07第7章方差分析與試驗(yàn)設(shè)計(jì)賈俊平

1、第 7 章 方差分析與試驗(yàn)設(shè)計(jì) 7.1 方差分析引論方差分析引論 7.2 單因素方差分析單因素方差分析 7.3 方差分析中的多重比較方差分析中的多重比較 7.4 雙因素方差分析雙因素方差分析 7.5 試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 解釋方差分析的概念解釋方差分析的概念2. 解釋方差分析的基本思想和原理解釋方差分析的基本思想和原理3. 掌握單因素方差分析的方法及應(yīng)用掌握單因素方差分析的方法及應(yīng)用4. 理解多重比較的意義理解多重比較的意義5. 掌握雙因素方差分析的方法及應(yīng)用掌握雙因素方差分析的方法及應(yīng)用6. 掌握試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本原理和方法掌握試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本原理和方法7.1 方差分析引論一、方差

2、分析及其有關(guān)術(shù)語一、方差分析及其有關(guān)術(shù)語二、方差分析的基本思想和原理二、方差分析的基本思想和原理三、方差分析的基本假定三、方差分析的基本假定四、問題的一般提法四、問題的一般提法方差分析及其有關(guān)術(shù)語什么是方差分析(anova)?(analysis of variance) 1. 檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否相等通過分析數(shù)據(jù)的誤差判斷各總體均值是否相等2. 研究分類型自變量對(duì)數(shù)值型因變量的影響 一個(gè)或多個(gè)分類尺度的自變量?jī)蓚€(gè)或多個(gè) (k 個(gè)) 處理水平或分類一個(gè)間隔或比率尺度的因變量3. 有單因素方差分析和雙因素方差分析單因素方差分析：涉及一個(gè)分類的自變量雙因素方差分析：涉及兩個(gè)分類的自變量什么是方差分析

3、? (例題分析)消費(fèi)者對(duì)四個(gè)行業(yè)的投訴次數(shù)消費(fèi)者對(duì)四個(gè)行業(yè)的投訴次數(shù) 行業(yè)行業(yè)觀測(cè)值觀測(cè)值零售業(yè)零售業(yè)旅游業(yè)旅游業(yè)航空公司航空公司家電制造業(yè)家電制造業(yè)12345675766494034534468392945565131492134404451657758什么是方差分析? (例題分析)1. 分析四個(gè)行業(yè)之間的服務(wù)質(zhì)量是否有顯著差異，也就是要判斷“行業(yè)”對(duì)“投訴次數(shù)”是否有顯著影響2. 作出這種判斷最終被歸結(jié)為檢驗(yàn)這四個(gè)行業(yè)被投訴次數(shù)的均值是否相等3. 若它們的均值相等，則意味著“行業(yè)”對(duì)投訴次數(shù)是沒有影響的，即它們之間的服務(wù)質(zhì)量沒有顯著差異；若均值不全相等，則意味著“行業(yè)”對(duì)投訴次數(shù)是有影響的

4、，它們之間的服務(wù)質(zhì)量有顯著差異方差分析中的有關(guān)術(shù)語1. 因素或因子(factor)所要檢驗(yàn)的對(duì)象要分析行業(yè)對(duì)投訴次數(shù)是否有影響，行業(yè)行業(yè)是要檢驗(yàn)的因素或因子2. 水平或處理(treatment)因子的不同表現(xiàn)零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)就是因子的水平3. 觀察值在每個(gè)因素水平下得到的樣本數(shù)據(jù)每個(gè)行業(yè)被投訴的次數(shù)就是觀察值方差分析中的有關(guān)術(shù)語1. 試驗(yàn)這里只涉及一個(gè)因素，因此稱為單因素四水平的試驗(yàn)2. 總體因素的每一個(gè)水平可以看作是一個(gè)總體比如零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)可以看作是四個(gè)總體3. 樣本數(shù)據(jù)被投訴次數(shù)可以看作是從這四個(gè)總體中抽取的樣本數(shù)據(jù)方差分析的基本思想和原理方差分

