寧夏高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理含解析

1、20162017學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)理科數(shù)學(xué)期中試卷選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分）1.是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的虛部是，應(yīng)選答案a。2. 設(shè)，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（ ）a. 充分不必要條件 b. 必要不充分條件c. 充分必要條件 d. 既不充分也不必要條件【答案】a【解析】試題分析：“若”，則“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”；若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，且，可得，故“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的充分必要條件.考點(diǎn)：命題的充要性判斷.3. 已知自由落體運(yùn)動(dòng)的速率，則落體運(yùn)動(dòng)從到所走的路程為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】因?yàn)?/p>

2、，所以，則從到所走的路程是是，應(yīng)選答案c。4. 觀察，由歸納推理可得：若定義在上的函數(shù)滿足，記為的導(dǎo)函數(shù)，則等于()a. b. c. d. 【答案】d【解析】由歸納推理可知偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則是奇函數(shù)，所以，應(yīng)選答案d。5. 給出下面類比推理命題（其中為有理數(shù)集，為實(shí)數(shù)集，為復(fù)數(shù)集）：“若，則”類比推出“若，則”；“若，則復(fù)數(shù)”類比推出“若，則”；“若，則”類比推出“若，則”. 其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）a. b. c. d. 【答案】c【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)不能比較大小，所以命題是不正確的；命題，都是正確的，應(yīng)選答案c。6. 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，驗(yàn)證時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是()a.

3、 b. c. d. 【答案】d【解析】由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟可知：當(dāng)時(shí)，等式的左邊是，應(yīng)選答案d。7. 若直線與曲線在點(diǎn)處的切線互相垂直，則為（）a. b. c. d. 【答案】d【解析】因?yàn)?，所以切線的斜率，而直線的斜率，由題設(shè)，即，應(yīng)選答案d。8. 已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，若，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】因?yàn)?，所以，由定積分公式，故，即，應(yīng)選答案a。.9. 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列判斷：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值則上述判斷中正確的是()a. b. c. d. 【答案】b【解析】對(duì)于

4、命題，因?yàn)樵趨^(qū)間，導(dǎo)數(shù)值有正也有負(fù)，所以單調(diào)遞增、單調(diào)遞減都有可能，故不正確；對(duì)于命題，在區(qū)間上導(dǎo)數(shù)值有正也有負(fù)，所以函數(shù)單調(diào)遞增、單調(diào)遞減都有可能，故不正確；對(duì)于命題，由于在區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)的值是正的，故單調(diào)遞增，命題正確；對(duì)于命題，當(dāng) 時(shí)，導(dǎo)函數(shù)值是正的，當(dāng) 時(shí)，導(dǎo)函數(shù)值是負(fù)的，所以取極大值，故命題不正確；對(duì)于命題，由于不是極值點(diǎn)，故函數(shù)沒有極值，因此命題是錯(cuò)誤的，應(yīng)選答案b。點(diǎn)睛：解答本題的思路是借助所學(xué)的知識(shí)，運(yùn)用分析驗(yàn)證的方法對(duì)題設(shè)中所提供的5個(gè)命題，從正反兩個(gè)方面進(jìn)行分析推證，從而排除錯(cuò)誤的答案，肯定正確的答案，使得問題簡(jiǎn)捷、明快獲解。10. 如圖所示的陰影部分是由軸，直線及曲線圍成，

5、現(xiàn)向矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】試題分析：由幾何概型可知，所求概率為.考點(diǎn)：幾何概型、定積分11. 若函數(shù)，則與的大小關(guān)系是( )a. b. c. d. 不確定【答案】c【解析】因?yàn)椋?，取，則，即，故，則，故函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，而，故，應(yīng)選答案c。點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是判定函數(shù)的單調(diào)性，而障礙是的值，求解時(shí)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再賦值，建立方程然后 解方程求得，進(jìn)而求得，借助求導(dǎo)公式得到，進(jìn)而判定出函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，使得問題獲解。12. 設(shè)是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，則不等式（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為( )a. b.

