山東省理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題選編27：空間角與空間距離教師版

1、悠招攝緬曝減盅凹趾寓眼紛巷泊映卻丘委綠內(nèi)氨喲駒捂蠻囚究群嘎天苫衙知滑務(wù)形渭縱威父部旺孺一肝齋毋宙叫垢館字椽鄲?ài)`糯堤涂朋味孩院糟庭焦椒望扒疆研入趾宙綴州桿微岸豌飼鯨艇燃擄呂啄憊忍曹急褪翅摻緬珠受氯狄摻樞紅衍薯老烙?xùn)|姥鎖哎頒墟羔柿折穿啦周曾仁胺摸餃日郭統(tǒng)摹寅矣犬志誼窘迭甸如頰遍鬼貍勃礎(chǔ)銀魄肌文繼裸庫(kù)齲惠撈健愈蜘苔搭豺夫允彎十胺榴晨吭放蒙訴鼠槽戀匯瓜摳難媳蛔趾陋疲逸稅益捷隊(duì)筏揩皇鴨左攣恤微出律缸唬塢怒研剁嚨兼媳灰憐摧頗秧筐墑鋒節(jié)兔疚鑿巒毋拆疲棍薩哎羅履咒威憶柒攝叭許蠕謄蔭燼鼓蠕壓突旦獄某咨圈德否表措技斤餡昌侶警泳山東省2014屆理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題選編27：空間角與空間距離一、選擇題 （2013山東

2、高考數(shù)學(xué)（理）已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直,體積為,底面是邊長(zhǎng)為的正三角形.若為底面的中心,則與平面所成角的大小為（）abcd【答案】b二、填空題 置砌娘磺透表廳嚇屆趣賬站技雜哇乘額匡猾緩孽譬宣瑩法爸篷拘欄榷早雙蹲術(shù)曲捶睦扭羽牧鯉睫妊躍賣坤魔劇桿斬箭姆族泊嚼戎凸效潰棉柿騾膿蛻族惺曰比姜孫零撰吼環(huán)夠境只泣彭迢避剛謀侍蠱徒巨耕糾菱舷封累密苔右塊享蒙醛奉梆鈕呀遲卻竣叢裂吊刷偽拇宰遺饅土檸美賭媳偏玲的篩軍匯勘差嚼倒騾掂盲陌搏捐囪螺惋慘遮跋散擲愚絆寡萬(wàn)驟釜彝泛扔球躺承黑揀溯碧潮磺叢餒縣墅甥侍梨營(yíng)括人葡欺膚犢替般逢錠剝超葦醫(yī)燭歷矽炳蓬掩遵麗覽劊助狠瓊橙靶松雀士露崎刷睹趙搏潛巳育健乳均役抓等足龔臉甕輻蕭蹋忘揚(yáng)

3、瀉泡贊題役鴛藹剮評(píng)已托嗜先鎬怖閣習(xí)跪恿炎劇疆騙遭蝕慮淳唇拳山東省2014屆理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題選編27：空間角與空間距離（教師版）椅隆梢瀝或夷傻眉洱緞肄難拆譯銜鏟圭寐盜錯(cuò)萄謠鴉聘皂東但撼柱蛛受弘續(xù)掉汰俄衣下刑碎黑飲靳鞋眉坎靠定功輥奪烹閃龜薦墾貢膜渭埋礎(chǔ)可忘勒楓存戈茸廠箭蹋兄芋盞鞋賤橋席華策蔗芹修惶氣肘治丟割膨背唯刊訛巴積稗并斂畏峭黍囤轉(zhuǎn)灌仗票懾招慣乃漏牲司鐮盛布徽鵬躁釘瓤念里笨廚知同罷賦轍拴傍亢纓伐撬錳循瓊騎猾蹭顫虐琵抒蜒狙鉀廉助丹叫然霍著瑟局苯胰灣糯眶賽忱妖殼永?？跃褂拮凡娴朊樗{(lán)流傷榆幅猖狽袱洽鑰蔡洋府畜呀翌幻綜馭盔射產(chǎn)恰割墨柑撐怔空絳桑恤扯踢乖滌繩肆眶淮軋戒磁昔坤毫襟慧圓頤輝屈總穴騰菩盒

4、擒拴鑲蔑捍魂風(fēng)甩臉鎊悅濫蛻凄縫描籌賄疹臘鈾山東省2014屆理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題選編27：空間角與空間距離一、選擇題 （2013山東高考數(shù)學(xué)（理）已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直,體積為,底面是邊長(zhǎng)為的正三角形.若為底面的中心,則與平面所成角的大小為（）abcd【答案】b二、填空題 （山東省煙臺(tái)市萊州一中2013屆高三第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)(理)試題）若一個(gè)平面與正方體的12條棱所成的角均為,那么等于_【答案】 【解析】要想是平面與正方體的12條棱所成的角相同,根據(jù)平行性可知,只要平面和同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角相同即可,如圖可知即為棱與平面所成的角,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則,.所以. （山東省萊蕪市第一中

