包含多子帶結(jié)構(gòu)的MOS器件開(kāi)啟電壓量子力學(xué)效應(yīng)修正模型

1、第 20卷第3 期半導(dǎo)體學(xué)報(bào)Vol.20,No.31999 年3 月CHINESEJOURNALOFSEMICONDUCTORSMar.,1999包含多子帶結(jié)構(gòu)的MOS 器件開(kāi)啟電壓量子力學(xué)效應(yīng)修正模型馬玉濤李志堅(jiān)劉理天(清華大學(xué)微電子學(xué)研究所北京100084)摘要 量子力學(xué)效應(yīng)對(duì)于深亞微米 MOSFET 特性的影響隨著襯底濃度的增加和柵氧層厚度的減小而日益顯著 .實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明 :量子力學(xué)效應(yīng)能夠?qū)е麻_(kāi)啟電壓明顯的漂移 .本文通過(guò)比較薛定諤方程在拋物線勢(shì)壘下的數(shù)值解和三角勢(shì)壘下的解析解驗(yàn)證了 MOS 結(jié)構(gòu)弱反型區(qū)量子力學(xué)效應(yīng)三角勢(shì)壘近似的正確性 .在計(jì)算弱反型區(qū)量化層內(nèi)子帶結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上 , 提

2、出量子化有效態(tài)密度和經(jīng)典有效態(tài)密度的概念 ,分析了載流子在子帶中的分布情況 ,討論了量子力學(xué)效應(yīng)影響開(kāi)啟電壓的兩個(gè)因素,并在此基礎(chǔ)上給出了開(kāi)啟電壓的量子力學(xué)修正模型.該模型準(zhǔn)確地揭示了量子力學(xué)效應(yīng)影響開(kāi)啟電壓的物理實(shí)質(zhì) ,并給出了與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合的結(jié)果 . EEACC:2530F,2560B1 引言隨著 MOS 器件向深亞微米領(lǐng)域發(fā)展 ,按比例縮小規(guī)律要求襯底濃度不斷增大柵氧厚17-3 度不斷減小 .當(dāng)柵長(zhǎng)減小到 0125m后 ,襯底濃度可達(dá)到 5×10cm,柵氧厚度則下降到10nm 以下 1.這樣 ,即使在弱反型區(qū) MOS 結(jié)構(gòu)硅表面也能形成很強(qiáng)的電場(chǎng) .當(dāng)溝道區(qū)垂直方向電勢(shì)的變化尺

3、度可以和電子波長(zhǎng)相比擬時(shí) ,溝道區(qū)出現(xiàn)量子化 ,能級(jí)產(chǎn)生分裂 ,原來(lái)連續(xù)的能帶變成一系列二維子帶 2,3.能帶結(jié)構(gòu)和態(tài)密度的變化 ,會(huì)影響載流子的分布 ,從而影響到 MOS 器件的開(kāi)啟特性 . 實(shí)驗(yàn)結(jié)果 35表明 ,當(dāng)襯底濃度達(dá)到 5×1017cm-3 時(shí),開(kāi)啟電壓的漂移可達(dá)到 011V 以上 .對(duì)開(kāi)啟電壓漂移的物理實(shí)質(zhì)作深入分析并在開(kāi)啟電壓的解析模型中引入量子力學(xué)效應(yīng)是非常重要的 .通常對(duì)于開(kāi)啟電壓量子力學(xué)效應(yīng)的解析修正都是基于以下假設(shè) 4,6:(1) 反型區(qū)采用三角勢(shì)壘近似 ;(2)載流子只占據(jù)最低能帶 (基帶 );(3)載流子峰值濃度偏離界面將導(dǎo)致表面勢(shì)有 En? z 的增量

