力（壓力）可以用壓強p1、p2、p3和p表示，當(dāng)流體靜止時所受到的合外力為零，即 因為 由上式得到 p = p1= p2 = p3 。 由于四面體是任意選取的，于是我們可以得出結(jié)論：靜止流體內(nèi)部任一點上沿各個方向的壓強都相等，與過這點所取面元法線的方向無關(guān)。正因為如此，流體力學(xué)中壓強

12、只與流體內(nèi)的點對應(yīng)而不必強調(diào)壓強是對哪一個面的。 2）流體靜力學(xué)方程 處理流體靜力學(xué)問題時，常常取流體內(nèi)部一個小流體元作為研究對象。作用在小流體元上的力大致可分為兩類。一類是作用在小流體元外表面上的壓力，我們稱之為面力，如液體表面的正壓力pds。另一類是作用在整個小流體元上與流體元的體積成正比的力，如重力rgdv、慣性力等，我們稱為體力。下面從牛頓定律出發(fā)推導(dǎo)流體靜力學(xué)滿足的普遍方程。當(dāng)流體處于靜止?fàn)顟B(tài)時，流體內(nèi)任一小流體元受到的面力與體力之和必定為零，即平衡條件為 。 與壓強類似，我們引入一個體力密度 ，它表示作用在單位體積流體上的 體力。例如在只有重力作用下，體力密度f的大小就是比重rg，

13、方向沿重力方向，而在慣性力的作用下，體力密度就是f = ra。為了建立流體靜力學(xué)方程，我們在靜止流體內(nèi)部取如圖10.2.2所示的立方體流體元，根據(jù)平衡條件有 整理后得 利用 可將前式簡化成 顯然體積dv0，所以只能是 。 在上面的式子中取極限，就可得靜止流體內(nèi)任一點都必須滿足的方程 。 借助梯度算符 ，上式可以改寫成更簡潔的形式 。 這就是流體靜力學(xué)的普遍方程，它表明若流體內(nèi)任一點的總體力密度等于該點處壓強的梯度則流體一定處于靜止?fàn)顟B(tài)。 3）重力場中流體內(nèi)部壓強分布i)液體：我們先來討論靜止液體內(nèi)部的壓強分布。設(shè)液體的密度為r放置在一 長方形的容器內(nèi)，液面的柱面高為z0，液體表面的壓強為p0如

14、圖10.2.3所示。在重力場中液體受到的體力密度為rgk，由流體靜力學(xué)普遍方程得 。 由上述方程知液體內(nèi)部壓強與坐標(biāo)x、y無關(guān)，只是深度的函數(shù)。積分第三式得 p = -rgz + c， 當(dāng)z=z0時p=p0.故c=p0+rgz0，所以液體內(nèi)部壓強隨深度變化的關(guān)系為 p = rg(z0-z) + p0 = rgh + p0 , 式中h為液面下的深度。上式表明靜止液體內(nèi)部的壓強只與距離液面下的深度 有關(guān)與液體內(nèi)部水平位置無關(guān)。ii)氣體：現(xiàn)在來討論重力場中空氣壓強隨高度變化的規(guī)律。為簡單起見，假定空氣的溫度是不隨高度變化的而且空氣可以看成理想氣體。如果在地面處空氣的壓強為p0、密度為r0，則理想氣

15、體的狀態(tài)方程可表示成 。 以地面為坐標(biāo)系原點所在處，z軸垂直地面向上，由流體靜力學(xué)方程 dp= -rgdz,。 將理想氣體狀態(tài)方程代入上式消除r得到 ， 分離變量后 ， 完成上面的積分得 。 所以壓強隨高度的變化 ， 這表明空氣壓強隨高度的變化滿足波爾茲曼分布。 4）帕斯卡原理 如果將不可壓縮液體放在一個密閉的容器內(nèi)，容器上端與一個可移動的活塞相連。當(dāng)活塞對液體表面施加的壓強為p0時，按照重力場中液體內(nèi)部壓強公式，在液面下深度為h處的壓強為 p = p0+rg h 。 如果把活塞對液體表面的壓強增大至p0+dp0，液面下h深處的壓強也會變化， 按照液體內(nèi)部壓強公式，此時液體下h深處的壓強變?yōu)?