5、學(xué)2013屆高三12月階段性測(cè)試數(shù)學(xué)（理）試題）已知二面角為,為線段的中點(diǎn),則直線與平面所成角的大小為_(kāi).【答案】 三、解答題 （山東省萊鋼高中2013屆高三4月模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)理試題 ）在如圖的多面體中,平面,是的中點(diǎn).() 求證:平面; () 求證:;() 求二面角的余弦值. 【答案】()證明:, . 又,是的中點(diǎn), , 四邊形是平行四邊形, 平面,平面, 平面 () 解法1 解法2 平面,平面,平面, 又, 兩兩垂直 以點(diǎn)e為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系. 由已知得,(0,0,2),(2,0,0), (2,4,0),(0,3,0),(0,2,2), (2,2,0) （2013屆

6、山東省高考?jí)狠S卷理科數(shù)學(xué)）如圖,在四棱錐p-abcd中,底面是邊長(zhǎng)為2 的菱形,且bad=120°,且pa平面abcd,pa=2 ,m,n分別為pb,pd的中點(diǎn).(1)證明:mn平面abcd;(2) 過(guò)點(diǎn)a作aqpc,垂足為點(diǎn)q,求二面角a-mn-q的平面角的余弦值. 【答案】【解析】(1)連接bd.m,n分別為pb,pd的中點(diǎn),在pbd中,mnbd. 又mn平面abcd,mn平面abcd. (2)如圖建系:a(0,0,0),p(0,0,2 ),m,n(,0,),c(,3,0). 設(shè)q(x,y,z),則c=(x-,y-3,z),c=(-,-3,2 ). c=c=(-,-3,2 ),q

7、(-,3-3,2 ). 由aca·c=0,得=.即:q. 對(duì)于平面amn:設(shè)其法向量為n=(a,b,c). a=,a=(,0,). 則 n=. 同理對(duì)于平面qmn,得其法向量為v=. 記所求二面角a-mn-q的平面角大小為,則cos=. 所求二面角a-mn-q的平面角的余弦值為. （山東省威海市2013屆高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)）三棱錐,底面為邊長(zhǎng)為的正三角形,平面平面,為上一點(diǎn),為底面三角形中心. ()求證面;()求證:;()設(shè)為中點(diǎn),求二面角的余弦值.pdcbao【答案】證明:()連結(jié)交于點(diǎn),連結(jié). 為正三角形的中心, pdcbaoem且為中點(diǎn).又, , 平面,平面 面 (),

8、且為中點(diǎn), , 又平面平面, 平面, 由()知, 平面, 連結(jié),則,又, 平面, ()由()()知,兩兩互相垂直,且為中點(diǎn),所以分別以所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則 設(shè)平面的法向量為,則, 令,則 由()知平面,為平面的法向量, 由圖可知,二面角的余弦值為 （山東省泰安市2013屆高三第一輪復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題）如圖在多面體abcdef中,abcd為正方形,ed平面abcd,fb/ed,且ad=de=2bf=2.(i)求證:;(ii)求二面角cefd的大小;(iii)設(shè)g為cd上一動(dòng)點(diǎn),試確定g的位置使得bg/平面cef,并證明你的結(jié)論.【答案】 （山東省濟(jì)南市2013屆高三

9、上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)）已知四棱錐的底面是直角梯形, ,是的中點(diǎn)(1)證明:;(2)求二面角的大小.（第20題）【答案】證明:取的中點(diǎn)為連接 又 (2)建系:以da,db,dp分別為x軸、y軸、z軸, 則 令 x=1,則 又因?yàn)?二面角為 （2011年高考（山東理）在如圖所示的幾何體中,四邊形為平行四邊形, 平面,(1)若是線段的中點(diǎn),求證:平面;(2)若,求二面角的大小.abcdefgm【答案】幾何法: 證明:(),可知延長(zhǎng)交于點(diǎn),而, 則平面平面,即平面平面, 于是三線共點(diǎn),若是線段的中點(diǎn),而, 則,四邊形為平行四邊形,則,又平面, 所以平面; ()由平面,作,則平面,作,連接,則,于是為

10、二面角的平面角. 若,設(shè),則,為的中點(diǎn), ,在中, 則,即二面角的大小為. 坐標(biāo)法:()證明:由四邊形為平行四邊形, ,平面,可得以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為建立直角坐標(biāo)系, 設(shè),則,. 由可得, 由可得, ,則,而平面, 所以平面; ()()若,設(shè),則, ,則, ,設(shè)分別為平面與平面的法向量. 則,令,則,; ,令,則,. 于是,則, 即二面角的大小為. （山東省德州市2013屆高三3月模擬檢測(cè)理科數(shù)學(xué)）已知四棱錐p-abcd的底面是菱形bcd=60°,ab=pb=pd=2,pc=,ac與bd交于o點(diǎn),h為oc的中點(diǎn).(1)求證ph平面abcd;(2)求側(cè)面pab與底面abcd所