4、(En 為表面電場(chǎng) ,? z 為量子化導(dǎo)致的載流子厚度的增量 ). 文獻(xiàn) 4 中給出的開(kāi)啟電壓量子力學(xué)修正模型中引入了三個(gè)修正項(xiàng) :第一項(xiàng)是由于分立馬玉濤 男,1974 年出生 ,博士生 ,從事半導(dǎo)體器件物理特性、器件模型等研究李志堅(jiān) 男,1928 年出生 ,教授、中國(guó)科學(xué)院院士 ,從事半導(dǎo)體器件、微電子機(jī)械、系統(tǒng)集成等研究劉理天男,1947 年出生 ,教授 ,從事半導(dǎo)體器件、集成傳感器、微電子機(jī)械研究1998207209收到 ,1998211223定稿220半導(dǎo)體學(xué)報(bào)20 卷能級(jí)偏離導(dǎo)帶底造成的等效禁帶變寬 ,第二項(xiàng)是載流子峰值濃度偏離界面導(dǎo)致的En? z 的表面勢(shì)的增量 ,第三項(xiàng)是襯底高摻

5、雜引起的禁帶變窄效應(yīng)7.我們認(rèn)為以往的模型主要有下述三個(gè)問(wèn)題:(1)反型層采用三角勢(shì)壘近似和載流子只占據(jù)基帶的假設(shè)的正確性需要進(jìn)行驗(yàn)證;(2)在 MOS 器件剛剛開(kāi)啟時(shí) ,載流子只占空間電荷區(qū)總電荷量的很小一部分 ,其分布導(dǎo)致 En? z 的表面勢(shì)的增量沒(méi)有充分的理論依據(jù) ;(3)高摻雜引起的禁帶變窄效應(yīng)僅僅是在導(dǎo)帶底產(chǎn)生帶尾 ,其對(duì)開(kāi)啟電壓漂移的影響需要進(jìn)一步分析 .深入分析表明 :量子力學(xué)效應(yīng)對(duì)開(kāi)啟電壓的影響體現(xiàn)在兩個(gè)反面 :一方面 ,電子的第一個(gè)子帶帶底高于導(dǎo)帶底 ,等效于禁帶變寬 ,減小載流子的濃度 ;另一方面 ,二維多子帶結(jié)構(gòu)相對(duì)于三維連續(xù)帶結(jié)構(gòu)的差別直接導(dǎo)致載流子分布的變化 .而后

6、者在以往的模型中都沒(méi)有考慮到 .本文在耗盡近似下利用有限差分法求解薛定諤方程的基礎(chǔ)上討論了通常采用的三角勢(shì)壘近似的正確性 ,并從子帶結(jié)構(gòu)出發(fā)分析了量子力學(xué)效應(yīng)導(dǎo)致開(kāi)啟電壓漂移的物理實(shí)質(zhì) ,進(jìn)而在定量分析量子力學(xué)效應(yīng)影響開(kāi)啟電壓的兩個(gè)因素的基礎(chǔ)上引入量子化和經(jīng)典有效態(tài)密度的概念 ,并給出了開(kāi)啟電壓的量子力學(xué)效應(yīng)修正模型.2三角勢(shì)壘近似的正確性三角勢(shì)壘情況下求解薛定諤方程可以得到解析解2. 假定勢(shì)壘為 :qFszz 0 (z)= z<0在有效質(zhì)量近似下求解薛定諤方程:22(z) i=02+Ei+q 2m3dz(1)(2)可以得到 :z-i(z)=Ai(2(EiqFs)(3)423 其中Ei

7、是第 i 個(gè)能級(jí) :Ei=22m31(3)式中的 Ai(x) 為 Airy 函數(shù) .但在實(shí)際的 MOS 結(jié)構(gòu)耗盡區(qū)或反型區(qū) ,其勢(shì)壘為拋物線型 .拋物線勢(shì)壘下是得不到解析解的.經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論表明 :載流子大部分分布在距SiO22(qFs)的范圍內(nèi) .量子力學(xué)理論的分析Si 界面 kBT同樣得出 :較低的幾個(gè)能級(jí)其能態(tài)也主要取決于勢(shì)壘底部的電勢(shì)分布 .因此 ,在三角勢(shì)壘近似中Fs 通常取表面電場(chǎng) .我們?cè)趻佄锞€勢(shì)壘下用有限差分法求解薛定諤方程 ,并同三角勢(shì)壘近似下的解析解比較,結(jié)果在圖 1 中給出 .圖 1 三角近似和拋物線近似結(jié)果比較由圖 1 可以看出 ,三角勢(shì)壘近似下的解析解和3 期馬玉濤等

