高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 階段復(fù)習(xí)課 第1課 解三角形學(xué)案 新人教A版必修5

1、第一課解三角形核心速填1正弦定理(1)公式表達(dá)：2r.(2)公式變形：a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c；sin a，sin b，sin c；abcsin asin bsin c；2r.2余弦定理(1)公式表達(dá)：a2b2c22bccos_a，b2a2c22accos_b，c2a2b22abcos_c.(2)推論：cos a，cos b，cos c.3三角形中常用的面積公式(1)sah(h表示邊a上的高)；(2)sbcsin aacsin babsin c；(3)sr(abc)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)體系構(gòu)建題型探究利用正、余弦定理解三角形在abc中，內(nèi)角a，b，c所對的邊分

2、別為a，b，c.已知bc2acos b.(1)證明：a2b；(2)若abc的面積s，求角a的大小. 【導(dǎo)學(xué)號：91432090】解(1)證明：由正弦定理得sin bsin c2sin acos b，故2sin acos bsin bsin(ab)sin bsin acos bcos asin b，于是sin bsin(ab)又a，b(0，)，故0<ab<，所以，b(ab)或bab，因此a(舍去)或a2b，所以a2b.(2)由s，得absin c，故有sin bsin csin 2bsin bcos b，因?yàn)閟in b0，所以sin ccos b，又b，c(0，)，所以c±

3、b.當(dāng)bc時，a；當(dāng)cb時，a.綜上，a或a.規(guī)律方法解三角形的一般方法：,(1)已知兩角和一邊，如已知a、b和c，由abc求c，由正弦定理求a、b.(2)已知兩邊和這兩邊的夾角，如已知a、b和c，應(yīng)先用余弦定理求c，再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用abc，求另一角.(3)已知兩邊和其中一邊的對角，如已知a、b和a，應(yīng)先用正弦定理求b，由abc求c，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多種情況.(4)已知三邊a、b、c，可應(yīng)用余弦定理求a、b、c.跟蹤訓(xùn)練1如圖1­1，在abc中，b，ab8，點(diǎn)d在bc邊上，cd2，cosadc.圖1­1(1)求sinbad

4、；(2)求bd，ac的長解(1)在adc中，因?yàn)閏osadc，所以sinadc.所以sinbadsin(adcb)sinadc cos bcosadc sin b××.(2)在abd中，由正弦定理，得bd3.在abc中，由余弦定理，得ac2ab2bc22ab×bc×cos b82522×8×5×49.所以ac7.判斷三角形的形狀在abc中，若b60°，2bac，試判斷abc的形狀思路探究：利用正弦定理將已知條件中邊的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系求角或利用余弦定理，由三邊之間的關(guān)系確定三角形的形狀解法一：(正弦定理邊化角)由

5、正弦定理，得2sin bsin asin c.b60°，ac120°.2sin 60°sin(120°c)sin c.展開整理得sin ccos c1.sin(c30°)1.0°<c<120°，c30°90°.c60°，則a60°.abc為等邊三角形法二：(余弦定理法)由余弦定理，得b2a2c22accos b.b60°，b，2a2c22accos 60°，化簡得(ac)20.ac.又b60°，abc.abc為等邊三角形規(guī)律方法根據(jù)已知條件(通

6、常是含有三角形的邊和角的等式或不等式)判斷三角形的形狀時，需要靈活地應(yīng)用正弦定理和余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或角的關(guān)系.判斷三角形的形狀是高考中考查能力的常見題型，此類題目要求準(zhǔn)確地把握三角形的分類，三角形按邊的關(guān)系分為等腰三角形和不等邊三角形；三角形按角的關(guān)系分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.判斷三角形的形狀，一般有以下兩種途徑：將已知條件統(tǒng)一化成邊的關(guān)系，用代數(shù)方法求解；將已知條件統(tǒng)一化成角的關(guān)系，用三角知識求解.跟蹤訓(xùn)練2在abc中，若，試判斷abc的形狀. 【導(dǎo)學(xué)號：91432091】解由已知，得.可有以下兩種解法法一：(利用正弦定理，將邊化角)由正弦定理得，即sin ccos cs

7、in bcos b，即sin 2csin 2b.b，c均為abc的內(nèi)角，2c2b或2c2b180°.即bc或bc90°.abc為等腰三角形或直角三角形法二：(利用余弦定理，將角化邊)，由余弦定理得，即(a2b2c2)c2b2(a2c2b2)a2c2c4a2b2b4，即a2b2a2c2c4b40.a2(b2c2)(c2b2)(c2b2)0，即(b2c2)(a2b2c2)0.b2c2或a2b2c20，即bc或a2b2c2.abc為等腰三角形或直角三角形.正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用如圖1­2所示，某市郊外景區(qū)內(nèi)有一條筆直的公路a經(jīng)過三個景點(diǎn)a、b、c.景區(qū)管委會開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)

8、美的景點(diǎn)d.經(jīng)測量景點(diǎn)d位于景點(diǎn)a的北偏東30°方向上8 km處，位于景點(diǎn)b的正北方向，還位于景點(diǎn)c的北偏西75°方向上已知ab5 km.圖1­2(1)景區(qū)管委會準(zhǔn)備由景點(diǎn)d向景點(diǎn)b修建一條筆直的公路，不考慮其他因素，求出這條公路的長；(2)求景點(diǎn)c與景點(diǎn)d之間的距離(結(jié)果精確到0.1 km)(參考數(shù)據(jù)：1.73，sin 75°0.97，cos 75°0.26，tan 75°3.73，sin 53°0.80，cos 53°0.60，tan 53°1.33，sin 38°0.62，cos 38&#

