第三章集中趨勢和離散程度的測定

1、第三章第三章 集中趨勢和離散程度的測度集中趨勢和離散程度的測度一、眾數(shù)一、眾數(shù)二、平均數(shù)二、平均數(shù)三、中位數(shù)三、中位數(shù)四、眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較四、眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較第一節(jié)第一節(jié) 集中趨勢的測定集中趨勢的測定一、眾數(shù) (mode)眾數(shù)是指總體中最常見的標(biāo)志值，也即重復(fù)眾數(shù)是指總體中最常見的標(biāo)志值，也即重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值。出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值。眾數(shù)的計算方法：眾數(shù)的計算方法：單項數(shù)列：出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值就是眾數(shù)。單項數(shù)列：出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值就是眾數(shù)。o 對于分組數(shù)據(jù)，眾數(shù)通常采用下面的近似公式計算（下限公式：）iLMo21112o 對于分組數(shù)據(jù)，眾數(shù)通常采用下面的近似公式計

2、算（上限公式：）iUMo21212一、眾數(shù)的特點o一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值o適合于數(shù)據(jù)量較多時使用適合于數(shù)據(jù)量較多時使用o不受極端值的影響不受極端值的影響o一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個眾數(shù)一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個眾數(shù)o在組距數(shù)列中，當(dāng)變量數(shù)列不等距分組時，在組距數(shù)列中，當(dāng)變量數(shù)列不等距分組時，眾數(shù)的位置不好確定。眾數(shù)的位置不好確定。M0M0M0M0M0若有兩個次數(shù)相等的眾數(shù)，則稱復(fù)眾數(shù)。若有兩個次數(shù)相等的眾數(shù)，則稱復(fù)眾數(shù)。 只只有總體單位數(shù)比較多，而且又有明顯的集中趨勢時才有總體單位數(shù)比較多，而且又有明顯的集中趨勢時才存在眾數(shù)。存在眾數(shù)。下三圖無眾數(shù)：下

3、三圖無眾數(shù)： 在在單位數(shù)很少，或單位數(shù)雖多但無明顯集中趨勢時，單位數(shù)很少，或單位數(shù)雖多但無明顯集中趨勢時， 計算眾數(shù)是沒有意義的。計算眾數(shù)是沒有意義的。眾數(shù)(不惟一性)o無眾數(shù)無眾數(shù)原始數(shù)據(jù): 10 5 9 12 6 8總總體體標(biāo)標(biāo)志志總總量量算算術(shù)術(shù)平平均均數(shù)數(shù)總總體體單單位位總總數(shù)數(shù)1.1.算算術(shù)平均數(shù)的基本公式術(shù)平均數(shù)的基本公式二、算術(shù)平均數(shù)二、算術(shù)平均數(shù) XXn式中式中： 算術(shù)平均數(shù) X 各單位的標(biāo)志值 n 總體單位數(shù) 總和符號X2.2.簡簡單算術(shù)平均數(shù)單算術(shù)平均數(shù)X fXf式中式中： 算術(shù)平均數(shù) X 各組數(shù)值 f 各組數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)(即權(quán)數(shù))X3.3.加加權(quán)算術(shù)平均數(shù)權(quán)算術(shù)平均數(shù)設(shè)某

4、廠職工按日產(chǎn)量分組后所得組距數(shù)列如下，據(jù)此求平均日產(chǎn)量。按日產(chǎn)量分組按日產(chǎn)量分組(千克千克)組中值組中值X(千克千克)工人數(shù)工人數(shù)f(人人)Xf 60 以下以下 55 10 55060 70 65 19 123570 80 75 50 375080 90 85 36 3060 90 100 95 27 2565100 110 105 14 1470110 以上以上115 8 920合合 計計- 164 13550)(62.8216413550千克平均日產(chǎn)量ffXX例例fXfXXff在掌握比重權(quán)數(shù)的情況下，可以直接利用權(quán)數(shù)在掌握比重權(quán)數(shù)的情況下，可以直接利用權(quán)數(shù)系數(shù)來求加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，其公式為：

