吉林省2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考 數(shù)學(xué)（文）試題含參考答案

1、內(nèi)裝訂線學(xué)校:_姓名：_班級(jí)：_考號(hào)：_外裝訂線吉林省2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考 數(shù)學(xué)（文）試題含答案一、單選題1已知集合A=x|x3，xN*，B=-1，0，1，2，3，則AB=（ ）A0，1，2，3B1，2，3C0，1，2D2，3【答案】B【分析】首先列舉法表示出集合A，然后根據(jù)交集的概念即可求出結(jié)果.【詳解】由題意得，A=1，2，3，所以AB=1，2，3.故選：B.2設(shè)，則（ ）ABCD【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得.【詳解】因?yàn)?，因此?故選：A.3三國時(shí)期趙爽所制的弦圖由四個(gè)全等的直角三角形構(gòu)成，該圖可用來解釋下列哪個(gè)不等式（ ）A如

2、果，那么；B如果，那么；C對(duì)任意實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；D如果，那么【答案】C【分析】設(shè)圖中直角三角形的直角邊長分別為，則斜邊長為，進(jìn)而可表示出陰影面積以及外圍正方形的面積，由圖可得結(jié)果.【詳解】設(shè)圖中全等的直角三角形的直角邊長分別為，則斜邊長為.圖中四個(gè)直角三角形的面積和為，外圍正方形的面積為.由圖可知，四個(gè)直角三角形的面積之和不超過外圍正方形的面積，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.4袋子中有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中隨機(jī)取出兩個(gè)球，則取出球的數(shù)字之和是8的概率為（ ）ABCD【答案】D【分析】列舉出所有基本事件，分別求出總事件和所求基本事件的個(gè)數(shù)，

3、再根據(jù)古典概型公式即可得解.【詳解】基本事件共有：，共15種，其中數(shù)字和為8的基本事件有2種，所以取出球的數(shù)字之和是8的概率為，故選：D.5對(duì)3個(gè)非零平面向量，下列選項(xiàng)中正確的是A若，則B若，則C若，則D兩兩之間的夾角可以都是鈍角【答案】D【分析】向量?jī)蓚€(gè)特殊情況：共線和零向量，可排除A,B；向量不滿足交換律所以C錯(cuò)【詳解】(1) 與在同一條直線上，故A錯(cuò)（2）可能為0向量，故B錯(cuò)（3）向量運(yùn)算不滿足交換律，所以C錯(cuò)（4）兩兩之間的夾角可以都是鈍角，如都為故選D6數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為.若，則（ ）A1B2C3D4【答案】D【分析】利用等比數(shù)列，求出通項(xiàng)，利用求和公式求

4、得，代入即可得解.【詳解】由數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，由，得，即，故選：D.7某四棱錐的三視圖所示，已知該四棱錐的體積為，則它的表面積為A8B12CD20【答案】B【分析】由三視圖可知該四棱柱為正四棱柱，底面為正方形，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)即可求出該四棱柱的表面積.【詳解】由三視圖可知該四棱柱為正四棱柱，如圖所示，底面邊長為2，設(shè)四棱錐的高為，則依題意有所以，所以側(cè)面的高為所以四棱錐的側(cè)面積， 所以該四棱錐的表面積為：.故選：B8已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6，若點(diǎn)為拋物線的準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）A4BCD【答案】C【分析】求出坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，由，則

5、，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.【詳解】解：由題意，拋物線的準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，的最小值為.故選：C.9某禮品店銷售的一裝飾擺件如圖所示，由球和正三棱柱加工組合而成，球嵌入正三棱柱內(nèi)一部分且與上底面三條棱均相切，正三棱柱的高為4，底面正三角形邊長為6，球的體積為，則該幾何體最高點(diǎn)到正三棱柱下底面的距離為（ ）A5B6C7D8【答案】C【分析】利用球的體積公式求出半徑，求出正三角形內(nèi)切圓半徑，利用勾股定理求出球心到上底面距離即可得解【詳解】設(shè)球的半徑為R，三棱柱上底面正三角形的內(nèi)切圓半徑為r由球的體

6、積為可得，解得因?yàn)檎庵母邽?，底面正三角形邊長為6，所以底面正三角形的內(nèi)切圓半徑為，正三棱柱的高為4，設(shè)球心為，正三角形的內(nèi)切圓圓心為，取的中點(diǎn)M，并將這三點(diǎn)順次連接，則由球的幾何知識(shí)得為直角三角形，所以，于是該幾何體最高點(diǎn)到正三棱柱下底面的距離為故選：C10已知函數(shù)則使不等式成立的實(shí)數(shù)的范圍為（ ）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)表達(dá)式可得，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而確定整個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求解參數(shù)的取值范圍【詳解】因?yàn)?，所以為上的偶函?shù)，且，易得單調(diào)遞增且，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性得，時(shí)，單調(diào)遞減，若，則有，兩邊同時(shí)平方得：

7、，解得：故選：C11已知為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過作的垂線分別交雙曲線的左右兩支于兩點(diǎn)(如圖).若，則雙曲線的漸近線方程為（ ）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)已知條件和雙曲線的定義可求得，再在中運(yùn)用余弦定理建立關(guān)于a，b，c的方程，可求得雙曲線的漸近線方程得選項(xiàng).【詳解】由，設(shè)，由得，所以，又得，令，化簡(jiǎn)得：，得，所以漸近線方程為，故選：C.12已知，不等式對(duì)于任意恒成立，則的取值范圍（ ）ABCD【答案】B【分析】變換得到，設(shè)，等價(jià)于，即令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值得到答案.【詳解】由得，即，設(shè)，則，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以不等式對(duì)于任意恒成立，等價(jià)于，所以，即對(duì)任意的恒成立，因?yàn)?，所以，即?duì)

