高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.3 函數(shù)的最大小值與導(dǎo)數(shù)學(xué)案 新人教A版選修22

1、1.3.3函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標：1.理解函數(shù)的最值的概念(難點)2.了解函數(shù)的最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系(易混點)3.會用導(dǎo)數(shù)求在給定區(qū)間上函數(shù)的最值(重點)自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1函數(shù)的最大(小)值的存在性一般地，如果在區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值思考：函數(shù)的極值與最值的區(qū)別是什么？提示函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性概念，最大值必須是整個區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最大值；最小值必須是整個區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最小值函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值是比較極值點附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多

2、個，但最值只能有一個；極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點取得；有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值當連續(xù)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個導(dǎo)數(shù)為零的點時，若在這一點處f(x)有極大值(或極小值)，則可以判定f(x)在該點處取得最大值(或最小值)，這里(a，b)也可以是無窮區(qū)間2求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最值的步驟(1)求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將函數(shù)yf(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)函數(shù)的最大值一定是函數(shù)的極大值()(

3、2)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值()(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的最大值和最小值一定在兩個端點處取得()答案(1)×(2)(3)×2函數(shù)f(x)2xcos x在(，)上()a無最值b有極值c有最大值d有最小值af(x)2sin x>0恒成立，所以f(x)在(，)上單調(diào)遞增，無極值，也無最值3函數(shù)f(x)在區(qū)間2,4上的最小值為()a0 bc dcf(x)，當x2,4時，f(x)0，即函數(shù)f(x)在區(qū)間2,4上是單調(diào)遞減函數(shù)，故當x4時，函數(shù)f(x)有最小值.4已知函數(shù)f(x)x33x2m(x2,2)，f(x)的最小值為1，則m_. 【導(dǎo)學(xué)號：31062058】解析

4、f(x)3x26x，x2,2令f(x)0，得x0，或x2，當x(2,0)時，f(x)0，當x(0,2)時，f(x)0，當x0時，f(x)有極小值，也是最小值f(0)m1.答案1合 作 探 究·攻 重 難求函數(shù)的最值角度1不含參數(shù)的函數(shù)最值求下列各函數(shù)的最值(1)f(x)3x39x5，x2,2；(2)f(x)sin 2xx，x.解(1)f(x)9x299(x1)(x1)，令f(x)0得x1或x1.當x變化時，f(x)，f(x)變化狀態(tài)如下表：x2(2，1)1(1,1)1(1,2)2f(x)/00/f(x)111111從表中可以看出，當x2時或x1時，函數(shù)f(x)取得最小值1.當x1或x

5、2時，函數(shù)f(x)取得最大值11.(2)f(x)2cos 2x1，令f(x)0，得cos 2x，又x，2x，2x±.x±.函數(shù)f(x)在上的兩個極值分別為f，f.又f，f.比較以上函數(shù)值可得f(x)max，f(x)min.角度2含參數(shù)的函數(shù)最值a為常數(shù)，求函數(shù)f(x)x33ax(0x1)的最大值. 【導(dǎo)學(xué)號：31062059】解f(x)3x23a3(x2a)若a0，則f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以當x0時，有最大值f(0)0.若a0，則令f(x)0，解得x±.x0,1，則只考慮x的情況(1)若01，即0a1，則當x時，f(x)有最大值f()2a.(如下表所

6、示)x0(0，)(，1)1f(x)0f(x)02a3a1(2)若1，即a1時，則當0x1時，f(x)0，函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞增，當x1時，f(x)有最大值f(1)3a1.綜上可知，當a0，x0時，f(x)有最大值0；當0a1，x時，f(x)有最大值2a；當a1，x1時，f(x)有最大值3a1.規(guī)律方法1.求解函數(shù)在固定區(qū)間上的最值，需注意以下幾點(1)對函數(shù)進行準確求導(dǎo)，并檢驗f(x)0的根是否在給定區(qū)間內(nèi).(2)研究函數(shù)的單調(diào)性，正確確定極值和端點函數(shù)值.(3)比較極值與端點函數(shù)值的大小，確定最值.2.由于參數(shù)的取值范圍不同會導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的變化，從而導(dǎo)致最值的變化，所

7、以解決含參數(shù)的函數(shù)最值問題常常需要分類討論，并結(jié)合不等式的知識進行求解.跟蹤訓(xùn)練1已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)x2(xa)，求f(x)在區(qū)間0,2上的最大值解f(x)3x22ax.令f(x)0，解得x10，x2.當0，即a0時，f(x)在0,2上單調(diào)遞增，從而f(x)maxf(2)84a.當2，即a3時，f(x)在0,2上單調(diào)遞減，從而f(x)maxf(0)0.當02，即0a3時，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而f(x)max綜上所述，f(x)max已知函數(shù)的最值求參數(shù)已知函數(shù)f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值為3，最小值為29，求a，b的值. 【導(dǎo)學(xué)號：31062060】解由題