8、:包含多子帶結(jié)構(gòu)的MOS 器件開(kāi)啟電壓量子力學(xué)效應(yīng)修正模型 221 拋物線近似下的數(shù)值解在襯底濃度小于 1018cm-3 時(shí),誤差是很小的 .當(dāng)襯底濃度大于 1018cm 時(shí),最低能級(jí)仍能有非常好的近似 ,計(jì)算結(jié)果表明 ,當(dāng)襯底濃度大于 1018cm-3時(shí) ,80%以上的載流子占據(jù)在最低能級(jí)上 .因此 ,以三角勢(shì)壘近似來(lái)計(jì)算弱反型區(qū)的能帶結(jié)構(gòu)是合理的 .3 子帶結(jié)構(gòu)及電子分布模型 -3量子化后的電子能態(tài)由一系列的二維子帶組成 ,其能帶結(jié)構(gòu)和狀態(tài)密度明顯不同于經(jīng)典理論 .勢(shì)壘區(qū)的電子能帶結(jié)構(gòu)的變化引起載流子分布的變化 ,從而影響表面達(dá)到強(qiáng)反型的條件 ,導(dǎo)致開(kāi)啟電壓的漂移 .已有的對(duì)開(kāi)啟電壓的量子

9、力學(xué)修正模型中都沒(méi)有考慮到二維能帶結(jié)構(gòu)對(duì)電子分布的影響 ,同時(shí)總是假定只有最低能級(jí)被電子占據(jù) .我們引入有效態(tài)密度的概念來(lái)表征載流子在多個(gè)能級(jí)下的分布情況 ,并同經(jīng)典分布作比較 ,進(jìn)而導(dǎo)出開(kāi)啟電壓的量子力學(xué)修正解析模型 .以 Si(100)表面為例 ,量子化前的 6 個(gè)簡(jiǎn)并的導(dǎo)帶分裂成兩組能谷 (i=1,2), 其簡(jiǎn)并度分別為 g=(2,4),兩種能谷的態(tài)密度分別為 :Di= ?2i=1,2(5)式中mdei 是第 i 個(gè)能谷的態(tài)密度有效質(zhì)量.Eij 為第 i 個(gè)能谷的第 j 個(gè)能級(jí) ,以 Eij 為帶底的二維子帶上分布的電子數(shù)為:Nij= Eijij DiexpkBTdE=DikBTexpk

10、BT(6)總的載流子濃度為 :Nqm= Nij=expkBT D ijiBkTexpkBT(7)其中E10 為第一個(gè)分立能級(jí) ;s為表面勢(shì) .(注:式中能級(jí) Eij 的值是相對(duì)于界面處導(dǎo)帶底的值).我們計(jì)算了 T=300K,表面剛達(dá)到強(qiáng)反型時(shí)最低能級(jí)上分布的電子占電子總量的比例,結(jié)果在圖 2中給出 .由結(jié)果可以看出 ,電子只分布在基帶的假設(shè),在很大的濃度范圍內(nèi) ,并不能反映 MOS 結(jié)構(gòu)弱反型區(qū)的電子分布的實(shí)際情況 .定義量子化有效態(tài)密度NNcqmcqm:kBTkBT= DijiBkTexp(8)則 :Nqm=Ncqmexpexp-kBT(9) 圖 2 基帶電子占電子總量的比例經(jīng)典理論下:Nc