16、。 這就是說當(dāng)液體表面壓強增加dp0時液體內(nèi)任一點(h是任意)的壓強也增大了 dp0，因此可以形象地說不可壓縮液體可將作用在其表面的壓強傳遞到液體 內(nèi)的各個部份包括存放液體的器壁，這一結(jié)論稱之為帕斯卡原理，是早期由 帕斯卡從實驗中總結(jié)出來的，從現(xiàn)代觀點看它是流體靜力學(xué)方程的一個推論。 5）阿基米德定律 任何形狀的物體置于密度為的液體中都會受到液體的浮力，浮力的大小等于物體排開液體的重量。這是一個實驗規(guī)律稱為阿基米德定律。從現(xiàn)代觀點看，它也是流體靜力學(xué)方程的推論。 如圖10.2.4所示，物體完全浸沒在密度為r的液體中。由于物體在液體中處 于平衡狀態(tài)，因此它受到的浮力與同體積的液體所受到合外力相同

17、，這樣我們可以將此物體用同體積的液體置換，置換部份液體受到的重力是-rgdv。要使液體保持平衡，周圍的液體必然對它有一個向上的面力（浮力）作用于它。由流體靜力學(xué)方程 ， 得 ， 或者。積分后得 f合=f2- f1= -rgv. ，于是得到浮力大小 f浮=f1-f2= rgv 這就是說浮力是鉛直向上的其大小等于物體排開液體的重量。 例一；在密閉的容器內(nèi)盛滿密度為r1的液缽，在液體中浸放一長為l、密度為r2的物體，如圖10.2.5所示。設(shè)r2 <r1，則它必定浮于液體表面，當(dāng)容器以加速度a向前運動時物體相對液體向哪一方向運動？ 解：為了弄清物體向哪個方向運動，先用同體積的液體置換物體。容器運

18、動時，置換部分的液體必然與其它部份保持平衡。若將容器取為參照系，可利用流體靜力學(xué)方程求出液體整體運動時內(nèi)部壓力分布。 由 f=Ñp, 得 由于無沿y方向運動的可能性，故只討論上式的第一個方程，其中 f慣= r1a所以液體內(nèi)部沿x軸壓強分布為p=r1ax+c（c為常量），置換液體相對其它部份液體靜止時兩端的壓強差為dp= r1la，相應(yīng)的壓力差為df=r1av(v為置換部份的體積)，在所選擇的參照系看來，合外力f¢=df+f慣=r1av-r1av=0，液體相對靜止。對實際物體來說，受到的慣性力為f慣= -r2av，而物體兩端的壓力差不變?nèi)匀粸閐f，因此實際物體受到的合外力f&

19、#162;=df+f慣=r1av-r2av>0，由此可知，實際物體必然會相對液體沿x軸方向運動。例二；密度為r的不可壓縮液體置于一開口的圓柱形容器內(nèi)，若此容器繞對稱軸作高速旋轉(zhuǎn)，求液體內(nèi)壓強分布和液體表面的形狀。 解：以容器為參照系，此時流體內(nèi)任一流體元都受到重力與慣性力的作用，相應(yīng)的體力密度為rgk和-ra。由流體靜力學(xué)方程 ，得到 。所以有 積分后得 。如附圖10.2.6所示，當(dāng)r=0時，z=h ，p=p0(p0是液體表面的壓強) ，所以c = p0 +rgh，最后求得液體內(nèi)壓強分布 。 又取液體表面上任一點為研究對象，由于流體相對坐標(biāo)系處于靜止?fàn)顟B(tài)，液體 表面上任一點的合力必然沿曲

