貨幣時(shí)間價(jià)值的計(jì)算

1、貨幣時(shí)間價(jià)值的計(jì)算(二) 單利的終值與現(xiàn)值在時(shí)間價(jià)值計(jì)算中，經(jīng)常使用以下符號(hào)：P本金，又稱現(xiàn)值；i利率，通常指每年利息與本金之比；I 利息；F 本金與利息之和，又稱本利和或終值；n 期數(shù)1 、單利終值單利終值的計(jì)算可依照如下計(jì)算公式：F = P + P i n=P (1 + i n)【例1】某人現(xiàn)在存入銀行 1000元，利率為5% 3年后取岀，問(wèn)：在單利方式下，3年后取岀多少錢？F = 1000X ( 1 + 3 X 5% ) = 1150(元)在計(jì)算利息時(shí)，除非特別指明，給岀的利率是指年利率。對(duì)于缺乏1年的利息，以1年等于360天來(lái)折算。2 、單利現(xiàn)值單利現(xiàn)值的計(jì)算同單利終值的計(jì)算是互逆的，

2、由終值計(jì)算現(xiàn)值稱為折現(xiàn)。將單利終值計(jì)算公式變形，即得單利現(xiàn)值的計(jì)算公式為：P = F / (1 + i n)【例2】某人希望在 3年后取得本利和 1150元，用以支付一筆款項(xiàng)，銀行存款利率為5%那么在單利方式下，此人現(xiàn)在需存入銀行多少錢？P = 1150 / ( 1 + 3X 5% ) = 1000 ( 元)(三) 復(fù)利的終值與現(xiàn)值1、復(fù)利終值復(fù)利終值是指一定量的本金按復(fù)利計(jì)算的假設(shè)干期后的本利和。假設(shè)某人將P元存放于銀行，年利率為i，那么：第一年的本利和為：F = P +P i = P ( 1 + i )第二年的本利和為：F = P ( 1 + i ) ( 1 + i ) = P (1 i)

3、2第三年的本利和為：F = P ° i)2 (1 + i ) = p(1 i)3第n年的本利和為：F = P (1 i)n式中(1通常稱為復(fù)利終值系數(shù)，用符號(hào)(F/P,i,n )表示。如(F/P,7%,5 )表示利率為 7% 5期復(fù)利終值的系數(shù)。復(fù)利終值系數(shù)可以通過(guò)查閱“1元復(fù)利終值系數(shù)表直接獲得?！纠?】某人現(xiàn)在存入本金2000元，年利率為7% 5年后的復(fù)利終值為：F = 2000X (F/P,7%,5 ) = 2000 X 1.403 = 2806 ( 元)2、復(fù)利現(xiàn)值復(fù)利現(xiàn)值是復(fù)利終值的逆運(yùn)算，它是指今后某一特定時(shí)間收到或付出一筆款項(xiàng)，按復(fù)利計(jì)算的相當(dāng)于現(xiàn)在的價(jià)值。其計(jì)算公式為

4、：(1 i)式中(1 i)通常稱為復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)，用符號(hào)(P/F,i,n )表示。可以直接查閱“1元復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)表【例4】某項(xiàng)投資4年后可得收益 40000元，按利率6%十算，其復(fù)利現(xiàn)值應(yīng)為：p = 40000 X (P/F,6%,4) =40000 X 0.792 = 31680 ( 元)(四) 年金的終值與現(xiàn)值年金是指一定時(shí)期內(nèi)每次等額收付的系列款項(xiàng)，即如果每次收付的金額相等，那么這樣的系列收付款項(xiàng)便 稱為年金，通常記作A。年金的形式多種多樣，如保險(xiǎn)費(fèi)、折舊、租金、等額分期收付款以及零存整取或整存零取儲(chǔ)蓄等等，都存在年金問(wèn)題。年金終值是指一定時(shí)期內(nèi)每期等額發(fā)生款項(xiàng)的復(fù)利終值的累加和。年金現(xiàn)值

5、是指一定時(shí)期內(nèi)每期等額發(fā)生款項(xiàng)的復(fù)利現(xiàn)值的累加和。年金按其每次收付發(fā)生的時(shí)點(diǎn)不同，可分為普通年金、先付年金、遞延年金和永續(xù)年金。1、普通年金的終值與現(xiàn)值普通年金是指一定時(shí)期內(nèi)每期期末等額收付的系列款項(xiàng)，又稱后付年金。如圖2-1所示：A A A A A圖2-1(1)普通年金終值由年金終值的定義可知，普通年金終值的計(jì)算公式為：F = A <1 +i)0 +A?1 +A (1 +i)2 + . + A1 +i)na1(1 一 q)根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn= 1 -q整理可得:(1 i)n - 1F = A-i(1i)n - 1其中，i通常稱為年金終值系數(shù)，記作( F/A，i，n),可以直接

