生活中的優(yōu)問題舉例

1、 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用高中數(shù)學(xué)選修高中數(shù)學(xué)選修1-11-13.4 生活中的優(yōu)化問題舉例生活中的優(yōu)化問題舉例 二、應(yīng)用題有四難。今天繼續(xù)講應(yīng)用題，同學(xué)們對照一下是第幾難？二、應(yīng)用題有四難。今天繼續(xù)講應(yīng)用題，同學(xué)們對照一下是第幾難？ 先不嚴(yán)格的定義什么是應(yīng)用題。就是用數(shù)學(xué)知識、方法、思想、數(shù)學(xué)思維方先不嚴(yán)格的定義什么是應(yīng)用題。就是用數(shù)學(xué)知識、方法、思想、數(shù)學(xué)思維方式解決生產(chǎn)、生活問題。式解決生產(chǎn)、生活問題。 所以應(yīng)用題可以分成兩部分：背景知識，數(shù)學(xué)問題。背景知識分社會背景知所以應(yīng)用題可以分成兩部分：背景知識，數(shù)學(xué)問題。背景知識分社會背景知識、自然背景知識。識、自然背景知識。 應(yīng)用

2、題第一難：實(shí)踐操作難，即設(shè)計(jì)一種測量方法難應(yīng)用題第一難：實(shí)踐操作難，即設(shè)計(jì)一種測量方法難 應(yīng)用題第二難：難在我們對背景知識知道太少。背景是有關(guān)企業(yè)、醫(yī)學(xué)、物理、應(yīng)用題第二難：難在我們對背景知識知道太少。背景是有關(guān)企業(yè)、醫(yī)學(xué)、物理、汽車、建筑物、地理、經(jīng)濟(jì)等等。我們在做應(yīng)用題前要先熟悉這些知識。所以這汽車、建筑物、地理、經(jīng)濟(jì)等等。我們在做應(yīng)用題前要先熟悉這些知識。所以這里有個(gè)高原現(xiàn)象，就是熟悉背景知識，我們不熟悉。里有個(gè)高原現(xiàn)象，就是熟悉背景知識，我們不熟悉。 應(yīng)用題第三難應(yīng)用題第三難:就是把現(xiàn)實(shí)生活生產(chǎn)問題抽象為數(shù)學(xué)模型，能夠提煉出數(shù)學(xué)模就是把現(xiàn)實(shí)生活生產(chǎn)問題抽象為數(shù)學(xué)模型，能夠提煉出數(shù)學(xué)模型

3、，這種抽象、提煉能力我們不會。型，這種抽象、提煉能力我們不會。 應(yīng)用題第四難：難在我們對有關(guān)的數(shù)學(xué)知識、方法、思想、數(shù)學(xué)思維方式不熟應(yīng)用題第四難：難在我們對有關(guān)的數(shù)學(xué)知識、方法、思想、數(shù)學(xué)思維方式不熟練。有關(guān)的數(shù)學(xué)知識、方法、思想、數(shù)學(xué)思維方式是我們解答出應(yīng)用題的基礎(chǔ)知練。有關(guān)的數(shù)學(xué)知識、方法、思想、數(shù)學(xué)思維方式是我們解答出應(yīng)用題的基礎(chǔ)知識。所以這里有個(gè)高原現(xiàn)象我們邁不上去，就是對有關(guān)的數(shù)學(xué)知識、方法、思想、識。所以這里有個(gè)高原現(xiàn)象我們邁不上去，就是對有關(guān)的數(shù)學(xué)知識、方法、思想、數(shù)學(xué)思維方式的熟練，但我們不熟練。即抽象出的數(shù)學(xué)問題難。數(shù)學(xué)思維方式的熟練，但我們不熟練。即抽象出的數(shù)學(xué)問題難。 應(yīng)

4、用題因?yàn)榘褜?shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題，但有時(shí)候應(yīng)用題因?yàn)榘褜?shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題，但有時(shí)候抽象出來容易反而是解數(shù)學(xué)問題難，原因是我們把學(xué)過的抽象出來容易反而是解數(shù)學(xué)問題難，原因是我們把學(xué)過的數(shù)學(xué)知識忘記的差不多了。所以我們先復(fù)習(xí)以前學(xué)過的知數(shù)學(xué)知識忘記的差不多了。所以我們先復(fù)習(xí)以前學(xué)過的知識。識。 數(shù)學(xué)知識有兩個(gè)角度的本質(zhì)，形的角度本質(zhì)和數(shù)的角度本質(zhì)數(shù)學(xué)知識有兩個(gè)角度的本質(zhì)，形的角度本質(zhì)和數(shù)的角度本質(zhì)即代數(shù)角度本質(zhì)的和幾何角度本質(zhì)。即代數(shù)角度本質(zhì)的和幾何角度本質(zhì)。 abba222 代數(shù)角度本質(zhì)是完全平方數(shù)大于等于代數(shù)角度本質(zhì)是完全平方數(shù)大于等于0，幾何，幾何角度本質(zhì)是風(fēng)車圖案。角度本質(zhì)是風(fēng)車圖案。