5、系數(shù)來求加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，其公式為：按日產(chǎn)量分組(千克)組中值X(千克)工人數(shù)f (人)ff / f 60 以下 55 100.06 3.360 70 65 190.12 7.870 80 75 500.30 22.580 90 85 360.22 18.7 90 100 95 270.16 15.2 100 110 105 140.09 9.45110 以上115 80.05 5.75合 計-1641.00 82.7ffX加加權(quán)算術(shù)平均數(shù)受兩因素的影響：權(quán)算術(shù)平均數(shù)受兩因素的影響： -變量值大小的影響。變量值大小的影響。-次數(shù)多少的影響次數(shù)多少的影響。 而簡單算術(shù)平均數(shù)只反映變量值大小這一而簡

6、單算術(shù)平均數(shù)只反映變量值大小這一因素的影響。因素的影響。加加權(quán)算術(shù)平均數(shù)與簡單算術(shù)平均數(shù)不同在于：權(quán)算術(shù)平均數(shù)與簡單算術(shù)平均數(shù)不同在于： 各各個變量值與算術(shù)平均數(shù)離差之和等于零個變量值與算術(shù)平均數(shù)離差之和等于零4.4.算算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì) 0)(XX簡單平均數(shù)：加權(quán)平均數(shù)：0 fXX)( 各各個變量值與算術(shù)平均數(shù)離差平方之和個變量值與算術(shù)平均數(shù)離差平方之和 等于最小值等于最小值22()() XXfXX簡簡單單平平均均數(shù)數(shù)：最最小小值值加加權(quán)權(quán)平平均均數(shù)數(shù)：最最小小值值 算算術(shù)平均數(shù)的特點術(shù)平均數(shù)的特點算術(shù)平均數(shù)適合用代數(shù)方法運算，因此運用算術(shù)平均數(shù)適合用代數(shù)方法運算，因此運

7、用比較廣泛；比較廣泛；易受極端變量值的影響，使易受極端變量值的影響，使 的代表性變??；的代表性變小；受極大值的影響大于受極小值的影響；受極大值的影響大于受極小值的影響；當(dāng)組距數(shù)列為開口組時，由于組中點不易確當(dāng)組距數(shù)列為開口組時，由于組中點不易確定，使定，使 的代表性也不很可靠。的代表性也不很可靠。XX 調(diào)和平均數(shù)是各個變量值倒數(shù)的調(diào)和平均數(shù)是各個變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。三、調(diào)和平均數(shù)三、調(diào)和平均數(shù)( (又稱又稱“倒數(shù)平均數(shù)倒數(shù)平均數(shù)”) ) 其其計算方法如下計算方法如下：1hnXX 1(1).先先計計算算各各個個變變量量值值的的倒倒數(shù)數(shù)，即即X1(2).計計算算上上述述各

8、各個個變變量量值值倒倒數(shù)數(shù)的的算算術(shù)術(shù)平平均均數(shù)數(shù)，即即Xn (3).,1再再計計算算這這種種算算術(shù)術(shù)平平均均數(shù)數(shù)的的的的倒倒數(shù)數(shù)，就就是是調(diào)調(diào)和和平平均均數(shù)數(shù) 即即nX 1在在 加加 權(quán)權(quán) 的的 情情 況況 下下 ：hfXfX 在社會經(jīng)濟統(tǒng)計學(xué)中經(jīng)常用到的僅是一種特定權(quán)在社會經(jīng)濟統(tǒng)計學(xué)中經(jīng)常用到的僅是一種特定權(quán)數(shù)的加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。數(shù)的加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。即有以下數(shù)學(xué)關(guān)系式成立：即有以下數(shù)學(xué)關(guān)系式成立：m m是一種特定權(quán)數(shù)，它不是各組變量值出現(xiàn)的次是一種特定權(quán)數(shù)，它不是各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)，而是各組標(biāo)志值總量。數(shù)，而是各組標(biāo)志值總量。1式式 中中 ：，hXfXfmXXmfXfXXmmXffX 已知

9、某商品在三個集市貿(mào)易市場上的平均價格及銷售額資料如下：已知某商品在三個集市貿(mào)易市場上的平均價格及銷售額資料如下：市場市場平均價格平均價格(元元)X銷售額銷售額(元元)m=Xf銷售額銷售額(元元) 平均價格平均價格(元元) (即銷售量即銷售量) 甲甲1.0030 00030 000乙乙1.5030 00020 000丙丙1.4035 00025 000合計合計-95 00075 000fXm)(27.1000,75000,951元總平均價格mXmXh1.1.由由平均數(shù)計算平均數(shù)時調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用：平均數(shù)計算平均數(shù)時調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用：例例從以上計算平均數(shù)的例子來看，當(dāng)掌握的資料是變從以上計算平均數(shù)

