2010年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建卷

1、2010年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試（福建卷）數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）第I 卷 （選擇題 共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.計(jì)算sin43°cos13°-cos43°sin13°的結(jié)果等于A B. C. D. 2.以拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為圓心，且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為A. x2+y2+2x=0 B. x2+y2+x=0C. x2+y2-x=0 D. x2+y2-2x=03.設(shè)等差數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn . 若a1= -11,a4+a6= -6 ,則當(dāng)Sn 取最小值時(shí)，n等于

2、A.6 B. 7 C.8 D.94.函數(shù)f（x）= 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A. 0 B. 1 C.2 D.35.閱讀右圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的i值等于A.2 B.3 C.4 D.56.如圖，若是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去幾何體EFGHB1C1后得到的幾何體，其中E為線段A1B1上異于B1的點(diǎn)，F(xiàn)為線段BB1上異于B1的點(diǎn)，且EHA1 D1，則下列結(jié)論中不正確的是A. EHFG B.四邊形EFGH是矩形C. 是棱柱 D. 是棱臺(tái)7.若點(diǎn)O和點(diǎn)F（-2，0）分別為雙曲線（a>0）的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為A. 3- , ） B.

3、 3+ , ） C. , ） D. , ）8.設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域是，平面區(qū)域與關(guān)于直線3x-4y-9對(duì)稱。對(duì)于中的任意點(diǎn)A與中的任意點(diǎn)B，AB的最小值等于A. B. 4 C. D. 29.對(duì)于復(fù)數(shù)a,b,c,d，若集合S=a,b,c,d具有性質(zhì)“對(duì)任意x,yS，必有xyS”，則當(dāng)時(shí)，b+c+d等于A. 1 B. -1 C. 0 D. i10.對(duì)于具有相同定義域D的函數(shù)f（x）和g（x），若存在函數(shù)h（x）=kx+b（k,b為常數(shù)），對(duì)任給的正數(shù)m，存在相應(yīng)的x0D，使得當(dāng)xD且x>x0時(shí)，總有則稱直線l：y=kx+b為曲線y=f（x）與y=g（x）的“分漸近線”。給出定義域均為D

4、=的四組函數(shù)如下：f（x）=x2,g(x)= ; f(x)=10-x+2，g(x)= ;f(x)= ,g(x)= ; f(x)= ，g(x)=2(x-1-e-x).其中，曲線y=f(x)與y=g(x)存在“分漸近線”的是A B. C. D. 第卷 （非選擇題 共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。11.在等比數(shù)列an中，若公比q=4，且前3項(xiàng)之和等于21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an（ ）12.若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，則其表面積等于（ ）。13.某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問題，即

5、停止答題，晉級(jí)下一輪。假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問題的概率都是0.8，且每個(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級(jí)下一輪的概率等于（ ）。14.已知函數(shù)f(x)=3sin(x- )( >0)和g(x)=2cos(2x+)+1的圖像的對(duì)稱軸完全相同。若x,則f(x)的取值范圍是（ ）。15已知定義域?yàn)椋?，+）的函數(shù)f(x)滿足：（1）對(duì)任意x(0, +),恒有f(2x)=2f(x)成立；（2）當(dāng)x(1,2時(shí)，f(x)=2-x。給出結(jié)論如下：對(duì)任意mZ,有f(2m)=0；函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，+ ）;存在nZ,使得f(2n+1)=9;“函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）上單調(diào)遞減

6、”的充要條件是“存在kZ,使得(a,b) (2k,2k+1)”.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）。三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.（本小題滿分13分）設(shè)S是不等式x2-x-60的解集，整數(shù)m,nS。（）記“使得m+n=0成立的有序數(shù)組（m,n）”為事件A，試列舉A包含的基本事件；（）設(shè)=m2,求的分布列及其數(shù)學(xué)期望E。17.（本小題滿分13分）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2.0）為其右焦點(diǎn)。（）求橢圓C的方程；（）是否存在平行于OA的直線L，使得直線L與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與L的距離等于4？若存在，求出直線L的

