簡易邏輯考點(diǎn)和題型歸納

1、簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞考點(diǎn)和題型歸納、基礎(chǔ)知識1. 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)命題中的“且” “或” “非”？叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞. 用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題 p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到復(fù)合命題“ p且q”，記作pA q； 用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題 p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到復(fù)合命題“ p或q”，記作pV q； 對命題p的結(jié)論進(jìn)行否定，得到復(fù)合命題“非p ”，記作非p.? “且”的數(shù)學(xué)含義是幾個(gè)條件同時(shí)滿足，“且”在集合中的解釋為 “交集”；“或”的數(shù)學(xué)含義是至少滿足一個(gè)條件，“或”在集合中的解釋為 “并集”；“非”的含義是否定，“非p”只否定p的結(jié)論，“非”在集合中的解釋為 “補(bǔ)集” ?“命題的否定

2、”與“否命題”的區(qū)別(1) 命題的否定只是否定命題的結(jié)論，而否命題既否定其條件，也否定其結(jié)論.(2) 命題的否定與原命題的真假總是相對立的，即一真一假，而否命題與原命題的真假無必然聯(lián)系.(2)命題真值表：pqpA qp V q非p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真命題真假的判斷口訣pVqi見真即真，pAqi見假即假，p與非pi真假相反2. 全稱量詞與存在量詞量詞名稱常見量詞表示付號全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個(gè)等?存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、某個(gè)、有些、某些等?3.全稱命題與特稱命題命題名稱命題結(jié)構(gòu)命題簡記全稱命題對M中任意一個(gè)x,有p(x)成立? x M , p(x)

3、特稱命題存在M中的一個(gè)X。，使p(X0)成立? X0 M , p(X0)4.全稱命題與特稱命題的否定命題命題的否定? x M , p(x)? x° M ,非 p(X0)? X0 M , p(X0)? x M ,非 p(x)二、常用結(jié)論含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的等價(jià)關(guān)系(1) pV q真？ p, q至少一個(gè)真？(非p) A (非q)假.(2) pV q 假? p, q 均假?(非 p) A (非 q)真.(3) pA q 真? p, q 均真?(非 p) V (非 q)假.(4) pA q假？ p, q至少一個(gè)假？(非p) V (非q)真.考點(diǎn)一判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假典例(1)(20

4、17山東高考)已知命題p： ? x>0 , ln(x+ 1)>0;命題q :若a>b，貝U a2>b2 下列命題為真命題的是()A . pA qB . pA 非 qC.非 p A qD .非 p A 非 q1(2)(2019 安徽安慶模擬)設(shè)命題 p： ? x° (0 , +s ), X0+ >3;命題 q： ? x (2,),x2>2x,則下列命題為真的是（）A . pA （非 q）B . （非 p） A qC. p A qD . （非 p） V q解析當(dāng)x>0時(shí)，x+ 1>1，因此In（x+ 1）>0,即卩p為真命題；取 a=

5、 1, b= 2,這時(shí)滿足a>b,顯然a2>b2不成立，因此q為假命題由復(fù)合命題的真假性，知B為真命題.117（2）對于命題p,當(dāng)xo= 4時(shí)，xo+ = >3，故命題p為真命題；對于命題 q，當(dāng)x= 4X04時(shí),24= 42= 16,即？ xo （2 , + ），使得2xo= x0成立，故命題q為假命題，所以p A（非q）為真命題，故選A.答案B （2）A題組訓(xùn)練1. （2019惠州調(diào)研）已知命題p, q,則“非p為假命題”是“ p A q是真命題”的（）A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件D .既不充分也不必要條件解析：選B 充分性：若非p為假命題，則p為

6、真命題，由于不知道 q的真假性，所以 推不出p Aq是真命題.必要性：pAq是真命題，則p, q均為真命題，則非 p為假命題.所 以“非p為假命題”是“ p Aq是真命題”的必要不充分條件.2. 已知命題 p： “若 x2- x>0,則 x>1 ”；命題 q： “若 x, y R, x2 + y2= 0，則 xy =0”.下列命題是真命題的是 （）A . pV （非 q）B. p V qC. p A qD.（非 p） A （非 q）解析：選B 若x2- x>0 ,則x>1或x<0,故p是假命題；若x, y R, x2+ y2= 0，則x =0, y = 0, xy

7、= 0,故q是真命題.則 p Vq是真命題.考點(diǎn)二全稱命題與特稱命題典例 命題? x R, ex- x 1> 0的否定是（）A . ? x R, ex x 1 w 0典例 已知p :存在xo R, mx2 + K 0, q :任意x R, x2+ mx+ 1>0.若p或q為假B. ? x R, ex- x 1> 0xC. ? xo R, e 0xo 1< 0x0D. ? xo R, e Xo 1<0x對命題？ xo>O , x0>2 0，下列說法正確的是（）xA .真命題，其否定是？ X0W 0, x0< 2 0B .假命題，其否定是？ x>