6、查閱“ 1元年金終值系數(shù)表【例5】某企業(yè)準(zhǔn)備在今后6年內(nèi)，每年年末從利潤(rùn)留成中提取50000元存入銀行，方案 6年后，將這筆存款用于建造某一福利設(shè)施，假設(shè)年利率為6%問(wèn)6年后共可以積累多少資金？F = 50000 X (F/A,6%,6) = 50000 X 6.975 = 348750(元)【例6】某企業(yè)準(zhǔn)備在6年后建造某一福利設(shè)施，屆時(shí)需要資金 348750元，假設(shè)年利率為6%那么該企業(yè)從現(xiàn)在開始每年年末應(yīng)存入多少錢？很明顯，此例是年金終值F,倒求年金 A,是年金終值的逆運(yùn)算。348750 = A- (F/A,6%,6)A = 348750 / (F/A,6%,6) = 348750 /

7、6.975 = 50000 (元)(2)普通年金現(xiàn)值由年金現(xiàn)值的定義可知，普通年金現(xiàn)值的計(jì)算公式為：P = A (1+i)4+A (!+i)經(jīng) + .+A(1+i)“a,1 -q)同樣，根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn=1 -q 整理可得:1 - (1 i)P = A-i通常稱為年金現(xiàn)值系數(shù)，記作(P/A，i，n),可以直接查閱“ 1元年金現(xiàn)值其中，1 - (1 - i)i系數(shù)表【例7】某企業(yè)準(zhǔn)備在今后的8年內(nèi)，每年年末發(fā)放獎(jiǎng)金70000 元，假設(shè)年利率為 12%,問(wèn)該企業(yè)現(xiàn)在需向銀行一次存入多少錢?P = 70000X (P/A,12%,8) = 70000 X 4.968 = 347760 (

8、 元)【例8】某企業(yè)現(xiàn)在存入銀行347760元，準(zhǔn)備在今后的 8年內(nèi)等額取岀，用于發(fā)放職工獎(jiǎng)金，假設(shè)年利率為12%問(wèn)每年年末可取岀多少錢？很明顯，此例是年金現(xiàn)值，倒求年金 A,是年金現(xiàn)值的逆運(yùn)算。347760 = A (P/A,12%,8)A = 347760 / (P/A,12%,8) = 347760 / 4.968 = 70000(元)2 先付年金的終值與現(xiàn)值先付年金是指一定時(shí)期內(nèi)每期期初等額收付的系列款項(xiàng)，又稱即付年金。如圖2-2所示：A A A A A圖2-2(1)先付年金終值將圖2-2與圖2-1進(jìn)行比擬可以看岀，先付年金與普通年金的付款次數(shù)相同，但由于其付款時(shí)點(diǎn)不同，先付年金終值比

9、普通年金終值多計(jì)算一期利息。因此，在普通年金終值的根底上乘上(1+i )就是先付年金的終值。即：(1 i)n - 1F= Ai(1+ i )【例9】某企業(yè)準(zhǔn)備在今后6年內(nèi)，每年年初從利潤(rùn)留成中提取50000元存入銀行，方案 6年后，將這筆存款用于建造某一福利設(shè)施，假設(shè)年利率為6%問(wèn)6年后共可以積累多少資金？F = 50000 X (F/A,6%,6) X (1+6%) = 50000 X 6.975 X 1.06 = 369675(元)(2)先付年金現(xiàn)值將圖2-2與圖2-1進(jìn)行比擬可以看岀，先付年金與普通年金的付款次數(shù)相同，但由于其付款時(shí)點(diǎn)不同， 先付年金現(xiàn)值比普通年金現(xiàn)值多折現(xiàn)一期。因此，在

10、普通年金現(xiàn)值的根底上乘上(1+i )就是先付年金的現(xiàn)值。即：1 -(1 i) jP = Ai(1+ i )【例10】某企業(yè)準(zhǔn)備在今后的8年內(nèi)，每年年初從銀行取岀70000元，假設(shè)年利率為12%問(wèn)該企業(yè)現(xiàn)在需向銀行一次存入多少錢？P = 70000 X (P/A,12%,8) X ( 1 + 12% ) = 70000 X 4.968 X 1.12 =389491.2 ( 元)3、遞延年金的現(xiàn)值遞延年金是指第一次收付款發(fā)生時(shí)間不在第一期期末，而是隔假設(shè)干期后才開始發(fā)生的系列等額收付款 項(xiàng)。如圖2-3所示：圖2-3期數(shù)，用nm表示遞延遞延年金是普通年金的特殊形式，凡不是從第一期開始的普通年金都是遞