5、析的基本思想和原理(圖形分析)不同行業(yè)被投訴次數(shù)的散點(diǎn)圖不同行業(yè)被投訴次數(shù)的散點(diǎn)圖020406080012345行業(yè)被投訴次數(shù) 零售業(yè) 旅游業(yè) 航空公司 家電制造1. 從散點(diǎn)圖上可以看出不同行業(yè)被投訴的次數(shù)是有明顯差異的同一個(gè)行業(yè)，不同企業(yè)被投訴的次數(shù)也明顯不同家電制造被投訴的次數(shù)較高，航空公司被投訴的次數(shù)較低2. 行業(yè)與被投訴次數(shù)之間有一定的關(guān)系如果行業(yè)與被投訴次數(shù)之間沒有關(guān)系，那么它們被投訴的次數(shù)應(yīng)該差不多相同，在散點(diǎn)圖上所呈現(xiàn)的模式也就應(yīng)該很接近方差分析的基本思想和原理(圖形分析)1. 僅從散點(diǎn)圖上觀察還不能提供充分的證據(jù)證明不同行業(yè)被投訴的次數(shù)之間有顯著差異這種差異也可能是由于抽樣的隨

6、機(jī)性所造成的2. 需要有更準(zhǔn)確的方法來檢驗(yàn)這種差異是否顯著，也就是進(jìn)行方差分析所以叫方差分析，因?yàn)殡m然我們感興趣的是均值，但在判斷均值之間是否有差異時(shí)則需要借助于方差這個(gè)名字也表示：它是通過對(duì)數(shù)據(jù)誤差來源的分析判斷不同總體的均值是否相等。因此，進(jìn)行方差分析時(shí)，需要考察數(shù)據(jù)誤差的來源方差分析的基本思想和原理1. 比較兩類誤差，以檢驗(yàn)均值是否相等2. 比較的基礎(chǔ)是方差比3. 如果系統(tǒng)(處理)誤差明顯地不同于隨機(jī)誤差，則均值就是不相等的；反之，均值就是相等的4. 誤差是由各部分的誤差占總誤差的比例來測(cè)度的方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理(兩類誤差)1.隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差因素的同一水平(

7、總體)下，樣本各觀察值之間的差異比如，同一行業(yè)下不同企業(yè)被投訴次數(shù)是不同的這種差異可以看成是隨機(jī)因素的影響，稱為隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 2.系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差因素的不同水平(不同總體)下，各觀察值之間的差異比如，不同行業(yè)之間的被投訴次數(shù)之間的差異這種差異可能是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的，也可能是由于行業(yè)本身所造成的，后者所形成的誤差是由系統(tǒng)性因素造成的，稱為系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差方差分析的基本思想和原理(兩類方差)1. 數(shù)據(jù)的誤差用平方和(sum of squares)表示，稱為方差2. 組內(nèi)方差(within groups)因素的同一水平(同一個(gè)總體)下樣本數(shù)據(jù)的方差比如，零售業(yè)被投訴次數(shù)的方差組內(nèi)方差只包

8、含隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差3. 組間方差(between groups)因素的不同水平(不同總體)下各樣本之間的方差比如，四個(gè)行業(yè)被投訴次數(shù)之間的方差組間方差既包括隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差方差分析的基本思想和原理(方差的比較)1.若不同行業(yè)對(duì)投訴次數(shù)沒有影響，則組間誤差中只包含隨機(jī)誤差，沒有系統(tǒng)誤差。這時(shí)，組間誤差與組內(nèi)誤差經(jīng)過平均后的數(shù)值就應(yīng)該很接近，它們的比值就會(huì)接近12.若不同行業(yè)對(duì)投訴次數(shù)有影響，在組間誤差中除了包含隨機(jī)誤差外，還會(huì)包含有系統(tǒng)誤差，這時(shí)組間誤差平均后的數(shù)值就會(huì)大于組內(nèi)誤差平均后的數(shù)值，它們之間的比值就會(huì)大于13.當(dāng)這個(gè)比值大到某種程度時(shí)，就可以說不同水平之間存在

9、著顯著差異，也就是自變量對(duì)因變量有影響判斷行業(yè)對(duì)投訴次數(shù)是否有顯著影響，實(shí)際上也就是檢驗(yàn)被投訴次數(shù)的差異主要是由于什么原因所引起的。如果這種差異主要是系統(tǒng)誤差，說明不同行業(yè)對(duì)投訴次數(shù)有顯著影響方差分析的基本假定方差分析的基本假定1. 每個(gè)總體都應(yīng)服從正態(tài)分布對(duì)于因素的每一個(gè)水平，其觀察值是來自服從正態(tài)分布總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本比如，每個(gè)行業(yè)被投訴的次數(shù)必需服從正態(tài)分布2. 各個(gè)總體的方差必須相同各組觀察數(shù)據(jù)是從具有相同方差的總體中抽取的比如，四個(gè)行業(yè)被投訴次數(shù)的方差都相等3. 觀察值是獨(dú)立的比如，每個(gè)行業(yè)被投訴的次數(shù)與其他行業(yè)被投訴的次數(shù)獨(dú)立方差分析中的基本假定1. 在上述假定條件下，判斷行業(yè)對(duì)投