8、任意的恒成立，即，令，則，由，得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，所以，又由已知得，所以的取值范圍為.故選：B.方法點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會(huì)遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立，轉(zhuǎn)化為.二、填空題13已知角的終邊過點(diǎn)，則sin (2)等于_【答案】【分析】根據(jù)終邊上的點(diǎn)寫出，再由求值即可.【詳解】由題設(shè)，.故答案為：14記分別為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則_.【答案】100【分析】利用通項(xiàng)公式求得，結(jié)合等差數(shù)列求和公式求得結(jié)果.【詳解】，

9、所以前10項(xiàng)的和為.故答案為：100.15已知實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則的最大值為_【答案】【分析】畫出可行域，表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，數(shù)形結(jié)合可求得最大值.【詳解】畫出如圖可行域，因?yàn)椋?，則表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率由圖可知，當(dāng)點(diǎn)為點(diǎn)時(shí)，連線斜率最大，所以，所以的最大值為故答案為：16在正方體中，有下列結(jié)論：平面；異面直線AD與所成的角為；三棱柱的體積是三棱錐的體積的四倍；在四面體中，分別連接三組對(duì)棱的中點(diǎn)的線段互相垂直平分.其中正確的是_（填出所有正確結(jié)論的序號(hào)）.【答案】【分析】根據(jù)正方體的幾何特征，證明線面平行，求異面直線夾角，求體積關(guān)系，分析正四面體對(duì)棱連線特點(diǎn).【詳解

10、】因?yàn)?，平面，平面，所以平面，故正確；因?yàn)椋援惷嬷本€AD與所成的角等于，在正方形中，故錯(cuò)誤；三棱柱的體積是三棱錐的體積的三倍，故錯(cuò)誤；由正方體的性質(zhì)可知，正方體三條對(duì)面中心連線線段相互垂直平分.四面體是正四面體，其棱中點(diǎn)即正方體每個(gè)面的中心，對(duì)棱中點(diǎn)連線必經(jīng)過正方體的中心，由對(duì)稱性知，連接正四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段互相垂直平分，則正確.故答案為：三、解答題17已知，分別為內(nèi)角，的對(duì)邊，.（1）求的值；（2）求的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由可求出，利用正弦定理可求出；（2）由余弦定理可求出，再借助于三角形面積即可求出結(jié)果.【詳解】（1），由正弦定理得，.（2）由余弦定理得，

11、整理得，解得或（舍去），的面積.18某地從今年3月份正式啟動(dòng)新冠肺炎疫苗的接種工作，前4周的累計(jì)接種人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：前x周1234累計(jì)接種人數(shù)y（千人）2.5344.5（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）政府部門要求在2個(gè)月內(nèi)（按8周算）完成8千人的疫苗接種工作，根據(jù)（1）中所求的回歸方程，預(yù)計(jì)接下來4周是否需要加快接種工作的速度參考公式：線性回歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為【答案】（1）；（2）需要加快接種工作的速度【詳解】（1），因此回歸方程為（2）令，得，因?yàn)?，所以接下?周需要加快接種工作的速度19如圖在三棱錐P-ABC中，平面PAB平面PBC，PBBC，PD=DB=B

12、C=AB=AD=2.（1）證明：PA平面ABC；（2）求點(diǎn)B到平面ACD的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得PABC，再由PAAB利用線面垂直的判定定理即可證明,（2）利用三棱錐的體積公式得出，再由等體法即可求解.【詳解】（1）側(cè)面PAB底面PBC，PBBC，所以BC側(cè)面PAB又PA側(cè)面PAB，所以PABC又PD=DB=DA，所以PAAB又ABBC=B，所以PA平面ABC （2）由（1）可知：PA平面ABC，在直角三角形PAB中，.D是PB的中點(diǎn)，所以三棱錐D-ABC為三棱錐P-ABC體積的.故由已知：，又AD=2，底邊AD上的高為.故面積為：設(shè)點(diǎn)

13、B到平面ACD的距離為d，則所以，解得，點(diǎn)B到平面ACD的距離為20已知橢圓，其長軸長為4，為左右焦點(diǎn)，P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，且最大值為1 . （1）求橢圓C的方程.（2）若直線與橢圓C 相交于A,B兩點(diǎn)，且 (O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為負(fù)實(shí)數(shù))，已知， 求的值.【答案】（1）,則，長軸2a=4，即a=2.,則橢圓方程為（5分）（2） 設(shè)A()，B（），則，即4（6分）因?yàn)?則P點(diǎn)坐標(biāo)為（），把P點(diǎn)代入橢圓，則有（9分），化簡(jiǎn)可得，所以0（11分）則=（12分）21已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若的極大值點(diǎn)為，求證：.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【

14、分析】（1）當(dāng)時(shí)，可得，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）分析可得，則，化簡(jiǎn)得出，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用函數(shù)單調(diào)性得出，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，.，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，令，.當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值，不滿足題意，舍去；由，解得，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為、且.當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的極大值點(diǎn)為，由韋達(dá)定理可得，則，.，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，因此，.方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），曲線，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