應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法(2014)-隨機(jī)變量與統(tǒng)計(jì)量

1、 第七章 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法包括概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)兩個(gè)部分，其中概率論是研究隨機(jī)（或偶然）現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)數(shù)據(jù)的收集、整理、分析和推斷的方法。統(tǒng)計(jì)方法在科學(xué)研究與工程技術(shù)中具有廣泛的應(yīng)用：如，面對(duì)大量的信息與數(shù)據(jù)，如何分析處理，找出數(shù)據(jù)反映的規(guī)律和模型；在研制一種新產(chǎn)品時(shí)，影響產(chǎn)品的性能與質(zhì)量的因素非常多，如何科學(xué)的安排試驗(yàn)，才能找出影響性能的主要因素以及它們的數(shù)量關(guān)系，以降低成本，縮短研制時(shí)間；工廠每天生產(chǎn)一大批產(chǎn)品，如何進(jìn)行質(zhì)量管理與控制，如何預(yù)測未來產(chǎn)品的銷售量等等。數(shù)理統(tǒng)計(jì)將為這些問題提供具有啟發(fā)性的思維方法與強(qiáng)有力的工具。第一節(jié) 常用的隨機(jī)變量與統(tǒng)計(jì)量（1-2

2、）1隨機(jī)變量及其分布11隨機(jī)變量 隨機(jī)變量是概率論中的一個(gè)重要概念，所謂隨機(jī)變量就是隨試驗(yàn)結(jié)果不同而能取不同值的變量，由于試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性，故取值具有隨機(jī)性，稱其為隨機(jī)變量。 通常用大寫字母X，Y，Z等表示隨機(jī)變量，而用小寫字母x，y，z等表示隨機(jī)變量相應(yīng)于某個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的值，又稱隨機(jī)變量的觀測值。隨機(jī)變量與實(shí)數(shù)間雖然沒有“自然”的聯(lián)系，但可以人為地給它們建立起一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系。 引入隨機(jī)變量后，隨機(jī)試驗(yàn)中各個(gè)事件就可以通過隨機(jī)變量的取值表達(dá)出來，如“在n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)不超過2”的事件可用X£2表示；再如，在抽查新生嬰兒性別的試驗(yàn)中“抽到男嬰”的時(shí)間可用Y=1表示。下面給隨

3、機(jī)變量一個(gè)確切的定義： 定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為W，若存在一個(gè)函數(shù)X=X（w），對(duì)于每個(gè)，均有唯一確定的實(shí)數(shù)X（w）與之對(duì)應(yīng)，則稱X=X（w）為一個(gè)隨機(jī)變量。 對(duì)于隨機(jī)變量，我們主要討論離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量兩大類。12離散型隨機(jī)變量的概率分布 在有些試驗(yàn)中，隨機(jī)變量可能取到的值是有限個(gè)或可列無限個(gè)，這類隨機(jī)變量通常稱為離散型隨機(jī)變量。例1：設(shè)一實(shí)驗(yàn)箱中裝有標(biāo)號(hào)依次為-1，2，3，3，4五個(gè)形狀完全相同的白鼠，從中任取一只，則取到白鼠的標(biāo)號(hào)X是一個(gè)隨機(jī)變量，它能取到-1，2，3，4四個(gè)值，它究竟取到哪個(gè)值，要隨試驗(yàn)結(jié)果而定，故X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量。例2：從一批次品為10%的產(chǎn)品

4、中逐漸抽取產(chǎn)品（有放回的），直到抽到次品為止，所需的抽取次數(shù)Y是一個(gè)隨機(jī)變量，它能取可列無窮多個(gè)值，所以Y也是一個(gè)離散型隨機(jī)變量。 再如n粒種子的發(fā)芽數(shù)，n尾魚苗的成活數(shù)均為離散型隨機(jī)變量。 對(duì)于離散型隨機(jī)變量，我們除關(guān)心它取什么值之外，還應(yīng)該搞清楚，它以多大的概率取這些值，即要了解其取值規(guī)律。 通常用表格來描述隨機(jī)變量X的取值規(guī)律，此表稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布率。一般的設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能取值為（k=1,2,3,）, X取這些值的概率，即事件PX=xk=pk, 則其概率分布為：XP 其中pk（k=1,2,3,）滿足條件：1） pk³ 0 （k=1,2,3,）;2）只有p