10、訴次數(shù)是否有顯著影響，實(shí)際上也就是檢驗(yàn)具有同方差的四個(gè)正態(tài)總體的均值是否相等2. 如果四個(gè)總體的均值相等，可以期望四個(gè)樣本的均值也會(huì)很接近四個(gè)樣本的均值越接近，推斷四個(gè)總體均值相等的證據(jù)也就越充分樣本均值越不同，推斷總體均值不同的證據(jù)就越充分 方差分析中基本假定 如果原假設(shè)成立，即h0 ： m1 = m2 = m3 = m4 四個(gè)行業(yè)被投訴次數(shù)的均值都相等 意味著每個(gè)樣本都來自均值為m、方差為 2的同一正態(tài)總體 方差分析中基本假定若備擇假設(shè)成立，即h1 ： mi (i=1,2,3,4)不全相等 至少有一個(gè)總體的均值是不同的 四個(gè)樣本分別來自均值不同的四個(gè)正態(tài)總體 問題的一般提法問題的一般提法1

11、. 設(shè)因素有k個(gè)水平，每個(gè)水平的均值分別用m m1 , m m2, , m mk 表示2. 要檢驗(yàn)k個(gè)水平(總體)的均值是否相等，需要提出如下假設(shè)： h0 ： m m1 m m2 m mk h1 ： m m1 , m m2 , ，m mk 不全相等不全相等3. 設(shè)m m1為零售業(yè)被投訴次數(shù)的均值，m m2為旅游業(yè)被投訴次數(shù)的均值，m m3為航空公司被投訴次數(shù)的均值，m m4為家電制造業(yè)被投訴次數(shù)的均值，提出的假設(shè)為h0 ： m m1 m m2 m m3 m m4 h1 ： m m1 , m m2 , m m3 , m m4 不全相等不全相等7.2 單因素方差分析一、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)一、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)二、分析

12、步驟二、分析步驟三、關(guān)系強(qiáng)度的測(cè)量三、關(guān)系強(qiáng)度的測(cè)量四、用四、用excel進(jìn)行方差分析進(jìn)行方差分析單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(one-way analysis of variance) 觀察值觀察值 ( j )因素因素(a) i 水平水平a1 水平水平a2 水平水平ak12:n x11 x21 xk1 x12 x22 xk2 : : : : : : : : x1nx2n xkn分析步驟提出假設(shè)1. 一般提法h0 ： m1 = m2 = mk 自變量對(duì)因變量沒有顯著影響 h1 ： m1 ，m2 ， ，mk不全相等自變量對(duì)因變量有顯著影響 2. 注意：拒絕原假設(shè)，只表明至少有兩個(gè)總體的均值不相等，并

13、不意味著所有的均值都不相等 構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量(計(jì)算水平的均值)1. 假定從第i個(gè)總體中抽取一個(gè)容量為ni的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，第i個(gè)總體的樣本均值為該樣本的全部觀察值總和除以觀察值的個(gè)數(shù)2. 計(jì)算公式為 構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量(計(jì)算全部觀察值的總均值)1. 全部觀察值的總和除以觀察值的總個(gè)數(shù)2. 計(jì)算公式為 構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量(例題分析)構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量(計(jì)算總誤差平方和 sst)1. 全部觀察值 與總平均值 的離差平方和2. 反映全部觀察值的離散狀況3. 其計(jì)算公式為構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量(計(jì)算水平項(xiàng)平方和 ssa)1. 各組平均值 與總平均值 的離差平方和2. 反映各總體的樣本均值之間的差異程度，又稱組間平方

14、和3. 該平方和既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差4. 計(jì)算公式為 構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量(計(jì)算誤差項(xiàng)平方和 sse)1. 每個(gè)水平或組的各樣本數(shù)據(jù)與其組平均值的離差平方和2. 反映每個(gè)樣本各觀察值的離散狀況，又稱組內(nèi)平方和3. 該平方和反映的是隨機(jī)誤差的大小4. 計(jì)算公式為 構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量(三個(gè)平方和的關(guān)系)總離差平方和(sst)、誤差項(xiàng)離差平方和(sse)、水平項(xiàng)離差平方和 (ssa) 之間的關(guān)系構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量(三個(gè)平方和的作用)1. sst反映全部數(shù)據(jù)總的誤差程度；sse反映隨機(jī)誤差的大小；ssa反映隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的大小2. 如果原假設(shè)成立，則表明沒有系統(tǒng)誤差，組間平方和ssa除以自由度后

