《2014挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題》1.4因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問(wèn)題

1、1.4 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問(wèn)題例1 2013年上海市松江區(qū)中考模擬第24題如圖1，已知拋物線yx2bxc經(jīng)過(guò)A(0, 1)、B(4, 3)兩點(diǎn) （1）求拋物線的解析式；（2）求tanABO的值；（3）過(guò)點(diǎn)B作BCx軸，垂足為C，在對(duì)稱軸的左側(cè)且平行于y軸的直線交線段AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)圖1 動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“13松江24”，拖動(dòng)點(diǎn)N在直線AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，以M、N、C、B為頂點(diǎn)的平行四邊形有4個(gè)，符合MN在拋物線的對(duì)稱軸的左側(cè)的平行四邊形MNCB只有一個(gè)請(qǐng)打開超級(jí)畫板文件名“13松江24”，拖動(dòng)點(diǎn)N在直線AB上運(yùn)動(dòng)，可以體

2、驗(yàn)到，MN有4次機(jī)會(huì)等于3，這說(shuō)明以M、N、C、B為頂點(diǎn)的平行四邊形有4個(gè)，而符合MN在拋物線的對(duì)稱軸的左側(cè)的平行四邊形MNCB只有一個(gè)思路點(diǎn)撥1第（2）題求ABO的正切值，要構(gòu)造包含銳角ABO的角直角三角形2第（3）題解方程MNyMyNBC，并且檢驗(yàn)x的值是否在對(duì)稱軸左側(cè)滿分解答（1）將A(0, 1)、B(4, 3)分別代入yx2bxc，得 解得，c1所以拋物線的解析式是（2）在RtBOC中，OC4，BC3，所以O(shè)B5如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AHOB，垂足為H在RtAOH中，OA1，所以 圖2所以， 在RtABH中，（3）直線AB的解析式為設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，那么當(dāng)四邊形MNCB是平行四邊

3、形時(shí)，MNBC3解方程x24x3，得x1或x3因?yàn)閤3在對(duì)稱軸的右側(cè)（如圖4），所以符合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（如圖3）圖3 圖4考點(diǎn)伸展第（3）題如果改為：點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)那么求點(diǎn)M的坐標(biāo)要考慮兩種情況：MNyMyN或MNyNyM由yNyM4xx2，解方程x24x3，得（如圖5）所以符合題意的點(diǎn)M有4個(gè)：，圖5例2 2012年福州市中考第21題如圖1，在RtABC中，C90°，AC6，BC8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒

4、2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PD/BC，交AB于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)PQ點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t0）（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB_，PD_；（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由，并探究如何改變點(diǎn)Q的速度（勻速運(yùn)動(dòng)），使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度；（3）如圖2，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求出線段PQ的中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)圖1 圖2動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“12福州21”，拖動(dòng)左圖中的點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，PQ的中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是一條線段拖動(dòng)右圖中的點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)，

5、可以體驗(yàn)到，當(dāng)PQ/AB時(shí)，四邊形PDBQ為菱形請(qǐng)打開超級(jí)畫板文件名“12福州21”，拖動(dòng)點(diǎn)Q向上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，PQ的中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是一條線段點(diǎn)擊動(dòng)畫按鈕的左部，Q的速度變成1.07，可以體驗(yàn)到，當(dāng)PQ/AB時(shí)，四邊形PDBQ為菱形點(diǎn)擊動(dòng)畫按鈕的中部，Q的速度變成1.思路點(diǎn)撥1菱形PDBQ必須符合兩個(gè)條件，點(diǎn)P在ABC的平分線上，PQ/AB先求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t，再根據(jù)PQ/AB，對(duì)應(yīng)線段成比例求CQ的長(zhǎng)，從而求出點(diǎn)Q的速度2探究點(diǎn)M的路徑，可以先取兩個(gè)極端值畫線段，再驗(yàn)證這條線段是不是點(diǎn)M的路徑滿分解答（1）QB82t，PD（2）如圖3，作ABC的平分線交CA于P，過(guò)點(diǎn)P作PQ/AB交

6、BC于Q，那么四邊形PDBQ是菱形過(guò)點(diǎn)P作PEAB，垂足為E，那么BEBC8在RtABC中，AC6，BC8，所以AB10 圖3在RtAPE中，所以當(dāng)PQ/AB時(shí)，即解得所以點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為（3）以C為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系如圖4，當(dāng)t0時(shí)，PQ的中點(diǎn)就是AC的中點(diǎn)E(3，0)如圖5，當(dāng)t4時(shí)，PQ的中點(diǎn)就是PB的中點(diǎn)F(1，4)直線EF的解析式是y2x6如圖6，PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)可以表示為（，t）經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn)M（，t）在直線EF上所以PQ的中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)就是線段EF的長(zhǎng)，EF圖4 圖5 圖6考點(diǎn)伸展第（3）題求點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑還有一種通用的方法是設(shè)二次函數(shù)：當(dāng)t2時(shí)，PQ的中點(diǎn)為(2，2)設(shè)點(diǎn)M的

