專題05+反比例函數(shù)

1、專題47 反比例函數(shù)聚焦考點(diǎn)溫習(xí)理解1、反比例函數(shù)的概念一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k0）叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式。自變量x的取值范圍是x0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù)。2、反比例函數(shù)的圖像反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關(guān)于原點(diǎn)對稱。由于反比例函數(shù)中自變量x0，函數(shù)y0，所以，它的圖像與x軸、y軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。3、反比例函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)k>0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第一、三象限。在每個象限內(nèi)，y隨x 的增大而減小。當(dāng)k<0時，函數(shù)圖像

2、的兩個分支分別在第二、四象限。在每個象限內(nèi)，隨x 的增大而增大。4、反比例函數(shù)解析式的確定確定及誒是的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖像上的一個點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義如下圖，過反比例函數(shù)圖像上任一點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM，PN，則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=。名師點(diǎn)睛典例分類考點(diǎn)典例一、反比例函數(shù)的性質(zhì)【例1】已知反比例函數(shù)，當(dāng)1<x<2時，y的取值范圍是 （ ）（A）0<y<5 （B）1<y<2 （C）5<y<10 （D）y&

3、gt;10【答案】C考點(diǎn)：反比例函數(shù)的性質(zhì)【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、反比例函數(shù)的性質(zhì)，要知道，當(dāng)k0時，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小【舉一反三】（2015·湖南益陽）已知y是x的反比例函數(shù)，當(dāng)x0時，y隨x的增大而減小請寫出一個滿足以上條件的函數(shù)表達(dá)式【答案】y=（x0）【解析】試題分析：反比例函數(shù)的圖象在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，則反比例函數(shù)的反比例系數(shù)k0；反之，只要k0，則反比例函數(shù)在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大只要使反比例系數(shù)大于0即可如y=（x0），答案不唯一.考點(diǎn)：反比例函數(shù)的性質(zhì)考點(diǎn)典例二、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐

4、標(biāo)特征【例2】（2015自貢）若點(diǎn)（，），（，），（，），都是反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，并且，則下列各式中正確的是（ ）A B C D【答案】D【解析】試題分析：由題意得，點(diǎn)（，），（，），（，）都是反比例函數(shù)上的點(diǎn)，且，則（，），（，）位于第三象限，y隨x的增大而增大，（，）位于第一象限，最大，故、的大小關(guān)系是故選D考點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k【舉一反三】若點(diǎn)A（1，y1）和點(diǎn)B（2，y2）在反比例函數(shù)圖象上，則y1與y2的大小關(guān)系是：y1

5、y2（填“”、“”或“=”）【答案】.【解析】試題分析：點(diǎn)A（1，y1）和點(diǎn)B（2，y2）在反比例函數(shù)的圖象上，1，y1y2考點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征考點(diǎn)典例三、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系【例3】已知函數(shù)的圖象在第一象限的一支曲線上有一點(diǎn)A（a，c），點(diǎn)B（b，c1）在該函數(shù)圖象的另外一支上，則關(guān)于一元二次方程ax2bxc = 0的兩根x1，x2判斷正確的是【 】Ax1 x2 >1，x1·x2 > 0Bx1 x2 < 0，x1·x2 > 0C0 < x1 x2 < 1，x1·x2 > 0Dx1 x2與x1

6、·x2 的符號都不確定【答案】C考點(diǎn)：1.反比例函數(shù)的性質(zhì)；2.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；3. 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；4.分類思想的應(yīng)用.【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，掌握根與系數(shù)的關(guān)系和各個象限點(diǎn)的特點(diǎn)是本題的關(guān)鍵；若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c為常數(shù)）的兩個實(shí)數(shù)根，則x1+x2=-，x1x2=【舉一反三】（2015·湖南常德）已知A（1，）是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，直線AC經(jīng)過點(diǎn)A及坐標(biāo)原點(diǎn)且與反比例函數(shù)圖象的另一支交于點(diǎn)C，求C的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式?！敬鸢浮浚?，）【解析】試題分析：根據(jù)反比例函數(shù)和正比例函數(shù)

7、的均過A點(diǎn)，求出解析式，聯(lián)立方程組可求交點(diǎn)的坐標(biāo).考點(diǎn)：正比例函數(shù)與反比例函數(shù)考點(diǎn)典例四、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題【例4】如圖，一次函數(shù)y1=k1x+b的圖象和反比例函數(shù)y2=的圖象交于A（1，2），B（2，1）兩點(diǎn)，若y1y2，則x的取值范圍是（）Ax1 Bx2 C2x0或x1 Dx2或0x1【答案】D【解析】試題分析：一次函數(shù)圖象位于反比例函數(shù)圖象的下方，x2，或0x1，故選D考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，一次函數(shù)圖象位于反比例函數(shù)圖象的下方是解題關(guān)鍵【舉一反三】（2015·遼寧營口）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(3，

