誤差理論與數(shù)據(jù)處理 電子教案

1、一、誤差公理誤差：測量和實驗所得的數(shù)據(jù)和被測量真值之差。公理：一切測量存在誤差，自始自終存在于一切科學實驗中。二、研究誤差的意義1、正確認識誤差性質(zhì)，分析產(chǎn)生誤差原因，以減少或消除。 2、正確處理測量和實驗數(shù)據(jù)，合理計算結(jié)果，以得到更接近真值的數(shù)據(jù)。3、正確組織實驗過程，合理設(shè)計、選用一起和測量方法，以在最經(jīng)濟條件下，得到最理想結(jié)果。 4、研究誤差可促進理論發(fā)展。（如雷萊研究：化學方法、空氣分離方法。制氮氣時，密度不同，導致后人發(fā)現(xiàn)惰性氣體。）第二節(jié) 誤差基本概念一、誤差定義及表示方法（一）定義：被測量的值與真值差異在數(shù)值上的表現(xiàn)誤差。誤差=測得尺寸真實尺寸例如：在長度測量中，測量某一尺寸的誤

2、差公式可表示為：誤差=測得值真值。（二）誤差表示方法（測量誤差可用絕對誤差表示，也可用相對誤差表示）1、絕對誤差（測量誤差）（absolute error）： 絕對誤差=測得值真值。 方向（+ ）、單位、大小。 真值：被測量的真實大小。常用實際值代替真值。（真值是一個理想的概念，一般是不知道的，通過測量得到的是真值的近似值，但在某些特定的情況下，真值又是可知的。如理論值三角形內(nèi)角之和180度；定義值（按定義人為規(guī)定的）國際千克基準的值可認為是1kg等；實際值滿足規(guī)定精確度的用來代替真值的量值。 在實際工作中常用到修正值：為減少或消除系統(tǒng)誤差一種處理方法。 修正值（correction）=真值測

3、量值=絕對誤差 修正結(jié)果（correction result）是將測得值加上修正值后的測量結(jié)果，這樣可提高測量準確度。 例1-1。用某電壓表測量電壓，電壓表的示值為226V，查該表的檢定證書，得知該電壓表在220V附近的誤差為5V ，被測電壓的修正值為5V ，則修正后的測量結(jié)果為226+(5V )=221V。 （226V測得值，220V真值，5V絕對誤差）2、相對誤差（relative error）： 相對誤差：（1）有大小、方向（+ ）、無單位。常用%表示。（2）對于相同的被測量，可用絕對誤差評定精度。對于不同的被測量或不同的物理量，可用相對誤差評定精度。例1-1 用兩種方法來測量的尺寸，其

4、測量誤差分別為，根據(jù)絕對誤差大小，可知后者的測量精度高。但若用第三種方法測量的尺寸，其測量誤差為，此時用絕對誤差就難以評定它與前兩種方法精度的高低，必須采用相對誤差來評定。 第一種方法的相對誤差為： 第二種方法的相對誤差為： 第三種方法的相對誤差為： 由此可見，第一種方法精度最低，第二種方法精度最高。例1-2 絕對誤差和相對誤差的比較 用1m測長儀測量0.01m長的工件，其絕對誤差但用來測量1m長的工件，其絕對誤差為0.0105m。前者的相對誤差為： 后者的相對誤差為： 用絕對誤差不便于比較不同量值、不同單位、不同物理量等的準確度。3、引用誤差：指的是儀器儀表表示值的相對誤差。儀器儀表示值誤差

5、=示值真值 引用誤差=示值誤差/測量范圍上限 有大小，有方向，無單位，相對量程而言。例1-3 測量范圍上限為的工作測力計（拉力表），在標定示值為處的實際作用力為，則此測力計在該刻度點的引用誤差為： 4、基本誤差：儀器儀表在規(guī)定的正常工作條件下的最大引用誤差。 正常條件：如規(guī)定的電源電壓波動：。 環(huán)溫波動：我國對電工儀表按基本誤差分為7個精度等級：0.1 0.2 0.5 1.0 1.5 2.5 5 。 這里的精度等級是基本誤差去掉百分號后的絕對值。記為如基本誤差為。則精度為0.5級。如儀表基本誤差為，則該儀表精度為1。例 某待測電壓90V，變化左右，現(xiàn)有0.5級0300V和1.0級100V電壓表

6、各一塊，問選用哪塊表測得精度高？ 解：選0.5級測90V時最大相對誤差： 選1.0級測90V時最大相對誤差： 可見用1.0級好。說明：（1）量程相同的表，精度等級高，測量精度高。 量程不同的表，精度等級高，測量精度不見得高。 （2）儀表量程選用最好測量值在量程2/3左右為好，能充分發(fā)揮儀表精度等級作用。重復性：相同條件下（裝置環(huán)境、人員、方法）教短時間內(nèi)對同一量做多次測量其結(jié)果的一致性。5、不確定度：是誤差大小的測量度，怎樣理解以后介紹。二、誤差來源 在測量過程中，按誤差產(chǎn)生的原因可歸納為：（一）測量裝置誤差1、標準量具誤差：以固定形式復現(xiàn)標準量具的器具，如氪86燈管、標準量塊、標準電池、標準

