建模過程,比列性和幾何相似性

1、建模過程，比列性和幾何相似性數(shù)學建模協(xié)會內(nèi)部培訓系統(tǒng)：模型研究的對象 一個系統(tǒng)就是由一些有規(guī)律的相互作用或內(nèi)在的依賴關系連接在在一起的對象體。（動力系統(tǒng)） 研究的問題:1對于該系統(tǒng)是如何工作的？ 2是什么造成了系統(tǒng)的變化及對某些變化的靈敏度？ 3希望預測系統(tǒng)未來的變化以及何時發(fā)生變化？數(shù)學模型：為了研究特定的實際系統(tǒng)或現(xiàn)象而設計的數(shù)學結(jié)構，圖示符號模擬和實驗結(jié)構也包括在內(nèi)。 有些現(xiàn)有的數(shù)學模型與特有的實例的現(xiàn)象是一致的，從而可以直接用來研究該問題。 有些數(shù)學模型專門用來構建出來并研究特定的一類問題。另一方面可以通過實驗或某類模擬這個過程。 至于構造數(shù)學模型的疑難問題，各種各樣的情況都有可能是我

2、們放棄任何取得希望的成功。模型所涉及的數(shù)學是如此的復雜而且還難于處理，以至于幾乎沒有希望來分析或求解該模型，從而失去了模型的實用性。 實驗和模擬的主要區(qū)別是直接實驗得到的，還是間接模擬得到，這個在實際中區(qū)別不大。模型的性質(zhì) 保真性：保證模型表示現(xiàn)實的真實性 成本：建模過程總花費 靈活性：當收集到足夠的數(shù)據(jù)，改變和控制該模型的諸多條件的能力各類模型的比較（數(shù)據(jù)只反映大小并沒有意義）020406080100120保真性費用靈活性圖表標題實際觀察實驗模擬構建模型選擇的模型圖表解釋-保真性 為了證明最大的保真性，我們會期望來之世界的直接觀察，即便會產(chǎn)生某些測量誤差和檢驗偏差。我們期待實驗模型應僅次于直

3、接觀察的第二保真性，因為諸多行為已在實驗室里精確被控制。由于模擬融入了間接的觀察從而進一步喪失了一些保真性。由于構建模型開始就簡化實際的模型的結(jié)構，結(jié)果會失去更多的保真性，由于簡化了一些條件從而使得模型只在特定的條件下成立，從而有喪失一些保真性。而模型的選擇則是基于模型的基礎上，保真性最差。圖表解釋費用 所構建的數(shù)學模型既然要考慮簡化研究對象，就要承擔相應的研究費用。實驗的確立與驗證通常是昂貴的。類似的模擬的過程需要用到研究出來的裝置，而且模擬也通常需要大量的計算機的空間和時間以及維護費用。圖表解釋-靈活性 構建的數(shù)學模型是最靈活的，因為可以選擇相應不同的假設和條件。選擇的模型是針對特定的條件

4、下針對特定對象完成的，不過特定的條件可以在更廣泛的范圍內(nèi)變化。為了略微改變條件則需要更該模擬的設備的參數(shù)，實際在有些超出特定范圍內(nèi)則是無能為力。直接從現(xiàn)實中觀察則是幾乎沒有靈活性可言，因為觀察者被限定特定的時空里。模型的構建-1識別問題 社么是要探究的問題？通常這是困難的第一步，因為在現(xiàn)實生活中沒有人會直接給出你個有待解決的數(shù)學問題。通常你必須對收集來的大量的數(shù)據(jù)進行分析處理以及確定研究方向。通過口頭描述的問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言，這一過程也是非常重要，要達到十分精確，重要的是要認識到對問題的回答可能不會直接導致合用的問題的識別。構造模型-2做出假設 一般的來說，不能指望一個合用的數(shù)學的模型中抓住影

5、響問題的所有的因素。任務在于通過減少所考慮的因素的數(shù)目進行簡化。于是，必須進行對剩余的變量之間的關系。再次通過假設相對簡單的相對簡單的關系，就能夠降低問題的復雜性。因此就能降低問題的復雜性。 變量分類： 什么能夠影響到第一步建模識別問題的行為，首先，相比于該行為有關的因素影響，這個變量的影響就小一點。其次，已幾乎相同的方式影響各種選擇的的因素是可以忽略的，即使這個變量對結(jié)果影響是挺大的。 確定研究中所選變量之間的關系：也就是說，可以采用控制變量法，研究子模型，進而合并這些子模型，得出變量之間的關系。構造模型-3求解模型或解釋模型 現(xiàn)在把所有的子模型和在一起看看能夠告訴我們什么。在某些情況下，該

