Mallat算法小結(jié)含MATLAB編程

1、Mallat算法小結(jié)一、發(fā)展背景1987 年,Mallat and Meyer 提出了 多分辨分析(Multiresolution Analysis),從而成功的統(tǒng)一了在此之前的 St:ronibe:rg、Meye:r、Lema:rie 和Battle提出的具體小波函數(shù)的構(gòu)造，研究了小波變換的離散化情 形。并且Mallat在圖像的分解與重構(gòu)的塔式算法的啟發(fā)下，根據(jù)多 分辨率理論，提出小波分解與重構(gòu)的快速算法，稱為Mallat算法。二、算法優(yōu)點(diǎn)Mallat算法可以避免尺度a值越大，對信息屮(t)的釆樣就得越 密的缺點(diǎn)，這一算法在小波分析中地位很重要，相當(dāng)于快速傅里葉變 換(FFT)在經(jīng)典傅里葉分

2、析中的地位。三、基本原理及步1、Mallat算法的信號分解1) 根據(jù)多分辨率理論，得出結(jié)論：n其中，Pjf(t): f (t)在Vj中的投影，是f(t)在分辨率j下的平滑逼 近。X：線性組合的權(quán)重,也就是f (t)在分辨率j下的平滑逼近的概貌。帖化)：離散后的正交小波基當(dāng)j二0時(shí)，Pof (t)二£%(/)(1)n由于%-<P 丿(U 加(t)=P 0 /，血'(t)因?yàn)镈xf (t)與加(t)正交，所以DJ(t),比(t)> = 0,所以X：)=<XA 血(0)=2九血(t)£(2)nn其中九(t)亦(t)=%(m2k)代入(2)得一P以

3、9;/ C、Xk Ln-?k)Xn(3)n注：xj為離散平滑逼近類似還可以得到(込)£?(4)n注：為離散細(xì)節(jié)信號即小波信號2) 從設(shè)計(jì)濾波器的角度考慮，設(shè)尸兀丁(爐工/lo(kn)x7(5)n經(jīng)過二抽取后，得(1) _ 1Xk Xik將(5)式代入上式，得顯違爐2町£：)(6)n類似還可以得到卜工仏如兀(7)n注：(6) (7)式表現(xiàn)了由V。到仏，M的分解。仿照前面的步驟推導(dǎo)出如下結(jié)論兀=工血(t)血(t)£：)=0o” (t),血(t)£：)(8)nndf 吃血(t),沏(t)£吃00“ (t),%(t)£(9)nn其中分解系數(shù)為

4、血(U 0k (t)=0On (U 血(t)W)(n-2k)血，忽=0o” (U(Plk (t)=gk)這樣我們可以逐級引申，對云做由也到V2, W2的分解，得到 £和 d?，再對做由也到也，見的分解，得到和d：»，對£ 由Vj到V“ W迫的分解，所需的電路結(jié)構(gòu)不變，且濾波器的系數(shù)仍為(上)=%o(k)，力i(去)=h(k) o3) 如下圖所示的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可以重復(fù)推演下去。圖1網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)結(jié)構(gòu)2、Mallat算法的信號重建用類似的思路，可以逆推重建過程，由上可知v-vj+1©wJ+1 所以Pjjf (t)=P f (t)+Dj f (t)KK又£w=

5、PM(t)0“(t)因此£2M(t)，04(t)£+Y(t)，0*(t)d?KK由Mallat算法的信號分解中相同的證明，我們可以得到02,04 (0=血(t),0On (t)=ogk) 如(t)7-l.n (t)=血(t)，0On (t)2k) 所以%r)=E力ogk產(chǎn):+工九如d r(10)K '7 K KKK(10)式反映了相鄰兩級的反演關(guān)系，其中X?是第j級的離散平 滑信號，d?是第j級的離散細(xì)節(jié)信號；兀；是由和d?重建得到 的第j-i級離散平滑信號。這里go（k）=0io（t）"ok（t）gi（k）=o（t）,0ok（t）其中g(shù)°（k）

