高中數(shù)學(xué)必修2直線和平面所成的角

1、 第二課時(shí)第二課時(shí) 直線和平面所成的角直線和平面所成的角 2.3.1 2.3.1 直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定問題提出問題提出 1. 1.直線和平面垂直的定義和判定直線和平面垂直的定義和判定定理分別是什么？定理分別是什么？ 定義：定義：如果一條直線與平面內(nèi)的任如果一條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則稱這條直線意一條直線都垂直，則稱這條直線與這個(gè)平面垂直與這個(gè)平面垂直. .定理：定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面于這個(gè)平面. 2. 2.當(dāng)直線與平面相交時(shí)，對于直線當(dāng)直線與平面

2、相交時(shí)，對于直線與平面垂直的情形，我們已作了一些相與平面垂直的情形，我們已作了一些相關(guān)研究，對于直線與平面不垂直的情形，關(guān)研究，對于直線與平面不垂直的情形，我們需要從理論上作些分析我們需要從理論上作些分析. .知識探究（一）：知識探究（一）：平面的斜線平面的斜線 思考思考1:1:當(dāng)直線與平面相交時(shí)，它們可當(dāng)直線與平面相交時(shí)，它們可能垂直，也可能不垂直，如果一條直能垂直，也可能不垂直，如果一條直線和一個(gè)平面相交但不垂直，這條直線和一個(gè)平面相交但不垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的線叫做這個(gè)平面的斜線斜線，斜線和平面，斜線和平面的交點(diǎn)叫做的交點(diǎn)叫做斜足斜足. .那么過一點(diǎn)作一個(gè)平那么過一點(diǎn)作一個(gè)平面的斜

3、線有多少條？面的斜線有多少條？lP斜線斜線斜足斜足思考思考2:2:過斜線上斜足外一點(diǎn)向平面過斜線上斜足外一點(diǎn)向平面引垂線，連結(jié)垂足和斜足的直線叫引垂線，連結(jié)垂足和斜足的直線叫做這條斜線在這個(gè)平面上的做這條斜線在這個(gè)平面上的射影射影.那那么斜線么斜線l在平面在平面內(nèi)的射影有幾條？內(nèi)的射影有幾條？lPAB思考思考3:3:兩兩條平行直線、相交直線、條平行直線、相交直線、異面直線在同一個(gè)平面內(nèi)的射影可異面直線在同一個(gè)平面內(nèi)的射影可能是哪些圖形？能是哪些圖形？思考思考4:4:如圖，過平面如圖，過平面外一點(diǎn)外一點(diǎn)P P引平引平面面的兩條斜線段的兩條斜線段PAPA、PBPB，斜足為，斜足為A A、B B，再

4、過點(diǎn)，再過點(diǎn)P P引平面引平面的垂線，垂足的垂線，垂足為為O O，如果，如果PAPAPBPB，那么，那么OAOA與與OBOB的大的大小關(guān)系如何？反之成立嗎？小關(guān)系如何？反之成立嗎？PAPBOAOBOPAB思考思考5:5:如圖，過平面如圖，過平面內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)P P引平引平面面的兩條斜線的兩條斜線PAPA、PBPB，這兩條斜，這兩條斜線段在平面線段在平面內(nèi)的射影分別為內(nèi)的射影分別為PCPC、PDPD，如果，如果PAPAPBPB，那么，那么PCPC與與PDPD的大的大小關(guān)系確定嗎？小關(guān)系確定嗎？CPABD思考思考6:6:如圖，直線如圖，直線l是平面是平面的一條的一條斜線，它在平面斜線，它在平面內(nèi)的射