6、模型可能包含我們苦苦尋求的方程和不等式。問題常常要求最優(yōu)解和最好解。 常常會發(fā)現(xiàn)為了完成這一步咱們的準備是不夠，或者是得到一個不會求解的數(shù)學題或者是難以解釋的模型。碰到這種情況我們應該返回到第二步并作出另外的簡化，甚至要求回到第一步重新定義問題。構造模型-驗證模型 在能夠利用該模型之前，必須先驗證該模型。在設計這些檢驗和收集數(shù)據(jù)（這可能是一個費事費力的過程）之前的幾個問題。首先能付解釋第一步中識別問題，或者是否偏離了我們的識別問題。 其次該模型在實用下有沒有意義。 該模型有沒有普世的意義。 關于從任何檢驗中得出的結(jié)論都要小心，就像不能簡單地應用支持該定理的特列說明該定理成立。類似的不能通過收集

7、到特殊的證據(jù)來證明該模型在一般情況下成立。一個模型之所以不能成為一個 定理是因為定律是在某些特征下可以重復驗證的到的，更確切的說是通過收集到的數(shù)據(jù)來驗證模型的合理性。構造模型-5實施模型 當然模型不能一直呆在檔案里，要用決策者和用戶都能懂的語言來解釋模型是否對他們有用。 如果模型不是處以用戶好的模式那么很快被拋棄。 是否把推進運算的數(shù)據(jù)輸入收集額外一步包括在內(nèi)往往決定了模型的成敗。構造模型-6維修模型 記住模型開始于第一步針對特定的問題和第二部做出的假設推倒出來。原先的問題會有變化嗎？或者先前忽略的問題會變很重要嗎？子模型的一個需要調(diào)整嗎？ 縱觀我們整個建模過程，發(fā)現(xiàn)了創(chuàng)造性和科學性的完美融合

8、。頭兩步的更體現(xiàn)了藝術性和原創(chuàng)性，它們包括概括抽象出具體的問題，和忽略和判定一些變量的關系以及做出精確的假設，這些關系必須簡單到能夠完成后面的步驟。 切記我們完成了第三，第四步時，該模型也是一個不精確的。案例車輛的停止距離 情景：考慮到經(jīng)常在司機給出的規(guī)則： 正常的駕駛條件對車與車之間的距離要求是每10英里的速度可以允許一兩車的跟隨，但是在雨雪等路面狀況不佳的時候則要求更長的跟隨距離。做到這一點只需要一個兩秒法則。不管什么條件下，都能正確的測出距離。看著你前面的汽車剛剛駛過一個固定點，然后默數(shù)1001和1002；這就是兩秒法則。如果在你還未數(shù)完就已到達該點，則說明車子距離太近了。 很容易執(zhí)行上

9、面的法則，但是該法則有什么好處呢？識別問題 我們的終極目標是檢驗該法則是否有效或者在它失效時另一條法則。但是題目給出什么時候最有的描述卻是含糊不清的，我們需要更多的細節(jié)來解釋這個問題，或者自己另提一個問題，該問題的解決與回答有助于我們實現(xiàn)這個目標。 問題：預測作為車輛速率的函數(shù)的車輛的總的停止距離。假設科學方法 對現(xiàn)象做出一般性的觀察 形成關于現(xiàn)象的假設 研制檢驗該假設的一種方法 收集用于該檢驗數(shù)據(jù) 利用該數(shù)據(jù)來檢驗該假設 肯定或拒絕該假設模型構建的迭代性質(zhì)（正向）考察該系統(tǒng)識別行為作出假設你能夠形成一個模型嗎？你能求解該模型嗎？確證該模型結(jié)果夠精確嗎？作出預測并解釋把結(jié)果用于該模型退出模型的

