第一章矩陣的運(yùn)算與初等變換

1、線性代數(shù)線性代數(shù) 第一章第一章第一章第一章 矩陣的運(yùn)算與初等變換矩陣的運(yùn)算與初等變換 本章教學(xué)內(nèi)容本章教學(xué)內(nèi)容1 矩陣與向量的概念矩陣與向量的概念2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算3 分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣5 矩陣的初等變換矩陣的初等變換第一章第一章 矩陣的運(yùn)算與初等變換矩陣的運(yùn)算與初等變換矩陣是代數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一，是代數(shù)矩陣是代數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一，是代數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象，也是數(shù)學(xué)許多分支研究及應(yīng)學(xué)研究的主要對(duì)象，也是數(shù)學(xué)許多分支研究及應(yīng)用的重要工具，它貫穿于線性代數(shù)的各個(gè)部分。用的重要工具，它貫穿于線性代數(shù)的各個(gè)部分。在很多領(lǐng)

2、域中的一些數(shù)量關(guān)系都可以用矩陣來(lái)描在很多領(lǐng)域中的一些數(shù)量關(guān)系都可以用矩陣來(lái)描述。述。 本章主要介紹矩陣的概念、性質(zhì)和運(yùn)算。并把向本章主要介紹矩陣的概念、性質(zhì)和運(yùn)算。并把向量視為特殊的矩陣，自然地引進(jìn)向量的概念及其量視為特殊的矩陣，自然地引進(jìn)向量的概念及其線性運(yùn)算。還將介紹矩陣的初等變換及分塊矩陣線性運(yùn)算。還將介紹矩陣的初等變換及分塊矩陣等相關(guān)知識(shí)，為今后的學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)打下扎實(shí)的等相關(guān)知識(shí)，為今后的學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)打下扎實(shí)的理論基礎(chǔ)。理論基礎(chǔ)。1 矩陣與向量的概念矩陣與向量的概念 本節(jié)教學(xué)內(nèi)容本節(jié)教學(xué)內(nèi)容1.1.矩陣的概念矩陣的概念2.2.同型矩陣與矩陣相等的概念同型矩陣與矩陣相等的概念3. 幾種特

3、殊的矩陣幾種特殊的矩陣4. 矩陣的應(yīng)用矩陣的應(yīng)用5. 向量的概念向量的概念1 矩陣與向量的概念矩陣與向量的概念1.1.矩陣的概念矩陣的概念 考察線性方程組考察線性方程組隱去未知量和等號(hào)，分離出各未知量的系數(shù)，得隱去未知量和等號(hào)，分離出各未知量的系數(shù)，得 一般地，我們有如下的定義一般地，我們有如下的定義稱為稱為矩陣矩陣 432121321211 , 432, 232, 12321321321xxxxxxxxx1 矩陣與向量的概念矩陣與向量的概念定義定義1.1由由mn個(gè)數(shù)排成個(gè)數(shù)排成m個(gè)行個(gè)行n個(gè)列的數(shù)表個(gè)列的數(shù)表叫做叫做m行行n列的矩陣列的矩陣，或稱，或稱mn矩陣矩陣. .通常用大寫通常用大寫字

4、母字母A或或Amn表示法表示法. 有時(shí)也記為有時(shí)也記為 mnmjmminijiinjnjaaaaaaaaaaaaaaaa2121222221111211nmijijaAaA )()(或或是第是第i行第行第j列元素，列元素，簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱(i,j)元元ija1 矩陣與向量的概念矩陣與向量的概念元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣實(shí)矩陣元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣復(fù)矩陣?yán)缋?34695301 2222222613i是一個(gè)是一個(gè)2 24 4實(shí)矩陣實(shí)矩陣，是一個(gè)是一個(gè)3 33 3復(fù)矩陣復(fù)矩陣，1 矩陣與向量的概念矩陣與向量的概念2.2.同型矩陣與矩陣相等的定義同型矩陣與矩陣相

5、等的定義兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等, ,列數(shù)相等時(shí)列數(shù)相等時(shí), ,稱為稱為同型同型矩陣矩陣. .例如例如兩個(gè)矩陣兩個(gè)矩陣A=(aij)與與B=(bij) 為同型矩陣為同型矩陣, ,并且對(duì)并且對(duì)應(yīng)元素相等應(yīng)元素相等, ,即即則稱則稱矩陣矩陣A A與與B B相等相等, ,記作記作A=BA=B. . 9348314736521與與為同型矩陣為同型矩陣. . , 2 , 1;, 2 , 1njmibaijij 1 矩陣與向量的概念矩陣與向量的概念3.幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣只與只與0有關(guān)的：有關(guān)的：元素全為零的矩陣稱為元素全為零的矩陣稱為零矩陣零矩陣，mn零矩陣記零矩陣記作作O或或Omn

