高中數(shù)學(xué) 第三章 圓錐曲線與方程 3.2.2 拋物線的簡單性質(zhì)二訓(xùn)練案 北師大版選修21

1、3.2.2 拋物線的簡單性質(zhì)a.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1拋物線yax21與直線yx相切，則a等于()a. b. c. d1解析：選b.由消去y整理得ax2x10，由題意a0，(1)24a0.所以a.2已知拋物線c：y24x的焦點(diǎn)為f，直線y2x4與c交于a，b兩點(diǎn)，則cosafb()a. b.c d解析：選d.由得或令b(1，2)，a(4，4)，又f(1，0)，所以由兩點(diǎn)間距離公式，得|bf|2，|af|5，|ab|3，所以cosafb.3a，b是拋物線x2y上任意兩點(diǎn)(非原點(diǎn))，當(dāng)·最小時(shí)，所在兩條直線的斜率之積koa·kob()a. bc. d解析：選b.由題意可設(shè)a(x1，x)，b

2、(x2，x)，(x1，x)，(x2，x)，·x1x2(x1x2)2(x1x2)2，當(dāng)且僅當(dāng)x1x2時(shí)·取得最小值此時(shí)koa·kob·x1x2.4設(shè)拋物線c：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為f，點(diǎn)m在c上，|mf|5.若以mf為直徑的圓過點(diǎn)(0，2)，則c的方程為()ay24x或y28xby22x或y28xcy24x或y216xdy22x或y216x解析：選c.設(shè)m(x0，y0)，a(0，2)，mf的中點(diǎn)為n.由y22px，f(，0)，所以n點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)由拋物線的定義知，x05，所以x05.所以y0 .所以|an|，所以|an|2.所以()2(2)2

3、.即.所以 20.整理得p210p160.解得p2或p8.所以拋物線方程為y24x或y216x.5已知拋物線c的方程為x2y，過點(diǎn)a(0，1)和點(diǎn)b(t，3)的直線與拋物線c沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()a(，1)(1，)b(，)(，)c(，2)(2，)d(，)(，)解析：選d.當(dāng)ab的斜率不存在時(shí)，x0，其與x2y有公共點(diǎn)，不滿足要求；當(dāng)ab的斜率存在時(shí)，可設(shè)ab所在直線的方程為ykx1，代入x2y，整理得2x2kx10，(k)24×2<0，得k2<8，b(t，3)在ykx1上即3kt1，()2k2<8，即t2>2得t(，)(，)6過拋物線y22px(

4、p>0)的焦點(diǎn)f的直線與拋物線交于a、b兩點(diǎn)，若a、b在準(zhǔn)線上的射影為a1、b1，則a1fb1等于_解析：如圖，由拋物線定義知|aa1|af|，|bb1|bf|，所以aa1fafa1，又aa1fa1fo，所以afa1a1fo，同理bfb1b1fo，于是afa1bfb1a1fob1foa1fb1.故a1fb190°.答案：90°7已知拋物線x24y的焦點(diǎn)為f，經(jīng)過f的直線與拋物線相交于a，b兩點(diǎn)，則以ab為直徑的圓在x軸上所截得的弦長的最小值是_解析：由題意知滿足題意的ab所在直線的斜率存在，故ab所在的直線方程可寫為ykx1，代入x24y，整理得x24kx40，x1x

5、24k，由ykx1可得y1y2kx11kx214k22，|ab|y1y2p4k24，故所截弦長222，當(dāng)k0時(shí)弦長取最小值答案：28已知定長為3的線段ab的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y22x上移動(dòng)，m為ab的中點(diǎn)，則m點(diǎn)到y(tǒng)軸的最短距離為_解析：如圖所示，拋物線y22x的準(zhǔn)線為l：x，過點(diǎn)a、b、m分別作aa、bb、mm垂直于l，垂足分別為a、b、m.由拋物線定義知|aa|fa|，|bb|fb|.又m為ab中點(diǎn)，由梯形中位線定理得|mm|(|aa|bb|)(|fa|fb|)|ab|×3，則m到y(tǒng)軸的距離d1(當(dāng)且僅當(dāng)ab過拋物線的焦點(diǎn)時(shí)取“”)，所以dmin1，即m點(diǎn)到y(tǒng)軸的最短距離為1.答案

6、：19已知拋物線y212x和點(diǎn)p(5，2)，直線l經(jīng)過點(diǎn)p且與拋物線交于a、b兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)當(dāng)點(diǎn)p恰好為線段ab的中點(diǎn)時(shí)，求l的方程；(2)當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，求oab的面積解：(1)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，因?yàn)閍、b在拋物線上，所以y12x1，y12x2，兩式相減，得(y1y2)(y1y2)12(x1x2)因?yàn)閜為線段ab的中點(diǎn)，所以x1x2，又y1y24，所以k3，所以直線l的方程為y23(x5)，即3xy130.經(jīng)驗(yàn)證適合題意(2)由題意知l的方程為y21·(x5)即yx3.由得x218x90.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x218，x1

