線性代數(shù)同濟大學PPT課件

1、2updown2.向量組的線性相關性一、線性相關性的概念二、線性相關與線性表示的關系三、線性相關性在線性方程組中的應用四、例題五、線性相關性與矩陣相乘關系六、線性相關性與向量組的關系第1頁/共30頁3updown注意1 n 0時,才有1 1 2 2 n n 0成立 .1. 若 1, 2, n線性無關 ,則只有當定義一、線性相關性的概念給定向量組A:1,2,m,如果存在不全為零的數(shù)k1,k2,km使k11 k22 kmm 0則稱向量組 A 是線性相關的，否則稱它線性無關第2頁/共30頁4updown注意2、對于任一向量組，不是線性相關就是線性無關3.向量組只包含一個向量 時,若 0則說線性相關,

2、若 0,則說 線性無關 .4.包含零向量的任何向量 組是線性相關的 .5.對于含有兩個向量的向 量組,它線性相關的充要條件是兩向量的分 量對應成比例，幾何意 義是兩向量共線；三個向 量相關的幾何意義是三 向量共面 .第3頁/共30頁5updownm設 a1,a2,am 中有一個向量（比如am）二、線性相關與線性表示的關系定理 向量組1,2,（當m 2時）線性相關的充分必要條件是1,2,m 中至少有一個向量可由其余m 1個向量線性表示證明 充分性能由其余向量線性表示.即有 am 11 2 2 m1 m1故 11 2 2 m1 m1 1am 0因 1,2,m1,1 這 m 個數(shù)不全為0，故 1,2

3、,m 線性相關.第4頁/共30頁6updown證畢.必要性設1, 2, m 線性相關，則有不全為0的數(shù) k1,k2,km, 使k11 k22 km m 0.因k1,k2,km 中至少有一個不為0，不妨設 k1 0, 則有 k2 k3 km k1 k1 k1 即 1 能由其余向量線性表示.第5頁/共30頁7updown三、線性相關性在線性方程組中的應用若方程組中有某方程是其余方程的線性組合,那么,這個方程就是多余的，則稱方程組（各個方程）是線性相關的；方程組中沒有多余方程，就稱該方程組（各個方程）線性無關（或線性獨立） .方程組解與相關性結論有非零解 .其中A (1, 2, m ).若 Ax o

4、只有零解，則 A的列向量組線性無關。而:m 元齊次線性方程組 Ax o 有非零解 R(A) mm 元齊次線性方程組 Ax o只有零解 R(A) m第6頁/共30頁8updown向量組 A線性相關就是齊次線性 方程組結論x11 x2 2 xm m 0,即 Ax 0有非零解 .其中A (1, 2, m ).若 Ax o只有零解，則 A的列向量組線性無關。而:m 元齊次線性方程組 Ax o 有非零解 R(A) mm 元齊次線性方程組 Ax o只有零解 R(A) m所以:定理2 向量組1,2,m線性相關 R(A) m,相關性 其中A(1,2,m);秩的判第7頁/共30頁9updown四、例題例 n 維

5、向量組T T T稱為n維單位坐標向量組,討論其線性相關性 .解 n維單位坐標向量組構成的矩陣E (e1,e2,en)是n階單位矩陣. 由E 1 0，知R(E) n.即R(E)等于向量組中向量個數(shù) ，故由定理 2知此向量組是線性無關的 .第8頁/共30頁10updown結論n階方陣A可逆的充要條件為A的列（行）向量組線性無關。補例設 A為n階方陣，且| A| 0，則（ 3 ）(1)A中必有兩列（行）元素對應成比例；(2)A中任一列（行）向量是其余列（行）向量的線性組合；(3)A中有一列（行）向量是其余列（行）向量的線性組合；(4)A中至少有一列（行）的元素全為零。第9頁/共30頁11updown

6、 例 已知 1 5 7試討論向量組1，2，3及1，2的線性相關性.解 分析對矩陣（1， 2， 3），施行初等行變換變成行階梯形矩陣 ,可同時看出矩陣（ 1， 2， 3）及（1， 2）的秩，利用定理 2即可得出結論 .第10頁/共30頁1 0 2(1,2,3) 1 2 4 1 7 5 12updown 1 5 72 0 2 2，可見R(1,2,3) 2，向量組1,2,3線性相關；R(1,2) 2,向量組1,2線性無關.r2r1r3 r12 2 2 2 0 02 25 5 1 1 0 0 0第11頁/共30頁13updown已知向量組1,2,3 線性無關,b1 1 2,例31 b2 2 3,b3

7、3 1,試證b1,b2,b3線性無關.證 設有x1,x2,x3使x1b1 x2b2 x3b3 0即 x（1 2） x2(2 3) x3(3 1) 0,亦即（x1 x3)1 (x1 x2)2 (x2 x3)3 0,因1，2，3線性無關，故有 x1 x3 0, x2 x3 0.第12頁/共30頁14updown由于此方程組的系數(shù)行 列式110故方程組只有零解b1,b2,b3線性無關.011x110 2 01 x2 x3 0，所以向量組 x1 x3 0, x2 x3 0.定義法第13頁/共30頁(b1,b2,b3) (1,2,3)1 1 015updown 1 0 10 1 1記作B AK， 設 B

8、x o，即 A(Kx) o例3 已知向量組 1,2,3 線性無關 ,b1 1 2,b2 2 3,b3 3 1,試證b1,b2,b3線性無關 .(二) 由已知可得由于1,2,3 線性無關,故 R(A) 3， 即 Ay o 只有零解。Kx o， 而| K | 2 0，故Kx o只有零解，x o即 B 的列向量組 b1,b2,b3 線性無關。方程只有零解法第14頁/共30頁(b1,b2,b3) (1,2,3)11 016updown例3 已知向量組 1,2,3 線性無關 ,b1 1 2,b2 2 3,b3 3 1,試證b1,b2,b3線性無關 .(三) 由已知可得0 11 1 可逆10記作B AK，