11、lass(z)=Ncexpexp-kBTkBT(10)經(jīng)典分布的載流子濃度為:222半導(dǎo)體學(xué)報(bào)20 卷Nclass= dNclass(z)dz=exp0kBTcclass 0dNcexp-dzkBT(11) 定義經(jīng)典有效態(tài)密度N:cclassN= 0dNcexp-dzkBTkBT,另一個(gè)就是 NkBT(12) 則:Nclass=Ncclassexp(13)比較 (9)式和 (13)式可以看出:影響載流子面密度的因素有兩個(gè) ,一個(gè)是第一個(gè)分立能級(jí)與導(dǎo)帶底之差 exp-Ncclasscqm和之間的差別 .而后者正是反映電子在多個(gè)二維子帶中的分布相對(duì)于經(jīng)典分布的差異.圖 3 中給出了量子化有效態(tài)密度

12、和經(jīng)典有效態(tài)密度的計(jì)算結(jié)果.從圖中可以看出 ,在整個(gè)濃度范圍內(nèi)Ncqm 大于Ncclass,表明考慮電子在多個(gè)子帶中的分布相對(duì)于經(jīng)典分布其濃度增加了 ,等效為禁帶變窄 .而通常文獻(xiàn)中假定的量子力學(xué)效應(yīng)引起的載流子分布的變化(峰值偏離界面 )導(dǎo)致表面勢(shì)有En? z 的增量 ,其作用等效為禁帶變寬 .可見(jiàn) ,該假定不能真實(shí)地反映量子力學(xué)效應(yīng)對(duì)載流子分布的影響.文獻(xiàn) 4 中引入高摻圖 3 量子化和經(jīng)典有效態(tài)密度的比較雜導(dǎo)致禁帶變窄效應(yīng)來(lái)補(bǔ)償該項(xiàng)假定引起的誤差 .在下一節(jié)中可以看到 :不借助高摻雜引起的禁帶變窄效應(yīng) ,只從量子力學(xué)效應(yīng)的物理實(shí)質(zhì)出發(fā) ,我們的模型給出了同樣的結(jié)果 .4 開(kāi)啟電壓的量子力

13、學(xué)修正模型及計(jì)算結(jié)果我們應(yīng)用前面給出的次開(kāi)啟區(qū)載流子分布的量子力學(xué)模型和經(jīng)典模型計(jì)算剛達(dá)到強(qiáng)反型時(shí)表面勢(shì)之差 ,并推導(dǎo)開(kāi)啟電壓的量子力學(xué)修正公式 .定義 :則:Ncqm=Ncclassexp-? ENkBT(15)(13)、(15)可得到 MOS 結(jié)構(gòu) Si 表面剛達(dá)到強(qiáng)反型時(shí)由于量子力學(xué)效應(yīng)而產(chǎn)比較(9)、生的表面勢(shì)的增量 :(? EN+E10)qm(16)? s=q忽略可動(dòng)電荷的影響 ,在耗盡近似下得到開(kāi)啟電壓的量子力學(xué)修正公式為:qm? VT= ? s1+2Coxb(17)其中 :3 期馬玉濤等 :包含多子帶結(jié)構(gòu)的MOS 器件開(kāi)啟電壓量子力學(xué)效應(yīng)修正模型223 b=lnniq(18)在模

14、型實(shí)際應(yīng)用中 ,必須簡(jiǎn)化 ? ENc 的計(jì)算 .我們?cè)?4×1016cm-3 到 3×1018cm-3 范圍內(nèi)計(jì)算了 ? ENc 的值并用 log(Nsub)的二次函數(shù)進(jìn)行擬合 ,擬合結(jié)果由圖 4 給出 ,擬合的最大相對(duì)誤差不超過(guò) 3%.圖 5 中給出了考慮量子力學(xué)效應(yīng)(曲線 (a)和不考慮量子力學(xué)效應(yīng) (曲線 (b)以及量子力學(xué)效應(yīng)中只考慮單個(gè)子帶能級(jí)抬升影響(曲線 (c)三種情況下 ,表面剛剛達(dá)到強(qiáng)反型時(shí)表面勢(shì)隨襯底濃度的變化情況 .圖中可以看出 ,量子力學(xué)效應(yīng)對(duì)于表面強(qiáng)反型的條件影響是很大的,同時(shí)可以看出 :如果不考慮有效態(tài)密度的影響(即? ENc),將導(dǎo)致更高的表面