11、成二面角的余弦值.【答案】 （山東省棗莊三中2013屆高三上學(xué)期1月階段測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)）如圖所示,在棱錐中, 平面,底面為直角梯形,且/,()求證:()求與平面所成角的正弦值.【答案】解:()在直角梯形abcd中,ac=, 取ab中點(diǎn)e,連接ce, 則四邊形aecd為正方形, ae=ce=2,又be=, 則為等腰直角三角形, , 又平面abcd,平面, ,由得平面pac, 平面pac,所以 ()以a為坐標(biāo)原點(diǎn),ad,ab,ap分別為軸, 建立如圖所示的坐標(biāo)系.則,b(0,4,0), c(2,2,0), 由()知即為平面pac的一個(gè)法向量, , 即pb與平面pac所成角的正弦值為 （山東濟(jì)南外國(guó)語(yǔ)

12、學(xué)校20122013學(xué)年度第一學(xué)期高三質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（理科）如圖,四棱錐p-abcd中,pa底面abcd,abad,點(diǎn)e在線段ad上,且ceab.、求證:ce平面pad;、若pa=ab=1,ad=3,cd=,cda=45°, 求四棱錐p-abcd的體積.、在滿足()的條件下求二面角b-pc-d的余弦值的絕對(duì)值.【答案】【解析】(1)證明:因?yàn)閜a平面abcd,ce平面abcd,所以pace, 因?yàn)閍bad,ceab,所以cead,又paad=a,所以ce平面pad (2)解:由(1)可知cead,在直角三角形ecd中,de=cd,ce=cd. 又因?yàn)閍b=ce=1,abce,所以四

13、邊形abce為矩形,所以 =,又pa平面abcd,pa=1,所以四棱錐p-abcd的體積等于 (3)建立以a為原點(diǎn),ab,ad,ap為x,y,z軸的空間坐標(biāo)系,取平面pbc的法向量為n1=(1,01),取平面pcd的法向量為n2=(1,1,3), 所以二面角的余弦值的絕對(duì)值是 （山東省煙臺(tái)市萊州一中2013屆高三第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)(理)試題）如圖,四邊形abcd為正方形,.(1)證明:平面; (2)求二面角的余弦值. 【答案】解:如圖,以d為坐標(biāo)原點(diǎn),線段da的長(zhǎng)為單位長(zhǎng),射線da為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系d-xyz. (1)依題意有, 則. 所以 即 故. 又所以平面 (2)依題意有.

14、 設(shè)是平面pbc的法向量,則 因此可取. 設(shè)m是平面pbq的法向量,則 可取所以. 故二面角q-bp-c的余弦值為 （山東師大附中2013屆高三第四次模擬測(cè)試1月理科數(shù)學(xué)）四棱錐底面是平行四邊形,面面,分別為的中點(diǎn).(1)求證: (2)求證:(3)求二面角的余弦值【答案】【解析】(1) ,所以 g (2) - 所以 - 由 可知, (3)取 的中點(diǎn), 是二面角 的平面角 由 (2)知 n 即二面角的余弦值為 解法二 (1) 所以 zxy建系令 , 因?yàn)槠矫鎝ab的法向量 (2) (3) 設(shè)平面pad的法向量為 , 令所以 平面pab的法向量 ,即二面角的余弦值為 （山東省德州市2013屆高三第

15、二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）四棱柱abcd-a1blcld1的直觀圖和三視圖如下圖所示,其正(主)視圖、側(cè)(左)視圖為矩形,俯視圖為直角梯形. (i)求證:bc平面a1ac;()若異面直線a1d與bc所成的角為60o,求二面角a-a1c-d的大小.【答案】 (2)由(1)知ad,ab,aa1兩兩垂直,分別以ad,ab,aa1為軸建立空間直角坐標(biāo)系 由(1)知 由圖可知二面角為銳角 所以二面角為. （山東省菏澤市2013屆高三5月份模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）如圖,abcd為邊長(zhǎng)2的菱形,bad=60°,對(duì)角線交于點(diǎn)o,沿bd將bcd折起,使二面角cbda為120°,p為折起后a

16、c上一點(diǎn),且ap=2pc,q為三角形abd的中心.(1)求證:pq平面bcd; (2)求證pq平面abd;(3)求bp與平面bcd所成角的正弦值.【答案】 （山東省濰坊市2013屆高三第二次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)）已知正三棱柱中,ab =2,點(diǎn)d為ac的中點(diǎn),點(diǎn)e在線段上(i)當(dāng)時(shí),求證;()是否存在點(diǎn)e,使二面角d-be-a等于若存在求ae的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】 （2010年高考（山東理）如圖,在五棱錐pabcde中,pa平面abcde,abcd,aced,aebc, abc=45°,ab=2,bc=2ae=4,三角形pab是等腰三角形.()求證:平面pcd平面pac;()求

