高等數(shù)學：11_4節(jié)對面積的曲面積分

1、CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 對面積的曲面積分11.4 一、對面積的曲面積分的概念與性質二、對面積的曲面積分的計算法CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY01lim( ,)niiiiimS ( ,)iii zyxo：小塊曲面直徑的最大值.一、對面積的曲面積分的概念與性質( , , ).x y zm假設一構件的形狀是空間的曲面 .它的面密度為且在 上連續(xù)，求其質量， ：曲面形引例構件的質量(解決方案： 元素法)“”分割，近似，求和，取極限CHINA UNIVERSITY OF MINING AND

2、TECHNOLOGY1( , , )( ,)( ,)( ,)iiiiiiiiiiniiiiif x y znSSiSfSfS 設曲面為光滑的，在上有界.把任意分成 個小塊(同時也表示第 個小塊曲面的面積)，設是上任意取定的點，作乘積，并作義：和定.01( , , )lim( ,)niiiiif x y z dSfS 即，( , , )f x y z其中，稱為被積函數(shù)， 稱為積分曲面.0( , , )( , , )f x y zf x y z dS如果當各小塊曲面的直徑的最大值時，和式的極限總存在，則稱此極限為在對面積的曲面積分或第一類曲面積為分曲面上，記.CHINA UNIVERSITY OF

3、 MINING AND TECHNOLOGY(4)( , , )( , , ).f x y zf x y z dS若在光滑曲面 上連續(xù)，則存在注釋注釋：(1)( , , )mx y z dS曲面形構件的質量(3)SdS曲面 的面積(2)( , , )f x y z dS若為封閉曲面，記為CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY(2)( , , )( , , )k f x y z dSkf x y z dSk( 為常數(shù))性質性質：(3)( , , )( , , )( , , )( , , )f x y zg x y z dSf x y z dSg x y

4、 z dS1212(1)( , , )( , , )( , , )f x y z dSf x y z dSf x y z dS 若是分片光滑的，如，則CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYzyxoyxD二、對面積的曲面積分的計算法22( , )( , )( , , )( , , )( , , ( , ) 1( ,( , , )( , )xyxxyyxDyf x y z dSf x y z x yzx yzx y dxzz x yxOyDzz x yDf x y zf x y z dySd設光滑曲面 由方程給出，在面上的投影區(qū)域為(如圖)，在上具有連續(xù)

5、偏導數(shù)，被積函數(shù)在 上連續(xù)，則曲面積分存在，且定理：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYzyxoyxD),(kkkCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY0122()22( , , )lim(,)1( , )( , ).1(,)(,)()kx ynkkkkkkxyxkkykkkxyf x y z dSfSSzx yzx y dxdyzz 證明：由定義知：而2201220122( , , )lim(, (,) 1(,)(,)()lim(, (,) 1(,)(,)()( , , ( ,) 1( ,)( ,)x

6、ynkkkkxkkykkkx yknkkkkxkkykkkx ykxyDf x y z dSfzzzfzzzf x y z x yzx yzx y dxdyCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY221:( , )( , , ) , ( , ), 1xzxzDyy x zf x y z dSf x y x z zyy dxdz、若曲面，則注釋注釋：dydzxxzyzyxfdSzyxfzyxxyzDzy221,),(),(),(2則：、若曲面3、若為封閉曲面，可分塊求之.CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY2

7、25( , )|25.xyzyxOyDx yxy解：積分曲面：它在投影域為：221()525.xyz dSyzxy例計算，其中 為平面被柱面所截得的部分222110( 1)2,xydSzzdxdydxdydxdy ()2(5)xyDxyz dsxyy dxdy25002(5cos )125 2 .drrdr2(5)xyDx dxdyCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY22(1)(2).zxyxOzyOzxyzyx解：拋物面關于平面和平面對稱；被積函數(shù)分別關于 ， 為偶函數(shù)xyz221( , )|10,0.xyxOyDx yxyxy在面的投影：，22

8、2|(0z1).Ixyz dSzxy例計算，其中 為拋物面114.xyz dSxyz dS由對稱性知：， ： 在第一卦限部分曲面2152125 5 1420002sin214tdtrr dr12222004cos sin14dtrtt rr rdr1222244() 1 (2 )(2 )xyDIxyzdSxy xyxydxdy214ur 令CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY12322123021.zzxxy解：其中， ：；：；：xoz223120.xdSxyzxz例計算，其中 為圓柱面，平面和所圍空間立體的表面122211().xOyDxyy和在

9、面的投影域均為：關于 軸對稱112110001 100.DDxdSxdxdyxdSxdxdy 故，CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY2232)1(1yxxyxOz 注意：分為左、右兩片：，投影，二者投域選在上.影相同面xoz112022222121121232313xDDzxdzdxxxdxdzxxxdxdzyyxxdSxdSxdSxzxz00 xdSCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY222(1);(2)( , , ), , ,.f x y zxyzx y z解：積分曲面關于三個坐標平面均對稱分別關

10、于為偶函數(shù)22222224()|.IxyzdSxyzaxyza例計算，其中， 為內接于球面的八面體的表面2213xydSzzdxdydxdy1118.000.xyzaxyz由對稱性知：，其中，為第一卦限部分曲面：，122222248()8() 32 3.xyDIxyzdSxyaxydxdyaCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYozxyH222222150.dSzzHxyzxyR例計算，其中， 是介于平面，之間的圓柱面222(1);1(2).yOzxxyz解：積分曲面關于平面對稱關于 為偶函數(shù)2.前前由對稱性知：，其中，為曲面 的前面部分0.yzyO

11、zDRyRzH前在面上的投影區(qū)域為：；22xRy前的曲面方程：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYozxyH22221yzRdSxx dydzdydzRy222222222220112122 arctanyzDRHRRdSdydzxyzRzRyRdydzRzRyHR220222 arctanHRdzHdSRdzIRzR另解：，則CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYozyx球心：球心：)1 ,1 ,1(半徑半徑：3222226()2().IxydSxyzxyz例計算，：球面解：由輪換的對稱性知：222x dSy dSz