6、、®（k）與前面的A0（k）. %（k）樣，為重建系數(shù)。下圖為 信號重建的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。圖2信號重建的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)四、Mallat算法分解與重建的比較（1）Mallat算法的信號分解系數(shù)仏、人相當(dāng)于分析濾波器；而Mallat算法的信號重建系數(shù)gQ、g相當(dāng)于綜合濾波器；（2）在重建式（10）中，是對k求和，而在分解式（3）和（4） 中，是對n求和；（3）在分解算法中信號是先濾波后抽取，而在重建算法中是先插值后濾波。五、Mall at算法的MATLAB算法編程舉例：應(yīng)用Mallat算法實(shí)現(xiàn)兩個(gè)正弦混合波的分解與重構(gòu)，分別采用db30小波 和db4作為小波函數(shù)，分解階數(shù)分別取4和6,并將結(jié)果比較分

7、析。MATLAB 程序：(1) %n是階數(shù)n = 6,小波函數(shù)為db30clc;clear;%1信號源：混合正弦波fl=50; % 頻率 1£2=100;% 頻率 2n = 6; %n是階數(shù)t = 0 : l/(2A(n)-l) : 1;N = length( t);y=sin(2*pi*fl*t4-sm(2*pi*f2*t); % 正弦波混合figiue(l)plot(y);xlabelCt=0：r)titled兩個(gè)正弦信號的混合正弦波Jfigure(2) stem(abs(fft(v);titled混合信號頻譜？%2.小波濾波器的譜分析h=wfilters(,db30',

8、T); % 低通 g=wfilters(,db30'；h,); % 高通h=lLzeros(l,N-lengtli(h); %補(bǔ)零(圓周卷積，且增人分辨率變于觀察) g=g,zeros(l,N-length(g); %補(bǔ)零(圓周卷積，且增人分辨率變于觀察) figiue(3);%濾波器圖stem(abs(fft(h);Mleff氐通濾波器圖，)figure(4);stem(abs(ffi(g);htleC高通濾波器圖？% 3.MALLET分解算法(圓周卷枳的快速傅里葉變換實(shí)現(xiàn))sig 1 =ifft(fft(v). *fft(h); % 低通(低頻分量)sig2=ifft(fft(v)

9、.*fft(g); % 高通(高頻分量)figure(5); %分解信號圖subplot(2,l,l) plot(real(sigl);titled分解信號1')subplot(2,l,2)plot(real(sig2);figiire(6); %分解信號頻譜圖 subplot(2,l J) stem(abs(fft(sig 1);titled分解信號1頻譜？subplot(2,l,2) stem(abs(fft(sig2); titled分解信號2頻譜？ % 4.MALLET重構(gòu)算法 sig 1 =dyaddown(sig 1); % 2 抽取 sig2=dyaddown(sig2)

10、; % 2 抽取 sigl=dyadup(sig 1); % 2 插值 sig2=dyadup(sig2); % 2 插值 sigl=sigl(l,l:NJ); % 去掉最后一個(gè)零 sig2=sig2(l,1:NJ); % 去掉最后一個(gè)零 hr-h(end>l:l); % 重構(gòu)低通 gi-g(end>l:l); % 重構(gòu)高通hi=circshift(hf, 1)' %位置調(diào)整圓周右移一位 gLcircshifqgFJ)' %位置調(diào)整圓周右移一位 sigl=ifft(ffi(hr).*fift(sigl); % 低頻 sig2=ifft(fft(gr). *fft(s

11、ig2); % 高頻 sig=sigl+sig2; % 源信號 figure(7); %信號重構(gòu)圖 subplot(2,l J) plot(real(sigl);曲e(，低頻信號重構(gòu)，)； subplot(2,l,2) plot(real(sig2);曲e(，高頻信號重構(gòu)，)；figure ； subplot(2,l J) stem(abs(fft(sig 1);titled重構(gòu)的低頻信號頻譜?；subplot(2,l,2) stem(abs(fft(sig2);titled重構(gòu)的高頻信號頻譜?； %5.重構(gòu)信號與原信號比較 figme(9)%圖形比較 plot(real(sig)/r71in