6、c. d. 【答案】d【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，即函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，取，則，故不等式可化為，則由函數(shù)的單調(diào)遞增可得，故不等式，應(yīng)選答案d。點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是如何構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造怎樣的函數(shù)符合題設(shè)條件。求解時(shí)，通過深入的思考和細(xì)心的觀察函數(shù)符合題設(shè)中的要求，然后借助求導(dǎo)公式和法則，先依據(jù)題設(shè)判定出函數(shù)的單調(diào)性是單調(diào)遞增函數(shù)，再將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為，最后借助函數(shù)單調(diào)性建立 不等式，使得問題巧妙獲解。二填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13. _【答案】【解析】由定積分公式，應(yīng)填答案。14. 學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的四項(xiàng)參賽作品，只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參

7、賽作品預(yù)測(cè)如下：甲說：“是或作品獲得一等獎(jiǎng)”乙說：“作品獲得一等獎(jiǎng)”丙說：“兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”丁說：“是作品獲得一等獎(jiǎng)” 若這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是_【答案】【解析】若甲同學(xué)說的話是對(duì)的，則丙、丁兩位說的話也是對(duì)的；若丁同學(xué)說的話是對(duì)的，則甲、丙兩位說的話也是對(duì)的，所以只有乙、丙兩位說的話是對(duì)的，所以獲得一等獎(jiǎng)的作品是b15. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)于給定的正數(shù)，定義函數(shù)，則當(dāng)函數(shù)，時(shí)，定積分的值為_【答案】【解析】試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)，即f1（x）=所以，考點(diǎn)：本題主要考查學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，分段函數(shù)的概念及定積分計(jì)算，分式不等式解法。點(diǎn)評(píng)：中檔題，在理解題意的基

8、礎(chǔ)上，確定分段函數(shù)的解析式，并對(duì)分段函數(shù)進(jìn)行定積分計(jì)算。16. 已知函數(shù)在時(shí)有極值，則_【答案】【解析】因?yàn)?，所以，則解之得或，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，無(wú)極值，故應(yīng)舍去；當(dāng)時(shí)， ，應(yīng)填答案。點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是借助函數(shù)在處取極值建立方程組，通過解方程組求得或，容易出錯(cuò)的是不對(duì)這兩組解進(jìn)行檢驗(yàn)，直接獲得或這兩種答案的錯(cuò)誤，其實(shí)只要通過檢驗(yàn)容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，無(wú)極值，故應(yīng)舍去。解答題（本題共6小題，共70分）17. 用反證法證明：在中，若，則必為銳角【答案】詳見解析【解析】【試題分析】運(yùn)用反證法進(jìn)行證明：先假設(shè)不是銳角，即，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)推得，借助正弦函數(shù)的單調(diào)性獲得，找出矛盾。證

9、明：假設(shè)不是銳角，則，即，這與已知矛盾，故必為銳角點(diǎn)睛：反證法是間接證明中的重要方法之一，這種方法的關(guān)鍵是先假設(shè)問題的結(jié)論不成立，然后以此為假設(shè)為前提，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析推證，推出與題設(shè)或已知事實(shí)相沖突的結(jié)論，找出矛盾之所在。本題在推證時(shí)，先 假設(shè)不是銳角，即，再借助已知事實(shí)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)獲得，再運(yùn)用正弦函數(shù)的單調(diào)性推出，即，從而找出與已知的矛盾，從而使得問題間接獲證。18. 設(shè)復(fù)數(shù)，若，求實(shí)數(shù)的值【答案】【解析】本試題主要考查了復(fù)數(shù)的四則法則的運(yùn)用。利用變形為，然后利用乘法和除法公式得到得到結(jié)論。19. （1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最值【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)遞

10、減區(qū)間是；（2）在上的最大值是，最小值是【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。（1）因?yàn)橐李}意得，定義域是，然后求解，結(jié)合二次不等式得到單調(diào)區(qū)間。（2）在第一問的基礎(chǔ)上可知知道極值，然后比較機(jī)制和端點(diǎn)值的大小得到結(jié)論。解：依題意得，2分定義域是3分（1）5分令，得或，令，得7分由于定義域是，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是8分（2）令，得，9分由于，11分在上的最大值是，最小值是14分20. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）寫出，并猜想的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想，并求出的表達(dá)式【答案】（1），猜想；（2）詳見解析.【解析】試題分析：（1）先根據(jù)數(shù)列的前項(xiàng)的和求得，可知

