等差數(shù)列同步講義

1、等差數(shù)列一、等差數(shù)列概念如果一個數(shù)列從第二項起， 每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，常用字母d表示.即等差數(shù)列有遞推公式： an.i-an"(n- N*).二、等差數(shù)列的通項公式及推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式為：an = a1 (n - 1)d, n 三 N .等差數(shù)列的公式的推導(dǎo)：累加法a2 - a二 da3 -a2 =d等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)：HIHI，將這n-1個式子的等號兩邊分別相加得：令-印=(n-1)d ,an 丄 - an n 二 dan - an 二二 d即an =ai (n -1)d .由等差數(shù)列的通項公式易知

2、：aa(n -m)d .、等差中項如果三個數(shù)x ,A ,y組成等差數(shù)列，那么 A叫做x和y的等差中項，即 A二口2四、等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1) 在等差數(shù)列中，若 P m n，則 ap - aam - an，若 2 p q，則 2aap - aq ;該性質(zhì)推廣到三項， 即 m , n , t , P , q, N* ,且 m n p qap aq+aam an at .推廣到一般形式，只要兩邊項數(shù)一樣，且下標(biāo)和相等即可.(2) 若？an,：bn 均為等差數(shù)列，且公差分別為 d1,d2，則數(shù)列！ paan，q,Sn二bj也為等差數(shù)列， 且公差分別為 pd1,d1,d1 zd2.(3) 如果等差數(shù)列

3、：a. *的公差為d，則d -Ou伯鳥是遞增數(shù)列；d ：Ou角昇是遞減數(shù)列；d=0 *1 :an 是常數(shù)列.an , an -m , an 2m為等差數(shù)列,(4) 在等差數(shù)列中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等差數(shù)列，即 公差為md .五、等差數(shù)列的前門項和及推導(dǎo)過程等差數(shù)列前n項和公式：Sn =血 如& 世 1)d2 2等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)：倒序相加Sn 二印 g d)佝 2d) HI g (n -1)d,將這兩式相加得：2Sn =佝 an)佝 an) HI (a1 an)二n(a1 an),把項的順序反過來，可將Sn寫成：Sn =an (an -d) (an-2d) 川Jan -

4、(n-1)d,從而得到等差數(shù)列的前n項和公式.n(a1an)Si _，又 an = ai (n T)d得Sn二呃凱汕3! 2(2嘰2 2六、等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)(1)在等差數(shù)列的前n項和也構(gòu)成一個等差數(shù)列,即Sn , S2n -Sn , §3n _S2n ,.為等列，公差為d .11 / 10(2 ) la.為等差數(shù)列當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)時,an =電旦得,2S2n 1(加-1)® 3沁)=2n_i an ,當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)時,(3)通項公式是a. =An2ai ' a2n - 3n ' 3n 1 得，Sn = n( 3n 3n 1 ).A=0是一次函數(shù)的形式；前n項

5、和公式Sn2二An Bn A = 0 是不含常數(shù)項的二次函數(shù)的形式.(注：當(dāng)d =0時，Sn = nq , an =a1)(4) :an ?為等差數(shù)列， Sn = An Bn A - 0 , 則違也成等差數(shù)列 I n J(5 )等差數(shù)列fa J的公差為d , S奇, S偶分別代表數(shù)列奇數(shù)項和、偶數(shù)項和，如果數(shù)列有2n1項，則爲(wèi)_ n 1S禺n;如果數(shù)列有2n項，則S禺-S奇=nd .(6)若a1 0 , d ：0 ,此時二次函數(shù)開口向下，對稱軸在y軸的右側(cè)，S有最大值，可由不等式組an > 0 vn來確定n.若a1 <0 , d 0，此時二次函數(shù)開口向上，對稱軸在y軸的右側(cè)，Sn有

6、最小an 1 V 0f a V 0值，可由不等式組an來確定n .0卄0七、等差數(shù)列的前n項和公式與二次函數(shù)(1)區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別聯(lián)系定義域為N *圖像是一系列的額孤立點(1)解析式都是二次式；(2) S圖 像是拋物線上的圖像的一系列的 占八、f(x)定義域為R圖像是一條光滑的拋物線(2)觀察 S = An2Bn A =0 和Sn = n&血1)d = d n2-d)n得 A ,B=a1-d;2 2 2 2 2(3)應(yīng)用二次函數(shù)求 Sn =An2Bn A=0的最大值和最小值的特殊性：即當(dāng)n B N* , Sn達(dá)到最2A大或最小.而當(dāng)n - N*時，n取與-旦 最近的正整數(shù)即可.2A2A(