6、注意注意不同型的零矩陣是不相等的不同型的零矩陣是不相等的. .例如例如 0000000000000001 矩陣與向量的概念矩陣與向量的概念只與行列相關(guān)的只與行列相關(guān)的: 1n矩陣矩陣也稱也稱行矩陣，行矩陣，或稱或稱n維行向量維行向量，ai也稱為第也稱為第i個(gè)個(gè)分量分量.注意注意分量間用逗號(hào)分開。分量間用逗號(hào)分開。 m1矩陣矩陣也稱也稱列矩陣，列矩陣，或稱或稱m維列向量維列向量，ai也稱為第也稱為第i個(gè)個(gè)分量分量. naaa,21 maaa211 矩陣與向量的概念矩陣與向量的概念 nn矩陣矩陣也稱也稱n階方陣階方陣(或或n級(jí)方陣級(jí)方陣)，Ann表可簡(jiǎn)記為表可簡(jiǎn)記為An；其中其中aii稱為稱為主對(duì)

7、角線元素主對(duì)角線元素；而而aij (i+j=n+1)稱為稱為副對(duì)角線元素副對(duì)角線元素. nnnnnnaaaaaaaaa212222111211主對(duì)角線主對(duì)角線副對(duì)角線副對(duì)角線1 矩陣與向量的概念矩陣與向量的概念例例 主對(duì)角線元素均為主對(duì)角線元素均為1，其它元素均為，其它元素均為0的的 n階方陣階方陣稱稱n階單位矩陣，階單位矩陣，記為記為En或或E. 1000100011 矩陣與向量的概念矩陣與向量的概念4.矩陣的應(yīng)用矩陣的應(yīng)用例例1 某公司對(duì)四名應(yīng)聘人員進(jìn)行三項(xiàng)素質(zhì)考評(píng)某公司對(duì)四名應(yīng)聘人員進(jìn)行三項(xiàng)素質(zhì)考評(píng)的百分制成績(jī)可用矩陣的百分制成績(jī)可用矩陣表示，其中表示，其中aij為第為第i名應(yīng)聘者的第名

8、應(yīng)聘者的第j種素質(zhì)考評(píng)的種素質(zhì)考評(píng)的成績(jī)。成績(jī)。 434241333231232221131211aaaaaaaaaaaaA1 矩陣與向量的概念矩陣與向量的概念例例2 公司中甲、乙兩類崗位對(duì)三項(xiàng)素質(zhì)要求的公司中甲、乙兩類崗位對(duì)三項(xiàng)素質(zhì)要求的權(quán)重系數(shù)也可用矩陣權(quán)重系數(shù)也可用矩陣表示，其中表示，其中bij為第為第j類崗位對(duì)第類崗位對(duì)第i種素質(zhì)要求的權(quán)重種素質(zhì)要求的權(quán)重系數(shù)。系數(shù)。注注：這里：這里 323122211211bbbbbbB, 1312111 bbb. 1322212 bbb1 矩陣與向量的概念矩陣與向量的概念例例3 第第i村到第村到第j村有村有aij條道路相通，四個(gè)村的通條道路相通，四

9、個(gè)村的通路信息可用矩陣路信息可用矩陣表示。表示。注注：這里：這里aii=0，即同一個(gè)村不考慮，即同一個(gè)村不考慮相通的道路。相通的道路。 0000434241343231242321141312aaaaaaaaaaaaA1 矩陣與向量的概念矩陣與向量的概念5.向量的概念向量的概念定義定義1.2 1n矩陣稱矩陣稱n維行向量維行向量， n1矩陣稱矩陣稱n維列向量維列向量， n維行向量與維行向量與n維列向量統(tǒng)稱維列向量統(tǒng)稱n維向量維向量，簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱向量。向量。 向量常用黑體字母向量常用黑體字母 , , , 或或x,y,z,表示（或加箭頭表示（或加箭頭 ）。）。兩向量?jī)上蛄肯嗟认嗟犬?dāng)且僅當(dāng)維數(shù)相同且對(duì)應(yīng)的

10、分量相等當(dāng)且僅當(dāng)維數(shù)相同且對(duì)應(yīng)的分量相等.分量全為零的向量稱分量全為零的向量稱零向量零向量，記為，記為0.1 1 矩陣與向量的概念矩陣與向量的概念n個(gè)個(gè)n維列向量維列向量稱為稱為n維基本列向量維基本列向量。n個(gè)個(gè)n維行向量維行向量稱為稱為n維基本行向量維基本行向量。,001 1e,010 2e,100, ne ,0, 0, 1 1f ,0, 1, 0 2f ,1, 0, 0, nf1 矩陣與向量的概念矩陣與向量的概念本節(jié)學(xué)習(xí)要求本節(jié)學(xué)習(xí)要求 熟悉矩陣、同型矩陣、矩陣相等、列矩陣、熟悉矩陣、同型矩陣、矩陣相等、列矩陣、行矩陣、方陣、單位方陣與向量的概念，懂得行矩陣、方陣、單位方陣與向量的概念，懂

11、得矩矩陣的應(yīng)用。陣的應(yīng)用。作業(yè)作業(yè)：習(xí)題：習(xí)題1.1(A) 第第2題題2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算 本節(jié)教學(xué)內(nèi)容本節(jié)教學(xué)內(nèi)容1.1.矩陣加、減法矩陣加、減法2.2.數(shù)乘矩陣數(shù)乘矩陣3. 矩陣乘法矩陣乘法4. 方陣的冪方陣的冪5. 矩陣的矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算1.矩陣加、減法矩陣加、減法定義定義2.1 兩個(gè)兩個(gè)mn矩陣矩陣A=(aij),B=(bij)的的和和記為記為A+B，規(guī)定，規(guī)定注注：只有同型矩陣才能相加：只有同型矩陣才能相加. mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA2211222222212111121211112 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算定義定義 mn