12、ewidth2); hold on;plot(y);legendf重構(gòu)信號;原始信號？ dig重構(gòu)信號與原始信號的比較圖)兩個(gè)正弦信號的混合正弦波圖3兩個(gè)正弦信號的混合正弦波混合信號頻譜圖4混合信號頻譜低通濾波器圖1.50.5q :卡:c010203040506070圖5低通濾波器圖高通濾波器圖分解信號1rrrrrr0102030405060704)n1 1 1 iI1 fl 1 *Ji|nII11JiIlM1 1f 1II 111 1 1 A 1LL1 1JI1flAftkIInllAliL1ii A11 J1 1 1 1L1 11 1 fl 1-JIM| ： » ii 11 f

13、(111 1 V 1 I11 i i it it(I v I> I * *iIlli F 11| 1 / 1 I I J I I 1(V I 1 | i IH 1 1Il /1 1 /.|1 f 11 t r 1U / I1 fIf u Jy il1iiiti1 rIi1 I Ii1i 1I III 11I|*11|f IJ fII*1* 1 II 11 I 1 1 W f 11 11 1 aII i if11 U (/ B* | 1V1 11 1 1 1-l/-u1 1 I 1/VM11 (1 T«f lj PH11 i I1-rrrrrr010203040506070圖7分

14、解信號圖分解信號1頻譜50廠40302010°omi；了;不?10卜 Mi f i TD r 丫 :匚 “my i xm：， 20u-r.幾兀JL304050卞 Yiy I6070圖8分解信號頻譜圖圖8分解信號頻譜圖分解信號2頻譜圖8分解信號頻譜圖圖8分解信號頻譜圖-1低頻信號重構(gòu)10-210203040506070高頻信號重構(gòu)10-1-210203040506070圖10重構(gòu)信號頻譜-1圖10重構(gòu)信號頻譜-1圖9信號重構(gòu)圖 重構(gòu)的低頻信號頻譜圖10重構(gòu)信號頻譜-1302010°01020304050160-£70圖10重構(gòu)信號頻譜-1圖10重構(gòu)信號頻譜-130重

15、構(gòu)的高頻信號頻譜圖10重構(gòu)信號頻譜-1圖10重構(gòu)信號頻譜-12010010203040506070圖10重構(gòu)信號頻譜重構(gòu)信號與原始信號的比較圖圖11重構(gòu)信號與原始信號的比較圖(2) %n是階數(shù)n = 8,小波函數(shù)為db30clc;clear;%1信號源：混合正弦波fl=50; % 頻率 1£2=100;% 頻率 2n=8; %n是階數(shù)t = 0: l/(2A(n)-l): 1;N = length( t);y=sin(2*pi*fl *t)+siii(2*pi*£2*t); % 正弦波混合figure(l)plot(v);xlab 亡 l(T=01)titled兩個(gè)正弦信號

16、的混合正弦波？figure(2)stem(abs(fft(v);titleCig合信號頻譜？% 2.小波濾波器的譜分析h=wfiltersCdb30T); % 低通g=wfilters(,db30li,); % 高通h=h,zeios(l,N-length(h); %補(bǔ)零(圓周卷積，且增人分辨率變于觀察) g=g,zeios(l,N-length(g); %補(bǔ)零(圓周卷積，且增人分辨率變于觀察) figuie(3);%濾波器圖stem(abs(fft(h);titled低通濾波器圖，)figure(4);stem(abs(fft(g);titled高通濾波器圖？% 3.MALLET分解算法(圓