8、1)，以點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形AOB，雙曲線在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，設(shè)直線AB的解析式為，當(dāng)時，的取值范圍是( ). A B或 C D或【答案】D.考點(diǎn)：1.三角形相似；2.求反比例函數(shù)與一次函數(shù)解析式及交點(diǎn)坐標(biāo)；3.由圖像比較函數(shù)值的大小.考點(diǎn)典例五、反比例函數(shù)的圖象和k的幾何意義【例5】（2015涼山州）以正方形ABCD兩條對角線的交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)D，則正方形ABCD的面積是（）A10 B11 C12 D13【答案】C【解析】試題分析：雙曲線經(jīng)過點(diǎn)D，第一象限的小正方形的面積是3，正方形ABCD的面積是3×4=12故選C考點(diǎn)

9、：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義【舉一反三】（2015眉山）如圖，AB是雙曲線上的兩點(diǎn)，過A點(diǎn)作ACx軸，交OB于D點(diǎn)，垂足為C若ADO的面積為1，D為OB的中點(diǎn)，則k的值為（ ）A B C3 D4【答案】B【解析】試題分析：過點(diǎn)B作BEx軸于點(diǎn)E，D為OB的中點(diǎn)，CD是OBE的中位線，即CD=BE，設(shè)A（x，），則B（2x，），故CD=，AD=，ADO的面積為1，ADOC=1，解得，故選B考點(diǎn)：1反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；2相似三角形的判定與性質(zhì)課時作業(yè)能力提升一、選擇題1. 已知反比例函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），若y1y2，則x1x2的值是（）A正數(shù) B負(fù)數(shù) C非正

10、數(shù) D不能確定【答案】A考點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征2. (2015.河北省，第10題，3分)一臺印刷機(jī)每年可印刷的書本數(shù)量y(萬冊)與它的使用時間x(年)成反比例關(guān)系，當(dāng)x2時，y20.則y與x的函數(shù)圖象大致是（ ）A.B.C.D.【答案】C考點(diǎn):反比例函數(shù)的定義與圖象 3.(2015·湖北武漢，9題，3分）在反比例函數(shù)圖象上有兩點(diǎn)A(，)、B(，)，0，則m的取值范圍是（ ）Am Bm Cm Dm【答案】B【解析】試題分析：對于反比例函數(shù)y=，當(dāng)k0，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。划?dāng)k0時，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.本題根據(jù)題意可得：k0，即13m0，解得：m.

11、考點(diǎn)：反比例函數(shù)的性質(zhì).4.（2015·黑龍江綏化）如圖，反比例函數(shù)y=(x0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P ，則k的值為（ ） A. 6 B. 5 C. 6 D. 5【答案】A【解析】試題分析：因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)是（-3,2），所有圖中矩形的面積=6=，所有k=，因?yàn)楹瘮?shù)圖像在第二象限，所有k0，所有k=-6,故選：A. 考點(diǎn)：反比例函數(shù)的性質(zhì).5(2015.寧夏，第8題，3分)函數(shù)與（）在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（ ）【答案】B.考點(diǎn)：反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象.6.(2015·遼寧葫蘆島）（3分）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)（）的圖象交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)N，且A

12、M：MN=1：2，則k= 【答案】【解析】試題分析：過點(diǎn)A作ADx軸，由題意可得：MOAO，則NOMNDA，AM：MN=1：2，一次函數(shù)，與y軸交點(diǎn)為；（0，2），MO=2，AD=3，y=3時，解得：，A（，3），將A點(diǎn)代入得：，解得：故答案為：考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題7.（2015·黑龍江省黑河市、齊齊哈爾市、大興安嶺）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作ABy軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C、D在x軸上，且BCAD，四邊形ABCD的面積為3，則這個反比例函數(shù)的解析式為 【答案】【解析】試題分析：過A點(diǎn)向x軸作垂線，如圖，根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義可得：四邊形ABCD的面積為3，即，

13、又函數(shù)圖象在二、四象限，即函數(shù)解析式為：故答案為：考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義8.（2015.山東臨沂第14題，3分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y =x2與反比例函數(shù)的圖象有唯一公共點(diǎn). 若直線與反比例函數(shù)的圖象有2個公共點(diǎn)，則b的取值范圍是（ ）(A) b2. (B) 2b2. (C) b2或b2.(D) b2.【答案】C考點(diǎn)：一次函數(shù)的平移，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)二、填空題9.已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（2，1），則k的值等于 【答案】.【解析】試題分析：根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，將（2，1）代入求解即可：雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（2，1），.考點(diǎn)：曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系10.（2015