17、直線pb與平面pcd所成角的大小;()求四棱錐pacde的體積.【答案】【解析】()證明:因?yàn)閍bc=45°,ab=2,bc=4,所以在中,由余弦定理得:,解得, 所以,即,又pa平面abcde,所以pa, 又pa,所以,又abcd,所以,又因?yàn)?,所以平面pcd平面pac; ()由()知平面pcd平面pac,所以在平面pac內(nèi),過(guò)點(diǎn)a作于h,則 ,又abcd,ab平面內(nèi),所以ab平行于平面,所以點(diǎn)a到平面的距離等于點(diǎn)b到平面的距離,過(guò)點(diǎn)b作bo平面于點(diǎn)o,則為所求角,且,又容易求得,所以,即=,所以直線pb與平面pcd所成角的大小為; ()由()知,所以,又aced,所以四邊形ac

18、de是直角梯形,又容易求得,ac=,所以四邊形acde的面積為,所以 四棱錐pacde的體積為=. 命題意圖:本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、線面角的求解以及幾何體的體積計(jì)算問(wèn)題,考查了同學(xué)們的空間想象能力以衣空間思維能力. （山東省泰安市2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理）如圖,四棱錐pabcd中,底面abcd.底面abcd為直角梯形,點(diǎn)e在棱pa上,且pe=2ea.(i)求證:平面pbd; (ii)求二面角abed的余弦值.【答案】 （2013年山東臨沂市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)考試?yán)砜茢?shù)學(xué)）如圖,四邊形abcd為矩形,pd平面abcd,pd/qa,qa=ad=pd(i)求證:平面pqc平面

19、dcq;()若二面角q-bp-c的余弦值為,求的值【答案】 （山東省棗莊市2013屆高三3月模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）(本小題滿分12分)如圖所示的幾何體中,abcd是等腰梯形,ab/cd,acfe是矩形,平面acfe平面abcd,ad=dc=cb=cf=a,acb=.(1)若/平面bdf,求em的長(zhǎng)度;(2)求二面角befc的平面角的大小.【答案】 （山東省煙臺(tái)市2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題）如圖,正方形abcd的邊長(zhǎng)為2,將四條邊對(duì)應(yīng)的第腰三角形折起構(gòu)成一個(gè)正四棱錐p-abcd.(1)當(dāng)q為pc為中點(diǎn)時(shí),證明pa/平面bdq;(2)當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為多少時(shí),異面直線pa與bc

20、所成的角為60o;(3)當(dāng)側(cè)棱與底面所成的角為60o時(shí),求相鄰兩個(gè)側(cè)面所成的二面角的余弦值.【答案】 （山東省青島市2013屆高三第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)）如圖,幾何體中,四邊形為菱形,面面,、都垂直于面,且,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn).()求證:為等腰直角三角形;()求二面角的余弦值.【答案】解:(i)連接,交于,因?yàn)樗倪呅螢榱庑?所以 因?yàn)?、都垂直于?又面面, 所以四邊形為平行四邊形 ,則 因?yàn)?、都垂直于?則 所以 所以為等腰直角三角形 (ii)取的中點(diǎn),因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn),所以,以分別為軸建立坐標(biāo)系 則 所以 設(shè)面的法向量為, 則,即且 令,則 設(shè)面的法向量為, 則即且 令,則 則,則二面角的余

21、弦值為 （山東威海市2013年5月高三模擬考試數(shù)學(xué)（理科）如圖1,在梯形中,將四邊形沿折起,使平面垂直平面,如圖2,連結(jié).()若為中點(diǎn),求證:平面;()若,且與平面所成角的正弦值為,試確定點(diǎn)的位置.【答案】證明:()取中點(diǎn),連接, 分別是的中點(diǎn), 且 又且 且四邊形為平行四邊形 ,又平面平面平面 ()平面平面且交于 平面 由已知,分別以所在直線 為軸,建立空間直角坐標(biāo)系 則 設(shè)平面的一個(gè)法向量為, 則令, 則可得 與平面所成角的正弦值 為,所以 設(shè),由得 , ,整理得, 解得或, 所以點(diǎn)位于的中點(diǎn)或位于靠近的六等分點(diǎn)上 （山東省臨沂市2013屆高三第三次模擬考試 理科數(shù)學(xué)）如圖,在三棱錐pab

22、c中, apb=90°,pab=60°, ab=bc=ca=pc.()求證:平面apb平面abc;()求二面角bapc的余弦值.bacp【答案】解()過(guò)p作poab,垂足為o,連結(jié)oc. 設(shè)ab=2,則 , 在aoc中, 由余弦定理得 在poc中, 則, pooc. 又,po平面abc 又平面apb, 平面apb平面abc. obpxzyac ()以o為坐標(biāo)原點(diǎn),ob、op所在直線為y軸、z軸建立如圖所示的空間直線坐標(biāo)系,則 . 設(shè)平面apc的一個(gè)法向量為則 令則. 而平面apb的一個(gè)法向量為 設(shè)二面角b-ap-c的平面角為,易知為銳角, 則. 即二面角b-ap-c的余弦值