12、矩陣矩陣-A=(-aij)稱為矩陣稱為矩陣A=(aij)的的負(fù)矩陣負(fù)矩陣.兩個(gè)兩個(gè)mn矩陣矩陣A=(aij),B=(bij)的的差差記為記為A-B，規(guī)定，規(guī)定A-B=A+(-B)，即，即注注：只有同型矩陣才能相減：只有同型矩陣才能相減. mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA2211222222212111121211112 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A, B, C均為均為mn矩陣，矩陣，O為為 mn零矩陣零矩陣, 則則 A+(-A)=O ； A+O=A ； A+B=B+A ； (A+B)+C=A+(B+C) .2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算例例1

13、設(shè)矩陣設(shè)矩陣且且A+B=C，求，求x,y.解解 由由A+B=C，得，得,101 xA,021 yB,1211 C,1211 yxBA , 11, 11yx , 0, 2yx即即2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算2.數(shù)乘矩陣數(shù)乘矩陣定義定義2.2 數(shù)數(shù) 與與mn矩陣矩陣A=(aij)的的乘積乘積記為記為 A或或A ，規(guī)定規(guī)定 mnmmnnaaaaaaaaaA 2122221112112 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A, B均為個(gè)均為個(gè)mn矩陣，矩陣， , 為為 數(shù)，數(shù)，則則 ( A)=()A ； ( + ) A= A+ A ； (A+B)= A+ B ； (-1)A=-A.通常把通常

14、把矩陣的加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱矩陣的矩陣的加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱矩陣的線線性運(yùn)算性運(yùn)算。2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算例例2 設(shè)矩陣設(shè)矩陣求求3A-2B.解解 ,312121322101 A,120311111012 B,9363639663033 A,2406222220242 B.71694574432723 BA2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算3.矩陣乘法矩陣乘法定義定義2.3 矩陣矩陣A=(aij)ms, B=(bij)sn的的乘積乘積記為記為AB，規(guī)定規(guī)定AB=(cij)mn，其中其中 i=1,2, m，j=1,2, ,n.注注：只有：只有A的列數(shù)與的列數(shù)與B的行數(shù)相同的行數(shù)相同,AB才有定義才有

15、定義.sjisjijiijbababac 2211 011320310310001121300111021)1(24320)1(14AB例例3 設(shè)矩陣設(shè)矩陣求求AB.解解 322 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算,130011214 A,031021 B.3331710 33322 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算例例4 設(shè)矩陣設(shè)矩陣求求AB及及BA.解解注注：一般的一般的 AO且且BO ABO ； AB=O A=O或或B=O ； ABBA.,1111 A,1111 B 11111111AB,0000 11111111BA,2222 2222222 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì) 設(shè)設(shè)A=(aij)mn，fi為第為第i

16、個(gè)分量為個(gè)分量為1的的m維維基本行向量，則基本行向量，則 mnmminiiniaaaaaaaaaAf2121112110, 1, 0 iniiaaa,21 2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算(2)設(shè)設(shè)A=(aij)mn，ej為第為第j個(gè)分量為個(gè)分量為1的的n維維基本列向量，則基本列向量，則 010122211111mnmjmnjnjjaaaaaaaaaAe mjjjaaa212 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算可見當(dāng)可見當(dāng) A=(aij)mn，則，則EmA=AEn=A.2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律 (1)設(shè)設(shè)A=(aij)ms， B=(bij)sk， C=(Cij)kn，則則A(BC)=(AB)C ；(

17、2)設(shè)設(shè)A=(aij)ms， B=(bij)sn， 數(shù)數(shù) ,則則 (AB)=( A)B =A( B) ；(3)設(shè)設(shè)A=(aij)ms， B=(bij)sn， C=(Cij)sn，則則A(B+C)=AB+AC ;(4)設(shè)設(shè)A=(aij)sn， B=(bij)ms， C=(Cij)ms，則則(B+C)A=BA+CA ;2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算4. 方陣的冪方陣的冪定義定義 若若AB=BA，則稱，則稱A,B是是可換可換的的.注注：若：若A,B是可換的，則是可換的，則A,B是同階方陣，反之是同階方陣，反之不一定成立。不一定成立。定義定義 方陣方陣A的冪：的冪： Ak=AAA, , A0=E，運(yùn)算規(guī)律運(yùn)

18、算規(guī)律：設(shè)：設(shè)A為方陣，為方陣，k,l為自然數(shù)，則為自然數(shù)，則 AkAl =Ak+l， (Ak)l =Akl；一般地，一般地， (AB)k AkBk，但若，但若A,B是可換的，是可換的，則則 (AB)k =AkBk.k個(gè)個(gè)2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算例例5 設(shè)設(shè)A=，求，求An.分析分析 ,321 ,31,21, 1 ,1233321231211 A)3(32131,21, 1 2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算解解 An=() () () = ()()() = (3)n-1 12112113233323323233nnnnnnnnn 31,21, 1)3(3211nn個(gè)個(gè)n-1個(gè)個(gè) 31,21, 1332