7、運(yùn)動(dòng)路徑的解析式為yax2bxc，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得 解得a0，b2，c6所以點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑的解析式為y2x6例3 2012年煙臺(tái)市中考第26題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)以A為頂點(diǎn)的拋物線yax2bxc過(guò)點(diǎn)C動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒過(guò)點(diǎn)P作PEAB交AC于點(diǎn)E（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)E作EFAD于F，交拋物線于點(diǎn)G，當(dāng)t為何值時(shí)，ACG的面積最大？最大值

8、為多少？（3）在動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點(diǎn)H，使以C、Q、E、H為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？請(qǐng)直接寫出t的值圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“12煙臺(tái)26”，拖動(dòng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)P在AB的中點(diǎn)時(shí)，ACG的面積最大觀察右圖，我們構(gòu)造了和CEQ中心對(duì)稱的FQE和ECH，可以體驗(yàn)到，線段EQ的垂直平分線可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和F，線段CE的垂直平分線可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q和H，因此以C、Q、E、H為頂點(diǎn)的菱形有2個(gè)請(qǐng)打開超級(jí)畫板文件名“12煙臺(tái)26”，拖動(dòng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)P在AB的中點(diǎn)時(shí)，即t=2，ACG的面積取得最大值1觀察CQ，EQ，EC的值，

9、發(fā)現(xiàn)以C、Q、E、H為頂點(diǎn)的菱形有2個(gè)點(diǎn)擊動(dòng)畫按鈕的左部和中部，可得菱形的兩種準(zhǔn)確位置。思路點(diǎn)撥1把ACG分割成以GE為公共底邊的兩個(gè)三角形，高的和等于AD2用含有t的式子把圖形中能夠表示的線段和點(diǎn)的坐標(biāo)都表示出來(lái)3構(gòu)造以C、Q、E、H為頂點(diǎn)的平行四邊形，再用鄰邊相等列方程驗(yàn)證菱形是否存在滿分解答（1）A(1, 4)因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為A，設(shè)拋物線的解析式為ya(x1)24，代入點(diǎn)C(3, 0)，可得a1所以拋物線的解析式為y(x1)24x22x3（2）因?yàn)镻E/BC，所以因此所以點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為將代入拋物線的解析式，y(x1)24所以點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為于是得到因此所以當(dāng)t1時(shí)，ACG面積的最大值為1

10、（3）或考點(diǎn)伸展第（3）題的解題思路是這樣的：因?yàn)镕E/QC，F(xiàn)EQC，所以四邊形FECQ是平行四邊形再構(gòu)造點(diǎn)F關(guān)于PE軸對(duì)稱的點(diǎn)H，那么四邊形EHCQ也是平行四邊形再根據(jù)FQCQ列關(guān)于t的方程，檢驗(yàn)四邊形FECQ是否為菱形，根據(jù)EQCQ列關(guān)于t的方程，檢驗(yàn)四邊形EHCQ是否為菱形，如圖2，當(dāng)FQCQ時(shí)，F(xiàn)Q2CQ2，因此整理，得解得，（舍去）如圖3，當(dāng)EQCQ時(shí)，EQ2CQ2，因此整理，得所以，（舍去）圖2 圖3例4 2011年上海市中考第24題已知平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖1），一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)M在正比例函數(shù)的圖象上，且MOMA二次函數(shù)yx2bxc的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、M（1）求

11、線段AM的長(zhǎng)；（2）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（3）如果點(diǎn)B在y軸上，且位于點(diǎn)A下方，點(diǎn)C在上述二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)D在一次函數(shù)的圖象上，且四邊形ABCD是菱形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“11上海24”，拖動(dòng)點(diǎn)B在y軸上點(diǎn)A下方運(yùn)動(dòng)，四邊形ABCD保持菱形的形狀，可以體驗(yàn)到，菱形的頂點(diǎn)C有一次機(jī)會(huì)落在拋物線上思路點(diǎn)撥1本題最大的障礙是沒(méi)有圖形，準(zhǔn)確畫出兩條直線是基本要求，拋物線可以不畫出來(lái)，但是對(duì)拋物線的位置要心中有數(shù)2根據(jù)MOMA確定點(diǎn)M在OA的垂直平分線上，并且求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，是整個(gè)題目成敗的一個(gè)決定性步驟3第（3）題求點(diǎn)C的坐標(biāo)，先根據(jù)菱形的邊長(zhǎng)、直線的斜率，用待定字母

12、m表示點(diǎn)C的坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式求待定的字母m滿分解答（1）當(dāng)x0時(shí)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，3)，OA3如圖2，因?yàn)镸OMA，所以點(diǎn)M在OA的垂直平分線上，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為將代入，得x1所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為因此（2）因?yàn)閽佄锞€yx2bxc經(jīng)過(guò)A(0，3)、M，所以解得，所以二次函數(shù)的解析式為（3）如圖3，設(shè)四邊形ABCD為菱形，過(guò)點(diǎn)A作AECD，垂足為E在RtADE中，設(shè)AE4m，DE3m，那么AD5m因此點(diǎn)C的坐標(biāo)可以表示為(4m，32m)將點(diǎn)C(4m，32m)代入，得解得或者m0（舍去）因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2） 圖2 圖3考點(diǎn)伸展如果第（3）題中，把“四邊形ABCD是菱形”改為“以A、B