5、k滿足上述兩個(gè)條件時(shí)，才能成為離散型隨機(jī)變量的分布；如例1的離散型隨機(jī)變量的概率分布分別為:X-1234P例2的離散型隨機(jī)變量的概率分布分別為:Y123kP0.10.9*0.1(0.9)2*0.1(0.9)k-1*0.1 離散型隨機(jī)變量的分布有兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、超幾何分布。下面分別進(jìn)行介紹。121 兩點(diǎn)分布定義： 設(shè)隨機(jī)變量X只能取0，1兩個(gè)值，且P(X=1) = p, P(X=0) = 1- p ( 0 < p < 1)。即其分布律為：X10Pp1-p 則稱X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布或0-1分布。記作X0 1分布。 例；從裝有6只白球和4只紅球的口袋中任取一球，用X表示

6、“取到的白球數(shù)”，即X=1；表示取到白球； X=0； 表示取到紅球；P (X=1) = 0.6 P ( X=0 ) = 0.4一次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果的概率分布都可用兩點(diǎn)分布來描述。如在射擊中只考慮“命中”與“未命中”；對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，只關(guān)心產(chǎn)品“合格”與“不合格”等，都可用兩點(diǎn)分布來研究。122 二項(xiàng)分布定義：若隨機(jī)變量X的分布為 其中0<p<1, 則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，又稱伯努利分布，記作XB（n，p）考慮二項(xiàng)分布： 按二項(xiàng)式展開，它的第k項(xiàng)為 ，當(dāng)q=1-p時(shí)上式特別當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布即化為兩點(diǎn)分布，這時(shí)， 例3：某小麥品種在田間出現(xiàn)自然變異植株的概率為0.0

7、045, 今調(diào)查100株，試計(jì)算獲得兩株和兩株以上變異植株的概率。解：用A表示“該株小麥出現(xiàn)自然變異”的事件，而用表示“該株小麥不出現(xiàn)自然變異”的事件。用X表示所調(diào)查的100株中出現(xiàn)自然變異的株數(shù)，顯然XB(100, 0.0045)。于是獲得兩株和兩株以上變異植株的概率其中故有例4：有2500名從事某種職業(yè)的職工參加人壽保險(xiǎn)，根據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，這類人在一年內(nèi)的死亡率為0.002。參加保險(xiǎn)者當(dāng)年向保險(xiǎn)公司付12元保險(xiǎn)費(fèi)。若參加保險(xiǎn)者死亡，家屬可獲得2000元補(bǔ)償，試求下列事件的概率。（1）一年中保險(xiǎn)公司虧本；（2）一年中保險(xiǎn)公司獲利不少于1萬元；（3）一年中保險(xiǎn)公司獲利超過2萬元。解：保險(xiǎn)公司的年收

8、入為30000元，在不考慮這筆保險(xiǎn)金的利息的收入和保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的各項(xiàng)支出的情況下來考慮上述三個(gè)問題。 用X表示一年中參加保險(xiǎn)死亡人數(shù)，顯然 故解（1）：若保險(xiǎn)公司虧本，必須使X>15，故 （查泊松分布表，l=np=5） 結(jié)果表明，保險(xiǎn)公司一年中虧本的概率很小，幾乎是不可能的。解（2）：若公司獲利不少于1萬元，必須滿足故解（3）：獲利超過2萬元，即滿足 X< 5 以上計(jì)算中用到下列Poisson近似公式來計(jì)算的近似值；其中：123泊松分布定義：若隨機(jī)變量X的分布為 其中，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記為。泊松分布作為二項(xiàng)分布的近似，是法國數(shù)學(xué)家泊松于1837年引入的。在實(shí)際生活中，有很多

9、隨機(jī)變量服從泊松分布。如田間出現(xiàn)變異植株的株數(shù)、牧草種子中的雜草種子數(shù)、某段時(shí)間內(nèi)放射性物質(zhì)所放射的粒子數(shù)等，均可用泊松分布來描述。泊松分布是描述在一定空間（長度、面積和體積）或者在一定時(shí)間間隔內(nèi)點(diǎn)子的散步狀態(tài)的理想化模型。例5：麥田中，平均每10平方米有一株雜草，現(xiàn)在問每100平方米麥田中無雜草、有一株雜草、以及有5株以上雜草的概率各為多少？解：該問題是研究一定面積內(nèi)雜草散步狀態(tài)的，而一定面積內(nèi)的雜草株數(shù)服從泊松分布?，F(xiàn)求每 100平方米 麥田中平均雜草數(shù)（這里是泊松分布中參數(shù)的最佳估計(jì)，即）由此可以得出，每100平方米麥田中有x株雜草的概率 x=0時(shí)，得到每100平方米麥田中無雜草的概率x

