人教A版高中數(shù)學(xué)必修一《2.2基本不等式》優(yōu)質(zhì)課公開課課件、教案

1、2.2 基本不等式教材分析：“基本不等式” 是必修 1 的重點內(nèi)容，它是在系統(tǒng)學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上對不等式的進(jìn)一步研究，同時也是為了以后學(xué)習(xí)選修 教材中關(guān)于不等式及其證明方法等內(nèi)容作鋪墊，起著承上啟下的作用 . 利用基本不等 式求最值在實際問題中應(yīng)用廣泛.同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì) .教學(xué)目標(biāo)【知識與技能】1. 學(xué)會推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中 的不等號“”取等號的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個數(shù)相等；2. 掌握基本不等式 ；會應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值；能夠解決 一些簡單的實際問

2、題【過程與方法】通過實例探究抽象基本不等式；【情感、態(tài)度與價值觀】通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 .教學(xué)重難點【教學(xué)重點】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式 ，并從不同角度探索不等式的證明過程；【教學(xué)難點】1. 基本不等式等號成立條件；2. 利用基本不等式求最大值、最小值 .教學(xué)過程1. 課題導(dǎo)入前面我們利用完全平方公式得出了一類重要不等式：一般地，有a2+ b22ab ，當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時，等號成立特別地，如果 a>0 ，b>0 ，我們用 ,分別代替上式中的 a，b，可得當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時，等號成立叫做正數(shù)通常稱不等式（ 1 ）為基本不等式（ basic i

3、nequality ） .其中，a， b 的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b 的幾何平均數(shù)基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)思考 : 上面通過考察 a2+ b2=2 ab 的特殊情形獲得了基本不等式，能否直接利用不 等式的性質(zhì)推導(dǎo)出基本不等式呢？下面我們來分析一下2. 講授新課特別的，如果 a> 0, b>0, 我們用分別代替 a、 b，可得 ，通常我們把上式寫作：1）類比弦圖幾何圖形的面積關(guān)系認(rèn)識基本不等式2） 從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式用分析法證明：證（1）只要證a+b（2）要證（2），只要證a+b-0（3）要證（3），只要證（-）20（4）顯然，（ 4 ）

4、是成立的 . 當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時，（ 4）中的等號成立 .探究 1： 在右圖中， AB 是圓的直徑，點 C是 AB上的一點， AC=a, BC=b. 過點 C 作垂直于 AB 的弦 DE，連接 AD、 BD. 你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？易證 t AD t DB，那么 D2A·B評述： 1. 如果把看作是正數(shù) a、b 的等差中項，看作是正數(shù) a、 b 的等即 D這個圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點 C 與圓心重合，即a b 時，等號成立 .因此：基本不等式幾何意義是“ 半徑不小于半弦 ”比中項，那么該定理可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的

5、等比中項2. 在數(shù)學(xué)中，我們稱b 的算術(shù)平均數(shù)，稱為 a、 b 的幾何平均數(shù) . 本節(jié)定理還可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) 【設(shè)計意圖】老師引導(dǎo)，學(xué)生自主探究得到結(jié)論并證明，鍛煉了學(xué)生的自主研究能力 和研究問題的邏輯分析能力 .例 1 已知 x>0 ，求 x 的最小值 . 分析： 求 x 的最小值，就是要求一個y.觀察 x+，發(fā)現(xiàn) x =1. 聯(lián)系基本不等式，可以利用正數(shù) x 和的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系 得到 y 0=2.解：因為 x>0 ，所以x=2x=當(dāng)且僅當(dāng)，即 x2=1 ， x=1 時，等號成立，因此所求的最小值為2.在本題的解答中，我們不僅明確

6、了x>0 ，有 x 2 ，而且給出了 “當(dāng)且僅當(dāng)x= ，即=1 ，x=1 時，等號成立 ”，這是為了說明 2是 x（x>0 ）的一個取值，想一想，當(dāng) y0<2 時，x= y0成立嗎？這時能說 y.是 x（x>0 ）的最 小值嗎？例 3 （ 1 ）用籬笆圍一個面積為100 m 2 的矩形菜園，當(dāng)這個矩形的邊長為多少時，所用籬笆最短？最短籬笆的長度是多少？（2 ）用一段長為 36m 的籬笆圍成一個矩形菜園，當(dāng)這個矩形的邊長為多少時，菜園 的面積最大？最大面積是多少？分析：（ 1 ）矩形菜園的面積是矩形的兩鄰邊之積，于是問題轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰邊之 積為定值，邊長多大時周長最短

7、.（ 2 ）矩形菜園的周長是矩形兩鄰邊之和的2 倍，于是問題轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰邊之和為定值，邊長多大時面積最大 .4800 m 2 ，深為 3m .如果池底120 元，那么怎樣設(shè)計水池能使總例 4 某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為每平方米的造價為 150 元，池壁每平方米的造價為 造價最低？最低總造價是多少？分析：貯水池呈長方體形，它的高是 3 m ，池底的邊長沒有確定.如果池底的邊長確定了，那么水池的總造價也就確定了.因此，應(yīng)當(dāng)考察池底的邊長取什么值時，水池的總造價最低 .解： 設(shè)貯水池池底的相鄰兩條邊的邊長分別為xm ， ym ，水池的總造價為 2 元 .根據(jù)題意，有z=150

8、×+120 （ 2×3x+2 ×3y）=240000+720（ x+ y） .由容積為 4800 m 3，可得3xy =4800 ，因此xy =1600.所以z 240000+720 ×2，所以，將貯水池的池底設(shè)計成邊長為40 m 的正方形時總造價最低，最低總造價是297600 元 .設(shè)計意圖】例題講解，學(xué)以致用3.隨堂練習(xí)4.設(shè)計意圖】講練結(jié)合，熟悉新知4. 課時小結(jié)），本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2 b2 2ab；兩正數(shù) a、b 的算術(shù)平均數(shù) （ 含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值； (3) 函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相 等，取得最值即用均值不等式求某些函數(shù)的最值時，應(yīng)具備三個條件： 一正二定三取幾何平均數(shù)（）及它們的關(guān)系（）. 它們成立的條件不同，前者只要求a、b 都是實數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù) . 它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具 （ 下一節(jié)我們將學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用 ）. 我們還可以用它們下面的等價，a