7、電阻、標準砝碼等，它們本身體現(xiàn)的量值，不可避免地都含有誤差。2、儀器誤差：直接或間接將被測量和已知量進行比較的器具設(shè)備，如天平、壓力計、溫度計等本身都具有誤差。3、附件誤差：儀器的附件及附屬工具，如千分尺的調(diào)整量棒等的誤差，也會引起測量誤差。（二）環(huán)境誤差測量時各種環(huán)境因數(shù)與規(guī)定的標準狀態(tài)不一致造成的誤差，如溫度、濕度、氣壓、振動、照明、g、電磁場等儀器在規(guī)定條件下的誤差為基本誤差，超出規(guī)定條件所增加的誤差為附加誤差。（三）、方法誤差由于測量方法不完善所引起的誤差。如測軸周長s，再由求直徑，取值不同，將會引起誤差。（四）、人員誤差分辨能力、視覺器官的生理變化、習慣、疏忽等引起的誤差。三、誤差分

8、類按誤差的特點和性質(zhì)，誤差可分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差（也稱偶然誤差）和粗大誤差三類。（一）系統(tǒng)誤差（systematic error）：在相同條件下，多次測量同一量值時，該誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，按某一確定規(guī)律變化的誤差系統(tǒng)誤差。 如標準量值不準、一起刻度不準確引起的誤差。 系統(tǒng)誤差又可按下列分類：1、按對誤差掌握的程度分（1）已定系統(tǒng)誤差：指誤差的絕對值和符號已確定（2）未定系統(tǒng)誤差：指誤差的絕對值和符號未確定，但可的出誤差范圍。2、按誤差出現(xiàn)規(guī)律分（1）不變系統(tǒng)誤差：（指絕對值和符號一定）相當于以定系統(tǒng)誤差。（2）變化系統(tǒng)誤差：（指絕對值和符號為變化）相當于未定系統(tǒng)誤差

9、，但變化規(guī)律可知，如線性、周期性等。（二）隨機誤差（random error） 在相同測量條件下，多次測量同一量值時，絕對值和符號以不可預定方式變化的誤差隨機誤差。 如儀器儀表中傳動部件的間隙和摩擦、連接部件的彈性變形等引起的示值不穩(wěn)定。（三）粗大誤差指明顯超出統(tǒng)計規(guī)律預期值的誤差粗大誤差。又稱為疏忽誤差、過失誤差、寄生誤差或簡稱粗差。 如測量方法不當或錯誤，測量操作疏忽和失誤（如未按規(guī)程操作、讀錯讀數(shù)或單位、記錄或計算錯誤等）。測量條件的突然變化（如電源電壓突然增高或降低、雷電干擾、機械沖擊和振動等）。由于該誤差很大，明顯歪曲了測量結(jié)果。故應按照一定的準則進行判別，將含有粗大誤差的測量數(shù)據(jù)（

10、稱為壞值或異常值）予以剔除。 上述三種誤差在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)換，特別是系統(tǒng)誤差與隨機誤差之間并沒有完全界限。系統(tǒng)誤差是一種可知的誤差，因而可以修正；隨機誤差是一種未知的誤差，但可以用數(shù)據(jù)統(tǒng)計處理方法去減小。第三節(jié) 精 度定義：反映測量結(jié)果與真值接近程度的量。與誤差的大小相對應，因此可用誤差大小來表示精度的高低，誤差小則精度高，誤差大則精度低。 精度可分為：（1）準確度：系統(tǒng)誤差（2）精密度：隨機誤差（3）精確度：系統(tǒng)誤差和隨機。其定量特征可用測量的不確定度（極限誤差）來表示。精度在數(shù)量上可用相對誤差表示，如相對誤差為0.0.%，可以說精度為。準確度、正確度和精密度三者之間的關(guān)系：對于具體測

11、量，精密度高的而準確度不一定高，準確度高的而精密度也不一定高，但精確度高，則精密度和準確度都高。 圖1-1a：彈著點全部在靶上，但分散。相當于系統(tǒng)誤差小而隨機誤差大，即精密度低，正確度高。b：彈著點集中，但偏向一方，命中率不高。相當于系統(tǒng)誤差大而隨機誤差小，即精密度高，正確度低。c：彈著點集中靶心。相當于系統(tǒng)誤差與隨機誤差均小，即精密度、正確度都高，從而準確度亦高。第四節(jié) 有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運算 測量結(jié)果還有誤差，測量結(jié)果的數(shù)據(jù)位數(shù)應以測量精度為依據(jù)。位數(shù)超出精度，即費時間又無意義，低于精度，則損失精度。一、有效數(shù)字 含有誤差的任何近似數(shù)，如果其絕對誤差界是最末位數(shù)的半個單位，那么從這個近似數(shù)左方