10、的例子來看，當(dāng)掌握的資料是變量值量值X X和總體的標(biāo)志總量和總體的標(biāo)志總量M M時，時，則權(quán)數(shù)就是標(biāo)志總則權(quán)數(shù)就是標(biāo)志總量量，這時就采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)公式計算平均數(shù)。，這時就采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)公式計算平均數(shù)。反之，如果已掌握變量值反之，如果已掌握變量值X X及其相應(yīng)的總體單位及其相應(yīng)的總體單位數(shù)數(shù)f f，則權(quán)數(shù)就是總體單位數(shù)則權(quán)數(shù)就是總體單位數(shù)，就可以直接采用，就可以直接采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)法計算平均數(shù)。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)法計算平均數(shù)。 調(diào)調(diào)和平均數(shù)的特點和平均數(shù)的特點如果數(shù)列中有一標(biāo)志值等于零，則無法如果數(shù)列中有一標(biāo)志值等于零，則無法計算計算；hX它作為一種數(shù)值平均數(shù)，受所有標(biāo)志值的它作為一種數(shù)值

11、平均數(shù)，受所有標(biāo)志值的影響，影響，它受極小值的影響大于受極大值它受極小值的影響大于受極大值的影響，但較之算術(shù)平均數(shù)，的影響，但較之算術(shù)平均數(shù)， 受極端受極端值的影響要小。值的影響要小。nnnGXXXXX 21nXXG lglg1.1.簡簡單幾何平均數(shù)單幾何平均數(shù)計算時要進行對數(shù)變換，即：幾何平均數(shù)就是幾何平均數(shù)就是n n個變量值個變量值XiXi連乘積的連乘積的n n次方根。計算公式為：次方根。計算公式為：四、幾何平均數(shù)四、幾何平均數(shù)( (又稱又稱“對數(shù)平均數(shù)對數(shù)平均數(shù)”) )例例 某機械廠有鑄造車間、加工車間、裝配車間三個連續(xù)某機械廠有鑄造車間、加工車間、裝配車間三個連續(xù)流水作業(yè)車間。本月份這

12、三個車間產(chǎn)品合格率分別為流水作業(yè)車間。本月份這三個車間產(chǎn)品合格率分別為95%、92%、90%，求平均車間產(chǎn)品合格率，求平均車間產(chǎn)品合格率。3321XXXXG 解： %.%31929092953 這說明該廠車間產(chǎn)品平均合格率為這說明該廠車間產(chǎn)品平均合格率為92.31%92.31%式式中中： 為為各各變變量量值值的的次次數(shù)數(shù)或或權(quán)權(quán)數(shù)數(shù)將將公公式式兩兩邊邊取取對對數(shù)數(shù)，則則為為：121212112212lglglglglg(lg)LLLLnnGGGGffffffffnnnnXXXXXffXfXfXfXXffffXarcX 2.2.加加權(quán)幾何平均數(shù)權(quán)幾何平均數(shù) 幾幾何平均數(shù)的特點何平均數(shù)的特點如果數(shù)

13、列中有一個標(biāo)志值等于零或負(fù)值，就無法如果數(shù)列中有一個標(biāo)志值等于零或負(fù)值，就無法計算計算 ；受極端值的影響較受極端值的影響較 和和 小，故比較穩(wěn)?。恍?，故比較穩(wěn)健；幾何平均數(shù)的適用范圍較小，主要適用于比率平幾何平均數(shù)的適用范圍較小，主要適用于比率平均和速度平均，即計算平均發(fā)展速度，進行時間數(shù)列均和速度平均，即計算平均發(fā)展速度，進行時間數(shù)列分析等。分析等。GXXhXo排序后處于中間位置上的值六、中位數(shù)六、中位數(shù) M Me e 由由未分組資料確定中位數(shù)未分組資料確定中位數(shù)1()2中中位位數(shù)數(shù)的的位位置置為為總總體體單單位位數(shù)數(shù)nn 2.2.中中位數(shù)的計算方法位數(shù)的計算方法 n n為奇數(shù)時，則居于中間

