高數導數的概念ppt課件

1、1第二章微積分學的創(chuàng)始人: 德國數學家 Leibniz 導數導數描述函數變化快慢描述函數變化程度都是描述物質運動的工具 (從微觀上研究函數)導數與微分導數思想最早由法國數學家 Ferma 在研究極值問題中提出.英國數學家 Newton2 在許多實際問題中，需要從數量上研究變量的在許多實際問題中，需要從數量上研究變量的變化速度。如物體的運動速度，電流強度，線密度，比熱，化學反應速度及生變化速度。如物體的運動速度，電流強度，線密度，比熱，化學反應速度及生物繁殖率等，所有這些在數學上都可歸結為函數的變化率問題，即導數。物繁殖率等，所有這些在數學上都可歸結為函數的變化率問題，即導數。 本章將通過對實際

2、問題的分析，引出微分學中本章將通過對實際問題的分析，引出微分學中兩個最重要的基本概念兩個最重要的基本概念導數與微分，然后再建立求導數與微分的運算公導數與微分，然后再建立求導數與微分的運算公式和法則，從而解決有關變化率的計算問題。式和法則，從而解決有關變化率的計算問題。3 導數和微分是繼連續(xù)性之后，函數研究的進一步導數和微分是繼連續(xù)性之后，函數研究的進一步深化。導數反映的是因變量相對于自變量變化的快慢程度和增減情況，而微分則深化。導數反映的是因變量相對于自變量變化的快慢程度和增減情況，而微分則是指明當自變量有微小變化時，函數大體上變化多少。是指明當自變量有微小變化時，函數大體上變化多少。重點重點

3、導數與微分的定義及幾何解釋導數與微分的定義及幾何解釋導數與微分基本公式導數與微分基本公式四則運算法則四則運算法則復合函數求導的鏈式法則復合函數求導的鏈式法則高階導數高階導數隱函數和參量函數求導隱函數和參量函數求導難點難點導數的實質，用定義求導，鏈式法則導數的實質，用定義求導，鏈式法則4問題的提出問題的提出導數的定義導數的定義導數的幾何意義與物理意義導數的幾何意義與物理意義可導與連續(xù)的關系可導與連續(xù)的關系利用導數定義求導數利用導數定義求導數小結小結 第一節(jié)第一節(jié) 導數的概念導數的概念左、右導數左、右導數5一、引出導數概念的兩個實例設描述質點運動位置的函數為)(tfs 則 到 的平均速度為0tt

4、v)()(0tftf0tt 而在 時刻的瞬時速度為0t lim0ttv)()(0tftf0tt 0tso)(0tf)(tft6 xyo)(xfy C2. 曲線的切線斜率曲線的切線斜率曲線)(:xfyCNT0 xM在 M 點處的切線x割線 M N 的極限位置 M T(當 時)割線 M N 的斜率tan)()(0 xfxf0 xx切線 MT 的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx7兩個問題的共性共性:so0t)(0tf)(tft瞬時速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx

5、所求量為函數增量與自變量增量之比的極限 .類似問題還有:加速度角速度線密度電流強度是速度增量與時間增量之比的極限是轉角增量與時間增量之比的極限是質量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時間增量之比的極限變化率問題8二、導數的定義二、導數的定義定義定義1 . 設函數)(xfy 在點0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并稱此極限為)(xfy 記作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000則稱函數若的

6、某鄰域內有定義 , 在點0 x處可導可導, 在點0 x的導數導數. 9說明說明: 在經濟學中,邊際成本率,邊際勞動生產率和邊際稅率等從數學角度看就是導數.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 100limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述極限不存在 ,在點 不可導. 0 x就說函數11.,0慢程度慢程度而變化的快而變化的快因變量隨自變量的變化因變量隨自變量的變化反映了反映了它它處的變化率處的變化率點導數是因變量在點點導數是因變量在點 x.)(,)(內內可可導導在在開開區(qū)區(qū)間

7、間就就稱稱函函數數處處都都可可導導內內的的每每點點在在開開區(qū)區(qū)間間如如果果函函數數IxfIxfy 關于導數的說明：關于導數的說明：12.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或記作記作的導函數的導函數這個函數叫做原來函數這個函數叫做原來函數導數值導數值的一個確定的的一個確定的都對應著都對應著對于任一對于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :.)()(00 xxxfxf 13 函數在一點的導數是一個局部性概念，它反映了函數在該點處的變化快慢，函數在一點的導數是一個局部性概念，它反映了函數在該點處的變化快慢