12、起的第一個非0的數(shù)字，稱為第一位有效數(shù)字。從第一位有效數(shù)字起到列最末一位數(shù)字止的所有數(shù)字，無論0或非0，都是有效數(shù)字。例如：3.14 第一位有效數(shù)字為3，共有3位有效數(shù)字。 0.0027 第一位有效數(shù)字為2，共有2位有效數(shù)字。 0.00270 第一位有效數(shù)字為2，共有3位有效數(shù)字。若近似數(shù)右邊有若干個0，寫成 則有幾個有效數(shù)字反映近似數(shù)的有效位數(shù)。例如： 4位有效數(shù)字 3位有效數(shù)字 2位有效數(shù)字 測量結(jié)果最末一位有效數(shù)字應與測量精度同一量級。例 千分尺精度為0.01mm，若測出L=20.531mm，小數(shù)點后第2位已不可靠，第三位更不可靠，則L=20.53mm。測量結(jié)果應保留的位數(shù)原則：最末一位

13、不可靠，倒數(shù)第2位應可靠。測量誤差取12位有效數(shù)字。所以 。重要測量時。測量結(jié)果和測量誤差多取一位參考數(shù)字，如。二、數(shù)字舍入規(guī)則（湊整）（1）若舍去部分的數(shù)值，大于保留部分末位的半個單位，則末位加1。（2）若舍去部分的數(shù)值，小于保留部分末位的半個單位，則末位不變。（3）若舍去部分的數(shù)值，等于保留部分末位的半個單位，則末位湊成偶數(shù)，即當末位為偶數(shù)時則末位不變，當末位為奇數(shù)時末位加1。例 按舍入規(guī)則，將下列數(shù)據(jù)保留4位有效數(shù)據(jù)進行湊整。 原有數(shù)據(jù) 舍入后數(shù)據(jù) 根據(jù)規(guī)則 3.14159 3.142 （1） 2.71729 2.717 （2） 4.51050 4.510 （3）前 3.21550 3.

14、216 （3）后 7.691499 7.691 （2）按上述規(guī)定，一次舍入得結(jié)果。歸納為：“四舍六六逢五取偶”。數(shù)字舍入造成誤差，因為（3）從而使舍入誤差成為隨機誤差，避免4舍5入產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差。三、數(shù)據(jù)運算規(guī)則 在有效數(shù)據(jù)后多保留一位參考（安全）數(shù)字。（1）近似加減運算。結(jié)果應與小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)小數(shù)位數(shù)相同。例如 2643.0+987.7+4.187+0.2354=？2643.0+987.7+4.19+0.24=3635.133635.1（2）近似乘除運算。運算以有效位最少的數(shù)據(jù)位數(shù)多取一位，結(jié)果位數(shù)相同。例如 15.134.12=62.335662.3（3）近似平方或開方運算。 按乘除運

15、算處理。（4）對數(shù)運算。 n位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)該用n 位對數(shù)表，或（n+1）位對數(shù)表。（5）三角函數(shù)。角度誤差 函數(shù)值位數(shù) 5 6 7 8第二章 誤差的基本性質(zhì)與處理第一節(jié) 隨機誤差在測量誤差分類中，已提到系統(tǒng)誤差和隨機誤差是不同性質(zhì)的誤差，因此對它們的處理方法也不同。這一節(jié)是在假設(shè)粗大誤差和系統(tǒng)誤差已被排除的前提下來討論隨機誤差的。本節(jié)介紹隨機誤差產(chǎn)生的原因，隨機誤差的本質(zhì)特征以及減少隨機誤差的技術(shù)途徑。本節(jié)的重點和難點：v 隨機誤差產(chǎn)生的原因v 隨機誤差的本質(zhì)特征v 算術(shù)平均值v 貝塞爾公式v 試驗標準差v 測量結(jié)果的最佳估計定義：在相同條件下多次重復測量同一量時，以不可預定的方式變化的（但

16、具有統(tǒng)計規(guī)律的）測量誤差隨機誤差。（在等精度測量條件下）一、隨機誤差產(chǎn)生的原因1、測量裝置方面：零部件配合的不穩(wěn)定性，零部件的變形，零件表面油膜不均勻，摩擦等。2、環(huán)境方面：溫度、氣壓、，光照強度、灰塵及電磁場變化。3、人員方面：瞄準方向的不穩(wěn)定，讀數(shù)的不穩(wěn)定。二、隨機誤差的統(tǒng)計特性正態(tài)分布多數(shù)隨機誤差服從正態(tài)分布，有以下四個特征；1、對稱性：絕對值相等的正誤差與負誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等。2、單峰性：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多。3、有界性：在一定的測量條件下，隨機誤差的絕對值不會超過一定界限。4、抵償性：隨著測量次數(shù)增多，隨機誤差的算術(shù)平均值趨于零。服從正態(tài)分布的隨機誤差具有上面四