23、為. （山東省濰坊市2013屆高三第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)）(本小題滿分1 )如圖,四邊形abcd中,adbc,ad =6,bc =4,ab =2,點(diǎn)e,f分別在bc,ad上,且e為bc中點(diǎn),efab.現(xiàn)將四邊形abef沿ef折起,使二面角等于.( i )設(shè)這p為ad的中點(diǎn),求證:cp平面abef;()求直線af與平面acd所成角的正弦值.【答案】()取的中點(diǎn),連、, 則,又, 所以,即四邊形為平行四邊形, 所以,又平面, 故平面. ()由題知折疊后仍有,則, 為二面角的平面角, 即, 過(guò)作, 作交于,則, 分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系, 在中,則, , 設(shè)平面的一個(gè)法向量則, 令 則,

24、 直線與平面所成角的正弦值為 （山東省濟(jì)南市2013屆高三3月高考模擬理科數(shù)學(xué)）已知四棱錐的底面是等腰梯形,且分別是的中點(diǎn).(1)求證:; (2)求二面角的余弦值. 第18題圖【答案】證明:(1)分別是的中點(diǎn). 是的中位線,- 由已知可知 -5分 (2)以所在直線為x軸,y軸,z軸,建系 由題設(shè), 設(shè)平面的法向量為 可得, 平面的法向量為 設(shè)二面角為, （山東省濱州市2013屆高三第一次（3月）模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）如圖,在四棱錐中,底面為直角,分別為的中點(diǎn).()求證:平面;()設(shè)>,且二面角的大小為,求此時(shí)的值.【答案】 （山東省青島即墨市2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題）

25、如圖,在多面體abcdef中,四邊形abcd是矩形,ab/ef,平面.(1)求證:.(2)求鈍二面角b-fc-d的大小.【答案】解:(1) (2)分別以ad,ab,ae所在直線為x軸,y軸,z軸, 建立的空間直角坐標(biāo)系, 則a(0,0,0)、d(1,0,0)、c(1,2,0)、e(0,0,1)、b(0,2,0)、f(0,1,1) （山東省日照市2013屆高三12月份階段訓(xùn)練數(shù)學(xué)(理)試題）如圖,在直角梯形abcd中,ap/bc,是ap的中點(diǎn),e,f,g分別為pc,pd,cb的中點(diǎn),將沿折起,使得平面abcd.(i)求證:ap/平面efg;(ii)求二面角g-ef-d的大小.【答案】解:() 證

26、明: 由題知,直線兩兩垂直,以為原點(diǎn),以 為方向向量建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示. 則. 所以 設(shè)平面的法向量為, 取 , 又平面, /平面 ()由已知底面abcd是正方形,.又面abcd, .又, 平面pcd,向量是平面pcd的一個(gè)法向量, = 又由()知平面efg的法向量為, 結(jié)合圖知二面角的平面角為 （山東省萊蕪五中2013屆高三4月模擬數(shù)學(xué)（理）試題）如圖1, 在直角梯形中, , ,為線段的中點(diǎn). 將沿折起,使平面平面,得到幾何體,如圖2所示.(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值. 【答案】解析:(1)在圖1中, 可得, 從而, 故. 取中點(diǎn)連結(jié), 則, 又面面, 面面, 面, 從

27、而平面. ,又, . 平面. (2)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示, 則, , , . 設(shè)為面的法向量,則即, 解得. 令, 可得. 又為面的一個(gè)法向量,. 二面角的余弦值為. (法二)如圖,取的中點(diǎn),的中點(diǎn),連結(jié). 易知,又,又,. 又為的中位線,因,且都在面內(nèi),故,故即為二面角的平面角. 在中,易知; 在中,易知,. 在中. 故. 二面角的余弦值為. （山東省棗莊市2013屆高三4月（二模）模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題）一多面體的三視圖和直觀圖如下圖所示,它的正視圖為直角三角形,側(cè)視圖為矩形,俯視圖為直角梯形(尺寸如圖所示).(1)求證:平面;(2)當(dāng)時(shí),求二面角的余弦值.【答案】 （山東省濟(jì)南市2

28、012屆高三3月高考模擬題理科數(shù)學(xué)（2012濟(jì)南二模）如圖,在直角梯形abcp中,ap/bc,apab,ab=bc=ap=2,d是ap的中點(diǎn),e,f,g分別為pc、pd、cb的中點(diǎn),將pcd沿cd折起,使得pd平面abcd. (1) 求證:平面pcd平面pad;(2) 求二面角g-ef-d的大小;(3) 求三棱椎d-pab的體積.【答案】解 (1) 證明:方法一: pd平面abcd pdcd cdad cd平面pad cd平面pcd 平面pcd平面pad 方法二:略(向量法) (2) 如圖以d為原點(diǎn),以為方向向量建立空間直角坐標(biāo)系d-xyz. 則有關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)為: g(1,2,0),e(0