14、位置的那個標(biāo)志值為奇數(shù)時，則居于中間位置的那個標(biāo)志值 就是中位數(shù)。就是中位數(shù)。)(262633215213029262320件件產(chǎn)品為中位數(shù)：位工人日產(chǎn)即，第中位數(shù)位置，件數(shù)，按序排列如下：有五個工人生產(chǎn)某產(chǎn)品eMn例例 n n為偶數(shù)時，則中間位置的兩個標(biāo)志值的算術(shù)為偶數(shù)時，則中間位置的兩個標(biāo)志值的算術(shù) 平均數(shù)為中位數(shù)。平均數(shù)為中位數(shù)。)(5 .27229265 . 321621323029262320件至第四人的平均數(shù)：這表明中位數(shù)是第三、中位數(shù)位置，序排列如下：人生產(chǎn)某產(chǎn)品件數(shù)，按上例中，假如有六個工eMn 由由單項數(shù)列確定中位數(shù)單項數(shù)列確定中位數(shù)某企業(yè)按日產(chǎn)零件分組如下：某企業(yè)按日產(chǎn)零件

15、分組如下：按日產(chǎn)零件分組按日產(chǎn)零件分組（件）（件）工人數(shù)工人數(shù)（人）（人）較小制累計較小制累計較大制累計較大制累計26 3 3803110137732142767342754533618722641 880 8合計合計80-)(34402802件即中位數(shù)位置eMf例例 由由組距數(shù)列確定中位數(shù)組距數(shù)列確定中位數(shù) 按日產(chǎn)量分組按日產(chǎn)量分組(千克千克)工人數(shù)工人數(shù)(人人)較小制累計較小制累計較大制累計較大制累計 50 60 10 10164 60 70 19 29154 70 80 50 79135 80 90 36115 85 90100 27142 49 100-110 14156 22 110

16、以上以上 8164 8合計合計164-組距內(nèi)。即中位數(shù)在中位數(shù)位置90808221642fdfSfXMmmLe 12下限公式下限公式（較小制累計時用）：)(.千克8380103679216480 上限公式上限公式（較大制累計時用）：)(.千克8380103649216490 dfSfXMmmUe 12 中中位數(shù)不受極端值及開口組的影響，位數(shù)不受極端值及開口組的影響， 具有穩(wěn)健性具有穩(wěn)健性。 各各單位標(biāo)志值與中位數(shù)離差的絕對值之和單位標(biāo)志值與中位數(shù)離差的絕對值之和 是個最小值。是個最小值。 對對某些不具有數(shù)學(xué)特點或不能用數(shù)字測定的某些不具有數(shù)學(xué)特點或不能用數(shù)字測定的 現(xiàn)象，可用中位數(shù)求其一般水平

17、?，F(xiàn)象，可用中位數(shù)求其一般水平。minmin即即：或或eeXMXM f 3.3.中中位數(shù)的特點位數(shù)的特點眾數(shù)、中位數(shù)和均值的比較眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)之間有著一定的關(guān)系，這種眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)之間有著一定的關(guān)系，這種關(guān)系決定于總體次數(shù)分布的狀況。當(dāng)次數(shù)分布呈對稱的關(guān)系決定于總體次數(shù)分布的狀況。當(dāng)次數(shù)分布呈對稱的鐘形分布時，算術(shù)平均數(shù)位于次數(shù)分布曲線的對稱點上，鐘形分布時，算術(shù)平均數(shù)位于次數(shù)分布曲線的對稱點上，而該點又是曲線的最高點和中心點，因此眾數(shù)、中位數(shù)而該點又是曲線的最高點和中心點，因此眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)三者相等。和算術(shù)平均數(shù)三者相等。當(dāng)次數(shù)分布呈非對稱的鐘形分布時，由于這三

18、種平均數(shù)當(dāng)次數(shù)分布呈非對稱的鐘形分布時，由于這三種平均數(shù)受極端值影響程度的不同，因而它們的數(shù)值就存在一定受極端值影響程度的不同，因而它們的數(shù)值就存在一定的差別，但三者之間任然有一定的關(guān)系。如下圖所示：的差別，但三者之間任然有一定的關(guān)系。如下圖所示：眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系眾數(shù)、中位數(shù)、均值的特點和應(yīng)用o眾數(shù)眾數(shù)n不受極端值影響不受極端值影響n具有不惟一性具有不惟一性n數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時應(yīng)用數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時應(yīng)用o中位數(shù)中位數(shù)n不受極端值影響不受極端值影響n數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時應(yīng)用數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時應(yīng)用o均值均值n易受極端值影響易受極端值影響n數(shù)學(xué)性質(zhì)優(yōu)良數(shù)學(xué)性質(zhì)優(yōu)良n數(shù)據(jù)對稱分布