8、;0 , x2 2xC.真命題，其否定是？ x>0 , x2 2xD .真命題，其否定是？ xw 0, x2w 2x解析（1）改全稱量詞為存在量詞,把不等式中的大于或等于改為小于故選D.已知命題是真命題，如32= 9>8 = 23,其否定是？ x>0, x2< 2x.故選C.答案（1）D（2）C題組訓(xùn)練 1. 命題“ ？ x R, ? n N*,使得nw x2”的否定形式是（）A. ? x R, ? n N*，使得 n>x2B. ? x R, ? n N*，使得 n>x2C. ? x° R, ? n N*，使得 n>x2D. ?x°

9、 R, ?n N*，使得 n>x2解析：選D ?改寫為？，？改寫為？，nw x2的否定是n>x2，則該命題的否定形式為“? X0 R, ? n N*，使得 n>x2".2. 已知命題p: ? n R,使得f（x）= nxn2 + 2n是幕函數(shù)，且在（0,+）上單調(diào)遞增；命 題q :“ ？ x° R, x2 + 2>3X0”的否定是“ ？ x R, x2 + 2<3x” .則下列命題為真命題的是 （）A . pA qB.（非 p） A qC. p A （非 q）D. （非 p） A （非 q）解析：選C 當(dāng)n= 1時(shí)，f（x） = x3為幕函數(shù)，

10、且在（0, +s）上單調(diào)遞增，故p是真命題， 則非p是假命題；“？X0R,x0+2>3X0”的否定是“ ？xR,x2+2w 3x”，故q是假命題，非q是真命題.所以pAq,（非p）Aq,（非p） A（非q）均為假命題，pA（非q）為真命題，選C.考點(diǎn)三 根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解依題意知p，q均為假命題，當(dāng)p是假命題時(shí)，則 mx2+ 1>0恒成立，則有 m> 0;當(dāng)q是真命題時(shí)，則 A= m2 4<0，- 2<m<2.因此由p, q均為假命題得 m> 0,mW 2或m2,即m2.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為2 ,+）.變透練清

11、1. （變條件）若本例將條件"p或q為假命題”變?yōu)?quot;p且q為真命題”，其他條件不變，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.解析：依題意，當(dāng)p是真命題時(shí)，有 m<0;當(dāng)q是真命題時(shí)，有2<m<2,m<0,由可得2<m<0.2<m<2,所以m的取值范圍為（一2,0）.答案：（一2,0）2. （變條件）若本例將條件"p或q為假命題”變?yōu)?quot;p且q為假，p或q為真”，其他條件不變，則實(shí)數(shù) m的取值范圍為 .解析：若p且q為假，p或q為真，則p, q 一真一假.m<0,當(dāng)p真q假時(shí)所以mW2;m2 或 mW 2,m0,當(dāng)p假q真

12、時(shí)所以0w m<2.2<m<2,所以m的取值范圍為（一R, 2 U 0,2）.答案：（ a, 2 U 0,2）3. （變條件）若本例將條件q變?yōu)椋捍嬖趚o R, xo+ mxo+ 1<0 ,其他條件不變，則實(shí)數(shù) m的取值范圍為.解析：依題意，當(dāng)q是真命題時(shí)，= m2 4>0,m> 0,所以m>2或m< 2.由得OW m<2,2W mW 2,所以m的取值范圍為0,2.答案：0,2課時(shí)跟蹤檢測X1. （2019西安摸底）命題“ ？ x>0 ,>0 ”的否定是（）X 1X0A. ? X0> 0,W 0B. ? X0>0,0

13、 W X0W1X0 1XC. ? X>0,W 0D. ? X<0,0W XW 1X 1Xx解析：選 B >0,.x<0 或 X>1 ,>0 的否定是 0WxW 1,X 1x1命題的否定是“？ X0>0,0 W X0W 1”.2. 下列命題中，假命題的是（）A . ? x R,21 x>0B. ? a。 R, y= xa°的圖象關(guān)于y軸對稱C. 函數(shù)y= xa的圖象經(jīng)過第四象限1D .直線x+ y+ 1 = 0與圓x2+ y2 = 相切解析：選C 對于A，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知為真命題；對于 B,當(dāng)a = 2時(shí)，其圖象 關(guān)于y軸對稱；對于C

14、,當(dāng)x>0時(shí)，y>0恒成立，從而圖象不過第四象限，故為假命題；對 于D，因?yàn)閳A心（0,0）到直線x + y+ 1 = 0的距離等于扌2,等于圓的半徑，命題成立.3. （2019陜西質(zhì)檢）已知命題p：對任意的x R，總有2X>0; q：x>1 ”是X>2”的充分不必要條件，則下列命題為真命題的是（）A . pA qB.（非 p） A （非 q）C.（非 p）A qD. p A （非 q）圍是()解析：選D 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知命題p為真命題易知 x>1是Q2的必要不充分條件，所以命題q為假命題.由復(fù)合命題真值表可知pA（非q）為真命題.4. （2018湘東五校聯(lián)