5、 復(fù)習(xí)以前的知識。復(fù)習(xí)以前的知識。結(jié)論：結(jié)論：一般地，對于任意實(shí)數(shù)一般地，對于任意實(shí)數(shù)a a、b b，我們有，我們有 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=ba=b時(shí)，等號成立時(shí)，等號成立222aba b此不等式稱為此不等式稱為重要不等式重要不等式 類類 比比 聯(lián)聯(lián) 想想 推推 理理 論論 證證 （特別的）如果（特別的）如果 也可寫成也可寫成 ,abab用用和和代代替替 、 可可得得abab 2 2a0 ,b0 ,(,)002ababab 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) a=b a=b 時(shí)時(shí)“”號成號成立立 此不等式稱為此不等式稱為基本不等式基本不等式aba b2算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)(1)(1)兩個(gè)正數(shù)的

6、算術(shù)平均數(shù)兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于不小于它們的幾何平它們的幾何平 均數(shù)均數(shù). .(2)(2)兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于不小于它們的等比中項(xiàng)它們的等比中項(xiàng). .aboabpq對基本不等式的對基本不等式的幾何意義幾何意義作進(jìn)作進(jìn)一步探究一步探究:如圖如圖,ab,ab是圓是圓o o的的直徑，直徑，q q是是abab上任上任一點(diǎn)，一點(diǎn)，aq=aq=a a,bq=,bq=b b, ,過點(diǎn)過點(diǎn)q q作垂直于作垂直于abab的弦的弦pqpq，連，連ap,bpap,bp, ,則則pq=pq=_,_,半徑半徑ao=ao=_ab2ba 幾何意義：幾何意義：圓的半徑不小于圓內(nèi)半弦長圓的半徑不小于圓

7、內(nèi)半弦長 數(shù)學(xué)知識有兩個(gè)角度本質(zhì)，形的角度本質(zhì)和數(shù)的角度本質(zhì)數(shù)學(xué)知識有兩個(gè)角度本質(zhì)，形的角度本質(zhì)和數(shù)的角度本質(zhì)即代數(shù)角度本質(zhì)和幾何角度本質(zhì)。即代數(shù)角度本質(zhì)和幾何角度本質(zhì)。 abba2 代數(shù)角度本質(zhì)是一是重要不等式的推論二是完全平方數(shù)大代數(shù)角度本質(zhì)是一是重要不等式的推論二是完全平方數(shù)大于等于于等于0，幾何角度本質(zhì)是半徑不小于半弦。，幾何角度本質(zhì)是半徑不小于半弦。應(yīng)用基本不等式求最值的條件：應(yīng)用基本不等式求最值的條件： a a與與b b為正實(shí)數(shù)為正實(shí)數(shù)若等號成立，若等號成立，a a與與b b必須能必須能夠相等夠相等一正一正二定二定三相等三相等積定和最小積定和最小和定積最大和定積最大強(qiáng)調(diào)：強(qiáng)調(diào)：求最

8、值時(shí)要考慮不等式是否能取到求最值時(shí)要考慮不等式是否能取到“”應(yīng)用基本不等式求最值的條件：應(yīng)用基本不等式求最值的條件： a a與與b b為正實(shí)數(shù)為正實(shí)數(shù)若等號成立，若等號成立，a a與與b b必須能必須能夠相等夠相等一正一正二定二定三相等三相等積定和最小積定和最小和定積最大和定積最大強(qiáng)調(diào)：強(qiáng)調(diào)：求最值時(shí)要考慮不等式是否能取到求最值時(shí)要考慮不等式是否能取到“”2( )sin,(0, )sinf xxxx求的最值。01xxxxxx1x0 x引申：若引申：若x0呢？呢？ 呢？xx1圖像怎樣？圖像怎樣？圖像怎樣？xxyxxyxxy121xx2呢？呢？(2) 已知已知 與與2的大小關(guān)系的大小關(guān)系,并說明理

