高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 3.1 二維形式的柯西不等式 3.2 一般形式的柯西不等式高效演練 新人教A版選修45

1、6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3

2、3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 53.13.1二維形式的柯西不等式二維形式的柯西不等式3.2一般形式的柯西不等式a 級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1函數(shù)yx526x的最大值是()a. 3b. 5c3d5解 析 ： 根 據(jù) 柯 西 不 等 式 ， 知y 1x5 26x1222 （x5）2（ 6x）2 5.答案：b2已知x，y，z均大于 0，且xyz1，則1x4y9z的最小值為()a24b30c36d48解析：(xyz)1x4y9zx1xy2yz3z236，所以1x4y9z36

3、.答案：c3已知a，b0，且ab1，則( 4a1 4b1)2的最大值是()a2 6b. 6c6d12解析：( 4a1 4b1)2(1 4a11 4b1)2(1212)(4a14b1)24(ab)22(412)12，當且僅當 4a1 4b1，即ab時等號成立答案：d4已知a1b2b1a21，則以下成立的是()aa2b21ba2b21ca2b21da2b216 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f

4、3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5解析：由柯西不等式，得 1a1b2b1a2a2（1a2） （1b2）b21，當

5、且僅當b1a21b2a時，上式取等號，所以ab 1a21b2，即a2b2(1a2)(1b2)，于是a2b21.答案：b5 已知a21a22a2n1，x21x22x2n1， 則a1x1a2x2anxn的最大值為()a1b2c1d不確定解析：因為(a1x1a2x2anxn)2(a21a22a2n)(x21x22x2n)111，當且僅當aikxi(i1，2，n)時等號成立所以a1x1a2x2anxn的最大值是 1.答案：a二、填空題6函數(shù)yx1 5x的最大值是_解析：因為(x1 5x)2(11)(x15x)8，當且僅當x1 5x，即x3 時，等號成立，所以x1 5x2 2，函數(shù)y取得最大值 2 2.

6、答案：2 27已知x，y，zr，且xyz1，則x2y2z2的最小值為_解析：根據(jù)柯西不等式，x2y2z213(121212)(x2y2z2)13(1x1y1z)213(xyz)213，當且僅當xyz時等號成立答案：138若函數(shù)ya x1 64x的最大值為 2 5，則正數(shù)a的值為_解析：(a x1 64x)2a x1232x2(a24)x132x52(a24)，由已知得52(a24)20，解得a2.又因為a0，所以a2.答案：26 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2

7、 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5三、

8、解答題9已知m0，n0，mnp，求證：1m1n4p，指出等號成立的條件證明：根據(jù)柯西不等式，得1m1n(mn)m1mn1n24.于是1m1n4mn4p.當mnp2時等號成立10已知實數(shù)x，y，z滿足x2yz1，求tx24y2z2的最小值解：由柯西不等式得(x24y2z2)(111)(x2yz)2.因為x2yz1，所以 3(x24y2z2)1，即x24y2z213.當且僅當x2yz13，即x13，y16，z13時等號成立故x24y2z2的最小值為13.b 級能力提升1已知 2x3y4z10，則x2y2z2取到最小值時的x，y，z的值為()a.53，109，56b.2029，3029，4029c1

9、，12，13d1，14，19解析：當且僅當x2y3z4時，取到最小值，所以聯(lián)立x2y3z4，2x3y4z10，可得x2029，y3029，z4029.答案：b2已知 4x25y21，則 2x 5y的最大值是_解析：因為 2x 5y2x1 5y1 （2x）2（ 5y）2 1212 1 2 2，所以 2x 5y的最大值為 2.答案： 23已知正數(shù)x，y，z滿足xyz1.(1)求證：x2y2zy2z2xz2x2y13；6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1

10、d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5 6 e d b c 3 1 9 1 f 2 3 5 1 d d 8 1 5 f f 3 3 d 4 4 3 5 f 3 7 5(2)求 4x4y4z2的最小值(1)證明：x2y2zy2z2xz2x2y(y2zz2xx2y)xy2zy2zyz2xz2x