9、而| K | 2 0，K故R(b1,b2,b3) R(1,2,3) 3因而 b1,b2,b3 線性無關。矩陣的秩第15頁/共30頁17updown五、線性相關性與矩陣相乘關系結論若對于兩個 n維向量組1,2,m與1,2,m 矩陣 Kmm ,使得(1,2,m) (1,2,m)K(1)若 K 可逆,則1,2,m線性無(相)關 1,2,m線性無(相)關。(2)若 K 不可逆，則1,2,m必線性相關。第16頁/共30頁18updown六、線性相關性與向量組的關系定理3 (1)若向量組 A：1,2,m 線性相關,則向量組 B:1,m,m1 也線性相關.反言之,若向量組B 線性無關,則向量組A也線性無關

10、.證明 （1） 記A (a1,am),B (a1,am,am1)，有R(B) R(A)1.若向量組A線性相關,則根據(jù)定理2，有R(A) m，從而R(B) R(A)1 m 1,因此,根據(jù)定理2知向量組B線性相關.部分相關則整體相關，整體無關則部分無關第17頁/共30頁19updown說明 結論（1）可推廣為 :一個向量組若有線性相關的部分組，則該向 量組線性相關 .特別地，含有零向量的向量組必 線性相關 .反之，若一個向量組線性無關，則它 的任何部分組都線性無 關.第18頁/共30頁a1 j j a a1 j , bj , ( j 1,2,m),a r1, j 20updown a2 j arj

11、 定理3（2）設 a2 j rj 即 j添上一個分量后得向量 bj.若向量組 A： 1, 2, m線性無關 ,則向量組 B： b1,b2,bm也線性無關 .反言之，若向量組 B線性相關 ,則向量組 A也線性相關 .第19頁/共30頁 a 1 j a a 1 jb j a,21updownB線性無關 .故R(B) m，因此向量組說明 結論（2）是對增加一個分量（ 即維數(shù)增加1維）而言的，若增加多 個分量,結論也成立 .證明 （2）記Arm (1, m )，B(r1)m (b1,bm ),有R(A) R(B).若向量組 A線性無關 ,則R(A) m，從而有 R(B) m . 但 R(B) m (因

12、 B 只有 m 列），j( j 1,2, , m ), a 2 j rj a 2 j a rj r 1, j第20頁/共30頁22updown定理3 （3）m個n維向量組成的向量組，當維數(shù) n小于向量個數(shù)m時一定線性相關 .證明（3）m個n維向量1,2,m構成矩陣Anm (1,2,m)，有R(A) n.若n m,則R(A) m,故m個向量1,2,m線性相關.特別的：n+1個n維向量必線性相關 。第21頁/共30頁23updown定理3 (4)設向量組A:1,2,m線性無關,而向量組B:1,m,b線性相關,則向量 b必能由向量組A線性表示,且表示式是唯一的.證明 (4)記A (1, 2, m )

13、,B (1, 2, m,b),有R(A) R(B).因A組線性無關，有 R(A) m;因B組線性相關，有 R(B) m 1.所以m R(B) m 1，即有R(B) m.由R(A) R(B) m,知方程組(1, 2, m )x b有唯一解，即向量 b能由向量組A線性表示，且表示式唯 一.第22頁/共30頁24updown內(nèi)容小結1. 線性相關與線性無關的概念；線性相關性在線性方程組中的應用；（重點）2. 線性相關與線性無關的判定方法：定義，兩個定理（難點）第23頁/共30頁25updown向量組線性相關的充要條件（判定定理）給定向量組 A:1,2,m,則1,2,m線性相關的充要條件為(一) 存在

14、不全為零的數(shù) k1,k2,km 使k1 1 k22 kmm o(二) 齊次線性方程組(1,2,m)x o 有非零解，即R (1,2,m) m(三) 向量組 1,2,m (m 2)中至少有一個向量可以 被其它m 1個向量線性表示第24頁/共30頁26updown(二)齊次線性方程組(1,2,m)x o 只有零解，即R (1,2,m) m(三)向量組 1,2,m (m 2)中任何一個向量都不可 以被其它向量線性表示。因而線性無關也稱作線性獨立1k11 k22 kmm o k22 kmm o，則必有k1 k2 km 0向量組線性無關的充要條件（判定定理）給定向量 1 2 m 1 2 m(一) 對于任

15、意一組不全為零的數(shù) k1,k2,km都有若 k1第25頁/共30頁27)(1)若1,2,m 線性相關,則1可由2,m線性表示；(2)對于任意一組不全為零的數(shù) k1,k2,km 都有k11 k22 kmm o則1,2,m 線性無關；(3)若1,2,m 線性相關，則對于任意一組不全為零的數(shù) k1,k2,km 都有k11 k22 kmm o(4)存在全為零的數(shù)k1 k2 km 0，使得k11 k22 kmm o則1,2,m 線性無關。up downexer1設向量組1,2,m 均為n維列向量,那么下面結論正確的是( 2第26頁/共30頁28updownexer2如果 n維向量組1,2,3與1,2滿足下面的關系式,3 51 22則向量組1,2,3一定線性 相關結論若向量組1,m可由向量組1,n線性表示，且m n,則1,m必線性相關第27頁/共30頁29updownexer3設向量組1,2,3線性相關，向量組 2,3,4線性無關，證