19、或接近對稱分布時應(yīng)用數(shù)據(jù)對稱分布或接近對稱分布時應(yīng)用hGXXX、（一）（一）三者的關(guān)系三者的關(guān)系hGXXX 表示為：表示為：87.716.75.8121084GhXXX，變量值例例七、各種平均數(shù)之間的相互關(guān)系七、各種平均數(shù)之間的相互關(guān)系f如圖：0MMXe0eXMM、( (二）二）三者的關(guān)系三者的關(guān)系0即即eXMM 1.1.當(dāng)當(dāng)總體分布呈對稱狀態(tài)時，三者合而為一總體分布呈對稱狀態(tài)時，三者合而為一, ,0(1). 如如果果分分布布右右偏偏，則則eXMM 如圖：fXX0MeM2.2. 當(dāng)當(dāng)總體分布呈非對稱狀態(tài)時總體分布呈非對稱狀態(tài)時0(2). 如如果果分分布布左左偏偏，則則eXMM 如圖： fXX0

20、MeM所以所以0 )(oMX如果，則說明分布右偏（或上偏）0 )(oMX如果，則說明分布左偏（或下偏）0 )(oMX如果，則說明分布對稱1 1、標(biāo)標(biāo)志變動度是評價平均數(shù)代表性的依據(jù)志變動度是評價平均數(shù)代表性的依據(jù)。2.2.作作用用：1.1.概概念：念： 標(biāo)志變動度是指總體中各單位標(biāo)志值差標(biāo)志變動度是指總體中各單位標(biāo)志值差別大小的程度，又稱離散程度或離中程度。別大小的程度，又稱離散程度或離中程度。一、標(biāo)志變動度的意義、作用和種類一、標(biāo)志變動度的意義、作用和種類 第二節(jié)第二節(jié) 標(biāo)志變動度標(biāo)志變動度甲、乙兩學(xué)生某次考試成績列表甲、乙兩學(xué)生某次考試成績列表語文數(shù)學(xué)物理化學(xué)政治英語甲 959065707

21、585乙1107095508075 甲、乙兩學(xué)生的平均成績?yōu)榧?、乙兩學(xué)生的平均成績?yōu)?080分，集中趨勢分，集中趨勢一樣，但是他們偏離平均數(shù)的程度卻不一樣。乙一樣，但是他們偏離平均數(shù)的程度卻不一樣。乙組數(shù)據(jù)的離散程度大，數(shù)據(jù)分布越分散，平均數(shù)組數(shù)據(jù)的離散程度大，數(shù)據(jù)分布越分散，平均數(shù)的代表性就越差；甲組數(shù)據(jù)的離散程度小，數(shù)據(jù)的代表性就越差；甲組數(shù)據(jù)的離散程度小，數(shù)據(jù)分布越集中，平均數(shù)的代表性越大分布越集中，平均數(shù)的代表性越大。例例2 2、標(biāo)標(biāo)志變動度可用來反映社會生產(chǎn)和其他社會經(jīng)濟活動志變動度可用來反映社會生產(chǎn)和其他社會經(jīng)濟活動過程的均衡性或協(xié)調(diào)性，以及產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定程度。過程的均衡性或協(xié)調(diào)性

22、，以及產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定程度。 供貨計劃完成百分比(%)季度總供貨計劃執(zhí)行結(jié)果一月二月三月鋼廠甲100323434乙100203050例例3 3、標(biāo)標(biāo)志變動度可以揭示總體變量分布的離中趨勢，是研志變動度可以揭示總體變量分布的離中趨勢，是研究總體分布的重要特征值。平均指標(biāo)揭示了總體變量究總體分布的重要特征值。平均指標(biāo)揭示了總體變量分布的集中趨勢，成為研究總體分布的重要特征值。分布的集中趨勢，成為研究總體分布的重要特征值。而而標(biāo)志變動度則從另一個側(cè)面揭示了以平均數(shù)為中心，標(biāo)志變動度則從另一個側(cè)面揭示了以平均數(shù)為中心，各標(biāo)志值偏離中心的程度。各標(biāo)志值偏離中心的程度。 4 4、標(biāo)標(biāo)志變動指標(biāo)可以確定推斷總

