高中數學 第三章 導數及其應用 3.4 生活中的優(yōu)化問題舉例課時作業(yè) 新人教A版選修11

1、3.4生活中的優(yōu)化問題舉例【選題明細表】知識點、方法題號幾何中的最值問題1,4,10用料最省、費用最省問題6,8,11利潤最大問題5,7,9其他問題2,3【基礎鞏固】1.一個箱子的容積與底面邊長x的關系為v(x)=x2()(0<x<60),則當箱子的容積最大時,x的值為(b)(a)30 (b)40 (c)50(d)60解析:v(x)=-x3+30x2,v(x)=-x2+60x,令v(x)=0,得x=40(x=0舍去),且當0<x<40時,v(x)>0,當40<x<60時v(x)<0,故v(x)在x=40時取得最大值.故選b.2.煉油廠某分廠將原油

2、精煉為汽油,需對原油進行冷卻和加熱,如果第x小時,原油溫度(單位:)為f(x)=x3-x2+8(0x5),那么,原油溫度的瞬時變化率的最小值是(c)(a)8(b)(c)-1(d)-8解析:原油溫度的瞬時變化率為f(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0x5),所以當x=1時,原油溫度的瞬時變化率取得最小值-1.故選c.3.將8分為兩個非負數之和,使其立方和最小,則這兩個數為(b)(a)2和6(b)4和4(c)3和5(d)以上都不對解析:設一個數為x,則另一個數為8-x,其立方和y=x3+(8-x)3=83-192x+24x2且0x8,y=48x-192.令y=0,即48x-192=0,解得x=

3、4.當0x<4時,y<0;當4<x8時,y>0,所以當x=4時,y取得極小值,也是最小值.故選b.4.如果圓柱軸截面的周長l為定值,則體積的最大值為(a)(a)()3(b)()3(c)()3(d)()3解析:設圓柱的底面半徑為r,高為h,體積為v,則4r+2h=l,所以h=,v=r2h=r2-2r3(0<r<).則v=lr-6r2,令v=0,得r=0或r=,而r>0,所以r=是其唯一的極值點.所以當r=時,v取得最大值,最大值為()3.故選a.5.(2018·石家莊高二質檢)某銀行準備設一種新的定期存款業(yè)務,經預測,存款額與存款利率的平方成正

4、比,比例系數為k(k>0),貸款的利率為4.8%,假設銀行吸收的存款能全部放貸出去.若存款利率為x(x(0,4.8%),則使銀行獲得最大收益的存款利率為(a)(a)3.2%(b)2.4%(c)4%(d)3.6%解析:依題意知,存款額是kx2,銀行應支付的存款利息是kx3,銀行應獲得的貸款利息是0.048kx2,所以銀行的收益是y=0.048kx2-kx3(0<x<0.048),故y=0.096kx-3kx2.令y=0,解得x=0.032或x=0(舍去).當0<x<0.032時,y>0;當0.032<x<0.048時,y<0.因此,當x=0.

5、032時,y取得極大值,也是最大值,即當存款利率定為3.2%時,銀行可獲得最大收益.故選a.6.如圖所示,某廠需要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場,一邊可以利用原有的墻壁,其他三邊需要砌新的墻壁,當砌壁所用的材料最省時,堆料場的長和寬分別為. 解析:要求材料最省就是要求新砌的墻壁總長度最短,設場地寬為x米,則長為米,因此新墻壁總長度l=2x+(x>0),則l=2-.令l=0,得x=±16.因為x>0,所以x=16.當x=16時,lmin=64,此時堆料場的長為=32(米).答案:32,167.(2018·長春高二月考)某廠生產某種產品x件的總成本

6、c(x)=1 200+x3(萬元),已知產品單價的平方與產品件數x成反比,生產100件這樣的產品單價為50萬元,則產品件數定為件時,總利潤最大. 解析:設產品的單價為p萬元,根據已知,可設p2=,其中k為比例系數.因為當x=100時,p=50,所以k=250 000,所以p2=,p=,x>0.設總利潤為y萬元,則y=·x-1 200-x3=500-x3-1 200.求導數得,y=-x2.令y=0得x=25.故當x<25時,y>0;當x>25時,y<0.因此當x=25時,函數y取得極大值,也是最大值.答案:258.(2018·南寧高二檢

7、測)現(xiàn)有一批貨物由海上從a地運往b地,已知輪船的最大航行速度為35海里/時,a地至b地之間的航行距離約為500海里,每小時的運輸成本由燃料費和其余費用組成,輪船每小時的燃料費與輪船速度的平方成正比(比例系數為0.6),其余費用為每小時960元.(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度x(海里/時)的函數;(2)為了使全程運輸成本最小,輪船應以多大速度行駛?解:(1)依題意得y=(960+0.6x2)=+300x,且由題意知,函數的定義域為(0,35,即y=+300x(0<x35).(2)由(1)知,y=-+300,令y=0,解得x=40或x=-40(舍去).因為函數的定義域為(0,35,所

8、以函數在定義域內沒有極值點.又當0<x35時, y<0,所以y=+300x在(0,35上單調遞減,故當x=35時,函數y=+300x取得最小值.故為了使全程運輸成本最低,輪船應以35海里/時的速度行駛.【能力提升】9.(2018·西安高二質檢)某商場根據以往規(guī)律預計某種商品2018年第x月的銷售量f(x)=-3x2+40x(xn*,1x12),該商品的進價q(x)與月份x的關系是q(x)=150+2x(xn*,1x12),該商品每件的售價為185元,若不考慮其他因素,則此商場今年銷售該商品的月利潤預計最大是(b)(a)3 120元(b)3 125元(c)2 417元(d)

9、2 416元解析:該商場預計銷售該商品的月利潤為g(x)=(-3x2+40x)(185-150-2x)=6x3-185x2+1 400x(xn*,1x12),g(x)=18x2-370x+1 400.令g(x)=0,解得x=5,x=(舍去).當1x5時,g(x)>0;當5<x12時,g(x)<0,所以當x=5時,g(x)max=g(5)=3 125(元).綜上,5月份的月利潤最大,是3 125元.故選b.10.(2018·杭州高二檢測)在半徑為r的半圓內有一內接梯形,其下底為直徑,其他三邊為圓的弦,則梯形面積最大時,該梯形的上底長為(d)(a)(b)r (c)r(d

10、)r解析:設梯形的上底長為2x(0<x<r),高為h,面積為s.因為h=,所以s=(r+x)·.所以s=-=.令s=0,得x=(x=-r舍去),則h=r.當x(0,)時,s>0;當<x<r時,s<0.所以當x=時,s取極大值,也就是最大值.所以當梯形的上底長為r時,它的面積最大.【探究創(chuàng)新】11.(2018·寧波高二檢測)某公司租地建倉庫,每月土地占用費y1(萬元)與倉庫到車站的距離成反比,而每月庫存貨物的運費y2(萬元)與到車站的距離成正比,如果在距離車站10千米處建倉庫,y1和y2分別為2萬元和8萬元.那么,要使這兩項費用之和最小,倉庫應建在離車站千米處. 解析:設倉庫與車站相距x千米,依題意可設每月土地占用費y1=,每月庫存貨物的運費y2=k2x,其中x是倉庫到車站的距離,k1,k2是比例系數,于是由2=得k1=20;由8=10k2得k2=.所以兩項費用之和為y=+(x>0),y=-+,令y=0,得x=5或x=-5(舍去).當0<x<5時,y<0;當x>5時,y>0.所以當