20、線的法線方向或者說曲線的斜率滿足下式 。 積分后 ， 當(dāng)r=0時z=h，故c=h。最后得到液體表面的曲線方程 ，由此式知道液體表面為一旋轉(zhuǎn)拋物線。 11.3流體運動學(xué)描述 1）流體運動分類流體流動的分類有許多種，這里介紹經(jīng)常遇到的幾種。 理想流體；流體流動過程中不計流體的內(nèi)摩擦力，不計流體的體積壓縮，把流體看成是無粘滯性、不可壓縮的理想模型，因此理想流體的流動過程是無能耗 的可逆過程。穩(wěn)定流動；流體內(nèi)任何一點的物理量不隨時間變化的流動稱為穩(wěn)定流動，這意味著穩(wěn)定流動過程中，流體內(nèi)任一點的流速、密度、溫度等物理量不隨時間變化。 例如在穩(wěn)定流動時，如果流體內(nèi)某點的速度是沿x軸方向，其量值為3cm/s

21、，則在流體以后的流動中該點的流速永遠(yuǎn)保持這個方向與量值。若用v、r、t分別表示流體內(nèi)部速度、密度以及溫度的分布，則穩(wěn)定流動時滿足。反之若流體內(nèi)任一點的速度不滿足就說流動不是穩(wěn)定的，例如變速水泵噴出的水流就是如此。 均勻流動：流體流動過程中如果任意時刻流體內(nèi)空間各點速度矢量完全相同，不隨空間位置的變化就稱流動是均勻的。用公式表示可寫成，其中 l表示沿任意方向求導(dǎo)數(shù)。反之，若某一時刻流體內(nèi)部各點的速度不全相同的流動稱為非均勻流動。例如流體以恒定速率通過一均勻長管的流動是穩(wěn)定的均勻流動，而流體以恒定速率通過一喇叭形長管的流動是穩(wěn)定的非均勻流動，流體加速通過一喇叭形長管的流動是不穩(wěn)定的非均勻流動。層流

22、與湍流；在流體流動過程中如果流體內(nèi)的所有微粒均在各自的層面上作定向運動就叫做層流。由于各流動層之間的速度不一樣，所以各流動層之間存在阻礙相對運動的內(nèi)摩擦，這個內(nèi)摩擦力就是粘滯力它滿足牛頓粘滯性定律。層流在低粘滯性，高速度及大流量的情況下是不穩(wěn)定的，它會使各流動層之間的微粒發(fā)生大量的交換從而完全破壞流動層，使流體內(nèi)的微粒運動變得不規(guī)則，這種現(xiàn)象叫做湍流，湍流發(fā)生時流體內(nèi)有很大的縱向力（垂直流動層的力），引起更多的能量損耗。有旋流動：在流體的某一區(qū)域內(nèi)，如果所有微粒都繞著某一轉(zhuǎn)軸作旋轉(zhuǎn)就稱流體是作有旋流動。最直觀的有旋流動是渦流，但不是僅僅只有渦流才是有旋流動，物理上判斷流體是否作有旋流動是用所謂

23、的環(huán)量來刻畫的。設(shè)想在流體內(nèi) 取一任意的閉合回路c，將流速v沿此回路的線積分定義為環(huán)量g，用公式表示就是 。 流體內(nèi)部環(huán)量不為零的流動叫做有旋流動，環(huán)量處處為零的流動稱為無旋流動。按照上面的定義，層流也是有旋流動，參見圖10.3.0。 2)流線與流管 研究流體的運動，可以觀察流體內(nèi)微粒經(jīng)過空間各點時的流速。一般情況下，流體內(nèi)各點的速度是隨時間和空間位置變化的，因此流體內(nèi)各點的速度分布是時間與空間的函數(shù)，即 v = v ( x, y, z, t )。 物理學(xué)中常把某個物理量的時空分布叫做場，所以流體內(nèi)各點流速分布就可以看成速度場。描述場的幾何方法是引入所謂的場線，就像靜電場中引入電力線，磁場中引