23、體的準(zhǔn)確程度。例如，志變動指標(biāo)可以確定推斷總體的準(zhǔn)確程度。例如，在抽樣調(diào)查中，根據(jù)樣本指標(biāo)來推斷總體指標(biāo)，只有在抽樣調(diào)查中，根據(jù)樣本指標(biāo)來推斷總體指標(biāo)，只有計算標(biāo)志變動指標(biāo)，才能確定推斷的準(zhǔn)確程度及誤差計算標(biāo)志變動指標(biāo)，才能確定推斷的準(zhǔn)確程度及誤差大小。大小。 3.3.種種類類 即測定標(biāo)志變動度的方法即測定標(biāo)志變動度的方法, ,主要有：主要有：全距、四分位差、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差、離散系全距、四分位差、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差、離散系數(shù)等。數(shù)等。 全距全距R R四分位差四分位差Q.D.Q.D.平平 均均 差差A(yù).D.A.D.標(biāo)標(biāo) 準(zhǔn)準(zhǔn) 差差S.D.()S.D.()離散系數(shù)離散系數(shù)V V 優(yōu)優(yōu)點：點： 計算方便

24、，易于理解。計算方便，易于理解。 缺缺點：點： 全距只考慮數(shù)列兩端數(shù)值差異，它是測定全距只考慮數(shù)列兩端數(shù)值差異，它是測定標(biāo)志變動度的一種粗略方法，不能全面反映總體各標(biāo)志變動度的一種粗略方法，不能全面反映總體各單位標(biāo)志的變異程度。單位標(biāo)志的變異程度。maxmin RX-X即即： 1. 1. 全全距是總體各單位標(biāo)志值最大值和最小值之差距是總體各單位標(biāo)志值最大值和最小值之差, ,2. 2. 全全距的特點距的特點二、全距二、全距 R R1.1.概概念念： 將總體各單位的標(biāo)志值按大小順序?qū)⒖傮w各單位的標(biāo)志值按大小順序排列，然后將數(shù)列分為四等分，形成三個分排列，然后將數(shù)列分為四等分，形成三個分割點割點(Q

25、l、Qe、Qu)，這三個分割點稱為四分這三個分割點稱為四分位數(shù)，位數(shù)，( (其中第二個四分位數(shù)其中第二個四分位數(shù)Qe就是數(shù)列的就是數(shù)列的中位數(shù)中位數(shù)Me)。 四分位差四分位差 Q.D.=Qu-Ql三、四分位差三、四分位差 Q.D. Q.D. 根根據(jù)未分組資料求據(jù)未分組資料求Q.DQ.D.2.2.計計算算：Q Ql l位置位置=n/4=n/4Q Qu u位置位置=3n/4=3n/4如果位置是整數(shù)，四分位數(shù)就是該位置對應(yīng)的值；如果是在整數(shù)如果位置是整數(shù)，四分位數(shù)就是該位置對應(yīng)的值；如果是在整數(shù)加加0.5的位置上，則取該位置兩側(cè)值的平均數(shù)；如果是在整數(shù)加的位置上，則取該位置兩側(cè)值的平均數(shù)；如果是在整

26、數(shù)加0.25或或0.75的位置上，則四分位數(shù)等于該位置前面的值加上按比的位置上，則四分位數(shù)等于該位置前面的值加上按比例分?jǐn)偽恢脙蓚?cè)數(shù)值的差值。例分?jǐn)偽恢脙蓚?cè)數(shù)值的差值。例例例如：在一個企業(yè)中隨機抽取例如：在一個企業(yè)中隨機抽取9名員工，得到每名員工的月工資名員工，得到每名員工的月工資收入數(shù)據(jù)如下：收入數(shù)據(jù)如下：1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 先對數(shù)據(jù)進行排序，然后計算出四分位數(shù)的位置，再計算出先對數(shù)據(jù)進行排序，然后計算出四分位數(shù)的位置，再計算出四分位數(shù)的值。四分位數(shù)的值。Q Ql l位置位置=n/4=2.25=n/4=2.25，即，即Ql在第在第

