高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第1課時 一元二次不等式及其解法學(xué)案 新人教A版必修5

1、第1課時一元二次不等式及其解法學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握一元二次不等式的解法(重點).2.能根據(jù)“三個二次”之間的關(guān)系解決簡單問題(難點)自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1一元二次不等式的概念只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式2一元二次不等式的一般形式(1)ax2bxc0(a0)(2)ax2bxc0(a0)(3)ax2bxc0(a0)(4)ax2bxc0(a0)思考：不等式x2y2>0是一元二次不等式嗎？提示此不等式含有兩個變量，根據(jù)一元二次不等式的定義，可知不是一元二次不等式3一元二次不等式的解與解集使一元二次不等式成立的未知數(shù)的值，叫做這個一元二次不等

2、式的解，其解的集合，稱為這個一元二次不等式的解集思考：類比“方程x21的解集是1，1，解集中的每一個元素均可使等式成立”不等式x2>1的解集及其含義是什么？提示不等式x2>1的解集為x|x<1或x>1，該集合中每一個元素都是不等式的解，即不等式的每一個解均使不等式成立4三個“二次”的關(guān)系：設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，方程ax2bxc0的判別式b24ac判別式000解不等式f(x)0或f(x)0的步驟求方程f(x)0的解有兩個不等的實數(shù)解x1，x2有兩個相等的實數(shù)解x1x2沒有實數(shù)解畫函數(shù)yf(x)的示意圖得等的集不式解f(x)0x|xx1_或xx2rf(x)0x|x

3、1xx2思考：若一元二次不等式ax2x1>0的解集為r，則實數(shù)a應(yīng)滿足什么條件？提示結(jié)合二次函數(shù)圖象可知，若一元二次不等式ax2x1>0的解集為r，則解得a，所以不存在a使不等式ax2x1>0的解集為r.基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)mx25x<0是一元二次不等式()(2)若a>0，則一元二次不等式ax21>0無解()(3)若一元二次方程ax2bxc0的兩根為x1，x2(x1<x2)，則一元二次不等式ax2bxc<0的解集為x|x1<x<x2()(4)不等式x22x3>0的解集為r.()答案(1)×(2)×(3)&

4、#215;(4)提示：(1)錯誤當(dāng)m0時，是一元一次不等式；當(dāng)m0時，是一元二次不等式(2)錯誤因為a>0，所以不等式ax21>0恒成立，即原不等式的解集為r.(3)錯誤當(dāng)a>0時，ax2bxc<0的解集為x|x1<x<x2，否則不成立(4)正確因為(2)212<0，所以不等式x22x3>0的解集為r.2(2018·全國卷)已知集合ax|x2x20，則ra()ax|1x2bx|1x2cx|x1x|x2 dx|x1x|x2b通解ax|(x2)(x1)0x|x1或x2，所以rax|1x2，故選b.優(yōu)解因為ax|x2x20，所以rax|x2x

5、20x|1x2，故選b.3不等式x22x5>2x的解集是_x|x>5或x<1由x22x5>2x，得x24x5>0，因為x24x50的兩根為1,5，故x24x5>0的解集為x|x<1或x>54不等式3x25x4>0的解集為_. 【導(dǎo)學(xué)號：91432278】原不等式變形為3x25x4<0.因為(5)24×3×423<0，所以3x25x40無解由函數(shù)y3x25x4的圖象可知，3x25x4<0的解集為.合 作 探 究·攻 重 難一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)2x27x3>0；(2)4x

6、218x0；(3)2x23x2<0.解(1)因為724×2×325>0，所以方程2x27x30有兩個不等實根x13，x2.又二次函數(shù)y2x27x3的圖象開口向上，所以原不等式的解集為.(2)原不等式可化為20，所以原不等式的解集為.(3)原不等式可化為2x23x2>0，因為94×2×27<0，所以方程2x23x20無實根，又二次函數(shù)y2x23x2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為r.規(guī)律方法解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)化標(biāo)準(zhǔn).通過對不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項系數(shù)為正.(2)判別式.對不等式左側(cè)因式分解

7、，若不易分解，則計算對應(yīng)方程的判別式.(3)求實根.求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根.(4)畫草圖.根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖.(5)寫解集.根據(jù)圖象寫出不等式的解集. 跟蹤訓(xùn)練1解下列不等式(1)2x23x2>0；(2)x24x4>0；(3)x22x3<0；(4)3x25x2>0.【導(dǎo)學(xué)號：91432279】解(1)>0，方程2x23x20的根是x1，x22，不等式2x23x2>0的解集為.(2)0，方程x24x40的根是x1x22，不等式x24x4>0的解集為.(3)原不等式可化為x22x3>0，由

8、于<0，方程x22x30無解，不等式x22x3<0的解集為r.(4)原不等式可化為3x25x2<0，由于>0，方程3x25x20的兩根為x1，x21，不等式3x25x2>0的解集為.含參數(shù)的一元二次不等式的解法解關(guān)于x的不等式ax2(a1)x1<0.思路探究：對于二次項的系數(shù)a是否分a0，a<0，a>0三類進行討論？當(dāng)a0時，是否還要比較兩根的大?。拷猱?dāng)a0時，原不等式可化為x>1.當(dāng)a0時，原不等式可化為(ax1)(x1)<0.當(dāng)a<0時，不等式可化為(x1)>0，<1，x<或x>1.當(dāng)a>0時，