10、=1時(shí)，得到每100平方米麥田中有1株雜草的概率而有5株以上雜草的概率為124 超幾何分布 定義：若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布規(guī)律為： 則稱X服從超幾何分布，記為有N件產(chǎn)品，K件次品，抽取n件，出現(xiàn)x件次品的概率；分析：N件產(chǎn)品中，抽取n件的所有情況為 在n件產(chǎn)品中出現(xiàn)x件次品的所有情況為 在考察野生動(dòng)物時(shí)，常常需要了解野生動(dòng)物種群的大小，一種常用的方法是，先捕捉一定數(shù)量的動(dòng)物，作上記號(hào)，放回到原群體中。然后，再捕捉第二個(gè)樣本，記下其中有標(biāo)記的動(dòng)物數(shù)。根據(jù)以上資料可以估計(jì)該群種的大小。原理是；在捕捉第二個(gè)樣本時(shí)，捉到有標(biāo)記的動(dòng)物數(shù)，是一個(gè)服從超幾何的隨機(jī)變量；再依據(jù)超幾何分布的平均數(shù)，就可以估計(jì)該群

11、種的大小。N為種群所含個(gè)數(shù)的總體，K為有記號(hào)的個(gè)體數(shù)，n為第二次抽樣中抽出的個(gè)體數(shù)，x為容量為n的樣本中（即第二次抽樣中）有標(biāo)記的個(gè)體數(shù)?？梢宰C明，超幾何分布的平均數(shù)（或稱數(shù)學(xué)期望）如下：于是可以得出估計(jì)該群種大小的公式：1 3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布密度前面研究的離散型隨機(jī)變量的取值只限于有限或可列無窮多個(gè)值，具有很大的局限性，在許多隨機(jī)試驗(yàn)中，如測量某種無線電元件的壽命、觀測某品種小麥的株高等，它們的取值充滿某個(gè)區(qū)間。對(duì)于這類可以在某個(gè)區(qū)間或整個(gè)數(shù)軸上取值的隨機(jī)變量，由于其取值不是集中在有限個(gè)或可列無窮多個(gè)點(diǎn)上，所以不能象離散型隨機(jī)變量那樣通過建立概率分布來描述它們。我們只有掌握了X取值落入

12、某個(gè)區(qū)間的概率，才能真正了解隨機(jī)變量X的取值規(guī)律。 定義： 對(duì)于隨機(jī)變量X，若存在非負(fù)可積函數(shù)使對(duì)于任意實(shí)數(shù)a, b（a<b）均有： 則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱為X的分布密度或稱為概率密度。 分布密度與概率分布有類似的性質(zhì)：（1）f(x)³0;(2) 例6： 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度為試求：（1）常數(shù)k； （2）P（1<X<3） ; P(X<1)解（1） 由分布密度的性質(zhì)得； （2）（3）下面介紹幾種常見的連續(xù)型分布。131 均勻分布定義： 若隨機(jī)變量X的分布密度為則稱X在區(qū)間a，b上服從均勻分布，記作顯然：（1）（2）若X在區(qū)間a,b上服從均勻分布，則對(duì)

13、于任意滿足a<c<d<b的c, d，均有這表明X在區(qū)間a,b的任一區(qū)間c,d內(nèi)取值的概率與該區(qū)間的長度成正比，而與區(qū)間所處的位置無關(guān)。例7：公共汽車站每隔10分鐘有一輛汽車通過，乘客在任一時(shí)刻到達(dá)公共汽車站都是可能的，求乘客候車不超過2分鐘的概率。解：設(shè)乘客到達(dá)公共汽車站的時(shí)刻為T，乘客到站后，來站的第一輛汽車抵達(dá)時(shí)刻為t0。依題意，隨機(jī)變量T在t0-10，t0內(nèi)服從均勻分布，即分布密度為“乘客候車不超過2分鐘”的事件，就是落入t0-2，t0的事件，其概率13，2 指數(shù)分布定義：若隨機(jī)變量X的分布密度為其中： 是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為顯然：（1）（2） 指數(shù)分