7、方程；若不存在，說明理由。18.（本小題滿分13分）如圖，圓柱OO1內(nèi)有一個(gè)三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O的直徑。（）證明：平面A1ACC1平面B1BCC1；（）設(shè)AB=AA1。在圓柱OO1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)的概率為P。（i） 當(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求P的最大值；（ii） 記平面A1ACC1與平面B1OC所成的角為（0°< 90°）。當(dāng)P取最大值時(shí)，求cos的值。19.（本小題滿分13分）某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30&#

8、176;且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇。（）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？（）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向和航行速度的大?。?，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由。20.（本小題滿分14分）（）已知函數(shù)f(x)=x3-x ,其圖像記為曲線C.（i） 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（ii） 證明：若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)x1 ,曲線C與其在點(diǎn)P1 （x1,f(x1)）處的切線交于另一點(diǎn)P2（x2,f(x2)），曲線C與其在點(diǎn)P2處的切線交于另一點(diǎn)P3（

9、x3,f(x3)），線段P1 P2, P2 P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1，S2，則為定值；（）對(duì)于一般的三次函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx+d(a 0),請(qǐng)給出類似于（）（ii）的正確命題，并予以證明。21.本題設(shè)有（1）（2）（3）三個(gè)選考題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分。如果多做，則按所做的前兩題記分。作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中。（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換已知矩陣M=，N=，且MN=。（）求實(shí)數(shù)a,b,c,d的值；（）求直線y=3x在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的像的方程。（2）（本小題

10、滿分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，直線L的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為=2sin。（）求圓C的直角坐標(biāo)方程；（）設(shè)圓C與直線L交于點(diǎn)A,B。若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，），求PA+PB。（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f(x)= x-a.（）若不等式f(x) 3的解集為，求實(shí)數(shù)a的值；（）在（）的條件下，若f(x)+f(x+5)m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）參考答案一、 選擇題：本大題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題5分，滿

11、分50分。1.A 2.D 3.A 4.C 5.C 6.D 7.B 8.B 9.B 10.C二、填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題4分，滿分20分。11. 12. 13. 14. 15.三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.本小題主要考查概率與統(tǒng)計(jì)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)，考查分類與整合思想、必然與或然思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想。滿分13分。解：（I）由得，即 由于，且，所以A包含的基本事件為： ，（II）由于的所有不同取值為-2，-1,0,1,2,3，所以的所有不同取值為0,1,4,9，且有，故的分布列為：0149P所以1

12、7.本小題主要考查直線、橢圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想。滿分13分。解法一：（I）依題意，可設(shè)橢圓C的方程為（a>b>0），且可知左焦點(diǎn)為從而有 解得 ， 又，所以，故橢圓C的方程為 （II）假設(shè)存在符合題意的直線，其方程為由 得 因?yàn)橹本€與橢圓C有公共點(diǎn)，所以，解得另一方面，由直線OA與的距離可得，從而。由于，所以符合題意的直線不存在。解法二：（I）依題意，可設(shè)橢圓C的方程為（a>b>0），且有： ， 解得或（舍去）。從而（II）同解法一18.本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，

13、以及幾何體的體積幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想。滿分13分。解法一 ：（I）平面，平面， 是圓O的直徑， 又， 平面而平面，所以平面平面。（II）（i）設(shè)圓柱的底面半徑為r，則 故三棱柱的體積 又 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。從而，而圓柱的體積，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。所以，的最大值等于（ii）由（i）可知，取最大值時(shí)，于是，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，平面，是平面的一個(gè)法向量設(shè)平面的法向量， 取，得平面的一個(gè)法向量為， 解法二：（I）同解法一（II）（i）設(shè)圓柱的底面半徑為r，則， 故三棱柱的

14、體積 設(shè)， 則， 由于，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故 而圓柱的體積， 故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立。 所以，的最大值等于 （ii）同解法一解法三：（I）同解法一（II）（i）設(shè)圓柱的底面半徑，則，故圓柱的體積 因?yàn)椋援?dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值。 又因?yàn)辄c(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)時(shí)，的面積最大。進(jìn)而，三棱柱的體積最大，且其最大值為 故的最大值等于（ii）同解法一19.本小題主要考查解三角形、二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，綠茶推理論證能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、英語意識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想。滿分13分。解法一：（I）設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則 = = 故

