高等數(shù)學(xué)課件：D8_1微分方程的基本概念

1、高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 第二學(xué)期第二學(xué)期微分方程簡介 第八章第八章( ),yf xy 已已知知求求 積分問題積分問題 微分方程問題微分方程問題 推廣推廣 已知含已知含y及其若干階導(dǎo)數(shù)的及其若干階導(dǎo)數(shù)的方程，求方程，求y 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 第二學(xué)期第二學(xué)期 當(dāng)我們描述實(shí)際對象的某些特性隨時(shí)間當(dāng)我們描述實(shí)際對象的某些特性隨時(shí)間（空間）而演變的過程、分析它的變化規(guī)律、（空間）而演變的過程、分析它的變化規(guī)律、預(yù)測它的未來形態(tài)、研究它的控制手段時(shí)。預(yù)測它的未來形態(tài)、研究它的控制手段時(shí)。通常要建立對象的動態(tài)模型。通常要建立對象的動態(tài)模型。 在許多實(shí)際問題中，當(dāng)直接

2、導(dǎo)出變量之在許多實(shí)際問題中，當(dāng)直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導(dǎo)出包含未知函間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時(shí)，可用數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時(shí)，可用建立建立微分方程模型微分方程模型的方法來研究該問題。的方法來研究該問題。高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 第二學(xué)期第二學(xué)期微分方程微分方程是一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科是一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科, ,有完有完整的理論整的理論. .本章我們主要介紹微分方程本章我們主要介紹微分方程的一些基本概念的一些基本概念, ,幾種常用的微分方程幾種常用的微分方程的求解方法的求解方法, ,線性微分方程解的理論線性微分方程解的理

3、論. .高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 第二學(xué)期第二學(xué)期微分方程的基本概念微分方程的基本概念第一節(jié)第一節(jié)微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 幾何問題幾何問題物理問題物理問題 第八章第八章 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 第二學(xué)期第二學(xué)期例例1. 一曲線通過點(diǎn)一曲線通過點(diǎn)(1,2) ,在該曲線上任意在該曲線上任意解解: 設(shè)所求曲線方程為設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 則有關(guān)系式則有關(guān)系式:d2dyxx (C為任意常數(shù)為任意常數(shù))由由 得得 C = 1,21yx 因此所求曲線方程為因此所求曲線方程為12xy 由由 得得點(diǎn)處的切線斜率為點(diǎn)處的切線斜率為 2x ,

4、 求該曲線的方程求該曲線的方程 . 1.微分方程的基本概念微分方程的基本概念2 dyxx 2xC高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 第二學(xué)期第二學(xué)期 例例2. 列車在平直路上以列車在平直路上以20m/s的速度行駛，的速度行駛，制動時(shí)獲得加速度制動時(shí)獲得加速度a = 0.4m/s2,求制動后求制動后列車的運(yùn)動規(guī)律列車的運(yùn)動規(guī)律.解解: 設(shè)列車在制動后設(shè)列車在制動后 t 秒行駛了秒行駛了s 米米 ,已知已知00 ,ts 即求即求 s = s (t) .22d0.4dst d200dstt 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 第二學(xué)期第二學(xué)期解解:由由00 ,ts 兩次積分兩次積分, 可

5、得可得2120.2stC tC 利用利用因此所求運(yùn)動規(guī)律為因此所求運(yùn)動規(guī)律為20.220stt 得得說明說明 利用這一規(guī)律可求出制動后多少時(shí)利用這一規(guī)律可求出制動后多少時(shí)間列車才能停住間列車才能停住 ,以及制動后行駛了多少以及制動后行駛了多少路程路程 . 22d0.4dst d200dstt 1220,0CC高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 第二學(xué)期第二學(xué)期微分方程微分方程: 凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分 的方程叫的方程叫微分方程微分方程.例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy , yxxz 實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì): 聯(lián)系自變量聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知