14、布有著重要應(yīng)用，如無限電元件的壽命、動(dòng)植物的壽命，以及隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間等都可用指數(shù)分布來描述。例8： 設(shè)某種燈泡的使用壽命為X，其分布密度為（），求此種燈泡使用超過100小時(shí)的概率：解：133 正態(tài)分布在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中所遇到的隨機(jī)變量，大量的服從或近似服從正態(tài)分布，如測量誤差，植株的高度，各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)（如零件的尺寸、材料的強(qiáng)度）動(dòng)物的體重、人的高度、健康人紅細(xì)胞的數(shù)目、年降雨量、某班學(xué)生的考試成績等等。定義： 設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度為其中和（是兩個(gè)常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布，記作，通常又稱X為正態(tài)變量。y=f(x)的圖形是一條鐘形曲線，該曲線具有如下性質(zhì)：（1） 關(guān)

15、于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，f(x)取得最大值（2）曲線以x軸為水平漸近線；（3）若固定值，改變值，則曲線y=f(x)沿x軸方向平移，而曲線的形狀不變；若固定，改變值，值越大，曲線越平坦，值越小，曲線越尖峭；（4）特別當(dāng)時(shí)，稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作XN(0,1), 其分布密度為習(xí)題一1設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為 k=1,2,3,4,5試求：（1）P(X=1或X=2); (2) ; (3) 2設(shè)隨機(jī)變量X只能取5，6，7，, 16這12個(gè)值，且取每個(gè)值的機(jī)會(huì)均等。試求： （1） （2）； （3）3 在相同條件下，相互獨(dú)立地射擊五次，每次射中目標(biāo)的概率為0.6，求命中目標(biāo)的次數(shù)X的概率分布。4 進(jìn)行某種試驗(yàn)，設(shè)成

16、功的概率為，失敗的概率為，以X表示首次試驗(yàn)成功所需要的次數(shù)，求X的概率分布。5 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求：（1） （2） （3）6 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求： （1）常數(shù)k； （2）7 設(shè)隨機(jī)變量M服從0，10均勻分布，求方程：有實(shí)根的概率。8設(shè)隨機(jī)變量M服從參數(shù)為=1 的指數(shù)分布，求方程：無實(shí)根的概率。9 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度 試求： （1）常數(shù)C； （2） ）10 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)試求相應(yīng)的概率密度，并求。14隨機(jī)變量的分布函數(shù)與隨機(jī)變量函數(shù)的分布 （3-4）141 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 對(duì)于離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布，我們分別用分布律和分布密度來描述，實(shí)際上，還存

17、在一種用來描述各類隨機(jī)變量概率分布的統(tǒng)一形式，這就是隨機(jī)變量的分布函數(shù)。 定義：設(shè)X為一隨機(jī)變量，稱函數(shù)為隨機(jī)變量的分布函數(shù)。F（x）是一個(gè)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，值域?yàn)閰^(qū)間0，1的普遍函數(shù)，它的引入將使許多概率問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而得到簡化。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：(1) （2）F（x）是x的的單調(diào)不減函數(shù)、右連續(xù)；（3）（4）若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的分布密度為，則X的分布函數(shù)有微積分的知識(shí)可以得到如下結(jié)論：（1）F（x）是x的連續(xù)函數(shù)；（2）對(duì)于密度函數(shù)f（x）的連續(xù)點(diǎn)，有F(x)=f(x)例1：離散型隨機(jī)變量其分布率如下：X-1234p1/51/52/51/5試求：（1）X的分布函數(shù)；（2）

18、（3）解：（1）X的分布函數(shù)為；（2）（3）例2： 設(shè)X在區(qū)間a,b上服從均勻分布，求X的分布函數(shù)，計(jì)算；解：X的分布密度為則X的分布函數(shù)為：142 隨機(jī)變量函數(shù)的分布在實(shí)際問題中，經(jīng)常需要研究隨機(jī)變量函數(shù)的分布。隨機(jī)變量X的函數(shù)仍然是一個(gè)隨機(jī)變量?，F(xiàn)在的問題是如何由X的概率分布求出Y的概率分布。1421 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 設(shè)已知離散型隨機(jī)變量X的分布率為Xx1x2xkPp1p2pk 當(dāng)隨機(jī)變量X取得它的某一可能值xi時(shí)，其函數(shù)取值，則隨機(jī)變量Y的分布律為Yg(x1)g(x2)g(xk)Pp1p2pk例3：設(shè)隨機(jī)變量的分布律為X0123P5/3015/309/301/30求：（1） Y