11、延年金。一般用 表示年金實(shí)際發(fā)生的期數(shù)，那么遞延年金現(xiàn)值的計(jì)算公式為：A_(1 "人1"尸A _(1 尸 <1i)-【例11】存款利率為某人擬在年初存入一筆資金，以便能從第六年末起每年取出10%,此人應(yīng)在現(xiàn)在一次存入銀行多少錢？P = 10001000元，至第十年末取完。假設(shè)銀行=1000X (P/A,10%,10) 1000 X (P/A,10%,5)X 6.145 1000 X 3.791=2354(元)或 P =1000=1000X (P/A,10%,5) (P/F,10%,5)X 3.791 X 0.621=23544、永續(xù)年金的現(xiàn)值永續(xù)年金是無(wú)限期等額收付的

12、特種年金，可視為普通年金的特殊形式，即期限趨于無(wú)窮的普通年金。如圖2-4所示：(元)A A A A A圖2-4由于永續(xù)年金持續(xù)期無(wú)限，沒有終止時(shí)間，因此沒有終值，只有現(xiàn)值。通過(guò)普通年金現(xiàn)值計(jì)算可推導(dǎo)岀 永續(xù)年金現(xiàn)值的計(jì)算公式為：P = A /i【例12】某人現(xiàn)在采用存本取息的方式存入銀行一筆錢，希望今后無(wú)限期地每年年末能從銀行取岀 元，假設(shè)年利率為 10%那么他現(xiàn)在應(yīng)存入多少錢？P = 1000 /10% = 10000元1000五名義利率與實(shí)際利率的換算上面討論的有關(guān)計(jì)算均假定利率為年利率，每年復(fù)利一次。但實(shí)際上，復(fù)利的計(jì)息不一定是一年，有可 能是季度、月份或日。比方某些債券半年計(jì)息一次；有

13、的抵押貸款每月計(jì)息一次；銀行之間拆借資金均為每 天計(jì)息一次。當(dāng)每年復(fù)利次數(shù)超過(guò)一次時(shí)，這樣的年利率叫做名義利率，而每年只復(fù)利一次的利率才是實(shí)際 利率。對(duì)于一年內(nèi)屢次復(fù)利的情況，可采取兩種方法計(jì)算時(shí)間價(jià)值。第一種方法是按如下公式將名義利率調(diào)整為實(shí)際利率，然后按實(shí)際利率計(jì)算時(shí)間價(jià)值。 式中：m【例13】實(shí)際利率名義利率 每年復(fù)利次數(shù)某企業(yè)于年初存人10萬(wàn)元，年利率為10%，假設(shè)每半年復(fù)利一次，到第10年末，該企業(yè)能得本利和為多少？依題意，P = 10 r = 10% m = 2 n = 10那么:i =(1 r/m)m -1(1 10%/2)2 -1=10.25%F = 10X F/P,10.25

14、%,10= 26.53 萬(wàn)元這種方法的缺點(diǎn)是調(diào)整后的實(shí)際利率往往帶有小數(shù)點(diǎn)，不利于查表。第二種方法是不計(jì)算實(shí)際利率，而是相應(yīng)調(diào)整有關(guān)指標(biāo)，即利率變?yōu)閞/m，期數(shù)相應(yīng)變?yōu)?m【例14】利用上例中有關(guān)數(shù)據(jù)，用第二種方法計(jì)算本利和。p (1 r/m)=10X (F/P,5%,20) = 26.63(萬(wàn)元)三、時(shí)間價(jià)值計(jì)算中的幾個(gè)特殊問(wèn)題一不等額現(xiàn)金流量現(xiàn)值的計(jì)算【例15】略二年金和不等額現(xiàn)金流量混合情況下的現(xiàn)值【例16】教材39頁(yè)。三貼現(xiàn)率、期數(shù)的計(jì)算1、貼現(xiàn)率的計(jì)算步驟：1計(jì)算系數(shù)2查表3采用插值法求貼現(xiàn)率?！纠?7】略【例18】某公司于第一年年初借款20000元，每年年末還本付息額均為率是多少？解：P/A，I，9 20000/4000=5查n=9的年金現(xiàn)值系數(shù)表得：4000元，連續(xù)9年還清,問(wèn)借款利12%x%5.3282)> 0.32822% > 514%4.91641=12%+0.3282/0.4118 丿 X 2%=13.59%2、期數(shù)的計(jì)算步驟：1