10、簡化vs模型的改進問題的識別限制問題的識別擴展問題變量忽略一些變量考慮額外的變量變量之間的關系若干變量的合并仔細考慮每個變量變量的初值令某些變量為常數(shù)允許變量發(fā)生變化變量之間關系假設簡單的線性關系考慮非線性關系假設融入更多的假設減少假設的數(shù)量練習1： 練習1：情景是模糊陳述是模糊的，請從這些問題中篩選出有意義的研究問題。那些變量影響到問題識別中的你已經(jīng)識別的問題？那些變量是最重要的？ 記住，實際上沒有正確答案。練習一 1單種群的增長。 2一家零售店要建造一個新的停車場，停車場應該怎么照明？ 3一位農(nóng)民期望他的地里種植的糧食農(nóng)產(chǎn)品的產(chǎn)量達到最大，他正確的認識到問題了嗎？ 4怎樣設計一個供大班級使

11、用的演講廳？ 5一個物體從很高的地方落下，何時撞到地面？撞擊力度有多大？ 6某種產(chǎn)品制造商應該決定每年生產(chǎn)多少件商品，以及每件商品的標價是多少？練習2識別值得研究的問題并列出已經(jīng)識別行為的變量。那些變量是可以完全忽略 1一位植物學家有興趣研究葉子的形狀以及影響葉子長成這種形狀的各種支配力量。她從一棵白橡樹的底部剪下幾片葉子，發(fā)現(xiàn)葉子相當寬且沒有明顯的鋸齒形。當她到樹的頂部去看時，她發(fā)現(xiàn)有明顯的鋸齒形而幾乎沒有展開很寬的葉子。 2不同的動物其他的特性也不同。小動物較之大動物，叫聲纖細，心跳過快以及呼吸的次數(shù)更多。另一方面，較大的動物的骨骼比較小的動物的骨骼要強健。較大的動物直徑與體長之比大于較小

12、的動物。所以當動物的體格從小變大時，存在著某些規(guī)則的改變。 3一位物理學家想要研究光的性質(zhì)。他想要研究當光從空氣進入平靜的湖面時光的傳播路徑。 4怎樣提高我們的能力，使得每個學期都能報上最好的班級？ 5討論利用模型來預測實際的系統(tǒng)和利用實際系統(tǒng)來解釋實際系統(tǒng)的差別？想象某些你要利用的模型來解釋實際的系統(tǒng)和背景。類似地想象用模型來預測實際系統(tǒng)的情景？子模型 上大學是一項可靠的金融投資嗎？四年的費用極高，且沒有收入什么因素決定了大學教育的總費用？怎么確定為使這項投資有利可行的條件？ 一對夫婦應該是買房子還是租房子？因為抵押房子在上漲，直觀上存在一個抵押房子的上位，高于這個價位就決定不去買房子。什么

13、變量決定了房子的總的抵押費用？ 什么時候車主應該更新車子？什么因素影響到了車主做出決定？幾何相似性建模 幾何相似性是一個與比例性相關的概念并且有助于簡化數(shù)學建模的過程 定義：如果兩個物體各點之間存在一一對應，使得對應點之間的距離之比對所有的點對都不變（等于一個常數(shù)），我們就說這兩個物體是幾何相似的。 性質(zhì)：幾何相似只不過是幾何體的簡單的放大與縮小的關系幾何相似性的檢驗案列-從不動的云層落下的水滴 假定對從高處落下的雨滴的終極速度感興趣?？疾煜旅孀杂陕潴w的圖解。假設 作用在雨滴上的只有重力和阻力。假設作用在雨滴上的阻力只與雨滴的表面積s和下落速度的乘積成比例。雨滴的重量和質(zhì)量成正比（即在牛二定律

14、是成立的） 公式：F=F(g)-F(d)=ma 在終極速度時的加速度為0 表達式為F(g)=F(d) 假設：所有的雨滴是幾何相似的。案列：釣魚比賽中的建模 出于保護的目的釣魚俱樂部鼓勵會員把釣到的魚立刻放生。該俱樂部根據(jù)釣到的魚的重量給與獎勵：100磅俱樂部的榮譽會員，大賽中釣魚總冠軍等一系列的榮譽。垂釣者怎么確定所釣的魚的重量？你可以給他們提一個建議隨身攜帶一個便攜秤，但這樣操作起來不是很方便，尤其是對一些小魚，并不準確。 識別問題：我們可以研究對于某個便于測量的量來預測魚的體重。假設 容易識別出多種因素影響魚的體重，比如魚的種類：不同魚的骨骼，肉的分布情況不一樣：他們會有不同的單位體積的重