24、入磁力線一樣，在流速場中可以引入流線。流線是這樣規(guī)定的，流線為流體內(nèi)的一條連續(xù)的有向曲線，流線上每一點的切線方向代表流體內(nèi)微粒經(jīng)過該點時的速度方向，圖10.3.1（a）給出了幾種常見的流線。 一般情況下空間各點的流速隨時間t變化，因此流線也是隨時間變化的。由于流線分布與一定的瞬時相對應(yīng) （參見圖10.3.1（c），所以在一般情況下，流線并不代表流體中微粒運動的軌道，只有在穩(wěn)定流動中，流線不隨時間變化，此時流線才表示流體中微粒實際經(jīng)過的行跡。另外，由于流線的切線表示流體內(nèi)微粒運動的方向，所以流線永遠(yuǎn)不會相交，因為如果流線在空間某處相交就表示流體中的微粒經(jīng)過該點時同時具有兩個不同的速度，這當(dāng)然是不

25、可能的。 如果在流體內(nèi)部取一微小的封閉曲線，通過曲線上各點的流線所圍成的細(xì)管 就稱為流管，如圖10.3.1（b）所示。由于流線不會相交，因此流管內(nèi)、外的流體都不具有穿過流管的速度，也就是說流管內(nèi)部的流體不能流到流管外面，流管外的流體也不能流入流管內(nèi)。 3)流量 流體力學(xué)中用流量來描述流體流動的快慢，工業(yè)上也稱流量為排泄量。設(shè)想在流體內(nèi)部截取一個面a，定義單位時間內(nèi)通過截面a流體的體積為通過截面a的（體積）流量。如圖10.3.2.所示，在流體內(nèi)部取一小面元da通過它的邊界作一流管，在流管上截取長度為流速v的一段體積，由于單位時間內(nèi)該體積內(nèi)的流體會全部通過面元da，所以通過面元da的流量就是dq

26、= vcosq da。如果把面元定義為矢量，取其外法線方向為面元的正方向即da=dan, 那么通過面元da的流量可以表示成dq=vda，而通過整個截面a的流量就可以表示成更簡潔的形式 。 11.4 流體力學(xué)基本方程 1）一般方程 在流體內(nèi)沿流管截取一小流體元，設(shè)在t時刻小流體元占有體積為v，邊界為s。 按照它的體形在速度場中選取一假想體積，使得在t時刻假想體積與截取流體元 的體積完全一致如圖10.4.1（a）所示。圖中虛線表示實際的流體元，實線表示 假想的體積。流體會流動，其體積與假想體積之間會發(fā)生相對運動變成圖 10.4.1.(b)所示的情況。流體元的一部分會穿出假想體積元的邊界，而周圍的流

27、 體會流入假想的體積元，使假想體積內(nèi)有流體流入也有流體流出。設(shè)n是流體元所攜帶的某種物理量的總量，它可以是質(zhì)量、動量，或者是能量。h是單位體積流體中這種物理量的含量或者說是n的密度。我們來考查流體流動時，物理量n隨時間的變化規(guī)律。注意到在t+dt時刻流體元占據(jù)的體積是ii+，而在t時刻占據(jù)的體積是i或+，因此在t到t+dt時間內(nèi)流體元所攜帶物理量n的變化量 。 在上式右側(cè)加上零因子 重新組合，然后除以dt得 。 上式的第一部分 ， 是單位時間內(nèi)假想體積內(nèi)流體所攜帶n量的變化率。第二部分的第一、二項分 別為 ， 表示單位時間內(nèi)流入流出假象邊界的物理量n，它們可以用密度h對流量的 積分給出。選擇假

28、想體積邊界面的外法線為正方向，如圖10.4.2，上兩式合起來就是 。 將上面的結(jié)果代回方程得到 。 上式說明流體元的某個物理量n隨時間的變化可以化為假想體積內(nèi)流體的物理 量n隨時間的變化，即等于假想體積內(nèi)n對時間的變化率（偏導(dǎo)數(shù)）加上從該體 積邊界流入n量的凈增加值。這是流體動力學(xué)的一個普遍規(guī)律，由此可以推出流 體動力學(xué)的幾個重要方程。 2）連續(xù)性方程若考查流體流動過程中質(zhì)量變化規(guī)律，取n=m，這時。由于流體流動過程中質(zhì)量不變，一般方程式化為 。 這就是流體力學(xué)的連續(xù)性方程（積分形式），它是以質(zhì)量守恒出發(fā)得到的，其意義為在一個假想體積中，流體的質(zhì)量隨時間的變化等于單位時間從其邊界流入該體積的凈