17、條特征。由于多數(shù)隨機誤差都服從正態(tài)分布，所以正態(tài)分布在誤差理論中占有較重要的地位。隨機誤差的正態(tài)分布規(guī)律： 設(shè)被測量的真值為，一系列測得值為。則測量列中的隨機誤差為 （2-1） 式中。 正態(tài)分布密度和分布函數(shù)為 （2-2）記為 （2-3）（一般），在內(nèi)概率。）標準差（方均根誤差） 自然對數(shù)的底=2.7182。 它的數(shù)學期望為 （2-4）它的方差為 （2-5）其平均誤差為 （2-6）此外由 可解得或然誤差為 （2-7）正態(tài)分布曲線以及各精度參數(shù)在圖中的坐標。曲線上拐點A的橫坐標 曲線右半部面積重心B的橫坐標右半部面積的平分線的橫坐標。三、算術(shù)平均值1、公理：一系列等精度測量，則 。 真值 隨機誤

18、差的代數(shù)和： （2-8） 根據(jù)正態(tài)分布隨機誤差的對稱性，當，所以 即無限多次測量的算術(shù)平均值即為真值。2、殘差：但有限次測量的算術(shù)平均值真值是有誤差的，只能近似真值。 殘余誤差=測量值平均值 即 的殘余誤差 （2-9）殘余誤差的代數(shù)和： 即殘余誤差的代數(shù)和等于零，即與次數(shù)無關(guān)，而必須，即與測量次數(shù)有關(guān)。3、算術(shù)平均值的簡便算法：任選一個接近所有測得值的數(shù)。計算 令， 則 （2-10）例2-1測量某物理量10次，結(jié)果見表，求 序號 1 1879.64 -0.01 0 2 1879.69 0.04 +0.05 3 1879.60 +0.05 -0.04 10 1879.65 0 +0.01任選參考

19、值=1879.65，計算和列于表中，很容易求得算術(shù)平均值=1879.644、算術(shù)平均值的校核方法： 因為，所以可以根據(jù)殘差代數(shù)和的性質(zhì)來校核和。但是根據(jù)有效數(shù)字，數(shù)據(jù)運算和數(shù)字舍入規(guī)則，在計算時，在小數(shù)位數(shù)較多或除不盡的情況下，對進行湊整，所以實得的可能為經(jīng)過湊整的非準確數(shù)，存在舍入誤差。，而。 校核規(guī)則為：（1）應符合：當，求得的為非湊整的準確數(shù)時，； （2-11）當，求得的為湊整的非準確數(shù)時，則；當，求得的為湊整的非準確數(shù)時，則。否則有誤；（2）應符合： 當n為偶數(shù)時，則； 當n為奇數(shù)時，則； A為 末位數(shù)的一個單位。 多數(shù)情況下用規(guī)則（2）來校核。例2-2 用例2-1數(shù)據(jù)，對計算結(jié)果進行

20、校核。因為n為偶數(shù)， A=0.01由上頁表可知 ，故計算結(jié)果正確。例2-3 測量某直徑11次，結(jié)果如下，求并進行校核。 序號 1 2000.07 +0.003 2 2000.05 -0.017 3 2000.09 +0.023 11 2000.07 +0.003 解：算術(shù)平均值，取。 用（1）校核則有： 說明結(jié)果正確。用（2）校核則有： ，A=0.001mm。 也說明正確。四、測量的標準差（方均根誤差）（一）測量列中單次測量的標準差1、方差：定義：等精度測量列無窮多個隨機誤差平方的平均值。2、標準差： 定義：方差的正方根稱為標準差。 3、方差與標準差的意義： 若一列等精度測量符合正態(tài)分布，即密

21、度函數(shù)。因為越小，則的指數(shù)的絕對值越大。最大密度函數(shù)值越大，則鐘形曲線越尖瘦，即可能產(chǎn)生的隨機誤差的最大值越小，任一單次測得值對的分散度就小，測量精度高（如1）。反之，越大，測量的精度低，如（3）因此是表征同一被測量n次測量的測得值分散度的參數(shù)?？勺鳛閱未螠y量不可靠性的評定標準，是說明隨機誤差的主要特征的量。 （2-12）n測量次數(shù) （真值）（真值）未知時，可用殘余誤差代替真值誤差。從而得到標準差的估計值。由得：（推導貝塞爾公式） （2-13）為算術(shù)平均值的誤差。 （2-13）式相加 （2-15）見（2-11）（2-13）式平方后相加 （2-16）將（2-15）式平方 當n適當大時，可認為趨近