19、311nnn2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算注意注意 一階方陣與向量的乘法一階方陣與向量的乘法 )3(3211 n nnn332311.32131 n)3, 2, 1)(k)3,2,(kkk )3, 2, 1(k ,321)3(1無(wú)定義無(wú)定義 n.)(3, 2, 1(無(wú)無(wú)定定義義k2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算定義定義 設(shè)設(shè)A為方陣為方陣規(guī)定規(guī)定稱為稱為A的的矩陣多項(xiàng)式矩陣多項(xiàng)式。 .)(0111aaaafnnnn .)(0111EaAaAaAaAfnnnn 2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算例例6 6 設(shè)設(shè)求求f( (A).).解解 . 23)(2 f 121110211A 13221152312111021112

20、11102112A 10001000121211102113132211523)(Af2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算 . . 031121152 2000200023633306331322115232 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算5. 矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置定義定義2.4 矩陣矩陣A的的轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣記為記為AT，規(guī)定規(guī)定 mnnnmmTaaaaaaaaaA212221212111則則,212222111211 mnmmnnaaaaaaaaaA若若2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律 (AT)T=A； (A+B)T=AT+BT； ( A)T= AT ； (AB)T=BTAT， (注意注意ATBT)2

21、矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算例例7 設(shè)設(shè)求求(AB)T.解解 ,231102 A,102324171 B 102324171231102AB 1013173140.1031314170)( TAB2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算例例7 設(shè)設(shè)求求(AB)T.又解又解 ,231102 A,102324171 B 213012131027241)(TTTABAB.1031314170 2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算本節(jié)學(xué)習(xí)要求本節(jié)學(xué)習(xí)要求 熟練掌握熟練掌握矩陣的加法、減法矩陣的加法、減法、數(shù)乘數(shù)乘、矩陣乘矩陣乘法和法和矩陣的矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算；熟悉各種運(yùn)算的性質(zhì)；會(huì)轉(zhuǎn)置運(yùn)算；熟悉各種運(yùn)算的性質(zhì)；會(huì)求方陣的冪。求方陣的冪。作業(yè)

22、作業(yè)：習(xí)題：習(xí)題1.2(A) 第第1(2)(5), 2, 3題題3 分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算 本節(jié)教學(xué)內(nèi)容本節(jié)教學(xué)內(nèi)容1.1.分塊矩陣的概念分塊矩陣的概念2.2.矩陣的分塊加法運(yùn)算矩陣的分塊加法運(yùn)算3. 矩陣的分塊數(shù)乘運(yùn)算矩陣的分塊數(shù)乘運(yùn)算4. 矩陣的分塊乘法運(yùn)算矩陣的分塊乘法運(yùn)算5. 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置分塊矩陣的轉(zhuǎn)置3 分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算1.分塊矩陣的概念分塊矩陣的概念把一個(gè)階數(shù)較高的矩陣，用若干條橫線和豎線分把一個(gè)階數(shù)較高的矩陣，用若干條橫線和豎線分開成若干小塊，每一小塊都叫做矩陣的開成若干小塊，每一小塊都叫做矩陣的子塊子塊，以，以子塊為元

23、素的矩陣稱為子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣分塊矩陣。例例子塊子塊 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa 22211211AAAA記記,2221121111 aaaaA,2423141312 aaaaA ,323121aaA .,343322aaA 3 分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算一個(gè)矩陣一個(gè)矩陣, ,根據(jù)需要有不同的分塊法根據(jù)需要有不同的分塊法例例注注：一行的分塊矩陣，各子塊間用逗號(hào)分開。：一行的分塊矩陣，各子塊間用逗號(hào)分開。 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa 232221131211AAAAAA 3

24、43332312423222114131211aaaaaaaaaaaa 14131211,AAAA 343332312423222114131211bbbbbbbbbbbb3 分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算2.矩陣的分塊加法運(yùn)算矩陣的分塊加法運(yùn)算例例記記 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa 22222121121211112221121122211211BABABABABBBBAAAA 343433333232313124242323222221211414131312121111babababababababababababa3 分塊矩

25、陣及矩陣的分塊運(yùn)算分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算若兩個(gè)矩陣若兩個(gè)矩陣A，B同型且有相同的分塊法，同型且有相同的分塊法，,212222111211 stssttAAAAAAAAAA stssttBBBBBBBBBB212222111211 ststssssttttBABABABABABABABABABA221122222221211112121111則則 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa 3 分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算3.3.矩陣的分塊數(shù)乘運(yùn)算矩陣的分塊數(shù)乘運(yùn)算例例可見可見 343332312423222114131211aaaaaaaaa

26、aaa 232221131211232221131211AAAAAAAAAAAA 3 分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算數(shù)數(shù) 與分塊與分塊矩陣的乘積矩陣的乘積 stssttAAAAAAAAA212222111211 stssttAAAAAAAAA 2122221112113 分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算4.矩陣的分塊乘法運(yùn)算矩陣的分塊乘法運(yùn)算設(shè)矩陣設(shè)矩陣A=(Aij)ms, B=(Bij)sn，Aik的列數(shù)等于的列數(shù)等于Bkj的行數(shù)的行數(shù)(k=1,2, ,s)，則，則AB=(Cij)mn，其中其中 i=1,2, m，j=1,2, ,n.例例1 設(shè)設(shè)求求AB.s