19、=2X+1的分布律； （2） Y=(X-1)2的分布律解（1） Y=2X+1的分布律為Y=2X+11357P5/3015/309/301/30（2）Y=(X-1)2的分布律為Y=(X-1)21014P5/3015/309/301/30把Y=1的兩個(gè)概率相加，得到；Y=(X-1)2014P15/3014/301/301422 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，我們要由隨機(jī)變量X的分布密度去求隨機(jī)變量的分布密度。例4： 設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度為，求Y=kX+b的分布密度。解：設(shè)隨機(jī)變量X與Y的分布函數(shù)分別為和，則若k>0，即函數(shù)Y=kX+b為單調(diào)增函數(shù)時(shí)，有兩端對(duì)y求導(dǎo)，得到若k

20、<0，即函數(shù)Y=kX+b為單調(diào)減函數(shù)時(shí)，有兩端對(duì)y求導(dǎo)，得到綜上所述，不論k>0，還是k<0，均有15正態(tài)變量的標(biāo)準(zhǔn)化 為了解決正態(tài)分布的概率計(jì)算問題，書后附錄了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)函數(shù)值表，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，可供查閱。具有以下性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）故對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算，只需查表即可。對(duì)于一般正態(tài)分布的概率計(jì)算，可以通過定積分的換元積分法化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，然后查表。設(shè)，則有于是得到若用表示的分布函數(shù)，令，則有例5：設(shè)分布，試求：P(1<X<2), P(÷X÷< 1), P(X£-1), 解：該問題為正態(tài)分布，

21、可以直接查表； (1) P(1<X<2) = F（2） F（1） = 0.9772 0.8413 = 0.1359 (2) P(÷X÷< 1) = P ( -1 < X < 1) = F（1） F（-1） = 2F（1） 1= 0.6826 （3）P(X£-1) = F（-1） = 1 F（1）= 1 0.8413 = 0.1587 (4) = 1 - P(X£ 1.54) = 2 2F（1.54）= 2 2*0.9382 = 0.1236 例6：設(shè)分布，試求： 解：該問題為一般正態(tài)分布，將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；（1）P（X

22、£ -3.5) = （2）P(1< X < 3) = （3）1 6隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征，就是刻畫隨機(jī)變量的某種特征（如平均值、偏差程度）的量，它雖然不一定能完整地描述隨機(jī)變量，但在理論和實(shí)踐上都具有重要意義。比如在檢查燈泡的質(zhì)量時(shí)，我們關(guān)心的是燈泡的平均壽命；在農(nóng)業(yè)上我們只關(guān)心某作物的平均產(chǎn)量；在評(píng)定棉花質(zhì)量時(shí)，我們主要關(guān)心纖維的平均長度，以及纖維長度與平均長度的偏差等。161 數(shù)學(xué)期望 定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為， (k=1,2,)若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，簡稱為期望或均值，記作E（X），即 定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密

23、度為，若積分絕對(duì)收斂，則稱此積分值為X的數(shù)學(xué)期望，記作E（X），即例1：設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，試求其數(shù)學(xué)期望。解：此處，故 例2：已知某電子元件的壽命X服從參數(shù)為的指數(shù)分布（單位：h），即其概率密度為求這類電子元件的平均壽命。解：因?yàn)椋始催@類電子元件的平均壽命為1000小時(shí)。162 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 在許多實(shí)際工作中，常常需要求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，若已知隨機(jī)變量X的分布，要求其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，我們可以先由X的分布求出Y的分布，然后按定義計(jì)算Y的期望。定理： 設(shè)是隨機(jī)變量X的函數(shù)（1）若X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，則有：（2） 若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其分