22、于零，并將代入（2-16）得 （2-17）由式（2-12）可知 代入式（2-17）得 （2-18）貝塞爾（Bessel）公式 是方差的無偏估計，但s并不是標準差的無偏估計。為殘余誤差，簡稱殘差。式（2-18）稱為貝塞爾（Bessel）公式，根據(jù)此式可由殘余誤差求得單次測量的標準差的估計值。評定單次測量不可靠性的參數(shù)還有或然誤差和平均誤差，用殘余誤差表示： （2-19） （2-20）（二）測量列算術(shù)平均值的標準差如在相同條件下對同一量值做多組重復的系列測量，每一列測量都有一個算術(shù)平均值，由于隨機誤差，各列的算術(shù)平均值也不相同。圍繞真值有一定的分散，算術(shù)平均值的標準差則表征各列分散性的參數(shù)。已知：

23、 取方差： 參考（2-12）因為 故有 所以 （見（2-5）式） （2-21）結(jié)論：在次等精度測量列中，為單次測量標準差的。與的關(guān)系：一定時，當，減少緩慢。另外，當愈大時，測量條件越難以恒定，從而帶來新的誤差。所以取較為合適。或然誤差： （2-22） 平均誤差： （2-23）用殘差表示： （2-24） （2-25）例2-4 略（三）標準差的其他算法1、別捷爾斯法（Peters）由Beseel公式 則平均誤差為： 由式（2-6）得 Peters公式： （2-26）算術(shù)平均值的標準差 （2-27）例2-5 略2、極差法（簡便） Beseel、Peters公式均需先求，再求，后求。復雜。 （2-28

24、） （兩者從服從正態(tài)分布的中選出。）根據(jù)極差的分布函數(shù)，可求出極差的數(shù)學期望 （2-29）因為 ，故可得的無偏估計值 （2-30）式中的數(shù)值見表2-4（略）（見） 例2-6略3、最大誤差法 真值已知，選取隨機誤差，當服從正態(tài)分布。 （ =|真值測量值| ） （2-31） 真值未知，選取殘余誤差，當服從正態(tài)分布。 （ ） （2-32）和見表表2-5 例2-7、2-8略 以上四種方法Beseel最佳。 例 對某量測得數(shù)據(jù)7.7,7.7,7.5,7.7,7.7,7.7,7.9,7.6,7.7,7.8,7.9，試分別用貝塞爾公式、極差法、最大誤差法估計其測量標準差及其標準差的相對標準差。解：(1) 用

25、貝塞爾公式估算 查表，并插值計算 ， (2) 用極差法估算 查表，得 故 （3）用最大誤差法估算真值未知，計算最大殘差 查表，插值計算得 故 五、測量的極限誤差 測量的極限誤差是極端誤差，測量結(jié)果（單次測量或測量列的）的誤差不超過該極限誤差的概率為P，并使可予忽略。（一）單次測量的極限誤差 隨機誤差正態(tài)分布曲線下的面積相當于全部誤差出現(xiàn)的概率。即 而隨機誤差在至范圍內(nèi)的概率密度為 （2-33）引入新的變量t ，經(jīng)變換，上式成為 （2-34）式（2-34）為概率積分，不同t的值可由附錄表1查出。（二）算術(shù)平均值的極限誤差算術(shù)平均值誤差：當多個測量列的算術(shù)平均值誤差為正態(tài)分布，同樣可得算術(shù)平均值的

26、極限誤差的表達式： （2-37）式中，為置信系數(shù)；為算術(shù)平均值的標準差。 （2-38）當測量列的測量次數(shù)較少時，應按“學生氏”分布或稱t分布計算。即 （2-39）式中置信系數(shù)，由給定的置信概率和自由度來確定，具體數(shù)值將附表3（t分布表），為超出誤差的概率（稱顯著度或顯著水平）常取。n為測量次數(shù)。對同一測量列，按正態(tài)分布和t分布分別計算，即使置信概率的取值相同，但由于置信系數(shù)不同，求出的也不同。例2-9 對某量進行6次測量，測得數(shù)據(jù)如下： 802.40 802.50 802.38 802.48 802.42 802.46 求和解： 因測量次數(shù)較少，應按t分布求，已知，取=0.01，由附表3查出。

27、所以若按正態(tài)分布計算，相應，由附錄表1查得，則算術(shù)平均值的極限誤差為 由此可見，當測量次數(shù)較少時，兩種分布計算的結(jié)果顯然不同。第二節(jié)系統(tǒng)誤差教學重點和難點：v 系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因v 系統(tǒng)誤差的特征v 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)v 系統(tǒng)誤差的統(tǒng)計檢驗v 系統(tǒng)誤差減少和消除的方法一、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因 系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變換的因數(shù)所造成，這些誤差因數(shù)是可以掌握的。（1）測量裝置的因素：儀器設(shè)計原理的缺陷，如齒輪杠桿測微儀直線位移和轉(zhuǎn)角不成比例的誤差；儀器制造和安裝的不正確，如標尺的刻度誤差、刻度盤和指針的安裝偏心、儀器導軌的誤差；計量校準后發(fā)現(xiàn)的偏差，如標準環(huán)規(guī)的直徑偏差。 （2）測量環(huán)境的因