7、4 )由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng) d 0時，Sn有最小值，：當(dāng)d ：0時，Sn有最大值.題型一、等差數(shù)列的定義及通項公式【例1】 判斷數(shù)52、2k+7（k N*）是否是等差數(shù)列an : -5, - 31,1,| |中的項，若是，是第幾項？【例2】 若三個數(shù)a _4 ,a 2,26 _2a，適當(dāng)排列后構(gòu)成遞增等差數(shù)列，求a的值和相應(yīng)的數(shù)列.【例3】 在數(shù)列l(wèi)aJ中，ai =2,2ani =2an 1，則aioi的值為（）A . 49B. 50C. 51D. 52【例4】lg（ 3 一 2）與lg（ 3+、. 2）的等差中項為（）A. 0 B. Ig（：3 幕）C. Ig（5?6）D . 1【例5】

8、 等差數(shù)列1an中，a1 a4 a7 =15 ,a2a4a6 =45，求數(shù)列的通項公式.1【例6】 若關(guān)于x的方程x2 - x a =0和x2 x b = 0（a = b）的四個根可組成首項為 的等差數(shù)列，貝V4a +b的值是.【例7】萊茵德紙草書是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一書中有這樣的題目：把100個面包分給51個人，使每人的面包數(shù)成等差數(shù)列，且使最大的三分之和的丄是最小的兩份之和，則最小13份得大小是.【例8】 設(shè)數(shù)列aj滿足a6 , a? =4 , a3，且數(shù)列 G aj （n N ）是等差數(shù)列，求數(shù)列 曲的通項公式.題型二、等差數(shù)列通項的性質(zhì)【例9】 在等差數(shù)列an中，a3 +a7 =

9、37,則a2 +a4 +比+比=.【例10】等差數(shù)列a,a2 ,a3 ,|,気的公差為d，則數(shù)列5a, 5a? , 5a3 ,|,5an是（）A .公差為d的等差數(shù)列B .公差為5d的等差數(shù)列C .非等差數(shù)列D .以上都不對【例11】在等差數(shù)列：an f中，已知a a2 a3 a4 a 20，那么a3等于（）A . 4B. 5C. 8D. 10【例12】在等差數(shù)列an中，若a4a15,a?=15，則a2的值為（）A . -3B . 0C . 1D . 2【例13】等差數(shù)列！an前9項的和等于前4項的和.若at =1 ,ak a4 =0，則k =.題型三、等差數(shù)列的前 n項和【例14】設(shè)Sn是等

10、差數(shù)列an（n WN*）的前n項和，且印=1, a7，則Ss =【例15】設(shè)Sn為等差數(shù)列的前n項和，若a1，公差d =2 , SkS24，則k二（）A . 8B . 7C . 6D . 5【例16】已知等差數(shù)列an的前 n項和為Sn，且滿足3-支=1，則數(shù)列an的公差是（2)1 A .-B . 1C . 2D . 32【例17】九章算術(shù) 竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為 升.【例18】在各項均不為0的等差數(shù)列中，若an 1 -an2 * an丄=0（n> 2），則務(wù)丿-4n等于（）A . -2B

11、. 0C. 1D . 2題型四、等差數(shù)列的前 n項和性質(zhì)【例19】已知等差數(shù)列共有10項，其中奇數(shù)項之和為 15，偶數(shù)項之和為30,則其公差等于 【例20】等差數(shù)列an中，已知公差d J，且a1 a3 a99=60，則印a：Til '酗二2【例21】設(shè)等差數(shù)列的前n項的和為£，且S2 =84 , So =460 ,求S28 【例22】有兩個等差數(shù)列faj ,g，其前n項和分別為Sn , Tn，若對-N .有 ：；二2成立，求【例 23】已知 f (x) =X2 -2(n 1)x n2 5n -7，(1 )設(shè)f(x)的圖象的頂點的縱坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列fan?，求證an?為等差數(shù)列.(

12、2)設(shè)f (x)的圖象的頂點到x軸的距離構(gòu)成、bn f，求 血”的前n項和.【例24】等差數(shù)列an中，印=25 , Sg=Si7，問數(shù)列的多少項之和最大，并求此最大值.【例25】等差數(shù)列前10項的和為140，其中，項數(shù)為奇數(shù)的各項的和為125，求其第6項及公差.【例26】已知等差數(shù)列（an /的前n項和記為Sn，如果d二12衛(wèi)8二以,（1）求數(shù)列的通項公式（2）求&的最小值及相應(yīng)的 n的值【例27】等差數(shù)列an'的前n項和為S，若ay 0，：0，則下列結(jié)論正確的是（）A . Sy : S8B. $5 飛6C. S13 0 D. S5 0【例28】設(shè)等差數(shù)列:an1的前n項和為S

