高中數(shù)學 第三章 圓錐曲線與方程 3.2.2 拋物線的簡單性質二訓練案 北師大版選修21

1、3.2.2 拋物線的簡單性質a.基礎達標1拋物線yax21與直線yx相切，則a等于()a. b. c. d1解析：選b.由消去y整理得ax2x10，由題意a0，(1)24a0.所以a.2已知拋物線c：y24x的焦點為f，直線y2x4與c交于a，b兩點，則cosafb()a. b.c d解析：選d.由得或令b(1，2)，a(4，4)，又f(1，0)，所以由兩點間距離公式，得|bf|2，|af|5，|ab|3，所以cosafb.3a，b是拋物線x2y上任意兩點(非原點)，當·最小時，所在兩條直線的斜率之積koa·kob()a. bc. d解析：選b.由題意可設a(x1，x)，b

2、(x2，x)，(x1，x)，(x2，x)，·x1x2(x1x2)2(x1x2)2，當且僅當x1x2時·取得最小值此時koa·kob·x1x2.4設拋物線c：y22px(p>0)的焦點為f，點m在c上，|mf|5.若以mf為直徑的圓過點(0，2)，則c的方程為()ay24x或y28xby22x或y28xcy24x或y216xdy22x或y216x解析：選c.設m(x0，y0)，a(0，2)，mf的中點為n.由y22px，f(，0)，所以n點的坐標為(，)由拋物線的定義知，x05，所以x05.所以y0 .所以|an|，所以|an|2.所以()2(2)2

3、.即.所以 20.整理得p210p160.解得p2或p8.所以拋物線方程為y24x或y216x.5已知拋物線c的方程為x2y，過點a(0，1)和點b(t，3)的直線與拋物線c沒有公共點，則實數(shù)t的取值范圍是()a(，1)(1，)b(，)(，)c(，2)(2，)d(，)(，)解析：選d.當ab的斜率不存在時，x0，其與x2y有公共點，不滿足要求；當ab的斜率存在時，可設ab所在直線的方程為ykx1，代入x2y，整理得2x2kx10，(k)24×2<0，得k2<8，b(t，3)在ykx1上即3kt1，()2k2<8，即t2>2得t(，)(，)6過拋物線y22px(

4、p>0)的焦點f的直線與拋物線交于a、b兩點，若a、b在準線上的射影為a1、b1，則a1fb1等于_解析：如圖，由拋物線定義知|aa1|af|，|bb1|bf|，所以aa1fafa1，又aa1fa1fo，所以afa1a1fo，同理bfb1b1fo，于是afa1bfb1a1fob1foa1fb1.故a1fb190°.答案：90°7已知拋物線x24y的焦點為f，經(jīng)過f的直線與拋物線相交于a，b兩點，則以ab為直徑的圓在x軸上所截得的弦長的最小值是_解析：由題意知滿足題意的ab所在直線的斜率存在，故ab所在的直線方程可寫為ykx1，代入x24y，整理得x24kx40，x1x

5、24k，由ykx1可得y1y2kx11kx214k22，|ab|y1y2p4k24，故所截弦長222，當k0時弦長取最小值答案：28已知定長為3的線段ab的兩個端點在拋物線y22x上移動，m為ab的中點，則m點到y(tǒng)軸的最短距離為_解析：如圖所示，拋物線y22x的準線為l：x，過點a、b、m分別作aa、bb、mm垂直于l，垂足分別為a、b、m.由拋物線定義知|aa|fa|，|bb|fb|.又m為ab中點，由梯形中位線定理得|mm|(|aa|bb|)(|fa|fb|)|ab|×3，則m到y(tǒng)軸的距離d1(當且僅當ab過拋物線的焦點時取“”)，所以dmin1，即m點到y(tǒng)軸的最短距離為1.答案

6、：19已知拋物線y212x和點p(5，2)，直線l經(jīng)過點p且與拋物線交于a、b兩點，o為坐標原點(1)當點p恰好為線段ab的中點時，求l的方程；(2)當直線l的斜率為1時，求oab的面積解：(1)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，因為a、b在拋物線上，所以y12x1，y12x2，兩式相減，得(y1y2)(y1y2)12(x1x2)因為p為線段ab的中點，所以x1x2，又y1y24，所以k3，所以直線l的方程為y23(x5)，即3xy130.經(jīng)驗證適合題意(2)由題意知l的方程為y21·(x5)即yx3.由得x218x90.設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x218，x1