29、質(zhì)量。利用體積分化為面積分的公式 ， 連續(xù)性方程可化為 ， 即 。 由于dv ¹ 0，所以只能 上式就是連續(xù)性方程的微分形式，它對流體內(nèi)任一點都成立。 3）能量方程如果我們討論流體的能量變化，可取n=e，此時，式中e為單位質(zhì)量流體的能量。由一般方程式得 ， 上式就是流體內(nèi)部能量滿足的方程。它表示流體能量隨時間的變化可由假想體積內(nèi)流體能量隨時間的變化與單位時間從邊界流入假想體積內(nèi)的凈能量確定。 4）動量方程 如果我們討論的是流體動量如何隨時間變化，可取n=p，此時。將此關(guān)系代入一般方程可得流體力學(xué)的動量方程 。 其意義為流體的動量隨時間的變化率等于假想體積內(nèi)流體的動量隨時間的變化加上從

30、假想體積邊界流入該體積中的凈動量。 5）方程的應(yīng)用 i)作為連續(xù)性方程的應(yīng)用，考慮在流管中穩(wěn)定流動的流體。由于流動是穩(wěn)定的，流線的位置不隨時間變化，沿流管截取一假想體積如圖10.4.3所示，該體積由流管的邊界與上、下兩個面1和2包圍。對穩(wěn)定流動，這時連續(xù)性方程退化成 。 這表明單位時間內(nèi)通過假想體積邊界流入流出的凈質(zhì)量為零，由于管內(nèi)外的流體均不能穿過管壁，所以流體只能通過下截面1流入，上截面2流出。這意味著從截面1流入的流體質(zhì)量必定等于通過截面2流出假想體積的質(zhì)量，即 。 如果用r¢1及r¢2分別表示截面1與截面2處的平均密度，用q1、q2表示通過截面1與截面2的流量，上式

31、可以表示成更方便的形式 ， 對于不可壓縮的流體，上式退化為 q1=q2 。 結(jié)果表明，不可壓縮的流體在流動時，沿流管的任意截面上流量均相同，它是質(zhì)量守恒的必然結(jié)果。ii)作為動量方程的應(yīng)用，考慮在一彎管中穩(wěn)定流動的流體，如圖10.4.4所示。沿載流管截取一假想體積，該體積由載流管內(nèi)邊界與1、2兩個截面包圍，同樣地，對穩(wěn)定流動有且任意一點流速v=常量，因此動量方程退化成 。 由于在載流管的邊界處流速v垂直于載流管的內(nèi)表面，所以上式中對假象體積的外表面積分實際上退化為對1、2兩個截面的面積分 這里的r1、r2、v1、v2是1、2兩個截面上的平均密度與平均速度。如果流體是不 可壓縮的且流動過程中質(zhì)量

32、守恒，這時r1=r2=r，q1=q2= q，結(jié)果簡化成 。 從圖10.4.4看出，流體在載流管內(nèi)動量的改變是由于管壁施加給流體作用力的緣故，其大小與方向由上式?jīng)Q定，因此由牛頓第三定律可以得到結(jié)論：流體對載流管的作用力也由上式?jīng)Q定，但作用力的方向相反。 11.5 理想流體的流動 1）沿一條流線的歐拉方程 先來介紹流體力學(xué)中一個十分重要的方程-¾歐拉方程，它是流體動力學(xué)的基本程之一。當(dāng)無粘滯性的流體穩(wěn)定流動時，取流體內(nèi)一根流線s，如圖10.5.1所示。沿流線截取一橫截面為da，長為ds的一小流體元。該流體元受到來自沿流線前、后兩個截面上的正壓力（以流線的方向為參照方向） ， 力的方向沿著