24、布密度為，則當(dāng)收斂時(shí)，有例3：設(shè)風(fēng)速X是一個(gè)隨機(jī)變量，在0,a上服從均勻分布，而飛機(jī)兩翼上所受的壓力Y與風(fēng)速的平方成正比，即求。解：隨機(jī)變量X的分布密度為于是例4：假定國際市場每年對(duì)我國某產(chǎn)品的需求量X是一個(gè)隨機(jī)變量（單位：t），它在區(qū)間2000，4000上服從均勻分布。已知每售出一噸該產(chǎn)品，可賺外匯3萬美圓；若銷售不出去，則每噸需倉儲(chǔ)費(fèi)一萬元。那么，外貿(mào)部門每年應(yīng)組織多少噸貨源，才能使收益最大？解：收益多少是由銷售量和組織的貨源量共同決定的，以y表示組織的貨源量，以X表示需求量，它是一個(gè)隨機(jī)變量，收益量是X的函數(shù)，記作Y。由題設(shè)條件而是隨機(jī)變量X的函數(shù)，根據(jù)題意由于Y是隨機(jī)變量，要收益最大，

25、只需使其平均收益最大即可，也就是使Y的數(shù)學(xué)期望最大，而由微積分可知，當(dāng)組織貨源時(shí)，可使收益最大。E（Y）=8250（美圓）163 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（1）設(shè)C為常數(shù)，則E（C）=C；（2）設(shè)X是隨機(jī)變量，C為常數(shù)，則E（CX）=CE（X）；（3）E（X+C）=E（X）+C；（4）E（kX+b）=kE（X）+b （k，b為常數(shù)）164 方差與標(biāo)準(zhǔn)差 隨機(jī)變量X是數(shù)學(xué)期望，用來描述隨機(jī)變量平均取值的情況，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征。然而在許多實(shí)際問題中，還需要了解隨機(jī)變量取值與其平均值的偏離程度。為此，我們引入方差的概念。 定義：設(shè)X為隨機(jī)變量，若存在，則稱它為隨機(jī)變量X的方差，記作D（X），即D

26、（X）=若X為離散型隨機(jī)變量，則 其中為X的分布律。若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布密度為則通常我們把稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記作即方差D（X）是一個(gè)非負(fù)值，這個(gè)常數(shù)的大小反映隨機(jī)變量X取值的分散程度，方差越大，取值越分散；方差越小，取值越集中。 在方差的計(jì)算中，常用到的公式例5：設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，即求D（X）；解： 因?yàn)閄的概率密度為故：又，所以165 方差的性質(zhì)（1）設(shè)C為常數(shù)，則D（C）= 0；（2）設(shè)X為隨機(jī)變量，C為常數(shù)，則 D（CX）= C2D（X）（3）設(shè)X為隨機(jī)變量，C為常數(shù)，則 D（X+C）= D（X）166 幾種常見分布的期望與方差習(xí)題二1 設(shè)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)

27、正態(tài)分布，求：（1）；（2）；（3）2 設(shè)XN（3，4），求；（1）（2）（3）3 設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為： k=1，2，3，4，5試求：E（X）和D（X）。4設(shè)隨機(jī)變量Y具有分布； k=1，2，試求E（X）和D（X）。5 設(shè)在某一規(guī)定時(shí)間間隔內(nèi)，電器設(shè)備用于最大負(fù)荷的時(shí)間是一連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為求：E（X）6 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求：的數(shù)學(xué)期望和方差。7 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為：求X的期望和方差。8某射手每次擊中目標(biāo)的概率為0.8, 現(xiàn)連續(xù)射擊30次，求擊中目標(biāo)的次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差。2 統(tǒng)計(jì)量及相關(guān)概念（5-6）21 總體與樣本211 樣本 如果我們要了解某工廠生產(chǎn)的燈泡的質(zhì)

28、量，就要對(duì)燈泡的壽命進(jìn)行測試，由于測試具有破壞性，所以我們只能從產(chǎn)品中抽取一部分進(jìn)行壽命測試，然后根據(jù)這部分燈泡的壽命對(duì)整批燈泡的質(zhì)量進(jìn)行推斷。 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，我們把研究對(duì)象的全體稱為總體，而把組成總體的每個(gè)基本單元稱為個(gè)體。在實(shí)際問題中，我們關(guān)心的往往不是研究對(duì)象的全部情況，而是它的某一個(gè)或某幾個(gè)質(zhì)量指標(biāo)。比如，對(duì)燈泡我們只要關(guān)心的是其使用壽命，而該批燈泡的使用壽命X取值的全體，就構(gòu)成了研究對(duì)象的全體，即總體，顯然X是一個(gè)隨機(jī)變量。根據(jù)總體所含個(gè)體的多少，又可把總體區(qū)分為有限總體與無限總體兩類。要了解總體的規(guī)律性，必須對(duì)其中的個(gè)體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、觀測，而統(tǒng)計(jì)觀測的方法一般分為兩類：一類是全面觀測，