15、量（重量密度），性別：由于雌雄發(fā)育不一樣，尤其到了雌魚產(chǎn)卵的時候體重會加大。 因為垂釣者尋求單一法則，這一開始就可限定魚的種類比如鱸魚，并且假設這種魚的重量密度不隨體型的大小發(fā)生變化。以后若發(fā)現(xiàn)這個重量密度差異比較大從而引起模型的誤差比較大時，這一點是值得改進的。此外也可以忽略季節(jié)和性別。因此一開始我們預測魚的體重只與魚的體積有關。假設驗證模型長度（長度（L/英寸）英寸）14.612.517.2514.512.62517.7514.12512.625長度的立方倍3112.1361953.1255132.9531253048.6252012.3066415592.3593752818.15820

16、32012.306641重量（w/盎司）2717412617492316長度（L/英寸）根據(jù)迄今給出較少的實驗數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)是位于一條直線。斜率為26/3049=0.008530510152025303540450100020003000400050006000Y 值把上模型的與預測結(jié)果進行擴展后得到下面標準長度長度（英（英寸）寸）1213141516171819202122232425重量（盎司）1519232935425059687991104118133重量（磅）0.91.21.51.82.22.63.13.74.34.95.76.57.48.3模型的改進 從我們得到的有限的數(shù)據(jù)來看，這

17、個法則似乎是合理的。但垂釣者不太喜歡這個規(guī)則，因為這個規(guī)則并不會獎勵肥魚：該模型以同樣的方式對待肥魚和廋魚。我們來討論的橫截面是相似的來代替魚都是幾何相似的這個假設。這個并不是要求橫截面有什么特殊性，只是滿足幾何相似的緣由。我們選定魚的腰圍定義g為他的特征量 再假設魚的主要重量集中在腰圍附近，即魚頭和魚尾部分分布的質(zhì)量較小，在以后考慮模型的改進時加上一個常數(shù)項，其次魚的橫截面是可變的。于是魚的體積V=S*L測量與操作 如何測量有效長度和腰圍的橫截面？我們也可以按照以前的方法設長度l與有效長度（去掉魚頭和魚尾的長度）成比例魚的腰圍橫截面積與最寬處的周長g的平方成正比。把這兩個比例性結(jié)合在一起便可

18、得到公式V=L*G*G 最后我們假設密度未變，W=K*L*G*G提出若干假設后我們對模型進行檢驗長度長度l（英（英寸）寸）14.512.517.2514.512.62517.7514.12512.625腰圍g（英寸）9.758.37511.09.758.512.59.08.8重量w（盎司）2717412617492316檢驗 省略圖 經(jīng)測定斜率k=0.0196 所以公式為w=0.0196lg2假定在圖紙上按照不同的比例尺畫了同一個國家并且把它們放在一起，再把其中的一張圖旋轉(zhuǎn)一下。證明兩張地圖只有一個地點是重合的?？紤]站著3英尺高重20磅的粉紅色火烈鳥，而它的腿有兩英尺長。試對重100磅的火烈鳥

19、的高度和腿長進行建模。 模型擬合數(shù)學建模協(xié)會內(nèi)部培訓模型的擬合和內(nèi)插間的關系模型擬合 用圖形為數(shù)據(jù)擬合模型 模型擬合的解析方法 應用最小二乘法準則 選擇一個好模型選擇一個好模型用圖形為數(shù)據(jù)模型擬合 假定建模者已做了某些假設，引出了某種模型。一般模型包含一個或多個參數(shù)，要收集充足的數(shù)據(jù)來確定這些參數(shù)?，F(xiàn)在考慮數(shù)據(jù)收集的問題。 采集多少個數(shù)據(jù)點，要在模型要求的精度和費用中進行權衡。至少需要和模型中任意常數(shù)一樣多的數(shù)據(jù)點。要用最佳的擬合方法，確定每一個常數(shù)，要求要有更多的數(shù)據(jù)點。將要使用模型的范圍決定了數(shù)據(jù)點的區(qū)間端點。 在此區(qū)間數(shù)據(jù)點的跨度也是一個重要問題，因為區(qū)間中的模型必須擬合的特別好的一部分