13、、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形”，那么還存在另一種情況：如圖4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為圖4 例5 2011年江西省中考第24題將拋物線c1：沿x軸翻折，得到拋物線c2，如圖1所示（1）請(qǐng)直接寫出拋物線c2的表達(dá)式；（2）現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為N，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為D、E當(dāng)B、D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí)，求m的值；在平移過(guò)程中，是否存在以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“11

14、江西24”，拖動(dòng)點(diǎn)M向左平移，可以體驗(yàn)到，四邊形ANEM可以成為矩形，此時(shí)B、D重合在原點(diǎn)觀察B、D的位置關(guān)系，可以體驗(yàn)到，B、D是線段AE的三等分點(diǎn)，存在兩種情況思路點(diǎn)撥1把A、B、D、E、M、N六個(gè)點(diǎn)起始位置的坐標(biāo)羅列出來(lái)，用m的式子把這六個(gè)點(diǎn)平移過(guò)程中的坐標(biāo)羅列出來(lái)2B、D是線段AE的三等分點(diǎn)，分兩種情況討論，按照AB與AE的大小寫出等量關(guān)系列關(guān)于m的方程3根據(jù)矩形的對(duì)角線相等列方程滿分解答（1）拋物線c2的表達(dá)式為（2）拋物線c1：與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(1，0)、(1，0)，頂點(diǎn)為拋物線c2：與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)也為(1，0)、(1，0)，頂點(diǎn)為拋物線c1向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)

15、為，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為、，AB2拋物線c2向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，頂點(diǎn)N的坐標(biāo)為，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為、所以AE(1m)(1m)2(1m)B、D是線段AE的三等分點(diǎn)，存在兩種情況：情形一，如圖2，B在D的左側(cè)，此時(shí)，AE6所以2(1m)6解得m2情形二，如圖3，B在D的右側(cè)，此時(shí)，AE3所以2(1m)3解得圖2 圖3 圖4如果以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，那么AEMN2OM而OM2m23，所以4(1m)24(m23)解得m1（如圖4）考點(diǎn)伸展第（2）題，探求矩形ANEM，也可以用幾何說(shuō)理的方法：在等腰三角形ABM中，因?yàn)锳B2，AB邊上的高為，所以ABM是等邊三角形同理DEN是等邊三角

16、形當(dāng)四邊形ANEM是矩形時(shí)，B、D兩點(diǎn)重合因?yàn)槠鹗嘉恢脮r(shí)BD2，所以平移的距離m1例6 2010年山西省中考第26題在直角梯形OABC中，CB/OA，COA90°，CB3，OA6，BA分別以O(shè)A、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）已知D、E分別為線段OC、OB上的點(diǎn)，OD5，OE2EB，直線DE交x軸于點(diǎn)F求直線DE的解析式；（3）點(diǎn)M是（2）中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一點(diǎn)N，使以O(shè)、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 圖1 圖2動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開幾何畫板文件名“10山西

17、26”，拖動(dòng)點(diǎn)M可以在直線DE上運(yùn)動(dòng)分別雙擊按鈕“DO、DM為鄰邊”、“ DO、DN為鄰邊”和“DO為對(duì)角線”可以準(zhǔn)確顯示菱形思路點(diǎn)撥1第（1）題和第（2）題蘊(yùn)含了OB與DF垂直的結(jié)論，為第（3）題討論菱形提供了計(jì)算基礎(chǔ)2討論菱形要進(jìn)行兩次（兩級(jí)）分類，先按照DO為邊和對(duì)角線分類，再進(jìn)行二級(jí)分類，DO與DM、DO與DN為鄰邊滿分解答(1)如圖2，作BHx軸，垂足為H，那么四邊形BCOH為矩形，OHCB3在RtABH中，AH3，BA，所以BH6因此點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,6)(2) 因?yàn)镺E2EB，所以，E(2,4)設(shè)直線DE的解析式為ykxb，代入D(0,5)，E(2,4)，得 解得，所以直線DE的

18、解析式為(3) 由，知直線DE與x軸交于點(diǎn)F(10,0)，OF10，DF如圖3，當(dāng)DO為菱形的對(duì)角線時(shí)，MN與DO互相垂直平分，點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(5,)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(5,)如圖4，當(dāng)DO、DN為菱形的鄰邊時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4,8)如圖5，當(dāng)DO、DM為菱形的鄰邊時(shí)，NO5，延長(zhǎng)MN交x軸于P由NPODOF，得，即解得，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為 圖3 圖4 考點(diǎn)伸展如果第（3）題沒(méi)有限定點(diǎn)N在x軸上方的平面內(nèi)，那么菱形還有如圖6的情形 圖5 圖6例7 2009年江西省中考第24題如圖1，拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D（1）直接寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸；（2）連結(jié)BC，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF/DE交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m用含m的代數(shù)式表示線段PF的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為