29、即對(duì)全部個(gè)體逐個(gè)觀測，該方法全面但是不可行的；另一類是抽樣觀測，即從總體中抽取n個(gè)個(gè)體進(jìn)行觀測，然后由n個(gè)個(gè)體的性質(zhì)來推斷總體的性質(zhì)或規(guī)律性。我們把被抽到的n個(gè)個(gè)體的集合稱為總體的一個(gè)樣本，n稱為該樣本的容量。 在總體X中每抽取一個(gè)個(gè)體，就是對(duì)隨機(jī)變量X進(jìn)行一次觀測，抽取n個(gè)個(gè)體就是對(duì)X進(jìn)行n次觀測，每次觀測的結(jié)果都得到X的一個(gè)個(gè)體的觀測值。把樣本的一個(gè)n維隨機(jī)變量記作，而把樣本觀測值記為。 若總體X的概率密度函數(shù)為，則樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為若總體的分布函數(shù)為，則樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為212 理論分布與樣本分布函數(shù) 我們知道，若總體是隨機(jī)變量X，則X的分布就是總體的分布（也叫理論分布），X的分布函

30、數(shù)便是總體的分布函數(shù)。要了解總體的情況，就要了解隨機(jī)變量X的分布或它的某些數(shù)字特征。問題是如何由樣本來推斷總體的分布。一般做法是作出樣本分布函數(shù)用以觀測理論分布的面貌，下面給出分布函數(shù)的定義：定義：若是總體X的n個(gè)獨(dú)立的觀測值，將這些觀測值由小到大排列為并作出函數(shù)稱為對(duì)總體X進(jìn)行n次獨(dú)立觀測得到的樣本分布函數(shù)（或稱經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)）。的圖形是一條躍遷上升的階梯形曲線，該分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：（1）（2）單調(diào)不減（3）處處右連續(xù)。213 分布密度的近似求法 我們可以由樣本觀測值作出頻率直方圖來近似找到分布密度函數(shù)。通過一個(gè)例子說明直方圖的畫法。例：為了了解某工廠產(chǎn)品重量的分布情況，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中

31、抽取容量為100的樣本，測得其重量如表所示：圖1 產(chǎn)品重量數(shù)據(jù)表 單位：g 試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出總體X的近似分布。近似描述X的概率分布的具體步驟是：（1） 對(duì)n個(gè)樣本值進(jìn)行分組，組數(shù)記為k，一般要依據(jù)樣本容量n的大小決定分組數(shù)k，組數(shù)多少與n的關(guān)系可參考下表。表2-2樣本容量n組數(shù)k5010020030050010005108161020122415302040分組方法是：（a） 將n個(gè)樣本值按大小排列，找出最大值，最小值，本例中， ， （b） 選取a（比略?。┖蚥（比略大），把區(qū)間（a，b）作為樣本的取值區(qū)間，并把（a，b）等分成k個(gè)小區(qū)間，每個(gè)區(qū)間的長度為組距，記為h，這里 本例中 h=0

32、.1(2) 數(shù)出樣本值落入第i個(gè)區(qū)間的個(gè)數(shù)，稱為頻數(shù)，記作（i=1,2,k），進(jìn)而計(jì)算出樣本值落入第i個(gè)區(qū)間的頻率，記作，即（3）列出頻率分布表如下所示：（4）畫出頻率直方圖在頻率直方圖中，高： 從圖中可見，頻率直方圖中第i個(gè)矩形的面積等于樣本值落入第i個(gè)區(qū)間內(nèi)的頻率， 且 即所有矩形面積之和等于1。22 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布 樣本是總體的代表和反映，但在抽取樣本之后，我們并不立即由樣本來推斷總體，而是要對(duì)樣本進(jìn)行“加工”和“提煉”，把樣本中包含我們所關(guān)心的信息集中起來，這就是針對(duì)不同的問題構(gòu)造出某種樣本的函數(shù)，這種樣本的函數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為統(tǒng)計(jì)量。定義：設(shè)是來自總體X的一個(gè)樣本，是不包括任何未知參