28、素：測量時的實際溫度對標準溫度的偏差，對測量結(jié)果可以按確定規(guī)律修正的誤差等等（3）測量方法的因素：采用近似的測量方法或近似的計算公式等所引起的誤差； （4）測量人員的因素：由于測量者固有的測量習性，如讀出刻度上讀數(shù)時，習慣于偏于某一個方向，記錄動態(tài)測量數(shù)據(jù)時總有一個滯后的傾向等。二、系統(tǒng)誤差的特征 系統(tǒng)誤差特征是在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或在條件改變時，誤差按一定的規(guī)律變化。 (a) 無補償性：影響算術(shù)平均值的估計 (b) 可變系統(tǒng)誤差影響測量結(jié)果分散性的估計（1）不變系統(tǒng)誤差：在整個測量過程中，誤差大小和符號均固定不變的。（2）線性變化的系統(tǒng)誤差：在整個測

29、量過程中，隨著測量位置或時間的變化，誤差值成比例地增大或減小。（3）周期性變化的系統(tǒng)誤差：在整個測量過程中，隨著測量位置或時間的變化，誤差按周期性規(guī)律變化的。（4）復雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差：在整個測量過程中，隨著測量位置或時間的變化，誤差按確定的更為復雜的規(guī)律變化。a：不變系統(tǒng)誤差 b：線性變化的系統(tǒng)誤差c：非線性變化的系統(tǒng)誤差d：周期性變化的系統(tǒng)誤差e：復雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)（一）實驗對比法（適用于不變的系統(tǒng)誤差）： 改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件進行不同條件的測量。（二）殘差觀察法（適用于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差）： 根據(jù)測量列的各個殘差大小和符號的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲

30、線圖形來判斷有無系統(tǒng)誤差。若有測量列，它們的系統(tǒng)誤差，它們不含系統(tǒng)誤差的值為。則有， ，。它們的算術(shù)平均值為。因為， 為系統(tǒng)誤差的算術(shù)平均值。故有： （2-82）若系統(tǒng)誤差隨機誤差，可忽略，則 （2-83） 結(jié)論；任一測量值的殘差為系統(tǒng)誤差與測量列系統(tǒng)系統(tǒng)誤差平均值之差圖（a）說明各殘差大體正負相間，無顯著變化規(guī)律，故無根據(jù)懷疑有可變系統(tǒng)誤差。圖（b）的殘差數(shù)值有規(guī)律地遞增，且在測量開始與結(jié)束時誤差符號相反，則說明存在線性遞增的系統(tǒng)誤差。圖（c）的殘差符號由正變負，再由負變正，循環(huán)交替地變化，則說明存在周期性系統(tǒng)誤差 圖（d）的殘差值變化既有線性遞增又有周期性變化，則說明存在復雜規(guī)律的系統(tǒng)誤差

31、（三）殘差校核法：1、用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差。（馬利科夫準則） 根據(jù)式（2-82），將測量列中前K個殘差相加，后n-K個殘差相加（當n為偶數(shù)，??；。n為奇數(shù)，）。然后兩者相減得差值。 當測量次數(shù)足夠多時： 得 （2-84）若顯著不為0，則認為測量列存在線性系統(tǒng)誤差。所以這種方法能有效地發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。=0時，仍有可能存在系統(tǒng)誤差，如含定值系統(tǒng)誤差，其均值為0，則=0。2、用于發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差。（阿卑赫梅特準則） 若有一等精度測量列，按測量先后順序?qū)⑴帕袨?。如存在周期性系統(tǒng)誤差，則相鄰兩殘差的差值，符號也將出現(xiàn)周期性的正負號變化。用統(tǒng)計準則。令 （2-85）若，則認為該測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差

32、。（四）不同公式計算標準差比較法：按Bessel公式 按Peters公式 令，若，則懷疑測量列中存在系統(tǒng)誤差。 （2-86）（五）計算數(shù)據(jù)比較法：對同一量進行多組測量，得到很多數(shù)據(jù)，通過多組計算數(shù)據(jù)比較，若不存在系統(tǒng)誤差，其比較結(jié)果應滿足隨機誤差條案件，否則可以認為存在系統(tǒng)誤差。若對同一量獨立測量m組結(jié)果，并知它們的和為。而任意兩組結(jié)果之差為，其標準差為。則任意兩組結(jié)果和間不存在系統(tǒng)誤差的標志是： （2-87） 例2-15略（六）秩和檢驗法 若獨立測得兩組數(shù)據(jù)為： 將它們混合后，按大小順序重新排列，取測量次數(shù)較少的那一組，數(shù)出它的測量值在混合后的次序9（秩）再將所有測得值的次序相加，即得秩和T