15、當(dāng)時(shí)，此時(shí) 即，小艇以海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小。 （II）設(shè)小艇與輪船在B出相遇，則 故 ， 即，解得 又時(shí)， 故時(shí)，t取最小值，且最小值等于 此時(shí)，在中，有，故可設(shè)計(jì)寒星方案如下： 航行方向?yàn)楸逼珫|，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇解法二：（I）若相遇時(shí)小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向?yàn)檎狈较颉?設(shè)小艇與輪船在C處相遇。 在中， 又， 此時(shí)，輪船航行時(shí)間， 即，小艇以海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小。（II）猜想時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船在D出相遇，此時(shí) 又，所以，解得 據(jù)此可設(shè)計(jì)航行方案如下： 航行方向?yàn)?/p>

16、北偏東，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇 證明如下： 如圖，由（I）得， 故，且對(duì)于線段上任意點(diǎn)P, 有 而小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)， 故小艇與輪船不可能在A，C之間（包含C）的任意位置相遇。 設(shè)，則在中， 由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時(shí)間分別為 和 所以， 由此可得， 又，故 從而， 由于時(shí)，取得最小值，且最小值為 于是，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為解法三：（I）同解法一或解法二（II）設(shè)小艇與輪船在B處相遇。依據(jù)題意得： ， （1） 若，則由 =得從而， 當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立。當(dāng)時(shí)，同理可得由、得，當(dāng)時(shí)，（2） 若，則綜合（1）、（

17、2）可知，當(dāng)時(shí)，t取最小值，且最小值等于此時(shí)，在中，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇。20.本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想。滿分14分。解法一：（）（i）有f(x)=x3-x得f(x)=3x2-1=3(x-)(x+).當(dāng)x(,)和(，)時(shí)，f(x)>0;當(dāng)x(，)時(shí)，f(x)<0。（）曲線C在點(diǎn)P1處的切線方程為y=(3x12-1)(x-x1)+x13-x1，即y=(3x12-1)x-2 x13.由得

18、x3-x=(3x12-1)x-2 x13即（x-x1）2(x+2x1)=0,解得 x=x1或x=-2x1,故x2=-2x1.進(jìn)而有用x2代替x1,重復(fù)上述計(jì)算過程，可得x3= -2x2和S2=。又x2=-2x10，所以S2=,因此有。（）記函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx+d（a0）的圖像為曲線C，類似于（）（ii）的正確命題為：若對(duì)于任意不等于的實(shí)數(shù)x1,曲線C與其在點(diǎn)P1（x1, g(x1)）處的切線交于另一點(diǎn)P2（x2, g(x2)）,曲線C與其在點(diǎn)P2處的切線交于另一點(diǎn)P3（x3, g(x3)），線段P1P2、P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1，S2，則為定值。證明如下

19、：因?yàn)槠揭谱儞Q不改變面積的大小，故可將曲線y=g(x)的對(duì)稱中心平移至解法二：（）同解法一。（）記函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的圖像為曲線C，類似于（）（ii）的正確命題為：若對(duì)于任意不等于的實(shí)數(shù)x1,曲線C與其在點(diǎn)P1（x1, g(x1)）處的切線交于另一點(diǎn)P2（x2, g(x2)）,曲線C與其在點(diǎn)P2處的切線交于另一點(diǎn)P3（x3, g(x3)），線段P1P2、P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1，S2，則為定值。證明如下：用x2代替x1，重復(fù)上述計(jì)算過程，可得x3= 和。又x2=所以故21（1）選修4-2：矩陣與變換本小題主要考查矩陣與變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力。滿分7分。解法一：（）由題設(shè)得：（）因?yàn)榫仃嘙為對(duì)應(yīng)的線性變換將直線變成直線（或點(diǎn)），所以可取直線y=3x上的兩點(diǎn)（0