33、數(shù)的樣本的函數(shù)，則為統(tǒng)計(jì)量。 由于樣本是隨機(jī)變量，所以作為樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)量也是一個(gè)隨機(jī)變量，若是樣本的一個(gè)觀測值，則就是的一個(gè)觀測值。 一般地，若是來自總體X的樣本，則稱統(tǒng)計(jì)量為樣本均值（表示總體平均取什么值）；稱統(tǒng)計(jì)量為樣本方差（總體取值的分散程度）；稱統(tǒng)計(jì)量為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。稱為樣本的k階原點(diǎn)矩；稱為樣本的k階中心矩。 在統(tǒng)計(jì)中，為了客觀地比較兩個(gè)均值不等的樣本的變異程度而引入的變異系數(shù)，為了度量曲線形狀而引入的偏度，以及峰度等等，均為統(tǒng)計(jì)量。222 抽樣分布 統(tǒng)計(jì)量是n維隨機(jī)變量的函數(shù)，作為一個(gè)隨機(jī)變量，它也有自己的概率分布，通常把統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。 設(shè)總體X的分布函數(shù)已知，如果對(duì)于

34、任意容量為n的樣本，能求出給定的統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù)，則稱該分布函數(shù)為的精確分布，精確分布對(duì)于數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的“小樣本問題”的研究很重要。下面就正態(tài)總體，求出樣本的幾個(gè)函數(shù)的精確分布。2221 樣本均值的分布 設(shè)，是來自總體X的樣本，由于正態(tài)變量的線性函數(shù)仍然是正態(tài)變量，故當(dāng)為已知時(shí)，統(tǒng)計(jì)量通常稱為總體的標(biāo)準(zhǔn)誤，記作 在討論有關(guān)正態(tài)總體的問題時(shí)，經(jīng)常用到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)臨界值的概念。設(shè)，對(duì)于任意給定的滿足或稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)臨界值，其集合解釋如下圖（左）所示。把滿足的稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)臨界值，其如下圖（由）所示。幾個(gè)常用的臨界值為2222 分布 設(shè)是來自總體N（0，1）的樣本，則服從自由度為

35、n的分布，記作分布的密度函數(shù)為 其圖形如下所示。為了使用方便起見，數(shù)學(xué)工作者對(duì)不同自由度、不同值按表達(dá)式計(jì)算出，稱為分布的上側(cè)臨界值，其幾何解釋如下圖所示。例如： n=30， 即 可以證明分布具有可加性：設(shè)且二者相互獨(dú)立，則 研究分布，經(jīng)常用到下述定理：定理1： 設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，則（1） 樣本均值與樣本方差相互獨(dú)立；（2）2223 t分布 設(shè)X N（0，1），Y，且X與Y相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量服從自由度為n的t分布，記為Tt（n）t分布的概率密度函數(shù)為 它的圖形如下所述。 類似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)，當(dāng)n較大時(shí)，t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。研究t分布經(jīng)常用到如下定理：定理2：設(shè)是來自正態(tài)總

36、體的樣本，則統(tǒng)計(jì)計(jì)算通常稱為樣本的標(biāo)準(zhǔn)誤，記作，定理3： 設(shè)和分別來自正態(tài)總體和的樣本，且二者相互獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)量對(duì)于給定的，我們稱滿足條件的為t分布的上側(cè)臨界值，如下圖（左）所示；而把滿足條件的為t分布的雙側(cè)臨界值，如下圖右所示。例如：當(dāng)時(shí)， 2224 F分布設(shè)，且與相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量服從第一自由度為，第二自由度為的F分布，記作F分布的密度函數(shù)為其中F分布的上側(cè)臨界值是指滿足 對(duì)于任意給定的和值，通過查F分布表可得臨界值若較大時(shí)，可由公式查F分布表得出。例如：，則查表可得， 研究F分布，經(jīng)常用到如下定理：定理4 設(shè)是正態(tài)總體的樣本容量和樣本方差；是正態(tài)總體的樣本容量和樣本方差，且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)量23 中心極限定理231 大數(shù)定律本節(jié)所講的大數(shù)定律將從理論上證實(shí)頻率具有穩(wěn)定性2311 切比雪夫不等式切比雪夫不等式：設(shè) 隨機(jī)變量X具有有限期望和方差，記，則對(duì)于任意正數(shù)，恒