33、。 當兩組測量次數(shù)，可根據(jù)次數(shù)較少組的次數(shù)和較多的組的次序，由秩和檢驗表2-10（P14）查得和（顯著度為0.05），若 ，則無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。 （2-88）例2-16略（七）t檢驗法（利用t分布進行的檢驗）是一個判斷組間是否存在系統(tǒng)誤差的方法。若獨立測得兩組數(shù)據(jù)（服從正態(tài)分布）為 令變量 （2-89）式中： 取顯著度，由t分布表（附錄表3）查得中。若實測數(shù)列中算出之，則無根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。例2-17略上面介紹的七種方法分為兩類，第一類（前四種）用于發(fā)現(xiàn)測量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差；第二類（后3種）用于發(fā)現(xiàn)各組測量之間的系統(tǒng)誤差。四、系統(tǒng)誤差的減小和消除（一）從產(chǎn)生根源上消除系統(tǒng)誤

34、差 最理想的方法。它要求對產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素有全面而細致的了解，并在測試前就將它們消除或減弱到可忽略的程度。視具體條件不同，有： （1）所用基、標準件（如量塊、刻尺、光波波長等）是否準確可靠。 （2）所用儀器是否經(jīng)過檢定，并有有效周期的檢定證書。 （3）儀器調(diào)整、測件安裝定位和支承裝卡是否正確合理。 （4） 所用測量方法和計算方法是否正確，有無理論誤差。 （5） 測量場所的環(huán)境條件是否符合規(guī)定要求，如溫度變化等 （6） 測量人員主觀誤差，如視差習慣等。（二）用修正的方法消除系統(tǒng)誤差 預先將測量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計算出來，做出誤差表或誤差曲線，然后取與誤差數(shù)值大小相同而符號相反的值作為修正

35、值，將實際測得值加上相應的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測量結(jié)果。這種方法不可能將全部系統(tǒng)誤差修正掉，殘留的可按隨機誤差處理。（三）不變系統(tǒng)誤差消除法1、代替法： 其實質(zhì)是 在測量裝置上測量被測量后不改變測量條件，立即用相應的標準量代替被測量，放到測量裝置上再次進行測量，從而得到該標準量測量結(jié)果與已知標準量的差值，即系統(tǒng)誤差，取其負值即可作為被測量測量結(jié)果的修正量。即被測量=標準量+差值例 等臂天平稱重,先將被測量放于天平一側(cè)，標準砝碼放于另一 側(cè)，調(diào)至天平平衡，則有 由于 （存在恒定統(tǒng)誤差的緣故）移去被測量，用標準砝碼代替，若該砝碼不能使天平重新平衡，如能讀出使天平平衡的差值，則有。消除

36、了天平兩臂不等造成的系統(tǒng)誤差。2、抵消法： 該方法實質(zhì)是進行兩次測量，以使兩次讀數(shù)的系統(tǒng)誤差大小相等，符號相反，取兩次測值的平均值作為測量結(jié)果，從而消除系統(tǒng)誤差。3、交換法： 根據(jù)誤差產(chǎn)生的原因?qū)⒛承l件交換以消除誤差。例如：等臂天平稱重,先將被測量 放于天平一側(cè)，標準砝碼放于另一側(cè)，調(diào)至天平平衡，則有。 若將與交換位置，由于（在恒定統(tǒng)誤差的緣故），天平將失去平衡 。原砝碼P調(diào)整為砝碼，才使天平再次平衡。于是有。則有。即可消除了天平兩臂不等造成的系統(tǒng)誤差。 （四）線性系統(tǒng)誤差消除法對稱法隨著時間t的變化，被測量做線性增加，若選擇某時刻為中點，則對稱此點的系統(tǒng)誤差算術(shù)平均值皆相等。即 。利用這一

37、特點，將測量對稱安排，取各對稱點兩次讀數(shù)的算術(shù)平均值作為測量值，即可消除線性系統(tǒng)誤差。（五）周期性系統(tǒng)誤差消除法半周期法對周期性誤差，可以相隔半個周期進行兩次測量，取兩次讀數(shù)平均值，即可有效地消除周期性系統(tǒng)誤差。周期性系統(tǒng)誤差一般表示為：，第一次測量：第二次測量：取兩次讀數(shù)的平均值儀器度盤安裝偏心、測微表針回轉(zhuǎn)中心與刻度盤中心的偏心引起的刻度示值誤差呈周期性變化，即誤差。如采用在相距半周期的兩個對徑位置上讀數(shù)取平均，即可有效地消除此誤差 （六）復雜系統(tǒng)誤差的消除方法 構(gòu)造合適的數(shù)學模型，進行實驗回歸統(tǒng)計后，對該誤差進行補償和修正。顯然比較困難，故常采用隨機誤差處理辦法。第三節(jié)粗大誤差教學目標：

