44相似三角形的性質(zhì)極其應(yīng)用一

1、4.4 相似三角形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì) 及其應(yīng)用（及其應(yīng)用（1）某施工隊(duì)在道路拓寬施工時(shí)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題，某施工隊(duì)在道路拓寬施工時(shí)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題，馬路旁邊原有一個(gè)面積為馬路旁邊原有一個(gè)面積為100100平方米，周長(zhǎng)為平方米，周長(zhǎng)為8080米米的三角形綠化地，由于馬路拓寬綠地被削去了一的三角形綠化地，由于馬路拓寬綠地被削去了一個(gè)角，變成了一個(gè)梯形，原綠化地一邊個(gè)角，變成了一個(gè)梯形，原綠化地一邊abab的長(zhǎng)由的長(zhǎng)由原來(lái)的原來(lái)的3030米縮短成米縮短成1818米米. .現(xiàn)在的問(wèn)題是現(xiàn)在的問(wèn)題是: :被削去的被削去的部分面積有多大？它的周長(zhǎng)是多少？部分面積有多大？它的周長(zhǎng)是多少？ 你能夠?qū)⑸厦嫔?/p>

2、中的問(wèn)題你能夠?qū)⑸厦嫔钪械膯?wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？de30m18mbca在在8 88 8的正方形網(wǎng)格中，的正方形網(wǎng)格中，abcabca a/ /b b/ /c c/ /，探究下面探究下面 的問(wèn)題：的問(wèn)題：1 1、兩個(gè)相似三角形的相似比是多少？、兩個(gè)相似三角形的相似比是多少？2 2、兩個(gè)相似三角形兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比是多少？的周長(zhǎng)比是多少？3 3、兩個(gè)相似三角形兩個(gè)相似三角形的面積比是多少？的面積比是多少？4 4、兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)之比與相似比、兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)之比與相似比有什么關(guān)系？面積之比與相似比有什么有什么關(guān)系？面積之比與相似比有什么關(guān)系？關(guān)系？相似三角形的周長(zhǎng)比

3、等于相似比，相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方面積比等于相似比的平方b/c/a/b ba ac c驗(yàn)一驗(yàn)：驗(yàn)一驗(yàn)：是不是任何相似三角形都有此關(guān)系呢？你能加以驗(yàn)證嗎？是不是任何相似三角形都有此關(guān)系呢？你能加以驗(yàn)證嗎？d dd d/ / / /a ab bc ca a b b c cc c6 6 + + 2 25 5 + + 4 42 2= =c c3 3 + +5 5 + + 2 22 22 2( (3 3 + +5 5 + + 2 22 2) )= =3 3 + +5 5 + + 2 22 26432/ / / /1 1 a a b b c c2 2 a ab bc cs s

4、s s12= 2= 24 a ab bb bc ca ac c= = = = 2 2a a b bb b c ca a c cb/c/a/b ba ac c相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比;相似三角形的相似三角形的面積比等于相似比的平方面積比等于相似比的平方 /2 2abcabca b ca b cs s= =s sk求證求證:已知已知:abca:abca/ /b b/ /c c/ /，相似比為，相似比為k k,證明：證明：abcabca a/ /b b/ /c c/ /且相似比為且相似比為k kab=ab=ka a/ /b b/ /，bc=bc=kb b/ /c c/

5、 /，ac=ac=ka a/ /c c/ / / / / / / / / / / / /a ab bc ca a b b c cc ca ab b+ +b bc c+ +a ac c= =c ca a b b + +b bc c + +a a c ckk/(a b +b c +a c )(a b +b c +a c )=(a b +b c +a c )(a b +b c +a c )/abcabca b ca b cc c= =c ck/ / / / / / /a ab bb bc ca ac c= = = =a a b bb b c ca a c ckb/c/a/b ba ac c證明：作證

6、明：作bcbc、b b/ /c c/ /邊上的高邊上的高adad、a a/ /d d/ /abcabca a/ /b b/ /c c/ /adab=a da bkd dd d/已知已知:abca:abca/ b b/ /c c/ /，相似比為，相似比為k, ,求證求證: :/ / / / / /2 2a ab bc ca a b b c cs s= =s sk/ / / / / / / / a a b b c c a ab bc c1 1b b c ca a d ds s2 2= =1 1s sb b c ca a d d2 2=/ / / / /b bc ca ad db b c ca a

7、d d= =kk=k2 2b/c/ a/b ba ac cd dd d/相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高之比等于相似比相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高之比等于相似比/ / /a ad d= =a a d dk已知已知:abca:abca/ /b b/ /c c/ /，相似比為，相似比為k, , ad ad、a a/ /d d/ /分別是分別是bcbc、b b/ /c c/ /邊上的高邊上的高求證求證: :相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線(xiàn)之比等于相似比相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線(xiàn)之比等于相似比相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的角平分線(xiàn)之比等于相似比相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的角平分線(xiàn)之比等于相似比你能類(lèi)比你能類(lèi)比證明嗎證明嗎? ?1 1、已知兩

