高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角學(xué)案 新人教A版必修4

1、1.1.1任意角學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解任意角的概念.2.掌握終邊相同角的含義及其表示(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.掌握軸線角、象限角及區(qū)間角的表示方法(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形2角的表示：如圖1­1­1，圖1­1­1(1)始邊：射線的起始位置oa，(2)終邊：射線的終止位置ob，(3)頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)o.這時(shí)，圖中的角可記為“角”或“”或簡(jiǎn)記為“”3任意角的分類(1)按旋轉(zhuǎn)方向分(2)按角的終邊位置分前提：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合分類：基礎(chǔ)

2、自測(cè)1思考辨析(1)第二象限角大于第一象限角()(2)第二象限角是鈍角()(3)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同()(4)終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍()解析(1)錯(cuò)誤如第二象限角100°小于第一象限角361°.(2)錯(cuò)誤如第二象限角181°不是鈍角(3)(4)都正確答案(1)×(2)×(3)(4)250°角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，把終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)2周，所得角是_670°由題意知，所得角是50°2×360°670°.3已知0°

3、;360°，且與600°角終邊相同，則_，它是第_象限角240°三因?yàn)?00°360°240°，所以240°角與600°角終邊相同，且0°240°360°，故240°，它是第三象限角合 作 探 究·攻 重 難任意角和象限角的概念(1)給出下列說法：銳角都是第一象限角；第一象限角一定不是負(fù)角；小于180°的角是鈍角、直角或銳角；始邊和終邊重合的角是零角其中正確說法的序號(hào)為_(把正確說法的序號(hào)都寫上)(2)已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，

4、作出下列各角，并指出它們是第幾象限角420°.855°.510°. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352000】(1)(1)銳角是大于0°且小于90°的角，終邊落在第一象限，是第一象限角，所以正確；350°角是第一象限角，但它是負(fù)角，所以錯(cuò)誤；0°角是小于180°的角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，所以錯(cuò)誤；360°角的始邊與終邊重合，但它不是零角，所以錯(cuò)誤(2)作出各角的終邊，如圖所示：由圖可知：420°是第一象限角855°是第二象限角510°是第三象限角規(guī)律方法1.判斷角的概念問題的

5、關(guān)鍵與技巧：(1)關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念(2)技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可2象限角的判定方法：(1)在坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的角，觀察終邊的位置，確定象限(2)第一步，將寫成k·360°(kz,0°<360°)的形式；第二步，判斷的終邊所在的象限；第三步，根據(jù)的終邊所在的象限，即可確定的終邊所在的象限提醒：理解任意角這一概念時(shí)，要注意“旋轉(zhuǎn)方向”決定角的“正負(fù)”，“旋轉(zhuǎn)幅度”決定角的“絕對(duì)值大小”跟蹤訓(xùn)練1已知集合a第一象限角，b銳角，c小于90°的角，則下面關(guān)系正確的是()aab

6、cbaccacbdbccd由已知得bc，所以bcc，故d正確2給出下列四個(gè)命題：75°是第四象限角；225°是第三象限角；475°是第二象限角；315°是第一象限角其中正確的命題有() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352001】a1個(gè) b2個(gè)c3個(gè)d4個(gè)d90°75°0°，180°225°270°，360°90°475°360°180°，360°315°270°.所以這四個(gè)命題都是正確的終邊相同的角的表示及應(yīng)用(1)將885

7、76;化為k·360°(0°360°，kz)的形式是_(2)寫出與1 910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式720°360°的元素寫出來思路探究(1)根據(jù)885°與k·360°，kz的關(guān)系確定k.(2)先寫出與終邊相同的角k·360°，kz，再由已知不等式確定k的可能取值(1)(3)×360°195°(1)885°1 080°195°(3)×360°195°.(2)與1 910

8、°終邊相同的角的集合為|k·360°1 910°，kz720°360°，即720°k·360°1 910°360°(kz)，3k6(kz)，故取k4,5,6.k4時(shí)，4×360°1 910°470°；k5時(shí)，5×360°1 910°110°；k6時(shí)，6×360°1 910°250°.規(guī)律方法1.在0°到360°范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法(1

9、)一般地，可以將所給的角化成k·360°的形式(其中0°360°，kz)，其中的就是所求的角(2)如果所給的角的絕對(duì)值不是很大，可以通過如下方法完成：當(dāng)所給角是負(fù)角時(shí)，采用連續(xù)加360°的方式；當(dāng)所給角是正角時(shí)，采用連續(xù)減360°的方式，直到所得結(jié)果達(dá)到要求為止2運(yùn)用終邊相同的角的注意點(diǎn)所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)可以用式子k·360°，kz表示，在運(yùn)用時(shí)需注意以下四點(diǎn)：(1)k是整數(shù)，這個(gè)條件不能漏掉(2)是任意角(3)k·360°與之間用“”連接，如k·360°30&