20、可利用不等的跨度進行加權處理。在預期模型變化特別大的地方盡可能的多取數(shù)據(jù)點。 應考慮數(shù)據(jù)的精確值，應把一個數(shù)據(jù)點看成一個置信區(qū)間。建模過程中的誤差分析 公式化的誤差 截斷誤差 舍入誤差 測量誤差對原始數(shù)據(jù)擬合視覺觀察模型012345600.511.522.53Y 值絕對偏差 要對一個數(shù)據(jù)進行線性擬合時，出現(xiàn)兩個或兩個以上點不能落在該直線上，這些數(shù)據(jù)的縱坐標與直線出縱坐標的差異，我們稱之絕對偏差。最佳擬合直線可以極小化這些絕對偏差之和。但是注意這是針對全體。 盡管這一種方法的精確度不是很高但是這種不精確度確實和建模的不精確度是密切相關的。 然而再用計算機進行擬合時，常常會疏漏這些重要考慮。因為建

21、模過程的模型擬合部分比其他階段似乎更為精心，更多分析，存在著不恰當?shù)匦湃螖?shù)值的傾向。變換數(shù)據(jù) 緣由：多數(shù)人的視覺僅限于擬合直線，而有時我們所的到的數(shù)據(jù)卻是非線性的。 對于常見的指數(shù)函數(shù)：y=k*expX我們采用對數(shù)變換則變成線性變化lny=lnk+x。畫出lny對x的圖像，成功極小化對該絕對偏差之和，那么直線就確定了lnk，逆轉(zhuǎn)后為正比例常數(shù)k。雖然不是很明顯，但在k*expx形式的曲線中已得到的函數(shù)y=k*expX不是極小化原始數(shù)據(jù)點的極小化絕對偏差。這有就是說在進行該數(shù)據(jù)變換時破壞了距離。轉(zhuǎn)換是有風險的！ 從上面的例子可以看出來，如果建模者使用的變換不是很小心，則他有可能選中一個較差的模型

22、，在比較可選模型時一定要注意到這一點 比較時必須要和原始數(shù)據(jù)一起進行全面的比較，不然的話將會導致嚴重的錯誤的結(jié)果。此時你選取模型的標準就變成了變換特點去選取模型，而不是根據(jù)模型的價值和原始數(shù)據(jù)的程度。 由于更多的計算機程序在擬合數(shù)據(jù)時先進行了轉(zhuǎn)換，建模者不是特別明白的話，還是會受到愚弄。 如果建模者先采用絕對偏差和來作為特征值，則建模者必須先明確這些值是如何進行計算的。模型擬合的解析方法-Chebyshev準則 給定m個數(shù)據(jù)點的集合【x（i），y（i）】，i=1,2,3，用直線y=a*x+b擬合該集合，以確定參數(shù)a，b，使任意數(shù)據(jù)點【x（i），y（i）】和其對應直線上點【x（i），a*x（i）

23、+b】間隔的距離最短，也就是對整個數(shù)據(jù)點集極小化最大絕對偏差|y（i）-y(x(i)|,現(xiàn)在對這個進行擴展。 給定某種函數(shù)類型y=f（x）和m個數(shù)據(jù)點【x（i），y（i）】的一個集合，對于整個集合極小化最大絕對偏差|y（i）-y(x(i)|,即確定函數(shù)類型y=f（x）的參數(shù)從而極小化數(shù)量 Maximum |y（i）-y(x(i)| i=1,2,3 -例子 我們要度量一段線段AB,AC,BC,其中AC=AB+BC，假定你的測量產(chǎn)生估計AB=13，BC=7，AC=19. 可以預想到在一次實際測量中會有一個矛盾的結(jié)果：這是AB+BC的值是20，不是19. 現(xiàn)在利用Chebyshev近似準則來解決這一

24、個單位的差異 用一種方法為三個線段指定數(shù)值，使得指定的和觀測的任意一對應數(shù)的最大偏差達到極小。假設對每一次測量有著相同的置信度，這樣每一測量值應有相同的權值。在這種情況子下差異盡可能分布到每一個線段，結(jié)果會預測AB=12+2/3,BC=6+2/3，AC=19+1/3，每一絕對偏差為1/3.減少任意偏差會是另一個偏差增加。公式表達 令x1，x2分別表示線段AB,BC的真值。為了易于表示，令r1，r2，r3表示真值與測量值之間差異，即 X1-13=r1 X2-7=r2 X1+x2-19=r3 數(shù)值r1，r2，r3稱為殘差 如果采用Chebyshev準則這要求指定r1，r2，r3值，使得3個數(shù)值|r1|，|r2|，|r3|的最大者達到最小。 后面省略Chebyshev近