8、個(gè)三角形相似，請(qǐng)完成下列表格、已知兩個(gè)三角形相似，請(qǐng)完成下列表格相似比相似比周長(zhǎng)比周長(zhǎng)比面積比面積比2 24 410010010010010000100002 2注意：周長(zhǎng)比等于相似比，已知相似比或周長(zhǎng)注意：周長(zhǎng)比等于相似比，已知相似比或周長(zhǎng)比，求面積比要比，求面積比要平方平方，而已知面積比，求相似，而已知面積比，求相似比或周長(zhǎng)比則要比或周長(zhǎng)比則要開(kāi)方開(kāi)方。三者知道其中一個(gè)就可。三者知道其中一個(gè)就可以求出另外兩個(gè)。以求出另外兩個(gè)。mmm2kk191313k 在在10倍的放大鏡下看到的三角形與原三角形相比倍的放大鏡下看到的三角形與原三角形相比,三角形的邊長(zhǎng)三角形的邊長(zhǎng),周長(zhǎng)周長(zhǎng),面積面積,角角,

9、哪些放大為哪些放大為10倍倍?答答:三角形的邊長(zhǎng)三角形的邊長(zhǎng),周長(zhǎng)放大為周長(zhǎng)放大為10倍倍.三角形的面積放大為三角形的面積放大為100倍倍.三角形的角大小不變?nèi)切蔚慕谴笮〔蛔?bacde解解: :如圖，已知如圖，已知de/bc,ab=30m,bd=18m,de/bc,ab=30m,bd=18m,abcabc的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為80m80m，面積為，面積為100m100m2 2, ,求求adeade的周長(zhǎng)和面積的周長(zhǎng)和面積30m18mabcef變變3 3：如圖，已知如圖，已知abc,efbc,abc,efbc,與與abab、acac分別交與點(diǎn)分別交與點(diǎn)e e、f f，把，把a(bǔ)bcabc劃分劃分成兩

10、部分（三角形與四邊形）的成兩部分（三角形與四邊形）的面積之比為面積之比為1 1：1 1，則，則aeae：ab=?ab=?如果要使劃分成的兩部分的面積之比為如果要使劃分成的兩部分的面積之比為1 1：2 2，則則aeae：ab=?ab=?如果要使劃分成的兩部分的面積之比為如果要使劃分成的兩部分的面積之比為1 1：n n，則則aeae：ab=?ab=?d1:1:21:1:31+n1:1:e ef f30cm18cmb bc ca a變變4:4:如圖，已知如圖，已知ef/bcef/bc，ac=30cmac=30cm，fc=18cmfc=18cm，abcabc的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為80cm80cm，面積為，面

11、積為100cm100cm2 2，求，求aefaef的周長(zhǎng)和面的周長(zhǎng)和面積積過(guò)過(guò)f f作作fp/abfp/ab交交bcbc于于p,p,其他條件其他條件不變，則不變，則fpcfpc的面積等于多少？的面積等于多少？p p2 2、如圖，、如圖，abcabc中，中，efbc,pfabefbc,pfab，若設(shè)，若設(shè)s sabcabc=s=s， s saefaef=s=s1 1，s sfcpfcp=s=s2.2.請(qǐng)猜想：請(qǐng)猜想：s s與與s s1 1、s s2 2之間存在怎樣的關(guān)系？你能加以驗(yàn)證嗎？之間存在怎樣的關(guān)系？你能加以驗(yàn)證嗎？abce ef fp pacbpfmngeds3s1s2 如圖如圖，de/

12、bc,fg/ab,mn/ac, de/bc,fg/ab,mn/ac, 且且dede、fgfg、mnmn交于點(diǎn)交于點(diǎn)p p。若記若記s sdpm= s1, s spef= s2, s sgnp= s3s sabc= s、s與與s1、 s2、s3之間是否也有之間是否也有類(lèi)似結(jié)論？猜想并加以驗(yàn)證。探究探究例例: :如圖如圖, ,是某市部分街道圖，比例尺為是某市部分街道圖，比例尺為1 1：10 00010 000；請(qǐng)；請(qǐng)估計(jì)三條道路圍成的三角形地塊估計(jì)三條道路圍成的三角形地塊abcabc的實(shí)際周長(zhǎng)和面積。的實(shí)際周長(zhǎng)和面積。其中測(cè)得：其中測(cè)得：ab=3.4cmab=3.4cm， bc=3.8cmbc=3

13、.8cm，ac=2.5cmac=2.5cm，高，高ad=2.2cmad=2.2cmc c解：解：abcabc的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)=3.4+3.8+2.5=9.7cm=3.4+3.8+2.5=9.7cm1000017 . 9三角形地塊的實(shí)際周長(zhǎng)三角形地塊的實(shí)際周長(zhǎng)為三角形地塊的實(shí)際周長(zhǎng)為9.79.710104 4cmcm，即，即970m970mssabcabc=3.8=3.82.22.22=4.182=4.18（cmcm2 2）210000118. 4）（三角形地塊的實(shí)際面積三角形地塊的實(shí)際面積為三角形地塊的實(shí)際面積為4.184.1810108 8cmcm2 2，即，即41800m41800m2 2d