7、x29.所以|ab|·24.又點o到直線xy30的距離d，所以soab|ab|·d×24×18.10如圖，設拋物線c：x24y的焦點為f，p(x0，y0)為拋物線上的任一點(其中x00)，過p點的切線交y軸于q點(1)若p(2，1)，求證：|fp|fq|；(2)已知m(0，y0)，過m點且斜率為的直線與拋物線c交于a、b兩點，若(>1)，求的值解：(1)證明：由拋物線定義知|pf|y012，設過p點的切線方程為y1k(x2)，由得x24kx8k40，令16k24(8k4)0得k1，可得pq所在直線方程為yx1，所以得q點坐標為(0，1)，所以|qf

8、|2，即|pf|qf|.(2)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，又m點坐標為(0，y0)，所以ab方程為yxy0，由得x22x0x4y00.所以x1x22x0，x1x24y0x，由得：(x1，y0y1)·(x2，y2y0)，所以x1x2，由知得(1)2x4x，由x00可得x20，所以(1)24，又>1，解得32.b.能力提升1已知拋物線y22px(p>0)與圓(xa)2y2r2(a>0)有且只有一個公共點，則()arap brapcr<ap dr<ap解析：選b.當r<a時，根據(jù)圓與拋物線的對稱性可知，圓(xa)2y2r2(a>0)與拋物

9、線y22px(p>0)要么沒有交點，要么交于兩點或四點，與題意不符；當r>a時，易知圓與拋物線有兩個交點，與題意不符；當ra時，圓與拋物線交于原點，要使圓與拋物線有且只有一個公共點，必須使方程(xa)22pxr2(x0)有且僅有一個解x0，可得ap.故選b.2如圖，已知拋物線的方程為x22py(p>0)，過點a(0，1)作直線l與拋物線相交于p，q兩點，點b的坐標為(0，1)，連接bp，bq，設qb，bp的延長線與x軸分別相交于m，n兩點如果qb的斜率與pb的斜率的乘積為3，則mbn的大小等于()a. b.c. d.解析：選d.由題意設p(x1，)，q(x2，)(x1x2)，

10、設pq所在直線方程為ykx1代入x22py，整理得：x22kpx2p0，則kqb，kpb，可得kqbkpb0，又因為kqb·kpb3，所以kqb，kpb，即bnm，bmn，所以mbnbnmbmn.3設拋物線y24x的焦點為f，過點m(2，0)的直線與拋物線相交于a，b兩點，與拋物線的準線交于點c，|bf|，則_.解析：因為|bf|，所以b的橫坐標為，不妨設b的坐標為(，)，所以ab的方程為y(x2)，代入y24x，得2x217x80，解得x或8，故點a的橫坐標為8.故a到準線的距離為819.答案：4拋物線y22px(p>0)的焦點為f，已知點a，b為拋物線上的兩個動點，且滿足a

11、fb120°，過弦ab的中點m作拋物線準線的垂線mn，垂足為n，則的最大值為_解析：由余弦定理，得|ab|2|af|2|bf|22|af|·|bf|cos 120°|af|2|bf|2|af|·|bf|，過a，b作aa，bb垂直于準線，則|mn|(|aa|bb|)(|fa|fb|)，所以，當且僅當|af|bf|時，等號成立答案：5已知拋物線c：y22px(p>0)經(jīng)過點p(2，4)，直線l：yx2交c于a、b兩點，與x軸相交于點f.(1)求拋物線方程及其準線方程；(2)已知點m(2，5)，直線ma、mf、mb的斜率分別為k1、k2、k3，求證：k1

12、、k2、k3成等差數(shù)列解：(1)因為拋物線c：y22px(p>0)經(jīng)過點p(2，4)，所以422p×2，所以p4，所以拋物線的方程是y28x，所以拋物線準線方程是x2.(2)因為直線l：yx2與x軸相交于點f，所以f(2，0)因為m(2，5)，所以k2.設a(x1，y1)、b(x2，y2)，由方程組得3x220x120.法一：x1x2，x1x24.所以k1，k3，所以k1k3，所以k1k32k2，所以k1、k2、k3成等差數(shù)列法二：即a(6，4)、b(，)，所以k1，k3，所以k1k3，所以k1k32k2，所以k1、k2、k3成等差數(shù)列6(選做題)已知拋物線e的頂點在原點，焦點為f(2，0)，(1)求拋物線方程；(2)過點t(t，0)作兩條互相垂直的直線分別交拋物線e于a，b，c，d四點，且m，n分別為線段ab，cd的中點，求tmn的面積最小值解：(1)由題意知，p4，故所求拋物線方程為y28x.(2)根據(jù)題意得ab，cd的斜率存在，故設直線ab：xmyt，直線cd：xyt，a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，d(x4，y4)，由得y28my8t0.所以4m4m2tm(4m2t，4m)，同理可得n(t，)，所以|tn|，|tm|4|m|，所以stmn|tm|tn|8(|m|)16.當且僅當|m|1時