高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.5 函數(shù)y＝Asinωx＋φ的圖象學案 新人教A版必修4

1、1.5函數(shù)yasin(x)的圖象學習目標：1.理解參數(shù)a，對函數(shù)yasin(x)的圖象的影響；能夠將ysin x的圖象進行變換得到y(tǒng)asin(x)，xr的圖象(難點)2.會用“五點法”畫函數(shù)yasin(x)的簡圖；能根據(jù)yasin(x)的部分圖象，確定其解析式(重點)3.求函數(shù)解析式時值的確定(易錯點)自 主 預 習·探 新 知1對ysin(x)，xr的圖象的影響2(0)對ysin(x)的圖象的影響3a(a0)對yasin(x)的圖象的影響4函數(shù)yasin(x)，a0，0中參數(shù)的物理意義基礎自測1思考辨析(1)ysin 3x的圖象向左平移個單位所得圖象的解析式是ysin.()(2)y

2、sin x的圖象上所有點的橫坐標都變?yōu)樵瓉淼?倍所得圖象的解析式是ysin 2x.()(3)ysin x的圖象上所有點的縱坐標都變?yōu)樵瓉淼?倍所得圖象的解析式是ysin x()解析(1)錯誤ysin 3x的圖象向左平移個單位得ysinsin.(2)錯誤ysin 2x應改為ysinx.(3)錯誤ysin x應改為y2sin x.答案(1)×(2)×(3)×2用“五點法”作y2sin 2x的圖象時，首先應描出的五點的橫坐標可以是()a0，2b0，c0，2，3，4d0，b2x應依次取0，2，所以描出的五點的橫坐標可以是0，.3函數(shù)yasin(x)1(a0，0)的最大值為

3、5，則a_.4由已知得a15，故a4.4函數(shù)y3sin的頻率為_，相位為_，初相為_x頻率為，相位為x，初相為.合 作 探 究·攻 重 難“五點法”作函數(shù)圖象用“五點法”畫函數(shù)y2sin在一個周期內(nèi)的簡圖. 思路探究列表、描點、連線、成圖是“五點法”作圖的四個基本步驟，令3x取0，2即可找到五點解先畫函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象令x3x，則x，列表x02xy02020規(guī)律方法1.用“五點法”作函數(shù)yasin(x)的圖象，五個點應是使函數(shù)取得最大值、最小值以及曲線與x軸相交的點2用“五點法”作函數(shù)yasin(x)圖象的步驟是：第一步：列表：x02xy0a0a0第二步：在同一坐標系中描出各點第

4、三步：用光滑曲線連接這些點，形成圖象跟蹤訓練1已知f(x)1sin，畫出f(x)在上的圖象解列表：x2x0f(x)211112三角函數(shù)圖象之間的變換(1)將函數(shù)ycos的圖象向左平移個單位長度，再向下平移3個單位長度，則所得圖象的解析式為_(2)將ysin x的圖象怎樣變換可得到函數(shù)y2sin1的圖象？ 【導學號：84352114】思路探究(1)依據(jù)左加右減；上加下減的規(guī)則寫出解析式(2)法一：ysin x縱坐標伸縮橫坐標伸縮和平移向上平移法二：左右平移橫坐標伸縮縱坐標伸縮上下平移(1)ycos 2x3(1)ycos的圖象向左平移個單位長度，得ycoscos(2x)cos 2x，再向下平移3個

5、單位長度得ycos 2x3的圖象(2)法一：(先伸縮法)把ysin x的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍，得到y(tǒng)2sin x的圖象；將所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，得y2sin 2x的圖象；將所得圖象沿x軸向左平移個單位，得y2sin 2的圖象；將所得圖象沿y軸向上平移1個單位，得y2sin1的圖象法二：(先平移法)將ysin x的圖象沿x軸向左平移個單位，得ysin的圖象；將所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，得ysin的圖象；把所得圖象上所有點的縱坐標伸長到原來2倍，得到y(tǒng)2sin的圖象；將所得圖象沿y軸向上平移1個單位，得y2sin1的圖象規(guī)律方法由ysin x的圖象，