5、影為內(nèi)的射影為b b，直，直線線a a在平面在平面內(nèi)，如果內(nèi)，如果abab，那么直，那么直線線a a與直線與直線l垂直嗎？為什么？反之成垂直嗎？為什么？反之成立嗎？立嗎？albabal知識探究（二）：知識探究（二）：直線和平面所成的角直線和平面所成的角 思考思考1:1:平面的一條斜線與這個(gè)平面總存平面的一條斜線與這個(gè)平面總存在一個(gè)相對傾斜度，我們設(shè)想用一個(gè)平在一個(gè)相對傾斜度，我們設(shè)想用一個(gè)平面角來反映這個(gè)傾斜度，并且這個(gè)角的面角來反映這個(gè)傾斜度，并且這個(gè)角的大小由斜線與平面的相對位置關(guān)系所確大小由斜線與平面的相對位置關(guān)系所確定，那么角的頂點(diǎn)宜選在何處？定，那么角的頂點(diǎn)宜選在何處？l思考思考2:

6、2:如圖，如圖，ABAB為平面為平面的一條斜的一條斜線，線，A A為斜足，為斜足，ACAC為平面為平面內(nèi)的任意內(nèi)的任意一條直線，能否用一條直線，能否用BACBAC反映斜線反映斜線ABAB與平面與平面的相對傾斜度？為什么？的相對傾斜度？為什么？CAB思考思考3:3:反映斜線與平面相對傾斜度反映斜線與平面相對傾斜度的平面角的頂點(diǎn)為斜足，角的一邊的平面角的頂點(diǎn)為斜足，角的一邊在斜線上，另一邊在平面內(nèi)的哪個(gè)在斜線上，另一邊在平面內(nèi)的哪個(gè)位置最合適？為什么？位置最合適？為什么？PAB思考思考4:4:我們把平面的一條斜線和它在平我們把平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做面上的射影所成的銳角，叫

7、做這條斜線這條斜線和這個(gè)平面所成的角和這個(gè)平面所成的角. .在實(shí)際應(yīng)用或解題在實(shí)際應(yīng)用或解題中，怎樣去求這個(gè)角？中，怎樣去求這個(gè)角？PAB思考思考5:5:特別地，當(dāng)一條直線與平面垂特別地，當(dāng)一條直線與平面垂直時(shí)，規(guī)定它們所成的角為直時(shí)，規(guī)定它們所成的角為9090；當(dāng)；當(dāng)一條直線和平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，一條直線和平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，規(guī)定它們所成的角為規(guī)定它們所成的角為0 0. .這樣，任何這樣，任何一條直線和一個(gè)平面的相對傾斜度都一條直線和一個(gè)平面的相對傾斜度都可以用一個(gè)角來反映，那么直線與平可以用一個(gè)角來反映，那么直線與平面所成的角的取值范圍是什么？面所成的角的取值范圍是什么？0 ,90 思

8、考思考6:6:如圖，如圖，BADBAD為斜線為斜線ABAB與平面與平面所成的角，所成的角，ACAC為平面為平面內(nèi)的一條內(nèi)的一條直線，那么直線，那么BADBAD與與BACBAC的大小關(guān)的大小關(guān)系如何？系如何？DCABBAC BAC BADBAD思考思考7:7:兩條平行直線與同一個(gè)平面兩條平行直線與同一個(gè)平面所成的角的大小關(guān)系如何？反之成所成的角的大小關(guān)系如何？反之成立嗎？一條直線與兩個(gè)平行平面所立嗎？一條直線與兩個(gè)平行平面所成的角的大小關(guān)系如何？成的角的大小關(guān)系如何？思考思考8:8:過平面過平面外一點(diǎn)外一點(diǎn)P P引平面引平面的的斜線，斜足為斜線，斜足為A A，若斜線，若斜線PAPA與平面與平面所成的角為所成的角為5050，那么點(diǎn)，那么點(diǎn)A A在平面在平面內(nèi)的運(yùn)動軌跡是什么圖形？內(nèi)的運(yùn)動軌跡是什么圖形？PAO理論遷移理論遷移 例例1 1 在正方體在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中. .（1 1）求直線）求直線A A1 1B B和平面和平面ABCDABCD所成的角；所成的角；（2 2）求直線）求直線A A1 1B B和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角. .D1 1ABA1 1CB1 1C1 1DO例例2 2 如圖，如圖，ABAB為平面為平面的一條斜線，的一條斜線，B B為斜足，為斜足，AOAO平面平面，垂足為