27、jisjijiijBABABAC 2211,1011012100100001 A,0211140110210101 B3 分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算解解 設(shè)設(shè)則則 1011012100100001A 2212111BBEBEAOEAB 0211140110210101B,1 EAOE 222111BBEB 2211211111BABBAEB3 分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算而而于是于是 11012101112112111BBA 11012043 1142 02141121221BA 1333 1311334210210101AB3 分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)

28、算分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算如果直接計(jì)算，有如果直接計(jì)算，有兩種計(jì)算結(jié)果一樣。兩種計(jì)算結(jié)果一樣。 02111401102101011011012100100001AB 13113342102101013 分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算5.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置分塊矩陣的轉(zhuǎn)置可見可見 mnnnmmTaaaaaaaaaA212221212111則則,212222111211 mnmmnnaaaaaaaaaA,212222111211 stssttAAAAAAAAAA,212221212111T TstTtTtTsTTTsTTAAAAAAAAAA則則3 分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算分塊矩陣及矩陣

29、的分塊運(yùn)算分塊矩陣的各種運(yùn)算的結(jié)果與不分塊的矩陣的分塊矩陣的各種運(yùn)算的結(jié)果與不分塊的矩陣的各種運(yùn)算的結(jié)果一致，兩種運(yùn)算有相同的運(yùn)算性各種運(yùn)算的結(jié)果一致，兩種運(yùn)算有相同的運(yùn)算性質(zhì)。質(zhì)。3 分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算分塊矩陣及矩陣的分塊運(yùn)算本節(jié)學(xué)習(xí)要求本節(jié)學(xué)習(xí)要求 理解理解分塊矩陣的概念，分塊矩陣的概念，了解了解分塊矩陣的加法分塊矩陣的加法、數(shù)乘分塊矩陣、分塊矩陣乘法數(shù)乘分塊矩陣、分塊矩陣乘法和和分塊矩陣的轉(zhuǎn)置分塊矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算。運(yùn)算。作業(yè)作業(yè)：習(xí)題：習(xí)題1.3(A) 第第2題題4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣 本節(jié)教學(xué)內(nèi)容本節(jié)教學(xué)內(nèi)容1.1.對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣2.2.標(biāo)量矩陣標(biāo)量矩陣3. 上三角形矩

30、陣上三角形矩陣4. 下三角形矩陣下三角形矩陣5. 對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣6. 反稱矩陣反稱矩陣7. 分塊對(duì)角矩陣分塊對(duì)角矩陣4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣1.對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣主對(duì)角線元素外，其它元素均為主對(duì)角線元素外，其它元素均為0的方陣的方陣稱稱對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣，簡(jiǎn)記為，簡(jiǎn)記為A=diag( 1, 2, , n). 下面來(lái)討論對(duì)角矩陣的性質(zhì)下面來(lái)討論對(duì)角矩陣的性質(zhì) nA 00000021 n 21可記為可記為OO4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣設(shè)設(shè)則則性質(zhì)性質(zhì)任兩個(gè)對(duì)角矩陣的和也是對(duì)角矩陣任兩個(gè)對(duì)角矩陣的和也是對(duì)角矩陣. naaaA21 nbbbB21 n2211bababaBAn4 幾種特殊的

31、矩陣幾種特殊的矩陣設(shè)設(shè)則則性質(zhì)性質(zhì)數(shù)乘對(duì)角矩陣也是對(duì)角矩陣數(shù)乘對(duì)角矩陣也是對(duì)角矩陣.,21 naaaA)(21為數(shù)為數(shù) naaaA4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣設(shè)設(shè)則則性質(zhì)性質(zhì)任兩個(gè)對(duì)角矩陣的積也是對(duì)角矩陣任兩個(gè)對(duì)角矩陣的積也是對(duì)角矩陣. naaaA21 nbbbB21 n2211bababaBAABn4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣設(shè)設(shè)則則性質(zhì)性質(zhì)對(duì)角矩陣冪也是對(duì)角矩陣對(duì)角矩陣冪也是對(duì)角矩陣.,21 naaaA)(21為自然數(shù)為自然數(shù)kaaaAknkkk 4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣設(shè)設(shè)則則性質(zhì)性質(zhì)對(duì)角矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣是自身對(duì)角矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣是自身,即對(duì)角矩陣即對(duì)角矩陣.,21 naaa