8、，而與臨近點是否可導無關。存在僅在某一點可導，而在其余點不可導的函數。而與臨近點是否可導無關。存在僅在某一點可導，而在其余點不可導的函數。 導數定義式中的導數定義式中的x x必修連續(xù)地趨于零。必修連續(xù)地趨于零。14三、由定義求導數步驟步驟:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求極極限限例例1 1.)()(的導數的導數為常數為常數求函數求函數CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即15例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設設函

9、函數數解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 16例例3 3.)(的的導導數數為為正正整整數數求求函函數數nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 17例例4 4.)1, 0()(的的導導數數求求函函數數 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haah

10、hx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 18例例5 5.)1, 0(log的導數的導數求函數求函數 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .ln1log1)(logaxexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa 19四、左、右導數2.右導數右導數:單側導數單側導數1.左導數左導數:;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 20如如果果

11、)(xf在在開開區(qū)區(qū)間間 ba,內內可可導導，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就說說)(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間 ba,上上可可導導.函函數數)(xf在在點點0 x處處可可導導左左導導數數)(0 xf 和和右右導導數數)(0 xf 都都存存在在且且相相等等. 左右導數統(tǒng)稱為單側導數左右導數統(tǒng)稱為單側導數 ( ) , f xa b在閉區(qū)間上可導的定義21例例6 6.0)(處的可導性處的可導性在在討論函數討論函數 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( f

12、f即即.0)(點點不不可可導導在在函函數數 xxfy22五、五、 導數的幾何意義與物理意義導數的幾何意義與物理意義xyo)(xfy CT0 xM曲線)(xfy 在點),(00yx的切線斜率為)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲線過上升;若,0)(0 xf曲線過下降;xyo0 x),(00yx若,0)(0 xf切線與 x 軸平行,稱為駐點駐點;),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切線與 x 軸垂直 .曲線在點處的),(00yx切線方程切線方程:)(000 xxxfyy法線方程法線方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0時 xf23例例7 7.,)

13、2 ,21(1方方程程和和法法線線方方程程并并寫寫出出在在該該點點處處的的切切線線斜斜率率處處的的切切線線的的在在點點求求等等邊邊雙雙曲曲線線xy 解解由導數的幾何意義由導數的幾何意義, 得切線斜率為得切線斜率為21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切線方程為所求切線方程為法線方程為法線方程為),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即242.物理意義物理意義非均勻變化量的瞬時變化率非均勻變化量的瞬時變化率.變速直線運動變速直線運動: :路程對時間的導數為物體的瞬時速度路程對時間的導數為物體的瞬時速度.lim)(0dtdststvt 交

14、流電路交流電路: :電量對時間的導數為電流強度電量對時間的導數為電流強度.lim)(0dtdqtqtit 非均勻的物體非均勻的物體: :質量對長度質量對長度(面積面積,體積體積)的導數為物體的線的導數為物體的線(面面,體體)密度密度.251111例例7. 問曲線3xy 哪一點有垂直切線 ? 哪一點處的切線與直線131xy平行 ? 寫出其切線方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得,1x對應,1y則在點(1,1) , (1,1) 處與直線131xy平行的切線方程分別為),1(131xy) 1(131xy即023 yx故在原點 (0 , 0) 有垂直切線

15、26六、可導與連續(xù)的關系證證,)(0可可導導在在點點設設函函數數xxf)(lim00 xfxyx . 00)( limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx.)(0連連續(xù)續(xù)在在點點函函數數xxf定理定理 若若y=f(x)y=f(x)在在 點可導，則點可導，則y=f(x)y=f(x)在在 處一定連續(xù)處一定連續(xù). .0 x0 x27在點處右右 導數存在0 x定理定理2. 函數)(xf)(xf在點0 x必 右右 連續(xù).(左左)(左左)由定理1和定理2,可得:)(xf在閉區(qū)間 a , b 上可導,)(baCxf注意:可導的條件要比連續(xù)強,存在處處連續(xù)但是處處不可導的函數.28連續(xù)函數

16、不存在導數舉例連續(xù)函數不存在導數舉例.,)()()(,)(. 1000函數在角點不可導函數在角點不可導的角點的角點為函數為函數則稱點則稱點若若連續(xù)連續(xù)函數函數xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的的角角點點為為處處不不可可導導在在xfxx 反例反例:xy 在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導.xyoxy 29)( .)(,)()(limlim,)(. 2000000不可導不可導有無窮導數有無窮導數在點在點稱函數稱函數但但連續(xù)連續(xù)在點在點設函數設函數xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如, 1)(3 xxf.1處不可導處不可導在在 x3