27、2個數(shù)值（個數(shù)值（780）和第）和第3個數(shù)值（個數(shù)值（850）之間）之間0.25的位置上，的位置上，因此因此Ql=780+（850-780）*0.25=797.5（元）（元）例例Q Qu u位置位置=3n/4=6.75=3n/4=6.75，即，即Qu在第在第6個數(shù)值（個數(shù)值（1250）和第）和第7個個數(shù)值（數(shù)值（1500）之間）之間0.75的位置上，的位置上，因此因此Qu=1250+（1500-1250）*0.75=1437.5（元）（元）四分位數(shù)的結(jié)果表明，至少有四分位數(shù)的結(jié)果表明，至少有25%25%的數(shù)據(jù)小于或等的數(shù)據(jù)小于或等于于Ql；至少有；至少有75%的數(shù)據(jù)小于或等于的數(shù)據(jù)小于或等于Q

28、u，而至少有，而至少有25%的數(shù)的數(shù)據(jù)大于或等于據(jù)大于或等于Qu。由于。由于Ql和和Qu之間包含了之間包含了50%的數(shù)據(jù)，就上的數(shù)據(jù)，就上面的例子而言，可以說大約有一半的員工工資收入在面的例子而言，可以說大約有一半的員工工資收入在797.5-1437.5元之間。元之間。 根根據(jù)分組資料求據(jù)分組資料求Q.D.Q.D. 13f3f1) Q, Q44的的位位置置的的位位置置 2) 2) 若單項數(shù)列，則若單項數(shù)列，則Q Ql l與與Q Q3 3所在組的標(biāo)志值就是所在組的標(biāo)志值就是Q Q1 1與與Q Q3 3的數(shù)值；的數(shù)值； 若組距數(shù)列，確定了若組距數(shù)列，確定了Q Q1 1與與Q Q3 3所在組后，還要

29、用以下所在組后，還要用以下公式求近似值：公式求近似值：131111133313344 QQffSSQLdQLdff 根據(jù)某車間工人日產(chǎn)零件分組資料，求Q.D.按日產(chǎn)零件分組按日產(chǎn)零件分組(件件)工人數(shù)工人數(shù)(人人)累計工人數(shù)累計工人數(shù)(人人)(較小制較小制) 5-10 12 1210-15 46 5815-20 36 9420-25 6100合合 計計100-例例95. 541.1136.17.)(36.17536584100315Q )(41.1154612410010QQ ,7541003QQ ,254100 13313311QQDQQ件件在第三組則的位置在第二組則的位置這表明有一半工人的

30、日產(chǎn)量分布在11.41件至17.36件之間，且相差5.95件。 四四分位差不受兩端各分位差不受兩端各25%25%數(shù)值的影響，能對開口數(shù)值的影響，能對開口組數(shù)列的差異程度進行測定；組數(shù)列的差異程度進行測定； 用用四分位差可以衡量中位數(shù)的代表性高低；四分位差可以衡量中位數(shù)的代表性高低； 四四分位差不反映所有標(biāo)志值的差異程度，它所描分位差不反映所有標(biāo)志值的差異程度，它所描述的只是次數(shù)分配中一半的離差，所以也是一個述的只是次數(shù)分配中一半的離差，所以也是一個比較粗略的指標(biāo)。比較粗略的指標(biāo)。3. 3. 四四分位差的特點分位差的特點 平平均差是數(shù)列中各單位標(biāo)志值與平均數(shù)之間絕對均差是數(shù)列中各單位標(biāo)志值與平均

31、數(shù)之間絕對離差的平均數(shù)。離差的平均數(shù)。X-X(1) A.D.nX-X(2) A.D.其其計計算算公公式式為為：未未分分組組資資料料：分分組組資資料料：ff 1.1.概概念和計算念和計算：四、平均差四、平均差 A.D A.D. .以某車間100個工人按日產(chǎn)量編成變量數(shù)列的資料：)(6 . 6100660. )(421004200X 千克千克ffXXDA工人按日產(chǎn)量分組(千克)工人數(shù)(人)f組中值XXf20-30 525 125-17 8530-40 35351225 -724540-50 45452025 313550-60 1555 825 13195合 計100-4200-660XX fXX