6、通過變換可得到函數(shù)yasin(x)(a0，0)的圖象，其變化途徑有兩條：(1)ysin xysin(x)ysin(x)yasin(x)(2)ysin xysin xysinxsin(x)yasin(x)提醒：兩種途徑的變換順序不同，其中變換的量也有所不同：(1)是先相位變換后周期變換，平移|個單位(2)是先周期變換后相位變換，平移個單位，這是很易出錯的地方，應特別注意跟蹤訓練2(1)要得到y(tǒng)cos的圖象，只要將ysin 2x的圖象()a向左平移個單位b向右平移個單位c向左平移個單位d向右平移個單位(2)把函數(shù)yf(x)的圖象上各點向右平移個單位，再把橫坐標伸長到原來的2倍，再把縱坐標縮短到原來

7、的倍，所得圖象的解析式是y2sin，則f(x)的解析式是() 【導學號：84352115】af(x)3cos xbf(x)3sin xcf(x)3cos x3df(x)sin 3x(1)a(2)a(1)因為ycossinsinsin 2，所以將ysin 2x的圖象向左平移個單位，得到y(tǒng)cos的圖象(2)y2siny3siny3siny3sin3sin3cos x已知函數(shù)圖象求解析式(1)已知函數(shù)f(x)acos(x)b的部分圖象如圖1­5­1所示，則函數(shù)f(x)的解析式為()圖1­5­1ay2cos4 by2cos4cy4cos2dy4cos2(2)函數(shù)

8、f(x)asin(x)中a0，0，|，且圖象如圖1­5­2所示，求其解析式圖1­5­2思路探究由最大(小)值求a和b，由周期求，由特殊點坐標解方程求.(1)a(1)由函數(shù)f(x)的最大值和最小值得ab6，ab2，所以a2，b4，函數(shù)f(x)的周期為×44，又0，所以，又因為點在函數(shù)f(x)的圖象上所以62cos4，所以cos1，所以2k，kz，所以2k，kz，又|所以，所以f(x)2cos4.(2)法一：(五點作圖原理法)由圖象知，振幅a3，t，所以2，又由點，根據(jù)五點作圖原理(可判為“五點法”中的第一點)×20得，所以f(x)3si

9、n.法二：(方程法)由圖象知，振幅a3，t，所以2，又圖象過點，所以f3sin0，所以sin0，k(kz)，又因為|，所以k0，所以f(x)3sin.法三：(變換法)由圖象知，振幅a3，t，所以2，且f(x)asin(x)是由y3sin 2x向左平移個單位而得到的，解析式為f(x)3sin3sin.規(guī)律方法確定函數(shù)yasin(x)的解析式的關鍵是的確定，常用方法有：(1)代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時a，已知)或代入圖象與x軸的交點求解(此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)(2)五點法：確定值時，往往以尋找“五點法”中的第一個零點作為突破口“五點”的x的值具體如下：“第一點”(

10、即圖象上升時與x軸的交點)為x0；“第二點”(即圖象的“峰點”)為x；“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)為x；“第四點”(即圖象的“谷點”)為x；“第五點”為x2.跟蹤訓練3已知函數(shù)f(x)asin(x)，xr的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點的距離為，且圖象上一個最低點為m，求f(x)的解析式解由最低點m，得a2.在x軸上兩相鄰交點之間的距離為，故，即t，2.由點m在圖象上得2sin2，即sin1，故2k(kz)，2k(kz)又，.故f(x)2sin.三角函數(shù)圖象與性質的綜合應用探究問題1如何求函數(shù)yasin(x)與yacos(x)的對稱軸方程？提示：與正弦曲線、余弦曲線一樣，函數(shù)yas

11、in()和yacos(x)的圖象的對稱軸通過函數(shù)圖象的最值點且垂直于x軸函數(shù)yasin(x)對稱軸方程的求法：令sin(x)±1，得xk(kz)，則x(kz)，所以函數(shù)yasin(x)的圖象的對稱軸方程為x(kz)；函數(shù)yacos(x)對稱軸方程的求法：令cos(x)±1，得xk(kz)，則x(kz)，所以函數(shù)yacos(x)的圖象的對稱軸方程為x(kz)2如何求函數(shù)yasin(x)與yacos(x)的對稱中心？提示：與正弦曲線、余弦曲線一樣，函數(shù)yasin(x)和yacos(x)圖象的對稱中心即函數(shù)圖象與x軸的交點函數(shù)yasin(x)對稱中心的求法：令sin(x)0，得x