32、AAaaaAnT 214 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣定義定義 設(shè)設(shè)S是一個(gè)集合，若是一個(gè)集合，若S中的元素經(jīng)某種運(yùn)算，中的元素經(jīng)某種運(yùn)算，結(jié)果仍然是結(jié)果仍然是S的元素，則稱的元素，則稱S對(duì)這種對(duì)這種運(yùn)算封閉運(yùn)算封閉。由上述對(duì)角矩陣的性質(zhì)知由上述對(duì)角矩陣的性質(zhì)知對(duì)角矩陣對(duì)矩陣的對(duì)角矩陣對(duì)矩陣的加法與數(shù)乘加法與數(shù)乘運(yùn)算封閉，即運(yùn)算封閉，即對(duì)角矩陣對(duì)矩陣的對(duì)角矩陣對(duì)矩陣的線性運(yùn)算線性運(yùn)算封閉。封閉。對(duì)角矩陣對(duì)矩陣的減法運(yùn)算封閉。對(duì)角矩陣對(duì)矩陣的減法運(yùn)算封閉。對(duì)角矩陣對(duì)矩陣的乘法運(yùn)算封閉。對(duì)角矩陣對(duì)矩陣的乘法運(yùn)算封閉。對(duì)角矩陣對(duì)矩陣的冪運(yùn)算封閉。對(duì)角矩陣對(duì)矩陣的冪運(yùn)算封閉。注注：，.4 幾種特殊的矩

33、陣幾種特殊的矩陣2.標(biāo)量矩陣（數(shù)量矩陣）標(biāo)量矩陣（數(shù)量矩陣）主對(duì)角線元素為數(shù)主對(duì)角線元素為數(shù)a的對(duì)角矩陣的對(duì)角矩陣稱稱標(biāo)量矩陣標(biāo)量矩陣，簡(jiǎn)記為，簡(jiǎn)記為A=aE. 性質(zhì)性質(zhì) 標(biāo)量矩陣對(duì)矩陣的線性運(yùn)算，乘法運(yùn)算封標(biāo)量矩陣對(duì)矩陣的線性運(yùn)算，乘法運(yùn)算封閉；標(biāo)量矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣是自身。閉；標(biāo)量矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣是自身。 aaaA4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣3.上三角形矩陣上三角形矩陣主對(duì)角線下方元素均為主對(duì)角線下方元素均為0的方陣的方陣稱稱上三角形矩陣上三角形矩陣。性質(zhì)性質(zhì) 上三角形矩陣對(duì)矩陣的線性運(yùn)算，乘法運(yùn)上三角形矩陣對(duì)矩陣的線性運(yùn)算，乘法運(yùn)算封閉。算封閉。 nnnnaaaaaa00022211211

34、 nnnnaaaaaa22211211可寫成可寫成O4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣4.下三角形矩陣下三角形矩陣主對(duì)角線上方元素均為主對(duì)角線上方元素均為0的方陣的方陣稱稱下三角形矩陣下三角形矩陣。性質(zhì)性質(zhì) 下三角形矩陣對(duì)矩陣的線性運(yùn)算，乘法運(yùn)下三角形矩陣對(duì)矩陣的線性運(yùn)算，乘法運(yùn)算封閉算封閉；下三角形矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣是上三角形矩下三角形矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣是上三角形矩陣，上三角形矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣是下三角形矩陣。陣，上三角形矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣是下三角形矩陣。 nnnnaaaaaa21222111000 nnnnaaaaaa21222111可可寫寫成成O4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣?yán)? 設(shè)矩陣設(shè)矩陣則則,1

35、11621 A 231112B,116121 TA,22212422 A 231112111621BA,122513 4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣?yán)? 設(shè)矩陣設(shè)矩陣則則,111621 A 231112B 231112111621AB,251712 111621231112BA.2211232 4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣?yán)?設(shè)設(shè)A,B 均為均為n階下三角形矩陣，證明階下三角形矩陣，證明AB 亦為亦為下三角形矩陣。下三角形矩陣。證證 設(shè)設(shè)A=(aij)nn, B=(bij)nn均為下三角形矩陣均為下三角形矩陣,則當(dāng)則當(dāng)1ij n時(shí)，時(shí)，aij=0，bij=0 . 設(shè)設(shè)AB=(cij)

36、nn，則當(dāng)則當(dāng)1ijn時(shí)，時(shí)， cij =ai1b1j+ai2b2j+aiibij+aii+1bi+1j+ainbnj =ai1 0+ai2 0+aii 0+0 bi+1j+0 bnj=0.所以所以AB為下三角形矩陣為下三角形矩陣. #4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣5.對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣方陣方陣定義定義 設(shè)設(shè)A=(aij)nn，若，若aij=aji (i,j=1,2,n)，則，則稱稱A為為對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣。特征特征 A是對(duì)稱矩陣是對(duì)稱矩陣 AT=A.,136302621 元素關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱元素關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱 叫做叫做對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣性質(zhì)性質(zhì) 對(duì)稱矩陣對(duì)矩陣的

37、線性運(yùn)算封閉對(duì)稱矩陣對(duì)矩陣的線性運(yùn)算封閉.證證 設(shè)設(shè)A,B是對(duì)稱矩陣，是對(duì)稱矩陣， 是數(shù)，則是數(shù)，則 (A+B)T=AT+BT=A+B ; ( A)T= AT = A，結(jié)論成立。，結(jié)論成立。4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣?yán)?設(shè)設(shè)A,B是對(duì)稱矩陣，則是對(duì)稱矩陣，則AB是對(duì)稱矩陣的充要是對(duì)稱矩陣的充要條件是條件是A,B可換，可換，證證 必要性必要性) 設(shè)設(shè)AB是對(duì)稱矩陣是對(duì)稱矩陣，則，則(AB)T=AB, 又又(AB)T=BTAT=BA, AB=BA,即即A,B可換可換. 充分性充分性)設(shè)設(shè)A,B可換可換,即即AB=BA，則，則 (AB)T=BTAT=BA=AB, AB是對(duì)稱矩陣是對(duì)稱矩陣.