14、d答：估計(jì)三角形地塊的周長(zhǎng)為答：估計(jì)三角形地塊的周長(zhǎng)為970cm970cm，實(shí)際面積為，實(shí)際面積為41800m41800m2 2。a ab b3.43.42.22.23.83.82.52.5abc如圖，如圖，e e、f f分別是分別是abab、acac上的點(diǎn)上的點(diǎn),efbc,efbc，ae:ab=1:3ae:ab=1:3ef（1 1）若）若bc=9cm,ef=_bc=9cm,ef=_（2 2）aefaef與與abcabc的周長(zhǎng)之比的周長(zhǎng)之比 =_=_（3 3）aefaef與與abcabc的面積之比的面積之比 =_=_ef變變1:1:當(dāng)當(dāng)afe=bafe=b，af=2,ab=5af=2,ab=5

15、時(shí)，你能得到哪些結(jié)論？時(shí)，你能得到哪些結(jié)論？若若adbcadbc于點(diǎn)于點(diǎn)d,agefd,agef于點(diǎn)于點(diǎn)g,g,求求ad:agad:ag的值的值. .dg變變2 2：若：若efbcefbc，ae:eb=1:2,adbcae:eb=1:2,adbc于點(diǎn)于點(diǎn)d,d,交交efef于點(diǎn)于點(diǎn)h,h, ad=6cm, ad=6cm,求求ahah的長(zhǎng)的長(zhǎng). .h h3cm3cm1 1：3 31 1：9 95 5：2 22cm2cm2 25 51 1、相似三角形的性質(zhì)：、相似三角形的性質(zhì)：這些知識(shí)你掌握了嗎？這些知識(shí)你掌握了嗎？3 3、運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題、運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的幾何

16、問(wèn)題相似三角形的相似三角形的對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)之比對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)之比= =相似比相似比對(duì)應(yīng)高之比對(duì)應(yīng)高之比= =相似比相似比對(duì)應(yīng)中線(xiàn)比對(duì)應(yīng)中線(xiàn)比= =相似比相似比對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)比對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)比= =相似比相似比對(duì)應(yīng)面積之比對(duì)應(yīng)面積之比= =相似比的相似比的平方平方2 2、相似比、周長(zhǎng)比、面積比中知道其中一個(gè)可以求、相似比、周長(zhǎng)比、面積比中知道其中一個(gè)可以求 另兩個(gè)量另兩個(gè)量1、abcabc中，中，aeae是角平分線(xiàn)，是角平分線(xiàn)，d d是是abab上的上的一點(diǎn)，一點(diǎn)，cdcd交交aeae于于g g，acd=b，且，且ac=2ad.則則acdacd _.它們的相似它們的相似比比k =_,_agaeabcedgabc

17、e ef fg gh hj jk k 2 2、如圖，、如圖，abcabc中，中，efghbc,efghbc, ae=eg=gb, ae=eg=gb,aefaef、四邊形、四邊形 efhgefhg、四邊形、四邊形ghcbghcb的面積的面積 依次記為依次記為s s1 1、s s2 2、s s3 3。 則則 s s1 1:s:s2 2:s:s3 3=?=?如果延長(zhǎng)如果延長(zhǎng)abab、acac，使，使efghbcjk,ae=eg=gb=jk,efghbcjk,ae=eg=gb=jk,四邊形四邊形bckjbckj的面積為的面積為s s4 4, ,則則s s1 1:s:s2 2:s:s3 3:s:s4 4

18、=?=?s s1 1s s2 2s s3 3s s4 4其余條件不變，其余條件不變，ae:eg:gb=1:2:3,ae:eg:gb=1:2:3,則則s s1 1:s:s2 2:s:s3 3=?=?挑戰(zhàn)自我挑戰(zhàn)自我 如圖，如圖，abcabc是一塊銳角三角形余料，邊是一塊銳角三角形余料，邊bc=120bc=120毫米，高毫米，高ad=80ad=80毫米，要把它加工成正方形零件，毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在使正方形的一邊在bcbc上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在abab、acac上，上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？nmqpedcba解：解：設(shè)正方形設(shè)正方形pqmn是符合要求的是符合要求的abc的高的高ad與與pn相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)e。設(shè)正方形。設(shè)正方形pqmn的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為x毫米。毫米。因?yàn)橐驗(yàn)閜nbc，所以，所以apn abc所以所以aead=pnbc因此因此 ，得，得 x=48（毫米）。答：（毫米）。答：-。80 x80=x120在在rt abc中，中，c=90。，ac=4，bc=3，（3）如圖）如圖3，三角形內(nèi)有并排的三，三角形內(nèi)有并排的三個(gè)相等的正方形，它們組成的矩形個(gè)相等的正方形，它們組成的