8、設(shè)知a0，否則f(x)b為常函數(shù)，與題設(shè)矛盾求導(dǎo)得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去)(1)當a>0，且x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，當x0時，f(x)取得極大值b，也就是函數(shù)在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3<f(1)，f(2)16a329，解得a2.(2)當a<0時，同理可得，當x0時，f(x)取得極小值b，也就是函數(shù)在1,2上的最小值，f(0)b29.又f(1)7a29，f(2)16a29>f(1)，f

9、(2)16a293，解得a2.綜上可得，a2，b3或a2，b29.規(guī)律方法已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點，探索最值點，根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問題.其中注意分類討論思想的應(yīng)用.跟蹤訓(xùn)練2若函數(shù)f(x)(a>0)在1，)上的最大值為，則a的值為_解析f(x)，當x>時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當<x<時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當x時，f(x)，<1，不合題意f(x)maxf(1)，a1.答案1與最值有關(guān)的綜合問題探究問題1對于函數(shù)yf(x)，xa，

10、b，若f(x)c或f(x)c恒成立，則c滿足的條件是什么？提示：cf(x)min或cf(x)max.2對于函數(shù)yf(x)，xa，b，若存在x0a，b，使得f(x)c或f(x)c成立，則c滿足的條件是什么？提示：cf(x)max或cf(x)min.設(shè)函數(shù)f(x)tx22t2xt1(xr，t>0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<2tm對t(0,2)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：31062061】思路探究(1)利用配方法，即可求出二次函數(shù)f(x)的最小值h(t)；(2)構(gòu)造函數(shù)g(t)h(t)(2tm)，只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的

11、取值范圍解(1)f(x)t(xt)2t3t1(xr，t>0)，當xt時，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(不合題意，舍去)當t變化時，g(t)，g(t)的變化情況如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)極大值1mg(t)在(0,2)內(nèi)有最大值g(1)1m.h(t)<2tm在(0,2)內(nèi)恒成立等價于g(t)<0在(0,2)內(nèi)恒成立，即等價于1m<0.m的取值范圍為(1，)母題探究：1.(變條件)若將本例(2)的條件改為“存在t0,2，使h(t)<2tm成

12、立”，則實數(shù)m的取值范圍如何求解？解令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(不合題意，舍去)當t變化時，g(t)，g(t)的變化情況如下表：t0(0,1)1(1,2)2g(t)0g(t)1m極大值1m3mg(t)在0,2上有最小值g(2)3m，存在t0,2，使h(t)<2tm成立，等價于g(t)的最小值g(2)<0.3m<0，m>3，所以實數(shù)m的取值范圍為(3，)2(變條件)若將本例(2)的條件改為“對任意的t1，t2(0,2)，都有h(t1)2t2m”，求實數(shù)m的取值范圍解h(t)t3t1，t(0,2)h(t)3t21由h(t)0

13、得t或t(舍)又當0t時，h(t)0，當t2時，h(t)0.當t時，h(t)max1.令(t)2tm，t(0,2)，(t)minm4.由題意可知m4，即m3.實數(shù)m的取值范圍為.規(guī)律方法分離參數(shù)求解不等式恒成立問題的步驟所以實數(shù)的取值范圍為當 堂 達 標·固 雙 基1下列結(jié)論正確的是()a若f(x)在a，b上有極大值，則極大值一定是a，b上的最大值b若f(x)在a，b上有極小值，則極小值一定是a，b上的最小值c若f(x)在a，b上有極大值，則極小值一定是xa和xb時取得d若f(x)在a，b上連續(xù)，則f(x)在a，b上存在最大值和最小值d函數(shù)f(x)在a，b上的極值不一定是最值，最值也

14、不一定是極值，極值一定不會在端點處取得，而在a，b上一定存在最大值和最小值2函數(shù)yxsin x，x的最大值是()a1b1cd1c因為y1cos x，當x時，y>0，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以y的最大值為ymaxsin ，故選c.3函數(shù)f(x)x33x(|x|1)() 【導(dǎo)學(xué)號：31062062】a有最大值，但無最小值b有最大值，也有最小值c無最大值，但有最小值d既無最大值，也無最小值 df(x)3x233(x1)(x1)，當x(1,1)時，f(x)0，所以f(x)在(1,1)上是單調(diào)遞減函數(shù)，無最大值和最小值，故選d.4設(shè)函數(shù)f(x)x32x5，若對任意x1,2，都有f(x)m，則實數(shù)m的取值范圍是_解析f(x)3x2x20，x1，.f(1)5，f5，f(1)3，f(2)7，m3.【答案】5已知函數(shù)f(x)2x36x2a在2,2上有最小值37，求a的值，并求f(x)在2,2上的最大值. 【導(dǎo)學(xué)號：31062063】解f(x)6x212x6x(x2)由f(x)0，得x0或x2.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x2(2,0)0(0,2)2f(x)00f(x)40a極大值a8a所以當