15、的均方與組內(nèi)平方和sse和除以自由度后的均方差異就不會(huì)太大；如果組間均方顯著地大于組內(nèi)均方，說明各水平(總體)之間的差異不僅有隨機(jī)誤差，還有系統(tǒng)誤差3. 判斷因素的水平是否對(duì)其觀察值有影響，實(shí)際上就是比較組間方差與組內(nèi)方差之間差異的大小構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量(計(jì)算均方ms)1. 各誤差平方和的大小與觀察值的多少有關(guān)，為消除觀察值多少對(duì)誤差平方和大小的影響，需要將其平均，這就是均方均方，也稱為方差2. 計(jì)算方法是用誤差平方和除以相應(yīng)的自由度3. 三個(gè)平方和對(duì)應(yīng)的自由度分別是sst 的自由度為n-1，其中n為全部觀察值的個(gè)數(shù)ssa的自由度為k-1，其中k為因素水平(總體)的個(gè)數(shù)sse 的自由度為n-k構(gòu)

16、造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量(計(jì)算均方 ms)1. 組間方差組間方差：ssa的均方，記為msa，計(jì)算公式為構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量(計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 f )1. 將msa和mse進(jìn)行對(duì)比，即得到所需要的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量f2. 當(dāng)h0為真時(shí)，二者的比值服從分子自由度為k-1、分母自由度為 n-k 的 f 分布，即 構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量(f分布與拒絕域)統(tǒng)計(jì)決策 將統(tǒng)計(jì)量的值f與給定的顯著性水平的臨界值f進(jìn)行比較，作出對(duì)原假設(shè)h0的決策根據(jù)給定的顯著性水平，在f分布表中查找與第一自由度df1k-1、第二自由度df2=n-k 相應(yīng)的臨界值 f 若ff ，則拒絕原假設(shè)h0 ，表明均值之間的差異是顯著的，所檢驗(yàn)的因素對(duì)觀察值有顯著影響若

17、ff ，則拒絕拒絕原假設(shè)h0 ，表明均值之間的差異是顯著的，即所檢驗(yàn)的行因素對(duì)觀察值有顯著影響若fc f ，則拒絕拒絕原假設(shè)h0 ，表明均值之間有顯著差異，即所檢驗(yàn)的列因素對(duì)觀察值有顯著影響 雙因素方差分析表(基本結(jié)構(gòu))雙因素方差分析(例題分析)提出假設(shè)對(duì)品牌因素提出的假設(shè)為h0： m1=m2=m3=m4 (品牌對(duì)銷售量沒有影響)h1： mi (i =1,2, , 4) 不全相等 (品牌對(duì)銷售量有影響)對(duì)地區(qū)因素提出的假設(shè)為h0： m1=m2=m3=m4=m5 (地區(qū)對(duì)銷售量沒有影響)h1： mj (j =1,2,5) 不全相等 (地區(qū)對(duì)銷售量有影響) 用用excel進(jìn)行無重復(fù)雙因素分析進(jìn)行無

18、重復(fù)雙因素分析雙因素方差分析(例題分析)差異源差異源ssdfmsfp-valuef crit 行行(品牌品牌)13004.634334.8518.10789.46e-053.4903 列列(地區(qū)地區(qū))2011.74502.9252.100850.143673.2592 誤差誤差2872.712239.392 總和總和1788919雙因素方差分析(關(guān)系強(qiáng)度的測(cè)量)1.行平方和(行ss)度量了品牌這個(gè)自變量對(duì)因變量(銷售量)的影響效應(yīng)2.列平方和(列ss)度量了地區(qū)這個(gè)自變量對(duì)因變量(銷售量)的影響效應(yīng)3.這兩個(gè)平方和加在一起則度量了兩個(gè)自變量對(duì)因變量的聯(lián)合效應(yīng)4.聯(lián)合效應(yīng)與總平方和的比值定義為r