15、勢(shì) ,從而使開(kāi)啟電壓的量子力學(xué)修正結(jié)果偏大 .圖 4 ? ENc 的二次曲線擬合結(jié)果我們利用擬合的結(jié)果 ,按照上面給出的模型計(jì)算開(kāi)啟電壓的量子力學(xué)效應(yīng)修正 ,并與文獻(xiàn) 4中給出的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較,結(jié)果見(jiàn)圖 6.圖 5量子化效應(yīng)對(duì)表面勢(shì)的影響圖6開(kāi)啟電壓量子力學(xué)修正模型結(jié)果文獻(xiàn)4中的開(kāi)啟電壓定義為給定源漏電壓(011V) 和源漏電流 (100nA(WL) 下的柵電壓 ,開(kāi)啟電壓的漂移量是實(shí)測(cè)結(jié)果與不考慮量子力學(xué)效應(yīng)時(shí)的模擬結(jié)果之差.可以看出 ,不借助高摻雜導(dǎo)致禁帶變窄效應(yīng),只從量子力學(xué)效應(yīng)的物理實(shí)質(zhì)出發(fā),我們的模型具有與文獻(xiàn) 4 中的模型相同的準(zhǔn)確度 .5結(jié)論本文首次通過(guò)對(duì)薛定諤方程的數(shù)值求解驗(yàn)證

16、了 MOS 結(jié)構(gòu)弱反型下量子力學(xué)效應(yīng)分析中采用三角勢(shì)壘近似的正確性 ,并在分析量子化層中的子帶結(jié)構(gòu)和電子分布的基礎(chǔ)上引入224 半 導(dǎo) 體 學(xué) 報(bào) 20 卷量子化有效態(tài)密度的概念 ,進(jìn)而給出了開(kāi)啟電壓的量子力學(xué)修正模型 .該模型首次計(jì)及了電子在多個(gè)子帶上分布的影響 ,反映了量子力學(xué)效應(yīng)對(duì)開(kāi)啟電壓的影響的真實(shí)的物理圖象 , 并給出了與實(shí)驗(yàn)比較吻合的結(jié)果 .致謝 本文作者感謝本所的楊之廉老師和田立林老師、斯坦福大學(xué)的余志平博士給予的關(guān)心和幫助 ,以及與陳文松同學(xué)進(jìn)行的有益的討論 . 參考文獻(xiàn)1 G.Baccaranietal.,IEEETrans.ElectronDevices,1984,31(4

17、):452.2 F.Stern,Phys.Rev.B,1972,5(12):4891.3 T.Andoetal.,Rev.Mod.Phys.,1982,54:437.4 M.J.VanDortetal.,IEEETrans.ElectronDevices,1992,39(4):932.5 S.Jallepallietal.,IEEETrans.ElectronDevices,1997,44(3):297.6 M.J.VanDortetal.,Solid2StateElectron.,1994,37(3):435.7 J.W.SlotboomandH.C.deGraaf,Solid2StateE

18、lectron.,1976,19:857. MOSDeviceThresholdVoltageModelConsideringQuantum MechanicalEffectIncludingMulti-SubbandOccupation MaYutao,LiZhijian,LiuLitian (InstituteofMicroelectronics,TsinghuaUniversity,Beijing 100084) Received9July1998,revisedmanuscriptreceived23November1998 Abstract Withincreasingofthesubstratedopantconcentrationanddecreasingofthegateoxidethickness ,theinfluenceofQuantumMechanicalEffects(QME)ondeep2submicronMOSFETcharacter isticsaregettingmoreandmoresignificant.ExperimentsresultsshowthatQMEcanresultinnot iceablethresholdvolta