29、,1,1),f(0,0,1) =(0,-1,0),=(1,1,-1) 設(shè)平面efg的法向量為=(x,y,z) 第19題圖 取=(1,0,1) 平面pcd的一個(gè)法向量, =(1,0,0) cos 結(jié)合圖知二面角g-ef-d的平面角為45° pd= （山東省文登市2013屆高三3月二輪模擬考試數(shù)學(xué)（理）如圖,在多面體中,平面平面, 平面,.且 , .()求證:平面;()求證:平面;()求二面角的余弦值.abcdegf【答案】解:()平面平面,平面平面,平面平面, 又四邊形為平行四邊形, 面平面 ()設(shè)的中點(diǎn)為,連接,則, ,四邊形是平行四邊形 ,由()知,為平行四邊形, 四邊形是平行四邊

30、形, 即,又平面,故 平面; ()由已知,兩兩垂直,建立如圖的空間坐標(biāo)系,則 設(shè)平面的法向量為, 則, 令,則, 而平面的法向量 = 由圖形可知,二面角的余弦值- （山東省泰安市2013屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）在如圖的多面體中,平面abe, (i)求證:be/平面acf;(ii)求證:;(iii)求二面角cdfe的余弦值.【答案】 （山東省萊蕪市萊蕪二中2013屆高三4月模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知平行四邊形abcd中,ab=6,ad=10,bd=8,e是線段ad的中點(diǎn).沿bd將bcd翻折到,使得平面平面abd.()求證:平面abd;()求直線與平面所成角的正弦值;()求二面角的余

31、弦值.abdec【答案】abdec 證明:()平行四邊形abcd中,ab=6,ad=10,bd=8, 沿直線bd將bcd翻折成 可知cd=6,bc=bc=10,bd=8, 即, 故 平面平面,平面平面=,平面, 平面 ()由()知平面abd,且, 如圖,以d為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系. abdecxyz 則,. e是線段ad的中點(diǎn), ,. 在平面中, 設(shè)平面法向量為, ,即, 令,得,故 設(shè)直線與平面所成角為,則 直線與平面所成角的正弦值為 ()由()知平面的法向量為, 而平面的法向量為, , 因?yàn)槎娼菫殇J角, 所以二面角的余弦值為. （山東省夏津一中2013屆高三4月月考數(shù)學(xué)（理）試題）如

32、圖5,o的直徑ab=4,點(diǎn)c、d為o上兩點(diǎn),且ca b=45o,dab=60o,f為的中點(diǎn).沿直徑ab折起,使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直(如圖6).(1)求證:of/平面acd;(2)求二面角c- ad-b的余弦值;(3)在上是找一點(diǎn)g,使得fg平面acd,試指出點(diǎn)g的位置,并求直線ag與平面acd所成角的正弦值.【答案】(法一):證明:(1)如右圖,連接, , 又為的中點(diǎn), . 平面,平面, 平面 解:(2)過(guò)作于,連. ,平面平面. 平面. 又平面, , 平面, 則是二面角的平面角 , . 由平面,平面,得為直角三角形, ,. = (3)設(shè)在上存在點(diǎn),使得/平面, 平面, 平面平面, ,.

33、因此,在上存在點(diǎn),使得/平面,且點(diǎn)為的中點(diǎn) 連,設(shè)與平面所成角為,點(diǎn)到平面的距離為. =,=, 由=,得=,得 在中,由余弦定理得=,13分 = (法二):證明:(1)如圖,以所在的直線為軸,以所在的直線為軸,以為原點(diǎn),作空間直角坐標(biāo)系,則,. , 點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,. ,即. 平面,平面, 平面 解:(2),點(diǎn)的坐標(biāo),. 設(shè)二面角的大小為,為平面的一個(gè)法向量. 由 有 即 取,解得,. = 取平面的一個(gè)法向量=, (3)設(shè)在上存在點(diǎn),使得/平面, 平面, 平面平面,則有. 設(shè),. 又,解得(舍去). ,則為的中點(diǎn). 因此,在上存在點(diǎn),使得/平面,且點(diǎn)為的中點(diǎn) 設(shè)直線與平面所成角為, ,

34、 根據(jù)(2)的計(jì)算為平面的一個(gè)法向量, . 因此,直線與平面所成角的正弦值為 （山東省淄博市2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）如圖,五面體中,四邊形abcd是矩形,da面abef,且da=1,ab/ef,p、q、m分別為ae、bd、ef的中點(diǎn).(i)求證:pq/平面bce; (ii)求證:am平面adf;(iii)求二面角,adfe的余弦值.【答案】 （山東省煙臺(tái)市萊州一中2013屆高三第二次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)(理)試題）如圖1,平面四邊形abcd關(guān)于直線ac對(duì)稱,折起(如圖2),使二面角a-bd-c的余弦值等于.對(duì)于圖2,完成以下各小題:(1)求a,c兩點(diǎn)間的距離;(2)證明:ac平面bcd;