38、#可見可見對(duì)稱矩陣對(duì)矩陣的乘法運(yùn)算不封閉對(duì)稱矩陣對(duì)矩陣的乘法運(yùn)算不封閉.4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣6.反稱矩陣反稱矩陣方陣方陣定義定義 設(shè)設(shè)A=(aij)nn，若，若aij=- -aji (i,j=1,2,n)，則，則稱稱A為為反稱矩陣反稱矩陣。特征特征 A是反稱矩陣是反稱矩陣 AT=- -A.,036302620 元素關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱互反元素關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱互反 叫做叫做反稱矩陣反稱矩陣4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣性質(zhì)性質(zhì) 反稱矩陣對(duì)矩陣的線性運(yùn)算封閉反稱矩陣對(duì)矩陣的線性運(yùn)算封閉.證證 設(shè)設(shè)A,B是反稱矩陣，是反稱矩陣， 是數(shù)，則是數(shù)，則 (A+B)T=AT+BT=-A-B=-(A

39、+B) ; ( A)T= AT = (-A)=-( A) ，結(jié)論成立。，結(jié)論成立。例例 設(shè)設(shè)A,B是反稱矩陣，則是反稱矩陣，則AB是對(duì)稱矩陣的充要是對(duì)稱矩陣的充要條件是條件是A,B可換，可換，證證 (AB)T=BTAT=(-B)(-A)=BA. AB是對(duì)稱矩陣是對(duì)稱矩陣 (AB)T=AB AB=BA,即即A,B可換可換. #可見可見反稱矩陣對(duì)矩陣的乘法運(yùn)算不封閉反稱矩陣對(duì)矩陣的乘法運(yùn)算不封閉.4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣?yán)? 證明任一方陣證明任一方陣A均可表示為一個(gè)對(duì)稱矩陣與均可表示為一個(gè)對(duì)稱矩陣與一個(gè)反稱矩陣之和一個(gè)反稱矩陣之和.證證 )(21)(21TTAAAAA )(21)(21)

40、(21TTTTAAAAAA )(21)(21)(21TTTTAAAAAA #.)(21,)(21是反稱矩陣是反稱矩陣是對(duì)稱矩陣是對(duì)稱矩陣TTAAAA 4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣?yán)? 設(shè)設(shè)A是是n階反稱矩陣，階反稱矩陣， B是是n階對(duì)稱矩陣，階對(duì)稱矩陣，證明證明AB+BA是一個(gè)是一個(gè)n階反稱矩陣階反稱矩陣.證證 因此因此AB+BA是一個(gè)是一個(gè)n階反稱矩陣階反稱矩陣.TTTBAABBAAB)()()( TTTTBAAB BAAB)()( ).(BAAB 4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣7.分塊對(duì)角矩陣分塊對(duì)角矩陣設(shè)設(shè)n階方陣階方陣A是一個(gè)分塊矩陣，其主對(duì)角線上的是一個(gè)分塊矩陣，其主對(duì)角線上

41、的子塊全是方陣，其余子塊均為零矩陣，則稱子塊全是方陣，其余子塊均為零矩陣，則稱A為為分塊對(duì)角矩陣分塊對(duì)角矩陣。性質(zhì)性質(zhì)分塊對(duì)角矩陣對(duì)分塊矩陣的線性運(yùn)算，乘分塊對(duì)角矩陣對(duì)分塊矩陣的線性運(yùn)算，乘法運(yùn)算封閉法運(yùn)算封閉.4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣設(shè)兩個(gè)分塊對(duì)角矩陣設(shè)兩個(gè)分塊對(duì)角矩陣,21 sAAAA sBBBB21,), 2 , 1(是同階方陣是同階方陣與與其中其中siBAii ssBABABABA2211則則4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣設(shè)分塊對(duì)角矩陣設(shè)分塊對(duì)角矩陣,21 sAAAA,為數(shù)為數(shù) sAAAA 21則則4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣設(shè)兩個(gè)分塊對(duì)角矩陣設(shè)兩個(gè)分塊對(duì)角矩陣,21 s

42、AAAA sBBBB21,), 2 , 1(是同階方陣是同階方陣與與其中其中siBAii ssBABABABA2211則則4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣設(shè)分塊對(duì)角矩陣設(shè)分塊對(duì)角矩陣,21 sAAAA nsnnnAAAA21則則4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣?yán)? 設(shè)矩陣設(shè)矩陣求求A4.解解 212200020000340043AAA,2500253443344321 A 625006252500252241A4 幾種特殊的矩陣幾種特殊的矩陣故故,48042202220222 A,16640164804480442 A.166400016000062500006254 A4 幾種特殊的矩陣幾