13、，若a-11,a4a -6，則當(dāng)Sn取最小值時，n等于（）A . 6B. 7C. 8D. 9【例29】若等差數(shù)列CaJ共有2n V nN*項，S奇,S偶分別代表下標(biāo)為奇數(shù)和偶數(shù)的數(shù)列和，已知S奇=40,%= 35，則數(shù)列的項數(shù)為（）A . 10B. 15C. 35D. 75n*【例30】已知數(shù)列an的通項公式alog3n N ），設(shè)其前n項和為5 ,則使S：-4成立的最n +1小自然數(shù)n等于（）A . 83B . 82C . 81D . 80【例31】已知數(shù)列屛是等差數(shù)列，其前項和為 0 , a3=7,S4=24 .(1) 求數(shù)列爲(wèi)？的通項公式；1(2) 設(shè) p ,q 是正整數(shù)，且 p =q，

14、證明 Sp q ：；-(S2p - S?q).2【例32】有固定項的數(shù)列 C的前n項和Sn =2n2 n，現(xiàn)從中抽取某一項(不包括首相、末項)后, 余下的項的平均值是 79 .(1 )求數(shù)列'an的通項an ；(2)求這個數(shù)列的項數(shù)，抽取的是第幾項.隨堂練習(xí)【練1】有兩個等差數(shù)列Vbn匚，其前n項和分別為SnSn _ 7n + 2a6,Tn，若對 n N .有成立，求 & .【練2】【練3】【練4】【練5】【練6】【練7】【練8】【練9】【練10】【練11】【練12】【練13】【練14】數(shù)列為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若$0 =100,3。=10，則$10= 等差數(shù)列 的前m

15、項和Sm為30，前2m項和Sm為100，則它的前3m項和S3m為已知an為等差數(shù)列， +a4 =1，則其前6項之和為已知等差數(shù)列an的前n項和為Sh, a2=4, S5=35(i)求數(shù)列an的前n項和& ；(n)若數(shù)列bn滿足=ean，求數(shù)列bj的前n項和Tn 設(shè)等差數(shù)列 &匚的前n項和為Sn, Sm-2,Sm = 0,Sm 1 = 3,則m =()A 3B. 4C. 5D 6若等差數(shù)列的前6項和為23,前9項和為57,則數(shù)列的前n項和Sn =在等差數(shù)列 燈1中 ，已知 aa =10,則3a5 +內(nèi)=等差數(shù)列a.中忌 a4 = 9, a2a5 = 18 ,則恥6二.在等差數(shù)列a

16、n中，a1 - 2013，其前n項和為，若2 ,則S2013的值等12 10于設(shè)等差數(shù)列an的公差不為0,其前n項和是Sn 若S2 = Ss, Sk=0,則k=在等差數(shù)列an中，a1 =32 =4,則a4 - a|l - a3n d等于已知等比數(shù)列、an匚中，各項都是正數(shù)，且 a , 1 a3, 2a2成等差數(shù)列，則 別一色一魚°的值2a< a a9為( )A3 2 2b1-2 C 12 D 3-2.2等差數(shù)列 訂的前n項和是Sn,若aa? =5, a3 a 9，則 的值為()A 55B 60C 65D.70課后作業(yè)【題1】 在等差數(shù)列CaJ中，若a4+a6 =12 , S1是數(shù)列 厲？的前n項和，貝V &的值為()A. 48B. 54 C. 60D. 66【題2】已知 春 為等差數(shù)列，Sn為的前n項和，n乏N，若a3 =6 , &o = 20 ,則So的值為【題3】Sn為等差數(shù)列an的前n項和，S2=Ss , a1，則=.【題4】 設(shè)為等差數(shù)列，公差 d=-2 為其前n項和.若So =囪，則ai=()A. 18B. 20C. 22D. 2422【題 5】 已知二次函數(shù) f(x)=x +2(103 n)x+9 n 61 n+100，其中N * .(1) 設(shè)函數(shù)y二f x的圖象的頂點的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列CaJ，求證：數(shù)列CaJ為等差數(shù)列；(2) 設(shè)