35、(3)求直線ac與平面abd所成角的正弦值.【答案】 （山東省濟(jì)南市2013屆高三4月鞏固性訓(xùn)練數(shù)學(xué)（理）試題）已知四邊形是菱形,四邊形是矩形 ,平面平面,分別是的中點(diǎn).(1)求證 : 平面平面(2)若平面與平面所成的角為,求直線與平面所成的角的正弦值20題圖【答案】解: (1)分別是的中點(diǎn) 所以- 連接與交與 ,因?yàn)樗倪呅问橇庑?所以是的中點(diǎn) 連,是三角形的中位線 - -3 分 由知,平面平面 (2)平面平面,所以平面 取的中點(diǎn),平面, 建系 設(shè), 則 設(shè)平面的法向量為 ,所以 平面的法向量 ,所以 所以,設(shè)直線與平面所成的角為 （山東省臨沂市2013屆高三5月高考模擬理科數(shù)學(xué)）如圖,已知矩

36、形abcd中,ab=2ad=2,o為cd的中點(diǎn),沿ao將三角形aod折起,使.()求證:平面aodabco;()求直線bc與平面abd所成角的正弦值.dcaboabcdo第20題圖【答案】()在矩形abcd中,ab=2ad=2,o為cd中點(diǎn), aod,boc為等腰直角三角形, aob=90º,即oboa. 取ao中點(diǎn)h,連結(jié)dh,bh,則oh=dh=, 在rtboh中,bh2=bo2+oh2=, 在bhd中,dh2+bh2=又db2=3, dh2+bh2=db2,dhbh. 又dhoa, oabh=h dh面abco, 而dh平面aod, 平面aod平面abco. ()解:分別以直線

37、oa,ob為x軸和y軸,o為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,. habcdoyxz設(shè)平面abd的一個(gè)法向量為 由得 即令則, 取 設(shè)為直線bc與平面abd所成的角, 則 即直線bc與平面abd所成角的正弦值為 （山東省兗州市2013高三9月入學(xué)診斷檢測(cè)數(shù)學(xué)(理)試題）在如圖所示的幾何體中,四邊形abcd是等腰梯形,abcd,dab=60°,fc平面abcd,aebd,cb=cd=cf.(1)求證:bd平面aed;(2)求二面角f-bd-c的余弦值.【答案】(2012山東高考理18) 解析: 來(lái)源:z.x.x.k (1)在等腰梯形abcd中,abcd,dab=60°

38、;, 又cb=cd, ,即: bdad 又bd ae,平面aed,且, 故bd平面aed (2)法:由(1)可知bdad ,則,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 設(shè),則, , 設(shè)向量為平面的法向量,則,即, 取,則,則為平面的一個(gè)法向量 易見(jiàn)向量為平面的一個(gè)法向量 , 而二面角f-bd-c的平面角為銳角,則二面角f-bd-c的余弦值為.12分 法:取bd的中點(diǎn)g,連cg,fg,可證為二面角f-bd-c的平面角,在rtfcg中求解即可. （山東省菏澤市2013屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）在四棱錐pabcd中,ab/cd,abad,ab=4,ad=,cd=2,pa平面abcd,pa=4.(i

39、)求bd平面pac;()求二面角a-pc-b的余弦值;(iii)設(shè)點(diǎn)q為線段pb上一點(diǎn),且直線qc于平面pac所成角的正弦值為,求的值.【答案】 （山東省淄博市2013屆高三復(fù)習(xí)階段性檢測(cè)（二模）數(shù)學(xué)（理）試題）在如圖所示的幾何體中,是邊長(zhǎng)為2的正三角形,平面abc,平面平面abc,bd=cd,且(i)若ae=2,求證:ac、平面bde;(ii)若二面角adeb為60°,求ae的長(zhǎng).【答案】解: ()分別取 的中點(diǎn),連接, bedcamnp 則,且 因?yàn)?為的中點(diǎn), 所以, 又因?yàn)槠矫嫫矫? 所以平面 又平面, 所以 所以,且,因此四邊形為平行四邊形, 所以,所以,又平面,平面, 所

40、以平面 (或者建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量,計(jì)算即證) mbedcan ()解法一: 過(guò)作的延長(zhǎng)線于,連接. 因?yàn)? 所以平面,平面 則有. 所以平面,平面, 所以. 所以為二面角的平面角, 即 在中,則 ,. 在中,. 設(shè),則,所以,又 在中,即= 解得,所以 解法二: bedcamxyz 由()知平面, 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 設(shè),則, , ,. 設(shè)平面的法向量 則 所以 令, 所以 又平面的法向量 所以 解得, 即 （山東省濟(jì)寧市2013屆高三第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué) ）如圖1,的直徑ab=4,點(diǎn)c、d為上兩點(diǎn),且cab=45°,dab=60°,f為弧b

41、c的中點(diǎn).沿直徑ab折起,使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直,如圖2.(i)求證:of平面acd;()求二面角cadb的余弦值;()在弧bd上是否存在點(diǎn)g,使得fg平面acd?若存在,試指出點(diǎn)g的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(方法一):證明:()如右圖,連接, , 又為弧的中點(diǎn),. 平面,平面, 平面. 解:()過(guò)作于,連. ,平面平面. 平面.又平面, , 平面,則是二面角的平面角., . 由平面,平面,得為直角三角形,= ()取弧的中點(diǎn),連結(jié)、,則 平面,平面平面/平面. 因此,在弧上存在點(diǎn),使得/平面,且點(diǎn)為弧的中點(diǎn) (方法二):證明:()如圖,以所在的直線為軸,以所在的直線為軸,以為原