17、1 xyxy0130., )()(. 30點點不不可可導導則則指指擺擺動動不不定定不不存存在在在在連連續(xù)續(xù)點點的的左左右右導導數數都都函函數數xxf例如例如,0, 00,1sin)( xxxxxf.0處不可導處不可導在在 x011/1/xy31.)()(,)(. 4000不可導點不可導點的尖點的尖點為函數為函數則稱點則稱點符號相反符號相反的兩個單側導數的兩個單側導數且在點且在點若若xfxxxf xyoxy0 xo)(xfy )(xfy 32七、小結1. 導數的實質導數的實質: 增量比的極限增量比的極限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 導數的幾何意義導數的幾何意義: 切線

18、的斜率切線的斜率;4. 函數可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導函數可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導;5. 求導數最基本的方法求導數最基本的方法: 由定義求導數由定義求導數.6. 判斷可導性判斷可導性不連續(xù)不連續(xù),一定不可導一定不可導.連續(xù)連續(xù)直接用定義直接用定義;看左右導數是否存在且相等看左右導數是否存在且相等.33思考與練習思考與練習1. 函數 在某點 處的導數)(xf0 x)(0 xf )(xf 區(qū)別:)(xf 是函數 ,)(0 xf 是數值;聯系:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么區(qū)別與聯系 ? )()(00 xfxf？與導函數342. 設)(0 xf 存在 , 則._)()(lim

19、000hxfhxfh3. 已知,)0(,0)0(0kff則._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 若),(x時, 恒有,)(2xxf問)(xf是否在0 x可導?解解:由題設)0(f00)0()(xfxfx0由夾逼準則0)0()(lim0 xfxfx0故)(xf在0 x可導, 且0)0( f355. 設0,0,sin)(xxaxxxf, 問 a 取何值時,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故1a時,1)0( f此時)(xf 在),(都存在, )(xf0,cosxx0,1x顯然該函數在 x = 0

20、連續(xù) .36作業(yè)作業(yè) P86 1 , 5 , 6, 11, 16 , 18 37牛頓牛頓(1642 1727)偉大的英國數學家 , 物理學家, 天文學家和自然科學家.他在數學上的卓越貢獻是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數 (微分) 術 ,次年又提出反流數(積分)術,并于1671年完成流數術與無窮級數一書 (1736年出版).他還著有自然哲學的數學原理和廣義算術等 .38萊布尼茲萊布尼茲(1646 1716)德國數學家, 哲學家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人 , 他在學藝雜志上發(fā)表的幾篇有關微積分學的論文中,有的早于牛頓, 所用微積分符號也遠遠優(yōu)于牛頓 . 他還設計了作乘法的計算機 , 系統(tǒng)地

21、闡述二進制計數法 ,并把它與中國的八卦聯系起來 .39一一、 填填空空題題：1 1、 設設)(xf在在0 xx 處處可可導導，即即)(0 xf 存存在在，則則 _)()(lim000 xxfxxfx , , _)()(lim000 xxfxxfx . .2 2、 已已知知物物體體的的運運動動規(guī)規(guī)律律為為2ts ( (米米) )，則則該該物物體體在在 2 t秒秒時時的的速速度度為為_ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 設設321)(xxy , ,221)(xxy , ,53223)(xxxxy , , 則則它它們們的的導導數數分分別別為為dxdy1= =_ _ _ _ _ _ _ _

22、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，dxdy2= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，dxdy3= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .練練習習題題404 4、 設設2)(xxf , ,則則 )(xff_ _； )(xff_._.5 5、 曲 線曲 線xey 在 點在 點)1,0(處 的 切 線 方 程 為處 的 切 線 方 程 為_._.二、二、 在下列各題中均假定在下列各題中均假定)(0 xf 存在，按照導數的定存在，按照導數的定義觀察下列極限，分析并指出義觀察下列極限，分析并指出A表示什么？表示什么？ 1 1、Axxxfxfxx 00)()(lim0； 2 2、Ahhfh )(lim0，其中，其中)0(0)0(ff 且且存在；存在； 3 3、Ahhxfhxfh )()(lim000. .三、證明：若三、證明：若)(xf為偶函數且為偶函數且)0(f 存在，則存在，則0)0( f. .41四、四、 設函數設函數 0,00,1sin)(xxxxxfk問問k k滿足什么條滿足什么條件，件，)(xf在