6、函數(shù)未知函數(shù)以及未知函數(shù) 的某些導(dǎo)數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或微分或微分)之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式.微分方程的定義微分方程的定義高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 第二學(xué)期第二學(xué)期 未知函數(shù)是未知函數(shù)是一元函數(shù)一元函數(shù),含有未知函數(shù)含有未知函數(shù)的的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的微分方程稱為的微分方程稱為常微分方程常微分方程. 未知函數(shù)是未知函數(shù)是多元函數(shù)多元函數(shù),含有未知函數(shù)含有未知函數(shù)的的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的微分方程稱為的微分方程稱為偏微分方程偏微分方程.例如例如例如方程例如方程, , zyzyxzx 0222222 zuyuxu2223sin0,d ydyyxdxdx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 第二學(xué)期第二

7、學(xué)期常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做做微分方程的階微分方程的階(本章內(nèi)容本章內(nèi)容)( )( , ,)0nF x y yy 1( )()( , ,)nnyf x y yy ( n 階階顯式顯式微分方程微分方程)一般地一般地 , n 階常微分方程的形式是階常微分方程的形式是分類分類或或高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 第二學(xué)期第二學(xué)期也可表示為如下形式也可表示為如下形式: :, , )()()()(1)1(1)(xgyxayxayxaynnnn 則稱方程為則稱方程為 n階線性微分方程階線性微分方程.其中其中)()

8、()(21xaxaxan, , , ,和和)(xg知函數(shù)知函數(shù). .不能表示成形上述方程統(tǒng)稱為不能表示成形上述方程統(tǒng)稱為非線性微分方程非線性微分方程. .均為自變量均為自變量x的已的已高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 第二學(xué)期第二學(xué)期例例3 試指出下列方程是什么方程試指出下列方程是什么方程,并指出微分方程并指出微分方程的階數(shù)的階數(shù).;)1(2yxdxdy ; 042)2(2 xdxdydxdyx; 052)3(322 xydxdydxydx. 1ln)cos()4( xyy解解(1)是一階線性微分方程是一階線性微分方程, 因方程中含有的因方程中含有的dxdy和和y都是一次都是一次.(2

9、)是一階非線性微分方程是一階非線性微分方程,因方程中含有的因方程中含有的dxdy的平方項(xiàng)的平方項(xiàng).高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 第二學(xué)期第二學(xué)期例例3 試指出下列方程是什么方程試指出下列方程是什么方程,并指出微分方程并指出微分方程的階數(shù)的階數(shù).;)1(2yxdxdy ; 042)2(2 xdxdydxdyx; 052)3(322 xydxdydxydx. 1ln)cos()4( xyy解解(3)是二階非線性微分方程是二階非線性微分方程, 因方程中含有的因方程中含有的dxdy的三次方和的三次方和 . .(4) 是二階非線性微分方程是二階非線性微分方程,因方程中含有非線性因方程中含有非

10、線性函數(shù)函數(shù))cos(y .ln y和和22d ydx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 第二學(xué)期第二學(xué)期微分方程的解微分方程的解:代入微分方程能使方程成代入微分方程能使方程成 為恒等式的函數(shù)稱之為恒等式的函數(shù)稱之. 主要問題主要問題-求方程的解求方程的解高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 第二學(xué)期第二學(xué)期(2)特解特解: 確定了通解中任意常數(shù)以后的解確定了通解中任意常數(shù)以后的解.解的圖象解的圖象: 微分方程的積分曲線微分方程的積分曲線.通解的圖象通解的圖象: 積分曲線族積分曲線族.微分方程的解的分類：微分方程的解的分類：(1)通解通解: 微分方程的解中含有任意常數(shù)微分方程的解中含

11、有任意常數(shù),且且 任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.初始條件初始條件(或定解條件或定解條件): 用來確定任意常用來確定任意常數(shù)的條件數(shù)的條件.高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 第二學(xué)期第二學(xué)期00,ts 020tdsdt 引例引例2220.4d sd t 2dyxdx 12xy 引例引例1 2yxC2120.2stC tC 通解通解:20.220stt 21yx 特解特解:高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 第二學(xué)期第二學(xué)期例例4驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù)xCxysin)(2 是方程是方程0sin2cot xxxydxdy的通解的通解,滿足初始條件滿足初