33、流線的切向。這段流體元還受到重力的作用，其大小為dmg = rgdv ,方向豎直向下。設(shè)重力與流線之間的夾角為q，則重力沿著流線切線方向的投影為（見圖10.5.1） 。 對所取的流體元，按牛頓第二定律寫出沿流線切向的動力學(xué)方程就是 ， 式中a為流體元沿流線切向的加速度。將rg用比重g表示，并消除上式中dv得到 。(1) 式中的切向加速度a可改寫成 ， 把上面的式子代回前面的式子(1)就可以得到 ， 這就是沿一條流線的歐拉方程。 對于穩(wěn)定流動 ，歐拉方程退化成 。 由于此時只有一個變量（空間變量s），上式中的偏微分可用全微分代替，去掉微分公因子ds后得 。 2）柏努利方程 無粘滯性的流體穩(wěn)定流動

34、時，沿任何一條流線必定滿足上式。對理想流體，由于不可壓縮上式中的密度r是常數(shù)。將上式沿流線積分，注意此時密度r為常量就可以得到理想流體沿任何一條流線流動時必須滿足的方程 。 上式就是著名的柏努利方程，式中的積分常數(shù)也稱柏努利數(shù)，它是隨著不同流線 而變化的。式中每一項的量綱都是單位質(zhì)量的能量m2s-2。若將上式除以g，每項就成為單位重量的能量，即 。 對液體來說，用上式比較方便。若用rg乘上式就得到 ， 該式用于氣體顯得方便一些，因為對氣體來說高度z的變化往往是不很重要的，在精度要求不很高的情況可將其略去，這樣方程顯得簡單。 現(xiàn)在來說明一下柏努利方程中各項的物理意義。第一項p/r是單位質(zhì)量流體流

35、動時對外做的功或者流功，也就是單位質(zhì)量流體對周圍環(huán)境所做的功。為了弄清這一點可參見圖10.5.2裝置，一個由葉片構(gòu)成的渦輪放置在水槽下端的出水口處，當(dāng)水流動時液體會對渦輪施加一個力矩使渦輪旋轉(zhuǎn)。作用在葉片上的力可近似地認(rèn)為是壓強乘以葉片的表面積da，若再乘以壓力作用中心到渦輪轉(zhuǎn)軸的距離r，就是作用在渦輪轉(zhuǎn)軸上的力矩。假定葉片在dt時間內(nèi)轉(zhuǎn)過dq角度，則力矩對渦輪做功 。 式中ds是壓力中心位移的大小，將上式除以d t時間內(nèi)流出液體的總質(zhì)量rdads，就是單位質(zhì)量的液體對渦輪所作的功 。 第二項gz是單位質(zhì)量流體的勢能。因為質(zhì)量為dm的流體在重力場中提高z高 度時重力所做的功是-dmgz，這時流

36、體的勢能增加了dmgz，所以單位質(zhì)量流體的勢能就是gz。 v2/2項是單位質(zhì)量流體的動能。因為質(zhì)量為dm的流體以速度v運動時它具有動能是dmv2/2，故單位質(zhì)量流體的動能為v2/2。從上面的分析可以知道，柏努利方程實際上是理想流體沿著流線運動時的能量方程。 關(guān)于柏努利方程的應(yīng)用應(yīng)注意下面幾點，a)當(dāng)所有的流線都源于同一流體庫，且能量處處相同，這時柏努利方程中的常數(shù)不會因流線不同而有所不同。這時對所有的流線來說柏努力數(shù)都相同，此時柏努力方程不限于對一條流線的應(yīng)用。b）在通風(fēng)系統(tǒng)中的氣流，若壓強變化相對無氣流時變化不大，這時氣體可以看成不可壓縮的，柏努利方程仍可適用，不過氣流的密度應(yīng)取平均密度。c