12、k(kz)，則x(kz)，所以函數(shù)yasin(x)的圖象關于點(kz)成中心對稱；函數(shù)yacos(x)對稱中心的求法：令cos(x)0，得xk(kz)，則x(kz)，所以函數(shù)yacos(x)的圖象關于點(kz)成中心對稱(1)已知函數(shù)f(x)sin(0)，若ff，且f(x)在區(qū)間上有最小值，無最大值，則()a.b. c.d.(2)已知函數(shù)f(x)sin(x)(0,0)是r上的偶函數(shù)，其圖象關于點m對稱，且在區(qū)間上是單調函數(shù)，求和的值. 【導學號：84352116】思路探究(1)先由題目條件分析函數(shù)f(x)圖象的對稱性，何時取到最小值，再列方程求的值(2)先由奇偶性求，再由圖象的對稱性和單調性求

13、.(1)b(1)因為ff，所以直線x是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸，又因為f(x)在區(qū)間上有最小值，無最大值，所以當x時，f(x)取得最小值所以2k，kz，解得8k，(kz)又因為t，所以12，又因為0，所以k1，即8.(2)由f(x)是偶函數(shù)，得f(x)f(x)，即函數(shù)f(x)的圖象關于y軸對稱，f(x)在x0時取得最值，即sin 1或1.依題設0，解得.由f(x)的圖象關于點m對稱，可知sin0，即k，解得，kz.又f(x)在上是單調函數(shù)，所以t，即.2，又0，k1時，；k2時，2.故，2或.母題探究：1.將本例(2)中“偶”改為“奇”，“其圖象關于點m對稱，且在區(qū)間上是單調函數(shù)”改為“在

14、區(qū)間上為增函數(shù)”，試求的最大值解因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(0)sin 0，又0，所以0因為f(x)sin x在上是增函數(shù)所以，于是，解得0，所以的最大值為.2本例(2)中增加條件“1”，求函數(shù)yf2(x)sin 2x，x的最大值解由條件知f(x)sincos 2x由x得2x，sin 2xyf2(x)sin 2xcos22xsin 2x1sin22xsin 2x(sin 2x)2所以當sin 2x時ymax.規(guī)律方法1.正弦余弦型函數(shù)奇偶性的判斷方法正弦型函數(shù)yasin(x)和余弦型函數(shù)yacos(x)不一定具備奇偶性對于函數(shù)yasin(x)，當k(kz)時為奇函數(shù)，當k±(kz)

15、時為偶函數(shù)；對于函數(shù)yacos(x)，當k(kz)時為偶函數(shù)，當k±(kz)時為奇函數(shù)2與正弦、余弦函數(shù)有關的單調區(qū)間的求解技巧(1)結合正弦、余弦函數(shù)的圖象，熟記它們的單調區(qū)間(2)確定函數(shù)yasin(x)(a0，0)單調區(qū)間的方法：采用“換元”法整體代換，將x看作一個整體，可令“zx”，即通過求yasin z的單調區(qū)間而求出函數(shù)的單調區(qū)間若0，則可利用誘導公式先將x的系數(shù)轉變?yōu)檎龜?shù)，再求單調區(qū)間當 堂 達 標·固 雙 基1函數(shù)ysin的周期、振幅、初相分別是()a3，b6，c3，3，d6，3，bysin的周期t6，振幅為，初相為.2函數(shù)f(x)sin的圖象的一條對稱軸是() 【導學號：84352117】ax bxcxdxcfsinsin，所以直線x是函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸3函數(shù)ycos x圖象上各點的縱坐標不變，把橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到圖象的解析式為ycos x，則的值為_函數(shù)ycos xycosx.所以.4由y3sin x的圖象變換到y(tǒng)3sin的圖象主要有兩個過程：先平移后伸縮和先伸縮后平移，前者需向左平移_個單位，后者需向左平移_個單位. 【導學號：84352118】y3sin xy3siny3sin，y3sin xy3siny3sin3sin.5已知函數(shù)f(x)3sin3(xr)，用五點法畫