15、考）下列說法中正確的是（）A .“ a>1 , b>1 ”是ab>1 ”成立的充分條件xB. 命題 p: ? x R,2x>0，則非 p： ? xo R,2 °<01 1C. 命題“若a>b>0,則-<匚”的逆命題是真命題a bd . a>b"是a2>b2”成立的充分不必要條件解析：選A 對于選項(xiàng)A，由a>1, b>1，易得ab>1，故A正確.對于選項(xiàng) B，全稱命x題的否定是特稱命題，所以命題p： ? x R,2x>0的否定是非 p: ? x° R,2 0< 0,故B錯(cuò)1 1

16、誤.對于選項(xiàng)C,其逆命題：若-<r，則a>b>0 ,可舉反例，如a =- 1, b= 1,顯然是假命a b題，故C錯(cuò)誤.對于選項(xiàng) D，由a>b”并不能推出a2>b2”，如a= 1, b=- 1，故D錯(cuò)誤.故 選A.5. （2019唐山五校聯(lián)考）已知命題p： a>b”是“a>2b”的充要條件；命題 q： ? X0 R, x。+ 1|W X0,則（）A .（非p） V q為真命題B. p A （非q）為假命題C. p A q為真命題D. p V q為真命題解析：選D 由題意可知命題 p為真命題.因?yàn)閨x+ 1|< x的解集為空集，所以命題q為 假命題

17、，所以p Vq為真命題.6. 下列說法錯(cuò)誤的是（）A .命題“若x2 5x+ 6= 0，貝V x= 2”的逆否命題是“若 xm 2，貝V x2 5x+ 6工0”B. 若命題 p:存在 X0 R, x0+ X0+ 1<0,則非 p:對任意 x R, x2 + x+ 1> 0C. 若x, y R，則“ x = y”是“ xy>午孑2”的充要條件D .已知命題p和q,若“ p或q”為假命題，則命題 p與q中必一真一假解析：選D 由原命題與逆否命題的關(guān)系，知A正確；由特稱命題的否定知B正確；由xy>4xy> (x+ y)2? 4xy >x2 + y2 + 2xy?

18、(x y)2< 0?x= y,知C正確；對于命題“p或q”為假命題，則命題 p與q均為假命題，所以 D不正確.7. （2019長沙模擬）已知命題“ ？ x R, ax2 + 4x+ 1>0”是假命題，則實(shí)數(shù) a的取值范B. (0,4A. (4,+ )解析：選C當(dāng)原命題為真命題時(shí),D. 0,4)a>0且A<0,所以a>4，故當(dāng)原命題為假命題時(shí), aw 4.&下列命題為假命題的是 ()A .存在 x>y>0,使得 In x+ In y<0B. “片n是“函數(shù)y= sin(2x+為偶函數(shù)”的充分不必要條件C. ? xo ( , 0),使 3xo

19、<4xo成立D. 已知兩個(gè)平面a,若兩條異面直線m, n滿足m? a, n?B且m/3,n/a,貝Ua/ 31解析：選C 對于A選項(xiàng)，令x= 1 , y=-,貝U ln x+ ln y= 1<0成立，故排除 A.對于eB選項(xiàng)，“A n是“函數(shù)y= sin (2x+妨為偶函數(shù)”的充分不必要條件，正確，故排除 B.對于C選項(xiàng)，根據(jù)幕函數(shù)y= xa,當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故不存在xo (8 , 0),使3xo<4xo成立，故C錯(cuò)誤.對于D選項(xiàng)，已知兩個(gè)平面a, 3若兩條異面直線m , n滿足m? a, n? 3且m/3 n/a ,可過n作一個(gè)平面與平面a相交于直線n

20、9;.由線面平行的性質(zhì)定理可得n' /n,再由線面平行的判定定理可得n' /3,接下來由面面平行的判定定理可得/ 3 ,故排除D,選C.9 .若命題p的否定是“ ？ x (0 , + 8), x > x + 1” ,則命題p可寫為解析：因?yàn)閜是非p的否定，所以只需將全稱量詞變?yōu)樘胤Q量詞，再對結(jié)論否定即可.答案：？ X0 (0 , +8), x0< X0+ 110.已知命題 p: x2+ 4x+ 3>0 , q： x Z ,且“pAq”與“非q”同時(shí)為假命題，則x =.解析：若p為真，貝y x> 1或x< 3 ,因?yàn)椤胺莙”為假，則q為真，即x Z ,又因?yàn)椤皃Aq"為假，所以p為假，故3v xv 1 ,由題意，得x= 2.答案：211. 已知p： a<0, q： a 1 當(dāng) q為假命題時(shí)，一2<t<2,