14、.河南省，第11題，3分）如圖，直線y=kx與雙曲線交于點(diǎn)A（1，a）,則k= .【答案】2 .【解析】試題分析：把A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，求出a值：a=2，再把A（1,2）代入y=kx，求出k=2.考點(diǎn)：正比例函數(shù)與反比例函數(shù)解析式的確定.11 (2015.陜西省，第13題，3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)M(-3，2)分別作軸、軸的垂線與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，則四邊形MAOB的面積為_?！敬鸢浮?0.【解析】試題分析：根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義可得所以四邊形MAOB的面積為=10.考點(diǎn)：反比例函數(shù)的性質(zhì)、點(diǎn)與坐標(biāo).12.（2015.山東濟(jì)南，第20題,3分）如圖，等邊三角

15、形AOB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)（x0）的圖象上，則k= 【答案】-4考點(diǎn)：1.反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；2.等邊三角形的性質(zhì)13.(2015.山東日照，第16題，4分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ODEF和四邊形ABCD都是正方形，點(diǎn)F在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在邊DE上，反比例函數(shù)y=（k0，x0）的圖象過點(diǎn)B，E若AB=2，則k的值為【答案】6+2【解析】試題分析：解：設(shè)E（x，x），B（2，x+2），反比例函數(shù)y=（k0，x0）的圖象過點(diǎn)B、Ex2=x（x+2），解得x1=1+，x2=1（舍去），k=x2=6+2，故答案為6+2考點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的

16、坐標(biāo)特征三、解答題14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（2，0），與y軸交于點(diǎn)C，與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)B（m，n），連結(jié)OB若SAOB=6，SBOC=2（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求反比例函數(shù)的表達(dá)式【答案】（1）y=2x+4；（2）【解析】試題分析：（1）由SAOB=6，SBOC=2得SAOC=4，根據(jù)三角形面積公式得2OC=4，解得OC=4，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；（2）由SBOC=2，根據(jù)三角形面積公式得到×4×m=2，解得m=1，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，6），然后利用待定系

17、數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式試題解析：（1）SAOB=6，SBOC=2，SAOC=4，2OC=4，解得OC=4，C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），設(shè)一次函數(shù)解析式為y=mx+n，把A（2，0），C（0，4）代入得，解得，一次函數(shù)解析式為y=2x+4；（2）SBOC=2，×4×m=2，解得m=1，B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，6），把B（1，6）代入得k=1×6=6，反比例函數(shù)解析式為考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題15.（2015·遼寧大連）如圖，在平面坐標(biāo)系中，AOB=90°，ABx軸，OB=2，雙曲線y=經(jīng)過點(diǎn)B.將AOB繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)D落在X軸的

18、正半軸上.若AB的對應(yīng)線段CB恰好經(jīng)過點(diǎn)O.（1） 點(diǎn)B的坐標(biāo)和雙曲線的解析式.（2） 判斷點(diǎn)C是否在雙曲線上，并說明理由.【答案】（1）B(1，)，雙曲線解析式為y= ；（2）點(diǎn)C在雙曲線上；【解析】（2）由（1）知ABO=60°，又AO垂直于BC，A=30度，AB=2OB，由旋轉(zhuǎn)可知，AB=BC，BC=2OB，OC=OB，點(diǎn)C和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)C在雙曲線上.考點(diǎn)：1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2.等邊三角形的判定；3.反比例函數(shù).16.（2015·遼寧沈陽）如圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A（4，n），與x軸相交于點(diǎn)B（1）填空：n的值為 ，k的值為 ；（2）以AB為

19、邊作菱形ABCD，使點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D在第一象限，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）考察反比函數(shù)的圖象，當(dāng)時，請直接寫出自變量x的取值范圍【答案】（1）3，12；（2）D（，3）；（3）或【解析】試題分析：（1）把點(diǎn)A（4，n）代入一次函數(shù)，即可得到n的值為3；再把點(diǎn)A（4，3）代入反比例函數(shù)，即可得到k的值；（2）可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），過點(diǎn)A作AEx軸，垂足為E，過點(diǎn)D作DFx軸，垂足為F，根據(jù)勾股定理得到AB的長，由AAS可得ABEDCF，再根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）根據(jù)反比函數(shù)的性質(zhì)即可得到當(dāng)時，自變量x的取值范圍試題解析：（1）把點(diǎn)A（4，n）代入一次函數(shù)，可得n=×43=3；把點(diǎn)A（4，3）代入反比例函數(shù)，可得，解得k=12（2）一次函數(shù)與x軸相交于點(diǎn)B，解得x=2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），如圖，過點(diǎn)A作AEx軸，垂足為E，過點(diǎn)D作DFx軸，垂足為F，A（4，3），B（