43、種特殊的矩陣本節(jié)學(xué)習(xí)要求本節(jié)學(xué)習(xí)要求 熟悉熟悉對(duì)角矩陣、標(biāo)量矩陣、上三角形矩陣、下對(duì)角矩陣、標(biāo)量矩陣、上三角形矩陣、下三角形矩陣、對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣和分塊對(duì)角三角形矩陣、對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣和分塊對(duì)角矩陣的概念及其性質(zhì)，會(huì)驗(yàn)證一個(gè)矩陣是對(duì)稱矩矩陣的概念及其性質(zhì)，會(huì)驗(yàn)證一個(gè)矩陣是對(duì)稱矩陣陣(或反稱矩陣或反稱矩陣)。作業(yè)作業(yè)：習(xí)題：習(xí)題1.4(A) 第第3題題5 矩陣的初等變換矩陣的初等變換 本節(jié)教學(xué)內(nèi)容本節(jié)教學(xué)內(nèi)容1.1.矩陣的初等變換矩陣的初等變換2.2.初等矩陣初等矩陣5 矩陣的初等變換矩陣的初等變換1. 矩陣的初等變換矩陣的初等變換定義定義5.1 下面三種變換稱為矩陣的下面三種變換稱為矩

44、陣的初等行變換初等行變換倍法變換倍法變換:非零數(shù)非零數(shù)k乘矩陣的第乘矩陣的第i行行注注：倍法行變換記號(hào)：倍法行變換記號(hào)rik寫在寫在上方上方(或下方或下方) mnmminiinkrmnmminiinaaakakakaaaaaaaaaaaaai2121112112121112115 矩陣的初等變換矩陣的初等變換消法變換消法變換:非零數(shù)非零數(shù)k乘矩陣的第乘矩陣的第i行，然后加到行，然后加到矩陣的第矩陣的第j行上行上注注：消法行變換記號(hào)：消法行變換記號(hào)kri+rj寫在寫在上方上方(或下方或下方) mnmminjnijijiniinrkrmnmmjnjjiniinaaakaakaakaaaaaaaaa

45、aaaaaaaaaaaji2122112111211212121112115 矩陣的初等變換矩陣的初等變換換法變換換法變換:矩陣的第矩陣的第i行與矩陣的第行與矩陣的第j行互換行互換注注：換法行變換記號(hào)：換法行變換記號(hào)rirj寫在寫在上方上方(或下方或下方) mnmminiijnjjnrrmnmmjnjjiniinaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaji21212111211212121112115 矩陣的初等變換矩陣的初等變換下面三種變換稱為矩陣的下面三種變換稱為矩陣的初等列變換初等列變換倍法變換倍法變換:非零數(shù)非零數(shù)k乘矩陣的第乘矩陣的第j列列注注：倍法列變換記號(hào)：倍法列變換記號(hào)

46、cjk寫在寫在上方上方(或下方或下方)倍法倍法列列變換記號(hào)變換記號(hào)cjk，倍法倍法行行變換記號(hào)變換記號(hào)rik mnmjmnjnjkcmnmjmnjnjakaaakaaakaaaaaaaaaaaj122211111122211111消法變換消法變換:非零數(shù)非零數(shù)k乘矩陣的第乘矩陣的第i列，然后加到列，然后加到矩陣的第矩陣的第j列上列上注注：消法列變換記號(hào)：消法列變換記號(hào)kci+cj寫在寫在上方上方(或下方或下方)消法消法列列變換記號(hào)變換記號(hào)kci+cj ，消法消法行行變換記號(hào)變換記號(hào)kri+rj5 矩陣的初等變換矩陣的初等變換 mimimjiijiijckcmimjijijakaaakaaaka

47、aaaaaaaji2221112211換法變換換法變換:矩陣的第矩陣的第i列與矩陣的第列與矩陣的第j列互換列互換注注：換法列變換記號(hào)：換法列變換記號(hào)cicj寫在寫在上方上方(或下方或下方)換法換法列列變換記號(hào)變換記號(hào)cicj ，換法換法行行變換記號(hào)變換記號(hào)rirj5 矩陣的初等變換矩陣的初等變換 mjmijijiccmimjijijaaaaaaaaaaaaji221122115 矩陣的初等變換矩陣的初等變換定義定義 矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初初等變換等變換. .性質(zhì)性質(zhì) 初等變換可逆，且變換與其逆變換同類型初等變換可逆，且變換與其逆變換同類型.注注：

48、上述將：上述將“r”換成換成“c”即是列變換的情形。即是列變換的情形。,. 1BAkri 若若;01 kABkri則則,. 2BAjirkr 若若;)(ABjirrk 則則,. 3BAjirr 若若;ABjirr 則則5 矩陣的初等變換矩陣的初等變換定義定義 若若矩陣矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B, ,則稱矩陣則稱矩陣A與與B 等價(jià)等價(jià)，記作，記作A B. .性質(zhì)性質(zhì) 反身性反身性 A A； 對(duì)稱性對(duì)稱性 若若A B，則，則B A； 傳遞性傳遞性 若若A B，B C，則，則A C.定理定理5.1 設(shè)設(shè)A為為mn矩陣，則矩陣，則).min(0,000nmrEA r的的稱為稱為矩陣矩陣AE 000r標(biāo)準(zhǔn)形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣.5 矩陣的初