17、周卷枳的快速傅里葉變換實(shí)現(xiàn)) sig 1 =ifft(fft(v).*ffi(h); % 低通(低頻分量) sig2=ifft(fft(v).% 高通(高頻分量)figure(5); %分解信號圖subplot(2,l ,1)plot(real(sigl);titled分解信號1')subplot(2,l,2)plot(real(sig2);figme(6); %分解信號頻譜圖subplot(2,lstem(abs(fft(sig 1);titled分解信號1頻譜？subplot(2,l,2) stem(abs(fft(sig2); titled分解信號2頻譜？ % 4.MALLET重

18、構(gòu)算法 sig 1 =dyaddown(sig 1); % 2 抽取 sig2=dyaddown(sig2); % 2 抽取 sig 1 =dyadup(sig 1); % 2 插值 sig2=dyadup(sig2); % 2 插值 sigl=sigl(l,l:N); % 去掉最后一個(gè)零 sig2=sig2(l, 1:N); % 去掉最后一個(gè)零 hi-=h(end>l:l);% 重構(gòu)低通 gi-g(end>l:l); % 重構(gòu)高通hr=ckcshift(hf, 1)' %位置調(diào)整圓周右移一位 gf=ckcshift(gF,l)' %位置調(diào)整圓周右移一位 sig 1

19、 =iffi(ffi(hr).*fft(sig 1); % 低頻 sig2=ifft(fft(gr). *fft(sig2); % 高頻 sig=sigl+sig2; % 源信號 figure(7); %信號重構(gòu)圖subplot(2,l J) plot(real(sigl); htle(，低頻信號重構(gòu)，)； subplot(2,l,2) plot(real(sig2);titled高頻信號重構(gòu)，)；figuie(8);subplot(2,l J)stem(abs(fft(sig 1);titled重構(gòu)的低頻信號頻譜?； subplot(2,l,2)stem(abs(fft(sig2);titl

20、ed重構(gòu)的高頻信號頻譜，)；%5.重構(gòu)信號與原信號比較 figme(9)%圖形比較 plot(real(sig)/rVlinewidth2); hold on;plot(y);legendf重構(gòu)信號丁原始信號，) dig重構(gòu)信號與原始信號的比較圖)兩個(gè)正弦信號的混合正弦波21.510.50-0.5-1-1.550100200250-2o150 t=0:1300圖12兩個(gè)正弦信號的混合正弦波300低通濾波器圖0.5050100150200250300圖14低通濾波器圖1.5高通濾波器圖圖15高通濾波器圖分解信號1圖16分解信號圖分解信號2頻譜15010050-1-20100sSilil11卜15

21、0200圖17分解信號頻譜圖低頻信號重構(gòu)250300LLLII4 d111111 11 1 .LnUj|Hi1 n idL I. hfiH L11 n nII II r fl l| |l it ； Il Ih 1 h h Hi A(I ll n B ll /10 llU11 II A1 1 1! 川I fl 1! 1I 11 i i iJi j| ul n n I I AH l l II II ill 11 Iillll 1 ! nil 11 11 r 1 il IIIiiIfiilII jJ /.1 1 ! r. >n; i1 t | II /1 | 八 | I! A | I11 1

22、1 i 1 i I 1HI II un HI 1 H| fl n11 h | 1 111I J I 1 V 1 I | II *j u l川I | JI I U II If U l( I! |il II ! ll i/ lill If If I1 1 i I 1I 1 II I 1II 1II II 1Jrr(yItI/ U 1 il i u u V U li III Un HI i' 111uu H i li yipu nrrrrr50100150200250300高頻信號重構(gòu)-2050100150200250300圖18信號重構(gòu)圖150重構(gòu)的低頻信號頻譜重構(gòu)的高頻信號頻譜圖19重構(gòu)

23、信號頻譜重構(gòu)信號與原始信號的比較圖圖20重構(gòu)信號與原始信號的比較圖(3) 畑是階數(shù)n二8,小波函數(shù)為db3clc;clear;%1信號源：混合正弦波fl=50; % 頻率 1£2=100;% 頻率 2n =8; %n是階數(shù)t = 0 : 1/(2A(11)-1) : 1;N = length( t);v=sin(2*pi*fl*t)+sm(2*pi*£2*t); % 正弦波混合figiue(l)plot(y);xla21(T=0I)曲e(，兩個(gè)正弦信號的混合正弦波Jfigure(2) stem(abs(fft(v);titled混合信號頻譜？%2.小波濾波器的譜分析h=wf