37、)對漸變條件下的非穩(wěn)定流動，也可用柏努利方程求解，這時引起的誤差不會很大。d)對于實際流體的穩(wěn)定流動，可先忽略流體的粘滯性，用柏努利方程得到一個理想的結(jié)果，然后再用實驗作一些修正，也就是說要加入能量損耗項。 例題，水正沿著如附圖所示的管內(nèi)流動，管上端的直徑為2米，管內(nèi)流速為3米/秒。管下端的直徑為1米，管內(nèi)流速為10米/秒。假定流體可視為理想流體，沿著流線壓強不變，求管的上端相對地面的落差。 解：沿管的中心取一條流線，按柏努利方程在流線的兩端1、2處 ， 由已知p1=p2所以 。 設(shè)管上端與地面的落差為y，顯然 y=z1-z2-0.5，由此得到 。 將v1=3米/秒，v2=10米/秒代入上式，

38、解得y=3.64米。11.6 實際流體的流動 1）斜面上穩(wěn)定的層流在實際流體的流動過程中必須考慮流體的粘滯性。各流動層之間的內(nèi)摩擦力使實際流體的流動變成不可逆過程，也造成流動過程中能量的損耗?，F(xiàn)在考慮平行斜面的穩(wěn)定層流，如圖10.6.1所示。設(shè)上平面的流速為v，它的流動平行于斜面，下平面與斜面接觸流速為零，整個流動層的厚度為a，各流動層之間存在速度梯度。為了分析方便，在流體內(nèi)沿流動層隔離出一個高度為dy、長度為dl、單位寬度的薄片狀流體元，如圖中央的長方塊所示。在穩(wěn)定流動條件下此薄片以恒定速度u沿斜面向下流動。在流動過程中，該薄片狀流體元一共受到三個力的作用。a)平行于斜面方向的壓力，其大小為

39、（以流速方向為正方向） 。 b)粘滯力，薄片流體元上、下兩面的剪應(yīng)力，由牛頓粘滯力定律知其大小為 。 c)薄片狀流體元受到的重力，其大小為rgdldy方向豎直向下，設(shè)重力與斜面法線 的夾角為q，則重力在沿斜面方向分量就是 。 式中dl是流體元沿斜面的長度，dh是流體元兩端距地面的高度差。由于討論的是穩(wěn)定流動，此薄片狀流體元沿斜面方向運動的加速度為零，其動力學(xué)方程就是 ， 將上式除以dydl，整理后得 。 另一方面，利用牛頓粘滯性定律 ， 可得 。 式中(p+gh)與y無關(guān)只是沿斜面l的函數(shù)，這是因為流體元沿著y方向無運動。將上式對y積分一次后 ， 再積分一次就得到速度分布 。 式中a與b都是積

40、分常數(shù)，利用邊界條件y=0時 u=0 及 y=a時u=v?？傻?將其代回到解式最后得到流體內(nèi)部速度分布 。 如果層流的寬度不是一個單位而是任意寬度上式仍然成立，這是因為流動層的速度與寬度無關(guān)可從方程中消除。從平面層流的速度分布函數(shù)可以看出，流體沿斜面穩(wěn)定流動時其內(nèi)部的速度分布是拋物線形的，這意味著流速最大的流動層并不在上表面而是在流體內(nèi)部的某一層。將上式對y積分可以求出流體沿斜面流動的平均速度 ， 所以沿斜面穩(wěn)定流動過程中每米寬度的流量 。 2）圓管內(nèi)穩(wěn)定層流。 當(dāng)流體在圓管內(nèi)穩(wěn)定流動時，由于流體的流動具有圓柱形對稱性，故取一軸對稱圓柱殼形的流體元作為研究對象，如圖10.6.2所示。圓柱薄殼的