38、 本節(jié)介紹在測量前或測量后發(fā)現(xiàn)粗大誤差，如果無法發(fā)現(xiàn)并剔除粗大誤差，則又如何在測量數(shù)據(jù)處理中去減小他對測量結(jié)果的影響。通過本節(jié)的學習，可以在測量數(shù)據(jù)處理中知道如何發(fā)現(xiàn)并剔除粗大誤差。教學重點和難點：v 粗大誤差產(chǎn)生的原因v 3準則v 格拉布斯準則v 狄克遜準則v 測量數(shù)據(jù)的穩(wěn)健處理一、粗大誤差產(chǎn)生的原因（1）客觀外界條件的原因：機械沖擊、外界震動、電網(wǎng)供電電壓突變、電磁干擾等測量條件意外地改變 ，引起儀器示值或被測對象位置的改變而產(chǎn)生粗大誤差（2）測量人員的主觀原因：測量者工作責任性不強，工作過于疲勞，對儀器熟悉與掌握程度不夠等原因，引起操作不當，或在測量過程中不小心、不耐心、不仔細等，從而造

39、成錯誤的讀數(shù)或錯誤的記錄二、防止與消除粗大誤差的方法（1）加強測量人員培訓，增強責任心（2）保證測量條件穩(wěn)定（3）不同條件測量同一值（如兩組人員、兩臺儀器、兩種測量方法）相互比較三、判別粗大誤差的準則（1） 3準則 （萊以特準則）（測量次數(shù)應充分大）對某個可疑數(shù)據(jù)，若 （2-90）含有粗差，可剔除；否則予以保留。 在n10的情形，用3準則剔除粗差注定失效 ，取n10恒成立。因此本法測量次數(shù)應，且越大越好。例2-18略（2）羅曼諾夫斯基準則（t檢驗準則）（測量次數(shù)較少時） 方法：首先剔除一個可以的測量值，計算余下的、，根據(jù)原測量次數(shù)n和選取的顯著度，查表2-12（）得t校驗數(shù)。若， （2-91）

40、則認為含有粗大誤差，棄去，再繼續(xù)上述步驟判斷，否則不含粗大誤差，應保留。例2-19略（3）格羅布斯準則 對某個可疑數(shù)據(jù)，若 貝塞爾公式計算的標準差 （2-92）含有粗差，可剔除；否則予以保留。例2-20略（4）狄克松(Dixon)準則 正態(tài)測量總體的一個樣本，按從大到小順序排列為 。構(gòu)造統(tǒng)計量： 與 與 （2-93） 與 與 若 則判斷為異常值。，則判斷為異常值。否則，判斷沒有異常值。四、總結(jié) （1）大樣本情形（n50），用3準則最簡單方便；30n50情形，用Grubbs準則效果較好；情形，用Grubbs準則適用于剔除單個異常值，用Dixon準則適用于剔除多個異常值。（2）在實際應用中，較為精

41、密的場合可選用二三種準則同時判斷，若一致認為應當剔除時，則可以比較放心地剔除；當幾種方法的判定結(jié)果有矛盾時，則應當慎重考慮，通常選擇，且在可剔與不可剔時，一般以不剔除為妥。第四節(jié) 測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實例一、等精度直接測量列測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理實例 例2-22（）修定該測量列不存在固定系統(tǒng)誤差1、求 2、求殘差 根據(jù)（2-9）求各測得值的殘余誤差，并列入表中。3、校核算術(shù)平均值及其殘余誤差 根據(jù)殘余誤差代數(shù)和校核規(guī)則，現(xiàn)用規(guī)則2進行校核，因 A=0.001mm n=9由上表知 故以上計算正確。若發(fā)現(xiàn)計算有誤，應重新進行上述計算和校核。4、判斷系統(tǒng)誤差 根據(jù)殘余誤差觀察法，又上表可以看出誤差符號大體上正負相同，且無顯著變化規(guī)律，因此可判斷該測量列無變化的系統(tǒng)誤差存在。 若按殘余誤差校核法，因n=9，則 因為差值較少，故也可判斷該測量列無系統(tǒng)誤差存在。5、求測量列單次測量的標準差 Bessel： Peters： 再用不同標準差公式計算法判斷有無系統(tǒng)誤差 u=0.069因為 所以同樣可判斷列中無系統(tǒng)誤差。6、判別粗大誤差 因為 所以不宜用準則，其他三種準則均可。現(xiàn)用格羅布斯法：排序有： 。 的殘差最大，故判是否有粗大誤差。查表2-13：。，且。故可判別測量列不存在粗大誤差。7、求算術(shù)平均值的標準差 根據(jù)式（2-21）計算得：8、求算術(shù)平均值的極限誤差 因為次數(shù)n=9， 次數(shù)少，