24、iltersCdb3T); % 低通g=wfilters(,db3,；h,); % 高通h=lLzeros(l,N-length(h); %補(bǔ)零(圓周卷積，且增人分辨率變于觀察) g=g,zeros(l,N-length(g); %補(bǔ)零(圓周卷積，且增人分辨率變于觀察) figiue(3);%濾波器圖stem(abs(fft(h);titled低通濾波器圖，)figure(4);stem(abs(fft(g);htleC高通濾波器圖？% 3.MALLET分解算法(圓周卷枳的快速傅里葉變換實(shí)現(xiàn))sig 1 =ifft(fft(v). *ffi(h); % 低通(低頻分量)sig2=ifft(ff

25、t(v% 高通(高頻分量)figure(5); %分解信號圖subplot(2,l ,1)plot(real(sigl);dleC分解信號1')subplot(2,l,2)plot(real(sig2);figme(6); %分解信號頻譜圖subplot(2,l ,1) stem(abs(fft(sig 1);htleC分解信號1頻譜？subplot(2,l,2)stem(abs(fft(sig2);htle(分解信號2頻譜？ % 4.MALLET重構(gòu)算法 sig 1 =dyaddown(sig 1); % 2 抽取 sig2=dyaddown(sig2); % 2 抽取 sig 1

26、=dyadup(sig 1); % 2 插值 sig2=dyadup(sig2); % 2 插值 sigl=sigl(l,l:NJ); % 去掉最后一個(gè)零 sig2=sig2(l,l:N); % 去掉最后一個(gè)零 hi-=h(end>l:l);% 重構(gòu)低通 gi-g(end>l:l); % 重構(gòu)高通 lu=circshift(hf, 1)' %位置調(diào)整圓周右移一位 gr=ckcshift(gF, 1)' %位置調(diào)整圓周右移一位 sigl=ifft(fft(hr).*fft(sigl); % 低頻 sig2=iffi(ffi(gr). *fft(sig2); % 高頻

27、sig=sigl+sig2; % 源信號 figure(7); %信號重構(gòu)圖 subplot(2,l J) plot(real(sigl);htle(，低頻信號重構(gòu)，)； subplot(2,l,2) plot(real(sig2);titled高頻信號重構(gòu)，)；figure ； subplot(2,l J) stem(abs(fft(sig 1);titled重構(gòu)的低頻信號頻譜?；subplot(2,l,2) stem(abs(fft(sig2);titled重構(gòu)的高頻信號頻譜，)； %5.重構(gòu)信號與原信號比較 figure(9)%圖形比較 plot(real(sig)/r71inewidt

28、h2); hold on;plot(y);legendf重構(gòu)信號:原始信號，) dig重構(gòu)信號與原始信號的比較圖)兩個(gè)正弦信號的混合正弦波21.510.50-0.5-1-250100200250150 t=0：1300圖21兩個(gè)正弦信號的混合正弦波混合信號頻譜300圖22混合信號頻譜1.5低通濾波器圖圖23低通濾波器圖高通濾波器圖1.530圖24高通濾波器圖-1300LLLi-11 1 1 (MI1UI1 d Ji1 i ) In n11jllliuhHHlinhiHl Hlhfiii n Afl RR n 1 n1 | 1 A A | III 1 i I I t M ' 1H | (

29、 nil/ '.Ii!*-JII Hi 1(1IIIM i川II U 1III it IIU1UhI it y ii ii u 11 H U I! HyyIIIIIIIII Ii il II ii lllii1 UHillillln艸州jIII 卩川 Illi|n|rrrrr分解信號11050100200250150圖25分解信號圖分解信號1頻譜圖26分解信號頻譜圖低頻信號重構(gòu)LI 1 1 I I I h h kL 1I I fl 1 | A 1 'II llll I A 1 J1| 1 ! 1 1 I r| 1 1 1 1 1 1 I I J 1 1 1 f 11 1 1L山