9、由并說明理由.abbaab尋找, 0(3) 已知已知 能得到什么結(jié)論能得到什么結(jié)論? 請說明理由請說明理由.abbaab,0 以前知識復(fù)習(xí)完畢。以前知識復(fù)習(xí)完畢。 1、如果函數(shù)是一元二次函數(shù)求極大值、極小值、最大值、最、如果函數(shù)是一元二次函數(shù)求極大值、極小值、最大值、最小值還是采用老辦法好小值還是采用老辦法好,老題還是老辦法好。如果次數(shù)是三次求函數(shù)老題還是老辦法好。如果次數(shù)是三次求函數(shù)的極大值、極小值、最大值、最小值用新辦法即導(dǎo)數(shù)且要充分利用的極大值、極小值、最大值、最小值用新辦法即導(dǎo)數(shù)且要充分利用序軸標(biāo)根法，盡量數(shù)形結(jié)合，新題新辦法即導(dǎo)數(shù)法。根求不出來就序軸標(biāo)根法，盡量數(shù)形結(jié)合，新題新辦法即

10、導(dǎo)數(shù)法。根求不出來就不要求。用字母表示。不要求。用字母表示。 2、如果函數(shù)是、如果函數(shù)是 ， 一、圖像與對勾函數(shù)聯(lián)系，利用圖像求極值、最值。一、圖像與對勾函數(shù)聯(lián)系，利用圖像求極值、最值。 二利用基本不等式求極值、最值。二利用基本不等式求極值、最值。 三、與函數(shù)三、與函數(shù) 的圖像的區(qū)別。同學(xué)們我的圖像的區(qū)別。同學(xué)們我以以a、b是具體數(shù)字來講解。是具體數(shù)字來講解。 四、用導(dǎo)數(shù)求也要結(jié)合圖像。四、用導(dǎo)數(shù)求也要結(jié)合圖像。 總結(jié)與本節(jié)課有關(guān)的知識。總結(jié)與本節(jié)課有關(guān)的知識。新課引入新課引入: : 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用用, ,利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法,

11、,可以求出可以求出實(shí)際生活中的某些最值問題實(shí)際生活中的某些最值問題. .1.1.幾何方面的應(yīng)用幾何方面的應(yīng)用2.2.物理方面的應(yīng)用物理方面的應(yīng)用. .3.3.經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的應(yīng)用( (面積和體積等的最值面積和體積等的最值) )( (利潤方面最值利潤方面最值) )( (功和功率等最值功和功率等最值) )例例1海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì)海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì) 學(xué)?；虬嗉壟e行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖學(xué)校或班級舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖1.4-1所示所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空上、

12、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空左、右兩邊各空1dm。如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空心面積最小？。如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空心面積最??？ 解：設(shè)版心的高為xdm，則版心的寬為dm,此時(shí)四周空白面積為 。128512( )(4)(2) 12828,0s xxxxxx 求導(dǎo)數(shù)，得2512( )2s xx令 2512( )20s xx解得16(16xx 舍去）舍去）。 于是寬為 128128816x0.因此，因此，x=16是函數(shù)是函數(shù)s(x)的極小值，也是最小值點(diǎn)。所以，當(dāng)版心高為的極小值，也是最小值點(diǎn)。所以，當(dāng)版心高為16dm，寬為，寬為8dm時(shí)，能使四周空白面積最小。時(shí)，能使四周空白面積

13、最小。答：當(dāng)版心高為答：當(dāng)版心高為16dm，寬為，寬為8dm時(shí)，海報(bào)四周空白面積最小。時(shí)，海報(bào)四周空白面積最小。解法二解法二：由解法由解法(一一)得得256256( )482 48s xxxxx2 328722564,8(0)xxxsx當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí) 取最小值16128此時(shí)y=8816dmdm答：應(yīng)使用版心寬為，長為，四周空白面積最小問題問題2:2:飲料瓶大小對飲料公司利潤有影響嗎飲料瓶大小對飲料公司利潤有影響嗎? ?v你是否注意過你是否注意過, ,市場上等量的小包裝的物品一市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些般比大包裝的要貴些? ?你想從數(shù)學(xué)上知道它的你想從數(shù)學(xué)上知道它的道理嗎道理嗎?