9、176;0.79，tan 38°0.78)思路探究：(1)以bd為邊的三角形為abd和bcd，在abd中，一角和另外兩邊易得，所以可在abd中利用余弦定理求解db.(2)以cd為邊的兩個三角形中的其他邊不易全部求得，而角的關(guān)系易得，考慮應(yīng)用正弦定理求解解(1)設(shè)bdx km，則在abd中，由余弦定理得5282x22×8xcos 30°，即x28x390，解得x4±3.因?yàn)?3>8，應(yīng)舍去，所以x433.9，即這條公路的長約為3.9 km.(2)在abd中，由正弦定理得，所以sinabdsincbd·sinadb0.8，所以coscbd0.

10、6.在cbd中，sindcbsin(cbdbdc)sin(cbd75°)0.8×0.260.6×0.970.79，由正弦定理得cdsindbc×3.9.故景點(diǎn)c與景點(diǎn)d之間的距離約為3.9 km.規(guī)律方法正弦定理、余弦定理在實(shí)際生活中有著非常廣泛的應(yīng)用.常用的有測量距離問題，測量高度問題，測量角度問題等.解決的基本思路是畫出正確的示意圖，把已知量和未知量標(biāo)在示意圖中(目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關(guān)系)，最后確定用哪個定理轉(zhuǎn)化，用哪個定理求解，并進(jìn)行作答，解題時還要注意近似計算的要求.跟蹤訓(xùn)練3如圖1­3，a是海面上一條南北方向的海防警戒線，在

11、a上點(diǎn)a處有一個水聲監(jiān)測點(diǎn)，另兩個監(jiān)測點(diǎn)b，c分別在a的正東方20 km和54 km處某時刻，監(jiān)測點(diǎn)b收到發(fā)自靜止目標(biāo)p的一個聲波信號，8 s后監(jiān)測點(diǎn)a,20 s后監(jiān)測點(diǎn)c相繼收到這一信號，在當(dāng)時氣象條件下，聲波在水中的傳播速度是1.5 km/s.圖1­3(1)設(shè)a到p的距離為x km，用x表示b，c到p的距離，并求x的值；(2)求靜止目標(biāo)p到海防警戒線a的距離(精確到0.01 km). 【導(dǎo)學(xué)號：91432092】解(1)由題意得papb1.5×812(km)，pcpb1.5×2030(km)pbx12，pc18x.在pab中，ab20 km，cospab.同理

12、cospac.cospabcospac，解得x.(2)作pda于d，在rtpda中，pdpacosapdpacospabx·17.71(km)所以靜止目標(biāo)p到海防警戒線a的距離為17.71 km.與三角形有關(guān)的綜合問題探究問題1如圖1­4所示，向量與的夾角是b嗎？在abc中，兩向量·的數(shù)量積與余弦定理有怎樣的聯(lián)系？圖1­4提示：向量與的夾角是b的補(bǔ)角，大小為180°b，由于·|·|cos abccos a.所以·bccos a(b2c2a2)，有時直接利用此結(jié)論解決與向量數(shù)量積有關(guān)的解三角形問題2在解三角形的過程中

13、，求某一個角有時既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，兩種方法有什么利弊呢？提示：用余弦定理可以根據(jù)角的余弦值的符號直接判斷是銳角還是鈍角，但計算比較復(fù)雜用正弦定理計算相對比較簡單，但仍要結(jié)合已知條件中邊的大小來確定角的大小，所以一般選擇用正弦定理去計算比較小的邊所對的角，避免討論在abc中，內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且a>c，已知·2，cos b，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(bc)的值. 【導(dǎo)學(xué)號：91432093】思路探究：(1)由平面向量的數(shù)量積定義及余弦定理，列出關(guān)于a，c的方程組即可求解(2)由(1)結(jié)合正弦定理分別求出b，c的正、余弦值，利用

14、差角余弦公式求解解(1)由·2得cacos b2.又cos b，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos b.又b3，所以a2c292×6×13.解得或因?yàn)閍c，所以a3，c2.(2)在abc中，sin b，由正弦定理，得sin csin b×.因?yàn)閍bc，所以c為銳角，因此cos c.于是cos(bc)cos bcos csin bsin c××.母題探究：1.(變條件，變結(jié)論)將本例中的條件“a>c，·2，cos b，b3”變?yōu)椤耙阎猻abc30且cos a”求·的值解在abc中，cos a，a為銳角且sin a，sabcbcsin abc·30.bc156.·|·|cos abccos a156×144.2(變條件，變結(jié)論)在“母題探究1”中再加上條件“cb1”能否求a的值？解由余弦定理得a2b2c22bccos a(bc)22bc(1cos a)12×156×25，a5.規(guī)律方法正、余弦定理將三角形中的邊和角關(guān)系進(jìn)行了量化，為我們解三角形或求三角形的面積提供了依據(jù)，而三角形中的問題常與向量、函數(shù)、方程及平面幾何相結(jié)合，通?？梢岳谜⒂嘞叶ɡ硗瓿勺C明、求值