30、1I i A In i n 11 ' 1di ftLIdlb11 I 1 III 1 Illi II 11|i|hL1Lh|b|J1 IrliTI'UH I；r H M1 |H|/ 1 (J HV n/ (|1 1H I riFflfl l w I idHyi 11 N1!Bl11 ni-2 1cc1050100150200250300高頻信號重構(gòu)圖28重構(gòu)信號頻譜圖28重構(gòu)信號頻譜圖27信號重構(gòu)圖重構(gòu)的高頻信號頻譜200250300圖28重構(gòu)信號頻譜重構(gòu)信號與原始信號的比較圖圖29重構(gòu)信號與原始信號的比較圖(4) %n是階數(shù)n二6,小波函【為db3clc;clear;%1信號

31、源：混合正弦波fl=50; % 頻率 1£2=100;% 頻率 2n =6; %n是階數(shù)t = 0 : l/(2A(n)-l) : 1;N = length( t);v=sin(2*pi*fl*t)+siii(2*pi*£2*t); % 正弦波混合figiue(l)plot(y);xlaHl(T=0I)曲e(，兩個(gè)正弦信號的混合正弦波Jfigure(2)stem(abs(fft(v);titled混合信號頻譜？%2.小波濾波器的譜分析h=wfiltersCdb3T); % 低通g=wfiltersCdb3,；h,); % 高通h=lLzeros(l,N-length(h);

32、 %補(bǔ)零(圓周卷積，且增人分辨率變于觀察) g=g,zeros(l,N-length(g); %補(bǔ)零(圓周卷積，且增人分辨率變于觀察) figuie(3);%濾波器圖stem(abs(fft(h);titled低通濾波器圖，)figure(4);stem(abs(fft(g);titled高通濾波器圖？% 3.MALLET分解算法(圓周卷枳的快速傅里葉變換實(shí)現(xiàn)) sig 1 =ifft(fft(v).*ffi(h); % 低通(低頻分量) sig2=ifft(fft(v).% 高通(高頻分量)figure(5); %分解信號圖subplot(2,l ,1)plot(real(sigl);tit

33、led分解信號1')subplot(2,l,2)plot(real(sig2);figme(6); %分解信號頻譜圖subplot(2,lstem(abs(fft(sig 1);titled分解信號1頻譜？subplot(2,l,2) stem(abs(fft(sig2); titled分解信號2頻譜？ % 4.MALLET重構(gòu)算法 sig 1 =dyaddown(sig 1); % 2 抽取 sig2=dyaddown(sig2); % 2 抽取 sig 1 =dyadup(sig 1); % 2 插值 sig2=dyadup(sig2); % 2 插值 sigl=sigl(l,l:

34、N); % 去掉最后一個(gè)零 sig2=sig2(l, 1:N); % 去掉最后一個(gè)零 hi-=h(end>l:l);% 重構(gòu)低通 gi-g(end>l:l); % 重構(gòu)高通hr=ckcshift(hf, 1)' %位置調(diào)整圓周右移一位 gf=ckcshift(gF,l)' %位置調(diào)整圓周右移一位 sig 1 =iffi(ffi(hr).*fft(sig 1); % 低頻 sig2=ifft(fft(gr). *fft(sig2); % 高頻 sig=sigl+sig2; % 源信號 figure(7); %信號重構(gòu)圖subplot(2,l J) plot(real(sigl); htle(，低頻信號重構(gòu)，)； subplot(2,l,2) plot(real(sig2);titled高頻信號重構(gòu)，)；figuie(8);subplot(2,l J)stem(abs(fft(sig 1);titled重構(gòu)的低頻信號頻譜?；subplot(2,l,2)stem(abs(fft(sig2);titled重構(gòu)的高頻信號頻譜，)；%5.重構(gòu)信號與原信號比較figure(9)%圖形比