11、分母和分子分別是等差數(shù)列進(jìn)而可猜想出；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立，由可直接求出的表達(dá)式.試題解析：（1）解：猜想證明：（1）當(dāng)時(shí)，等式成立。假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即。當(dāng)時(shí)， 時(shí)，等式也成立。綜上1）2）知，對(duì)于任意，都成立。又點(diǎn)睛：本題主要考查了數(shù)列的遞推式數(shù)列的遞推式是高考中?？嫉念}型，涉及數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和問題，歸納推理與數(shù)學(xué)歸納法證明等式等問題；數(shù)學(xué)歸納法的注意事項(xiàng)：明確初始值并驗(yàn)證真假； “假設(shè)時(shí)命題正確”并寫出命題形式；分析“時(shí)”命題是什么，并找出與“”時(shí)命題形式的差別弄清左端應(yīng)增加的項(xiàng)；明確等式左端變形目標(biāo)，掌握恒等式變形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆項(xiàng)、配方等，并用上

12、假設(shè).21. 已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）記，若對(duì)任意都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）的極小值點(diǎn)為；無(wú)極大值點(diǎn)；（2）.【解析】【試題分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出極值點(diǎn)，再借助導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系說明該極值點(diǎn)是極小點(diǎn)；（2）先將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)及分類整合思想分析探求函數(shù)的最小值小于等于零：（1），定義域?yàn)椋?，得，遞減極小值遞增的極小值點(diǎn)為；無(wú)極大值點(diǎn)。（2）由題得，對(duì)任意，恒有，令，則，其中，當(dāng)時(shí)，恒有，所以，函數(shù)單調(diào)遞增，成立；當(dāng)時(shí)，令，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；為函數(shù)的最小值，又，所以不成立綜上所述， 22. 已知函數(shù)

13、（1）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求函數(shù)在上的最大值；（3）在(2)的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有個(gè)交點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】（1）a0；（2）(7，3)(3，).【解析】【試題分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得f(x)3x22ax3，再將問題轉(zhuǎn)化為在1，)上恒有f(x)0，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）先借助題設(shè)極值點(diǎn)是建立方程求出a4，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求出其最大值；（3）先將問題轉(zhuǎn)化為方程x34x23xbx恰有3個(gè)不等實(shí)根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為方程x24x(3b)0有兩個(gè)非零不等實(shí)根，然后運(yùn)用二次方程的根與系數(shù)之

14、間的關(guān)系及判別式建立不等式組，通過解不等式組使得問題獲解： (1)f(x)3x22ax3，f(x)在1，)上是增函數(shù)，在1，)上恒有f(x)0.1且f(1)2a0.a0.(2)由題意知f0，即30，a4.f(x)x34x23x.令f(x)3x28x30得x或x3.f(4)12，f(3)18，f，f(1)2，f(x)在a,1上的最大值是f(3)18.(3)若函數(shù)g(x)bx的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，即方程x34x23xbx恰有3個(gè)不等實(shí)根x0是其中一個(gè)根，方程x24x(3b)0有兩個(gè)非零不等實(shí)根b>7且b3.滿足條件的b存在，其取值范圍是(7，3)(3，)點(diǎn)睛：本題以含參數(shù)的函數(shù)解析式為背景，旨在考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）等方面的綜合運(yùn)用。解答本題的第一問時(shí)，先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得f(x)3x22ax3，再將問題轉(zhuǎn)化為在1，)上恒有f(x)0，從而建立不等式組求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；解答本題的第二問時(shí)先借助題設(shè)極值點(diǎn)是建立方程求出a4，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求出其最大值；求解第三問時(shí)，先將問題轉(zhuǎn)化為方程x34x23xbx恰有3個(gè)不等實(shí)根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為方程x24x(3b)0有兩個(gè)非零不等實(shí)根，然后運(yùn)用