41、半徑為r， 殼的厚度為dr, 柱高為dl 。作用在流體元前后兩個面上的壓力差為（以流速方向為正方向） 。 流體元內(nèi)外兩邊界上受到的粘滯力為 而流體元受到的重力大小為2rdrdlg，它在沿圓柱管軸線方向的分量為 。 對穩(wěn)定流動來說流體元的加速度為零，按牛頓第二定律流體元的動力學(xué)方程是 。 用2rdrdl除上式并整理得 。 同樣(p+gh)不是r的函數(shù)，故可直接將上式對r積分，得到 。 式中a是積分常數(shù)，而粘滯阻力，（因為隨r增加速度u減小，所以這里有一負(fù)號）將其代入上式整理后 ， 把上式對r再積分一次就得到圓管內(nèi)穩(wěn)定層流的速度分布 。 特別地，若流體在內(nèi)半徑為b，外半徑為a的圓柱形套筒之間流動，

42、則必定滿足下列邊界條件 r=a時u=0及r=b時u=0 由此可定出式中的積分常數(shù)a與b滿足 ， 。 所以圓柱套筒內(nèi)流體速度分布 。 相應(yīng)地圓柱套筒內(nèi)流體的流量是 。 例題 附圖表示沿斜面下滑的層流，假如流體的粘滯系數(shù)m=0.08n s/m2，流體的密度r=850kg/m3，利用圖中所給的數(shù)據(jù)求流體內(nèi)的速度分布、平均流速、每米寬度的流量，以及作用上平面的平均剪應(yīng)力。解，a點處； b點處；（h=0） pb + gh = 800pa 因此 又因為a=0.006m，上表面流速v= 1m/s. 由層流的速度分布公式 。 最大速度由求出，是在y=0.0052m處，該處的速度為umax=1.02m/s。每米

43、寬度的流量 平均流速 。 為求得上平面的剪應(yīng)力，先求速度梯度 所以上平面處的剪應(yīng)力 負(fù)號表示剪應(yīng)力是阻礙流體上表面流動的。 3）穩(wěn)定層流的能量損耗由于流體內(nèi)部存在粘滯性，在流動過程中受到粘滯阻力的作用流體的能量會減少。為了計算一維穩(wěn)定層流過程中能量的損耗，在流體內(nèi)沿流動層取長為dx,高為dy單位寬度的薄片狀流體元作為研究對象，如圖10.6.3所示。假定流體元沿著x方向流動其速度為u ，距地面高度為h。如前所述，該流體元受到沿x軸前后兩個面的壓力，重力，以及上下兩面的粘滯阻力，我們可用功能原理分析流體元穩(wěn)定流動過程中的能量損耗。按照前面的討論作用在流體元上前后兩個面上壓力差是，該壓力差對流體元輸

44、入的功率為，因此壓力差對單位體積的流體做的功率為 。 流體元的勢能變化（重力做功負(fù)值）也容易求得，若流體元相對于零勢能面的 高度變化為dh，那么重力對流體元做功-gdv.dh。而重力對單位體積流體做功的功率 。 粘滯力對流體元做功情況稍稍復(fù)雜一點，因為流體元上下兩個面的相對流速不一樣，因此上下兩面的相對位移不同必須分開討論?？梢宰C明，粘滯力對單位體積的流體元做功的功率為 ， 上式證明留給讀者自行完成。 由于流動是穩(wěn)定的流速不變因而動能不變，按照功能原理，上述三種力做功 之和就是流體的能量損耗。結(jié)合上面三式就可得到 。 利用穩(wěn)定層流的動力學(xué)方程化簡上式最后三項就是 。 容易看出，層流過程中流體內(nèi)部能量損失與各流動層之間的速度梯度有很大關(guān)系。上式就是穩(wěn)定層流過程中沿著任意流動層所取流體元的功率密度損失計算式，只要對各流動層積分就可以得到總的損失功率。例如在平面穩(wěn)定層流條件下，假定流線的長度為l，層流平面的高度為a(見圖10.6.1)，則單位寬度層流所損耗的功率是 4）泊肅葉方程 將半徑為a 的圓管水平放置使流體在管內(nèi)作穩(wěn)定層流，這時管內(nèi)流體的速度分布由下式確定 。 對水平放置的管h=0, a也必定為零，因為在管中央處（r=0）流速要有限。此時的邊界條件為r=a（管的半徑）時u=0