9、原不等式可化為(x1)<0.若<1，即a>1，則<x<1；若1，即a1，則x；若>1，即0<a<1，則1<x<.綜上所述，當(dāng)a<0時，原不等式的解集為；當(dāng)a0時，原不等式的解集為x|x>1；當(dāng)0<a<1時，原不等式的解集為；當(dāng)a1時，原不等式的解集為；當(dāng)a>1時，原不等式的解集為.規(guī)律方法解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟注：對參數(shù)分類討論的每一種情況是相互獨立的一元二次不等式的解集，不能合并跟蹤訓(xùn)練2解關(guān)于x的不等式：ax222xax(a<0). 【導(dǎo)學(xué)號：91432280】解原不等式移項得ax2

10、(a2)x20，化簡為(x1)(ax2)0.a<0，(x1)0.當(dāng)2<a<0時，x1；當(dāng)a2時，x1；當(dāng)a<2時，1x.綜上所述，當(dāng)2<a<0時，解集為；當(dāng)a2時，解集為x|x1；當(dāng)a<2時，解集為.一元二次不等式、二次方程、二次函數(shù)的關(guān)系探究問題1利用函數(shù)yx22x3的圖象說明當(dāng)y>0、y<0、y0時x的取值集合分別是什么？這說明二次函數(shù)與二次方程、二次不等式有何關(guān)系？提示：yx22x3的圖象如圖所示函數(shù)yx22x3的值滿足y>0時自變量x組成的集合，亦即二次函數(shù)yx22x3的圖象在x軸上方時點的橫坐標(biāo)x的集合x|x<1或x&

11、gt;3；同理，滿足y<0時x的取值集合為x|1<x<3，滿足y0時x的取值集合，亦即yx22x3圖象與x軸交點橫坐標(biāo)組成的集合1,3這說明：方程ax2bxc0(a0)和不等式ax2bxc>0(a>0)或ax2bxc<0(a>0)是函數(shù)yax2bxc(a0)的一種特殊情況，它們之間是一種包含關(guān)系，也就是當(dāng)y0時，函數(shù)yax2bxc(a0)就轉(zhuǎn)化為方程，當(dāng)y>0或y<0時，就轉(zhuǎn)化為一元二次不等式2方程x22x30與不等式x22x3>0的解集分別是什么？觀察結(jié)果你發(fā)現(xiàn)什么問題？這又說明什么？提示：方程x22x30的解集為1,3不等式x22

12、x3>0的解集為x|x<1或x>3，觀察發(fā)現(xiàn)不等式x22x3>0解集的端點值恰好是方程x22x30的根3設(shè)一元二次不等式ax2bxc>0(a>0)和ax2bxc<0(a>0)的解集分別為x|x<x1或x>x2，x|x1<x<x2(x1<x2)，則x1x2，x1x2為何值？提示：一元二次不等式ax2bxc>0(a>0)和ax2bxc<0(a>0)的解集分別為x|x<x1或x>x2，x|x1<x<x2(x1<x2)，則即不等式的解集的端點值是相應(yīng)方程的根已知關(guān)于x的不

13、等式ax2bxc>0的解集為x|2<x<3，求關(guān)于x的不等式cx2bxa<0的解集.【導(dǎo)學(xué)號：91432281】解法一：由不等式ax2bxc>0的解集為x|2<x<3可知，a<0，且2和3是方程ax2bxc0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知5，6.由a<0知c<0，故不等式cx2bxa<0，即x2x>0，即x2x>0，解得x<或x>，所以不等式cx2bxa<0的解集為.法二：由不等式ax2bxc>0的解集為x|2<x<3可知，a<0，且2和3是方程ax2bxc0的兩根，所以ax2

14、bxca(x2)(x3)ax25ax6ab5a，c6a，故不等式cx2bxa<0，即6ax25axa<06a<0，故原不等式的解集為.母題探究：1.(變結(jié)論)本例中的條件不變，求關(guān)于x的不等式cx2bxa>0的解集解由根與系數(shù)的關(guān)系知5，6且a<0.c<0，故不等式cx2bxa>0即x2x<0，即x2x<0.解之得.2(變條件)若將本例中的條件“關(guān)于x的不等式ax2bxc>0的解集為x|2<x<3變?yōu)椤瓣P(guān)于x的不等式ax2bxc0的解集是.求不等式cx2bxa<0的解集解法一：由ax2bxc0的解集為知a0.又

15、15;20，則c0.又，2為方程ax2bxc0的兩個根，.又，ba，ca，不等式變?yōu)閤2xa0，即2ax25ax3a0.又a0，2x25x30，所求不等式的解集為.法二：由已知得a0 且2，×2知c0，設(shè)方程cx2bxa0的兩根分別為x1，x2，則x1x2，x1·x2，其中，x13，x2.不等式cx2bxa0(c0)的解集為.規(guī)律方法已知以a，b，c為參數(shù)的不等式(如ax2bxc0)的解集，求解其他不等式的解集時，一般遵循：(1)根據(jù)解集來判斷二次項系數(shù)的符號；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式；(3)約去 a， 將不等式化為具體的一元二次不等

16、式求解.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1不等式6x2x20的解集為_因為6x2x20(2x1)(3x2)0，所以原不等式的解集為.2不等式2x2x1<0的解集是_.【導(dǎo)學(xué)號：91432282】(1，)由2x2x1>0，得(x1)(2x1)>0，解得x>1或x<，從而得原不等式的解集為(1，)3設(shè)a<1，則關(guān)于x的不等式a(xa)<0的解集為_因為a<1，所以a(xa)·<0(xa)·>0.又a<1，所以>a，所以x>或x<a.4已知關(guān)于x的不等式ax2bxc<0的解集是，則ax2bxc>0的解集為_由題意，2，是方程ax2bxc0的兩個根且a<0，故解得ac，bc.所以不等式ax2bxc>0即為2x25x2<0，解得<x<2，即不等式ax2bxc>0的解集為.5解下列不等式：(1)x(7x)12；(2)x2>2(x1).【導(dǎo)學(xué)號：91432