10、#176;應(yīng)看成k·360°(30°)，kz.(4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差周角的整數(shù)倍提醒：表示終邊相同的角，kz這一條件不能少跟蹤訓(xùn)練3下面與850°12終邊相同的角是()a230°12b229°48c129°48d130°12b與850°12終邊相同的角可表示為850°12k·360°(kz)，當(dāng)k3時(shí)，850°121 080°229°48.4在360°360°之間找

11、出所有與下列各角終邊相同的角，并判斷各角所在的象限790°；20°. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352002】解790°2×360°70°3×360°290°，在360°360°之間與它終邊相同的角是70°和290°，它們都是第一象限的角20°360°340°，在360°360°之間與它終邊相同的角是20°和340°，它們都是第四象限的角任意角終邊位置的確定和表示探究問題1若射線oa的位置是k·36

12、0°10°，kz，射線oa繞點(diǎn)o逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°經(jīng)過的區(qū)域?yàn)閐，則終邊落在區(qū)域d(包括邊界)的角的集合應(yīng)如何表示？提示：終邊落在區(qū)域d包括邊界的角的集合可表示為|k·360°10°k·360°100°，kz2若角與的終邊關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)、直線yx對(duì)稱，則角與分別具有怎樣的關(guān)系？提示(1)關(guān)于x軸對(duì)稱：若角與的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角與的關(guān)系是k·360°，kz.(2)關(guān)于y軸對(duì)稱：若角與的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則角與的關(guān)系是180°k·360°，kz.(3)

13、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：若角與的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則角與的關(guān)系是180°k·360°，kz.(4)關(guān)于直線yx對(duì)稱：若角與的終邊關(guān)于直線yx對(duì)稱，則角與的關(guān)系是90°k·360°，kz.(1)若是第一象限角，則是()a第一象限角 b第一、四象限角c第二象限角d第二、四象限角(2)已知，如圖1­1­2所示圖1­1­2分別寫出終邊落在oa，ob位置上的角的集合寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合. 思路探究(1)(2)(1)d(1)因?yàn)槭堑谝幌笙藿?，所以k·360°k·36

14、0°90°，kz，所以k·180°k·180°90°，kz，所以是第一、三象限角，又因?yàn)榕c的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，所以是第二、四象限角(2)終邊落在oa位置上的角的集合為|90°45°k·360°，kz|135°k·360°，kz；終邊落在ob位置上的角的集合為|30°k·360°，kz由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有介于30°，135°之間的與之終邊相同的角組成的集合，故該區(qū)域可表示為|3

15、0°k·360°135°k·360°，kz母題探究：1.若將本例(2)改為如圖1­1­3所示的圖形，那么終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合如何表示？圖1­1­3解在0°360°范圍內(nèi)，終邊落在陰影部分(包括邊界)的角為60°105°與240°285°，所以所有滿足題意的角為|k·360°60°k·360°105°，kz|k·360°240°k&

16、#183;360°285°，kz|2k·180°60°2k·180°105°，kz|(2k1)·180°60°(2k1)·180°105°，kz|n·180°60°n·180°105°，nz故角的取值集合為|n·180°60°n·180°105°，nz2若將本例(2)改為如圖1­1­4所示的圖形，那么陰影部分(包括邊界

17、)表示的終邊相同的角的集合如何表示？圖1­1­4解在0°360°范圍內(nèi)，陰影部分(包括邊界)表示的范圍可表示為：150°225°，則所有滿足條件的角為|k·360°150°k·360°225°，kz規(guī)律方法1.表示區(qū)間角的三個(gè)步驟：第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的360°360°范圍內(nèi)的角和，寫出最簡(jiǎn)區(qū)間x|<x<，其中<360°；第三步：起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角，再加

18、上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合2n或所在象限的判斷方法：(1)用不等式表示出角n或的范圍；(2)用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)確定角n或所在象限例如：k·120°k·120°30°，kz.由0°30°，每次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°可得終邊的位置提醒：表示區(qū)間角時(shí)要注意實(shí)線邊界與虛線邊界的差異當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1下列說法正確的是()a三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角b第四象限的角一定是負(fù)角c60°角與600°角是終邊相同的角d將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角為60°da

19、錯(cuò)誤，90°角既不是第一象限角也不是第二象限角；b錯(cuò)誤，280°角是第四象限角，但它不是負(fù)角；c錯(cuò)誤，600°60°540°不是360°的倍數(shù)；d正確，分針轉(zhuǎn)一周為60分鐘，轉(zhuǎn)過的角度為360°，將分針撥慢是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，撥慢10分鐘轉(zhuǎn)過的角為360°×60°.2下列各個(gè)角中與2 017°終邊相同的是()a147°b677°c317°d217°d因?yàn)? 017°360°×5217°，所以與2 017°終邊相同的角是217°.3已知角的終邊在如圖1­1­5陰影表示的范圍內(nèi)(不包含邊界)，那么角的集合是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352004】圖1­1­5|k·360°45°k·360°150°，kz觀察圖形可知，角的集合是|k·360°45°k·36