7、x29.所以|ab|·24.又點(diǎn)o到直線xy30的距離d，所以soab|ab|·d×24×18.10如圖，設(shè)拋物線c：x24y的焦點(diǎn)為f，p(x0，y0)為拋物線上的任一點(diǎn)(其中x00)，過p點(diǎn)的切線交y軸于q點(diǎn)(1)若p(2，1)，求證：|fp|fq|；(2)已知m(0，y0)，過m點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線c交于a、b兩點(diǎn)，若(>1)，求的值解：(1)證明：由拋物線定義知|pf|y012，設(shè)過p點(diǎn)的切線方程為y1k(x2)，由得x24kx8k40，令16k24(8k4)0得k1，可得pq所在直線方程為yx1，所以得q點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)，所以|qf

8、|2，即|pf|qf|.(2)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，又m點(diǎn)坐標(biāo)為(0，y0)，所以ab方程為yxy0，由得x22x0x4y00.所以x1x22x0，x1x24y0x，由得：(x1，y0y1)·(x2，y2y0)，所以x1x2，由知得(1)2x4x，由x00可得x20，所以(1)24，又>1，解得32.b.能力提升1已知拋物線y22px(p>0)與圓(xa)2y2r2(a>0)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則()arap brapcr<ap dr<ap解析：選b.當(dāng)r<a時(shí)，根據(jù)圓與拋物線的對(duì)稱性可知，圓(xa)2y2r2(a>0)與拋物

9、線y22px(p>0)要么沒有交點(diǎn)，要么交于兩點(diǎn)或四點(diǎn)，與題意不符；當(dāng)r>a時(shí)，易知圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，與題意不符；當(dāng)ra時(shí)，圓與拋物線交于原點(diǎn)，要使圓與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，必須使方程(xa)22pxr2(x0)有且僅有一個(gè)解x0，可得ap.故選b.2如圖，已知拋物線的方程為x22py(p>0)，過點(diǎn)a(0，1)作直線l與拋物線相交于p，q兩點(diǎn)，點(diǎn)b的坐標(biāo)為(0，1)，連接bp，bq，設(shè)qb，bp的延長線與x軸分別相交于m，n兩點(diǎn)如果qb的斜率與pb的斜率的乘積為3，則mbn的大小等于()a. b.c. d.解析：選d.由題意設(shè)p(x1，)，q(x2，)(x1x2)，

10、設(shè)pq所在直線方程為ykx1代入x22py，整理得：x22kpx2p0，則kqb，kpb，可得kqbkpb0，又因?yàn)閗qb·kpb3，所以kqb，kpb，即bnm，bmn，所以mbnbnmbmn.3設(shè)拋物線y24x的焦點(diǎn)為f，過點(diǎn)m(2，0)的直線與拋物線相交于a，b兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)c，|bf|，則_.解析：因?yàn)閨bf|，所以b的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)b的坐標(biāo)為(，)，所以ab的方程為y(x2)，代入y24x，得2x217x80，解得x或8，故點(diǎn)a的橫坐標(biāo)為8.故a到準(zhǔn)線的距離為819.答案：4拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為f，已知點(diǎn)a，b為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足a

11、fb120°，過弦ab的中點(diǎn)m作拋物線準(zhǔn)線的垂線mn，垂足為n，則的最大值為_解析：由余弦定理，得|ab|2|af|2|bf|22|af|·|bf|cos 120°|af|2|bf|2|af|·|bf|，過a，b作aa，bb垂直于準(zhǔn)線，則|mn|(|aa|bb|)(|fa|fb|)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)|af|bf|時(shí)，等號(hào)成立答案：5已知拋物線c：y22px(p>0)經(jīng)過點(diǎn)p(2，4)，直線l：yx2交c于a、b兩點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)f.(1)求拋物線方程及其準(zhǔn)線方程；(2)已知點(diǎn)m(2，5)，直線ma、mf、mb的斜率分別為k1、k2、k3，求證：k1

12、、k2、k3成等差數(shù)列解：(1)因?yàn)閽佄锞€c：y22px(p>0)經(jīng)過點(diǎn)p(2，4)，所以422p×2，所以p4，所以拋物線的方程是y28x，所以拋物線準(zhǔn)線方程是x2.(2)因?yàn)橹本€l：yx2與x軸相交于點(diǎn)f，所以f(2，0)因?yàn)閙(2，5)，所以k2.設(shè)a(x1，y1)、b(x2，y2)，由方程組得3x220x120.法一：x1x2，x1x24.所以k1，k3，所以k1k3，所以k1k32k2，所以k1、k2、k3成等差數(shù)列法二：即a(6，4)、b(，)，所以k1，k3，所以k1k3，所以k1k32k2，所以k1、k2、k3成等差數(shù)列6(選做題)已知拋物線e的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為f(2，0)，(1)求拋物線方程；(2)過點(diǎn)t(t，0)作兩條互相垂直的直線分別交拋物線e于a，b，c，d四點(diǎn)，且m，n分別為線段ab，cd的中點(diǎn)，求tmn的面積最小值解：(1)由題意知，p4，故所求拋物線方程為y28x.(2)根據(jù)題意得ab，cd的斜率存在，故設(shè)直線ab：xmyt，直線cd：xyt，a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，d(x4，y4)，由得y28my8t0.所以4m4m2tm(4m2t，4m)，同理可得n(t，)，所以|tn|，|tm|4|m|，所以stmn|tm|tn|8(|m|)16.當(dāng)且僅當(dāng)|m|1時(shí)