12、始條件02 xy的特解的特解.并求并求解解 要驗(yàn)證一個(gè)函數(shù)是否是方程的通解要驗(yàn)證一個(gè)函數(shù)是否是方程的通解,函數(shù)代入方程函數(shù)代入方程,看是否恒等看是否恒等,獨(dú)立的任意常數(shù)獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)是否與方程的階數(shù)相同的個(gè)數(shù)是否與方程的階數(shù)相同.只要將只要將再看函數(shù)式中所含的再看函數(shù)式中所含的將將xCxysin)(2 求一階導(dǎo)數(shù)求一階導(dǎo)數(shù), 得得dxdy,cos)(sin22xCxxx 把把y和和dxdy代入方程左邊得代入方程左邊得(C為任意參數(shù)為任意參數(shù))高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 第二學(xué)期第二學(xué)期例例4驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù)xCxysin)(2 是方程是方程0sin2cot xxxydxdy

13、的通解的通解,滿足初始條件滿足初始條件02 xy的特解的特解.并求并求(C為任意參數(shù)為任意參數(shù))把把y和和dxdy代入方程左邊得代入方程左邊得xxxydxdysin2cot xxxxCxxCxxxsin2cotsin)(cos)(sin222 . 0 因方程兩邊恒等因方程兩邊恒等,且且y中含有一個(gè)任意常數(shù)中含有一個(gè)任意常數(shù), 故故xCxysin)(2 是題設(shè)方程的通解是題設(shè)方程的通解.解解高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 第二學(xué)期第二學(xué)期例例4驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù)xCxysin)(2 是方程是方程0sin2cot xxxydxdy的通解的通解,滿足初始條件滿足初始條件02 xy的特解的特解

14、.并求并求(C為任意參數(shù)為任意參數(shù))因方程兩邊恒等因方程兩邊恒等,且且y中含有一個(gè)任意常數(shù)中含有一個(gè)任意常數(shù),故故xCxysin)(2 是題設(shè)方程的是題設(shè)方程的通解通解.解解將初始條件將初始條件02 xy代入通解代入通解xCxysin)(2 中中,得得C 402 .42 C從而所求特解為從而所求特解為.sin422xxy 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 第二學(xué)期第二學(xué)期微分方程的基本概念微分方程的基本概念(1) 凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程微分方程 .(2) 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的數(shù)的階數(shù)數(shù)的階數(shù)(3) 代

15、入微分方程使方程成為恒等式的函數(shù)代入微分方程使方程成為恒等式的函數(shù)稱為該方程的稱為該方程的解解 .最高階最高階導(dǎo)導(dǎo)稱為該微分方程的稱為該微分方程的階階 .內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 第二學(xué)期第二學(xué)期微分方程的基本概念微分方程的基本概念(4) 若微分方程的解中含有任意常數(shù)，若微分方程的解中含有任意常數(shù)， 且任且任與微分方程的階數(shù)相同，與微分方程的階數(shù)相同， 這這樣的解樣的解(5) 確定了通解中任意常數(shù)以后的解，確定了通解中任意常數(shù)以后的解， 稱為稱為微分方程的微分方程的特解特解 .(6) 用來確定通解中任意常數(shù)的條件稱為用來確定通解中任意常數(shù)的條件稱為初初始條件始條件 .意常數(shù)的個(gè)數(shù)意常數(shù)的個(gè)數(shù)稱為微分方程的稱為微分方程的通解通解 .內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 第二學(xué)期第二學(xué)期已知曲線上點(diǎn)已知曲線上點(diǎn) P(x, y) 處的法線與處的法線與 x 軸交點(diǎn)軸交點(diǎn)為為 Q ,且線段且線段 PQ 被被 y 軸平分軸平分(如圖如圖),求所滿求所滿足的微分方程足的微分方程 .PQXYox練習(xí)題練習(xí)題 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 化學(xué)化學(xué)141、142 第二