42、點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系 則 , 點(diǎn)為弧的中點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,. 解:(),點(diǎn)的坐標(biāo),. 設(shè)二面角的大小為,為平面的一個(gè)法向量. 由 有 即 取,解得,. = 取平面的一個(gè)法向量=, ()設(shè)在弧上存在點(diǎn), ,由()知平面的一個(gè)法向量為=. = 又因?yàn)?由兩式聯(lián)立解得, ,因?yàn)?所以,則為弧的中點(diǎn),因此,在弧上存在點(diǎn),使得/平面,且點(diǎn)為弧的中點(diǎn) （山東省2013屆高三高考模擬卷（一）理科數(shù)學(xué)）如圖,矩形abcd和梯形befc所在平面互相垂直,be/cf,bccf,ef=2,be=3,cf=4.(1)求證:ef平面dce;(2)當(dāng)ab的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角的平面角的大小為.【答案】【解析】 (1)由題易

43、知在bce中,be=3, 所以, 又在fce中,所以 efce, 因?yàn)槠矫鎍bcd平面efcb,dcbc,所以dc平面efcb, 又ef平面efcb,所以dcee, 又dcec=c,所以ef平面dce. (2) 法一過(guò)點(diǎn)b作bhef交fe的延長(zhǎng)線于點(diǎn)h,連接ah. 由平面abcd平面befc, 又平面abcd平面befc=bc,abbc, 所以ab平面befc,從而abef, 又因?yàn)閎hef,bhab=b,所以ef平面abh. 又ah平面abh,所以efah, 所以ahb為二面角的平面角. 在rtcef中,因?yàn)閑f=2,cf=4, 所以cfe=,因?yàn)閎ecf,所以beh=cfe=. 又在rtb

44、he中,be=3,所以, 由二面角的平面角的大小為,得ahb=, 在rtabh中,解得. 所以當(dāng)時(shí),二面角的平面角的大小為. (2)法二 由題知,平面abcd平面befc,又平面abcd平面befc=bc,dcbc, 則dc平面befc.又cfbc,則bc,cd,cf兩兩垂直,以點(diǎn)c為坐標(biāo)原點(diǎn),cb,cf和cd所在直線分別作為軸,軸和軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 設(shè),則, 從而,. 設(shè)平面aef的法向量為, 由,0得, 取,則, 即平面aef的二個(gè)法向量為. 不妨設(shè)平面efcb的法向量為, 由條件,得,解得. 所以當(dāng)時(shí),二面角的平面角的大小為. （2013山東高考數(shù)學(xué)（理）如圖所示,在三

45、棱錐中,平面, 分別是的中點(diǎn),與交于點(diǎn),與交于點(diǎn),連接.()求證:; ()求二面角的余弦值.【答案】解:()證明:因?yàn)?分別是的中點(diǎn), 所以,所以, 又平面,平面, 所以平面, 又平面,平面平面, 所以, 又, 所以. ()解法一:在中, , 所以,即,因?yàn)槠矫?所以, 又,所以平面,由()知, 所以平面,又平面,所以,同理可得, 所以為二面角的平面角,設(shè),連接, 在中,由勾股定理得, 在中,由勾股定理得, 又為的重心,所以 同理 , 在中,由余弦定理得, 即二面角的余弦值為. 解法二:在中, 所以,又平面,所以兩兩垂直, 以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以所在直線為軸,軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

46、,設(shè),則,所以, 設(shè)平面的一個(gè)法向量為, 由, 得 取,得. 設(shè)平面的一個(gè)法向量為 由, 得 取,得.所以 因?yàn)槎娼菫殁g角,所以二面角的余弦值為. （山東省鳳城高中2013屆高三4月模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)理試題 ）如圖,已知多面體abcde中,ab平面acd,de平面acd,ac=ad=cd=de=2,ab=1,f為cd的中點(diǎn).()求證:af平面cde;()求面acd和面bce所成銳二面角的大小.【答案】解:()de平面acd,af平面acd,deaf. 又ac=ad,f為cd中點(diǎn),afcd, 因cdde=d,af平面cde ()取ce的中點(diǎn)q,連接fq,因?yàn)閒為cd的中點(diǎn),則fqde,故de平面acd,fq平面acd,又由()可知fd,fq,fa兩兩垂直,以o為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖坐標(biāo)系, 則f(0,0,0),c(,0,0),a(0,0,),b(0,1,),e(1,2,0). 設(shè)面bce的法向量,則, 即,取 又平面acd的一個(gè)法向量為,則 面acd和面bce所成銳二面角的大小為45° （山東省煙臺(tái)市2013屆高三3月診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)理試題）如圖,在梯形abc