14、 ?v是不是飲料瓶越大是不是飲料瓶越大, ,飲料公司的利潤越大飲料公司的利潤越大? ?例例2:2:某制造商制造并出售球形瓶裝飲某制造商制造并出售球形瓶裝飲料料. .瓶子制造成本是瓶子制造成本是0.8r0.8r2 2分分. .已知已知每出售每出售1ml1ml的飲料的飲料, ,可獲利可獲利0.20.2分分, ,且且瓶子的最大半徑為瓶子的最大半徑為6cm.6cm.）瓶子半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的）瓶子半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的 利潤最大？利潤最大？）瓶子半徑多大時(shí)，每瓶飲料的利潤）瓶子半徑多大時(shí)，每瓶飲料的利潤最??？最小？解：由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤是解：由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的

15、利潤是324( ) 0.20.83yf xrr320.8 (),3rr06r 令2( )0.8(2 )0fxrr當(dāng)2( )0rfr時(shí), 當(dāng)半徑當(dāng)半徑r時(shí)，時(shí)，f (r)0它表示它表示 f(r) 單調(diào)遞增，單調(diào)遞增， 即半徑越大，利潤越高；即半徑越大，利潤越高；當(dāng)半徑當(dāng)半徑r時(shí)，時(shí)，f (r)0 它表示它表示 f(r) 單調(diào)遞減單調(diào)遞減， 即半徑越大，利潤越低即半徑越大，利潤越低0)( ,)2 , 0(xfr時(shí)當(dāng)0)( ,)6 , 2(xfr時(shí)當(dāng)1.半徑為半徑為cm 時(shí)，利潤最小，這時(shí)時(shí)，利潤最小，這時(shí)(2)0f表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時(shí)

16、利潤是負(fù)值此時(shí)利潤是負(fù)值半徑為半徑為cm時(shí)，利潤最大時(shí)，利潤最大未命名.gspryo)3(8 . 0)(23rrrf231、當(dāng)半徑為2cm時(shí),利潤最小,這時(shí)f(2)0,2、當(dāng)半徑為6cm時(shí)，利潤最大。從圖中可以看出:從圖中，你還能看出什么嗎？ 問題3:如何使一個(gè)圓形磁盤儲存更多信息?探究（三）：探究（三）：磁盤的最大存儲量問題磁盤的最大存儲量問題 【背景材料】【背景材料】計(jì)算機(jī)把信息存儲在磁盤上，磁盤是帶有磁計(jì)算機(jī)把信息存儲在磁盤上，磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并由操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)性介質(zhì)的圓盤，并由操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū). .磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心圓軌道，扇區(qū)是指被圓

17、心磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心圓軌道，扇區(qū)是指被圓心角分割成的扇形區(qū)域角分割成的扇形區(qū)域. .磁道上的定長的弧可作為基本存儲磁道上的定長的弧可作為基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0 0或或1 1，這個(gè)基本單，這個(gè)基本單元通常稱為比特，磁盤的構(gòu)造如圖所示元通常稱為比特，磁盤的構(gòu)造如圖所示. . 這是應(yīng)用題第二難，背景知識我們了解太少。這是應(yīng)用題第二難，背景知識我們了解太少。解解:存儲量存儲量=磁道數(shù)磁道數(shù)每磁道的比特?cái)?shù)每磁道的比特?cái)?shù).設(shè)存儲區(qū)的半徑介于設(shè)存儲區(qū)的半徑介于r與與r之間之間,由于磁道之間的寬由于磁道之間的寬度必須大于度必須大于m,且最外面的

18、磁道不存儲任何信息且最外面的磁道不存儲任何信息,所以磁道數(shù)最多可達(dá)所以磁道數(shù)最多可達(dá)(r-r)/m。由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同，為了獲得最大的存由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同，為了獲得最大的存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá)到特?cái)?shù)可達(dá)到 ,nr 2nrmrrrf 2)( 所以，磁道總存儲量為：所以，磁道總存儲量為：)(2rrrmn (1) 它是一個(gè)關(guān)于它是一個(gè)關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)的解的二次函數(shù)，從函數(shù)的解析式可以判斷，不是析式可以判斷，不是r越小，磁盤的存儲量越小，磁盤的存儲量越大。越大。解：存儲量=磁道數(shù)每磁道的比特?cái)?shù))(22)(rrrmnnrmrrrf(2) 為求f(r)的最大值，先計(jì)算0)( rf)2(2)(rrmnrf0)(,2;0)(,2rfrrrfrr時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)0)( rf令mnr，rr2,2,2最