32、 例例1 1、均差是根據(jù)全部標(biāo)志值與平均數(shù)離差而計算、均差是根據(jù)全部標(biāo)志值與平均數(shù)離差而計算 出的變異指標(biāo)，能全面反映標(biāo)志值的差異程度；出的變異指標(biāo)，能全面反映標(biāo)志值的差異程度；2 2、平平均差計算有絕對值符號，不適合代數(shù)方法的均差計算有絕對值符號，不適合代數(shù)方法的 演算使其應(yīng)用受到限制。演算使其應(yīng)用受到限制。2.2.平平均差的特點均差的特點3 3、利用平均差來判斷哪一個更有代表性，在平均、利用平均差來判斷哪一個更有代表性，在平均數(shù)相同的情況下，平均差越大，代表性則越??；數(shù)相同的情況下，平均差越大，代表性則越小；平均差越小，說明代表性越強。平均差越小，說明代表性越強。 標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差是離差平方平均數(shù)

33、的平方根，故又稱準(zhǔn)差是離差平方平均數(shù)的平方根，故又稱“均方差均方差”。 其意義與平均差基本相同。其意義與平均差基本相同。1.1.概概念和計算念和計算：五、標(biāo)準(zhǔn)差五、標(biāo)準(zhǔn)差 S.D.() S.D.()22 (x)nf(x)fxx )(85.141645616.36172)(2千克ffXX工人按日產(chǎn)量分組(千克)工人數(shù)(人)f組中值X 50- 60 10 55-27.62 7628.644 60- 70 19 65-17.62 5898.8236 70- 80 50 75 -7.62 2903.9184 80- 90 36 85 2.38 203.9184 90-100 27 95 12.38 4

34、138.1388100-110 14105 22.38 7012.1016110以上 8115 32.38 8387.7152合 計164-36172.5616XX fXX2)()(62.82X 千克由前計算得：例例2.2.交交替標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差替標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差 在社會經(jīng)濟統(tǒng)計中，有時把社會經(jīng)濟現(xiàn)在社會經(jīng)濟統(tǒng)計中，有時把社會經(jīng)濟現(xiàn)象的總體單位，分為具有某種標(biāo)志的單位和象的總體單位，分為具有某種標(biāo)志的單位和不具有這種標(biāo)志的單位兩組。不具有這種標(biāo)志的單位兩組。 統(tǒng)計中，用統(tǒng)計中，用“是是”、“否否”或或“有有”、“無無”來表示的標(biāo)志，稱為交替標(biāo)志，也稱來表示的標(biāo)志，稱為交替標(biāo)志，也稱是非標(biāo)志是非標(biāo)志。成

35、數(shù)：交替標(biāo)志只有兩種標(biāo)志表現(xiàn)，我們把成數(shù)：交替標(biāo)志只有兩種標(biāo)志表現(xiàn)，我們把總體中具有某種表現(xiàn)或不具有某種表現(xiàn)的總體中具有某種表現(xiàn)或不具有某種表現(xiàn)的單位數(shù)占總體單位數(shù)的比重稱為成數(shù)。單位數(shù)占總體單位數(shù)的比重稱為成數(shù)。例如檢測一批產(chǎn)品，合格品占例如檢測一批產(chǎn)品，合格品占95%95%，不合格品，不合格品占占5%5%，這里的，這里的95%95%和和5%5%都是成數(shù)。都是成數(shù)。在同一總體中，對于某一交替標(biāo)志，具有兩在同一總體中，對于某一交替標(biāo)志，具有兩種成數(shù)且其和為種成數(shù)且其和為1 1交替標(biāo)志的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差交替標(biāo)志的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差交替標(biāo)志是一種品質(zhì)標(biāo)志，其表現(xiàn)為文字。交替標(biāo)志是一種品質(zhì)標(biāo)志，其表現(xiàn)為文字。因此，在計算其平均數(shù)時，首先要將文字因此，在計算其平均數(shù)時，首先要將文字進行數(shù)量化處理，用進行數(shù)量化處理，用1 1表示具有某種標(biāo)志表表示具有某種標(biāo)志表現(xiàn)，用現(xiàn)，用0 0表示不具有某種標(biāo)志表現(xiàn)。然后以表示不具有某種標(biāo)志表現(xiàn)。然后以1 1和和0 0作為變量值，計算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)和作為變量值，計