19、25.其平方根r反映了這兩個(gè)自變量合起來與因變量之間的關(guān)系強(qiáng)度 雙因素方差分析(關(guān)系強(qiáng)度的測(cè)量)例題分析 品牌因素和地區(qū)因素合起來總共解釋了銷售量差異的83.94% 其他因素(殘差變量)只解釋了銷售量差異的16.06% r=0.9162，表明品牌和地區(qū)兩個(gè)因素合起來與銷售量之間有較強(qiáng)的關(guān)系 有交互作用的雙因素方差分析可重復(fù)雙因素分析(例題)【例】【例】城市道路交通管理部門為研究不同的路段和不同的時(shí)間段對(duì)行車時(shí)間的影響，讓一名交通警察分別在兩個(gè)路段和高峰期與非高峰期親自駕車進(jìn)行試驗(yàn)，通過試驗(yàn)取得共獲得20個(gè)行車時(shí)間(分鐘)的數(shù)據(jù)，如下表。試分析路段、時(shí)段以及路段和時(shí)段的交互作用對(duì)行車時(shí)間的影響

20、交互作用的圖示可重復(fù)雙因素分析(方差分析表的結(jié)構(gòu))m為樣本的行數(shù)為樣本的行數(shù)可重復(fù)雙因素分析(平方和的計(jì)算)設(shè)： 為對(duì)應(yīng)于行因素的第i個(gè)水平和列因素的第j個(gè) 水平的第l行的觀察值 為行因素的第i個(gè)水平的樣本均值 為列因素的第j個(gè)水平的樣本均值 對(duì)應(yīng)于行因素的第i個(gè)水平和列因素的第j個(gè)水 平組合的樣本均值 為全部n個(gè)觀察值的總均值 可重復(fù)雙因素分析(平方和的計(jì)算)1.總平方和：2.行變量平方和：3.列變量平方和：4.交互作用平方和：5.誤差項(xiàng)平方和：可重復(fù)雙因素分析(excel檢驗(yàn)步驟)第第1步：步：選擇“工具”下拉菜單，并選擇“數(shù)據(jù)分析”選項(xiàng)第第2步：步：在分析工具中選擇“素方差分析：可重復(fù)雙

21、因素分 析”，然后選擇“確定”第第3步：步：當(dāng)對(duì)話框出現(xiàn)時(shí) 在“輸入?yún)^(qū)域”方框內(nèi)鍵入a1：c11 在方框內(nèi)鍵入0.05(可根據(jù)需要確定) 在“每一樣本的行數(shù)”方框內(nèi)鍵入5 在“輸出選項(xiàng)”中選擇輸出區(qū)域用用excel進(jìn)行可重復(fù)雙因素分析進(jìn)行可重復(fù)雙因素分析7.5 試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步一、完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)一、完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)二、隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)二、隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)三、因子設(shè)計(jì)三、因子設(shè)計(jì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)與方差分析完全隨機(jī)化完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)因子因子設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)隨機(jī)化隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)區(qū)組設(shè)計(jì)可重復(fù)雙因素可重復(fù)雙因素方差分析方差分析單因素單因素方差分析方差分析無重復(fù)雙因素?zé)o重復(fù)雙因素方差分析方差分析完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)完

22、全隨機(jī)化設(shè)計(jì)(completely randomized design)1. “處理”被隨機(jī)地指派給試驗(yàn)單元的一種設(shè)計(jì)“處理”是指可控制的因素的各個(gè)水平“試驗(yàn)單元(experiment unit)”是接受“處理”的對(duì)象或?qū)嶓w2. 在試驗(yàn)性研究中，感興趣的變量是明確規(guī)定的，因此，研究中的一個(gè)或多個(gè)因素可以被控制，使得數(shù)據(jù)可以按照因素如何影響變量來獲取3. 對(duì)完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)采用單因素方差分析單因素方差分析完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)(例題分析)【例】例】一家種業(yè)開發(fā)股份公司研究出3個(gè)新的小麥品種：品種1、品種2、品種3。為研究不同品種對(duì)產(chǎn)量的影響，需要選擇一些地塊，在每個(gè)地塊種上不同品種的小麥，然后獲得產(chǎn)量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。這一過程就是試驗(yàn)設(shè)計(jì)的過程 這里的“小麥品種”就是試驗(yàn)因子或因素，品種1、品種2、品種3就是因子的3個(gè)不同水平，稱為處理處理假定選取3個(gè)面積相同的地塊，這里的“地塊”就是接受處理的對(duì)象或?qū)嶓w，稱為試驗(yàn)單元試驗(yàn)單元將每個(gè)品種隨機(jī)地指派給其中的一個(gè)地塊，這一過程就是隨機(jī)化設(shè)計(jì)過程完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)(例題分析)試驗(yàn)數(shù)據(jù)：試驗(yàn)數(shù)據(jù)： 單因素方差分析單因素方差分析完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)(例題分析)方